第8章 杆件结构的内力及计算
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
杆件与结构的内力计算
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
例题 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪 力图和弯矩图。
q
A
解： 1、求支反力
B
x
FA
由对称性知： FA FB ql 2
l
FB
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql FS ( x) FA qx 2 qx qx2 qLx qx2 M ( x) F x A 2 2 2
M /l
FS
Mb/ l
M
Ma / l
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
2Fl
C D
F
B
FCs F
FCs F
MC Fl
MC Fl
l
l
FCs
MA FA
A
MC 2Fl Fl 0
l
C
MC
MA
FCs
2Fl
MC
C D
FDs F
F
B
MD 0
l
FDs
MD
F
D
B
弯曲内力
FS ( x) FS ( x) dFS ( x) q( x) dx 0
dFS ( x ) q( x ) dx
d2 M ( x) dx
2
q( x )
目录
这些式子的几何意义是： １、剪力图上某点处切线斜率等于该点处的横向荷载集度， 但符号相反； 2、弯矩图上某点处切线斜率等于该点处的剪力。
A
x
M
a
C
B b
FA
M M ； FB l l
截面法求桁架杆件内力
截面法1截面法可以快速求出某一内力，通常取结构 的一部分为隔离体，其上力系为平面一般力系。
每个隔离体上有3个独立平衡方程。
一般表示 为： ∑ FX = 0 投影法 ∑ FY = 0 力矩法 ∑M = 0 计算要点： 尽量使一个方程解一个未知数，避免求解 联立方程。
一. 力矩法例：求图示桁架1、2、3杆的轴力。
2VAVB解：由整体平衡条件求得支座反力 VA=VB HA=0作Ⅰ--Ⅰ截面,截开1、2、3杆的轴力 取截面以左为隔离体。
Ⅰ3Ⅰ（1）求1杆轴力N1K14选取未知力N2和N3 延长线的交点K1作 为取矩点。
N1 对K1点取矩，由 ∑MK1 = 0 从而求出所求未知 力N1。
VA（2）求2杆轴力N2N2 K2 VAY252X2由∑MK2 = 0 ,比例关系从而求出所求未知力Y2。
2杆轴力N2（3）求3杆轴力N3Y3 N3 X3K3 VA6由 ∑MK3 = 0比例关系从而求出所求未知力X3。
3杆轴力N3力矩法要点：7欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 隔离体上除所求未知力外，其余未知力的延 长线均交于某一点K。
对K点取矩，从而求出所求未知力 。
（1）选择其余未知力延长线的交点K作为取矩 点，从而用∑MK=0，求出指定杆内力。
（2）将斜杆的内力放在某一个合适的点上分 解，使其一个分力通过取矩点K。
例1. 求图示桁架杆件a、b、c的轴力890kN30kN作Ⅰ—Ⅰ截面Ⅰ9Ⅰ求NaNa 求Na时，对另 外两个未知力的 交点C取矩，10C由 ΣMc＝0，得 Na×4＋30×8＝030kN解得： Na =－ 60kN求NbD Xb E Yb Nb30kN11求Nb时，对点D取矩。
将Nb 其在E点处分解 为水平和竖向分量。
由ΣMD＝0，得 Yb×12＋40×4 － 30×12＝0 解得 Yb＝16.67 kN由比例关系得到：N b = 2Yb = 2 × 16.67 = 23.57kN求NcYc XcD Nc12求Nc时，对点E取矩。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
杆系结构的内力计算—杆件的基本变形及内力的概念
F
F
轴向压缩
变形特点概化图
a
轴线
d
l
a
横截面形状
轴向拉伸
aʹ
F
F
lʹ > l
dʹ
aʹ
dʹ < d
aʹ < a
轴向伸长
横向收缩
a
轴线
d
a
横截面形状
l
轴向压缩
aʹ
F
F
lʹ < l
dʹ
dʹ > d
aʹ
aʹ > a
轴向变形杆的内力分析
目
录
1添加标题
1.内力的基本概念
10
CD段
x
=
2、绘制轴力图。
= =
讨论题
1.图示阶梯杆AD受三个集中力F作用，设AB、BC、
CD段的横截面面积分别为A、2A、3A，则三段杆的横
截面上轴力值分别是
，如果把三段杆换成等值
杆，则各横截面上轴力值分别是
。
D
C
B
A
F
F
C
B
A
F
F
F
F
D
杆件的基本变形
目
录
1
刚体与变形体
2
杆件的基本变形
添加标题
1.刚体与变形体
刚体
变形固体
忽略物体变形
回归实际情况
外力系的合成
与平衡问题
材料强度、刚度与
稳定性的问题
简支梁
1、变形固体的概念
通常将在外力作用下能产生一定变形的固体称为变形固体。
变形固体的变形按其性质可分为两种：
一是弹性变形，即外力解除后，变形也随之消失；
结构力学龙驭球第八章
第八章 位移法总结
A EI
B EI
C
2EI D
一根直杆的刚度不同时, 位移基 本未知量的确定
如图，将BD杆分为BC和CD两根 杆件，则本题有三个未知量 B，
C ，⊿C。
第八章 位移法 总结
(a) E F G
F
C
B l/2
D l
H
A
l
l/2 l/2
(b) C
F B
D
A
(c) C
F D
3 F /28
(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位
位移Δj =1下的弯矩图 及M荷j 载作用下的弯矩图MP
第八章 位移法总结
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
(4) 解方程求Δj；
注意：一切计算
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。 都是在基本结构上进
M M 1 1 M 2 2 M n n M p 行!
第八章 位移法总结
MKF112q2a2
qa2
24
MFK11q2a281q2a245q82a
(c) m K
C
q
(d)
F
K
n
q/ 2
(e)
F
K
q/ 2 F
MCK112q2a281q2a2q42a8 M KC
qa2 24
再将图c荷载分解为为正对称与反对称的 叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图 e(反对称）所示。由叠加得： （上拉） （上拉） （左拉） （右拉）
三、几个值得注意的问题
1. 位移法的适用条件
(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结 构；
(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变 形；
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8.4.3 多跨静定梁的内力及内力图
例 试作图a所示多跨静定梁。
解：AB为基本部分，在竖向荷载作用下CF为基本部分， 层叠图如图b。
各段梁的 隔离体图 如图c。
先算附 属部分； 后算基 本部分； 弯矩图 如图d； 剪力图 如图e。
例 图a所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的 绝对值相等，试确定铰B、E的位置。 最大正弯矩为MI AB段中点I的弯矩为
Me FS ( x) l
(0 x l )
(1)
AC 段和 BC 段的弯矩方程不同 AC段
FA
A
Me
FB
B b x
C a x l
m M ( x) x l
CB段
(0 x a )
(2)
m m M ( x ) x m (l x ) l l
(a x l )
(0 x a )
( 2)
FA A
F
FB B b x
Fa M ( x) (l x ) l
(a x l )
C a x l
( 4)
由(2)，(4)式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一条斜 直线. +
Fba l
FA 在集中荷载作用处的左，右 两 A
F
FB B
侧截面上剪力值(图)有突变 。
设用坐标 x 表示横截面的位置，则梁各横截面上的剪力和 弯矩可以表示为坐标 x 的函数，即
FS FS ( x )
M M (x)
上述关系式分别称为剪力方程和弯矩方程。 绘图时通常将正值的剪力画在 x 轴的上侧，负值的剪力 画在 x 轴的下侧。弯矩画在梁的受拉一侧，即正值的弯矩
画在 x 轴的下侧，负值的弯矩画在 x 轴的上侧。
x = 5m
(3)弯矩图 AC
MA0
FA
F1=2kN
q=1kN/m C
Me=10kN.m
FB
F2=2kN
q 2 M C 4 F A 4 20 2
A
D 4m
4m
B 3m 6
E
CD
M D左 7 F 2 4F B M e 16
4m
M max M F 20.5
M D右 7 P2 4 F B 6
解：先分析附属部分，后分析基本部分，如图b。
q(l x) 2 MI 8
AC段中点H的弯矩为
ql 2 M C MH 8 2
截面C弯矩的绝对值为 M qlx C
CD段的最大弯矩发生在跨中G
2
MH >MG
ql 2 MG MC 8
令MI =MC可得
解得
q(l x) 2 qlx 8 2
m dx m
FS
dx
m
-
FS
2、弯矩符号 当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部
+
M m
M
m （受拉）
受拉压）时，横截面m-m 上的弯矩为负
3、轴力符号 当dx 微段受拉时为正，受压为负
-
m
m （受压）
8.1.2 截面法求内力
E
4m
4m
FSC左 F A 4q 3kN
CD 向下斜的直线 ( ) FSC右 F A 4q P 1 1kN
FSD P2 FB 3kN
AC 向下斜的直线() FSA右 7kN F
FSC左 3kN
F1=2kN
A
Me=10kN.m
q=1kN/m
C 4m 4m 3kN D 4m
突变 值等于集中荷载F。弯矩 图形成尖角，该处弯矩值最大。
C
a x
b x l
Fb l
+
Fa l
+
Fba l
例8-4 图示的简支梁在 C点处受矩为Me的集中力偶作用。 试作此梁的的剪力图和弯矩图。 解 求梁的支反力 Me
FA
A a
FB
B b l
Me FA l
Me FB l
C
将坐标原点取在梁的左端. 因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程
+
DB
6
16
M B 3P2 6
BE
ME 0
20 20.5
8.3
用叠加法作剪力图和弯矩图
作图a所示简支梁的弯矩图 将作用的荷载分解如图b、c
MA、MB作用下的弯矩图 F 作用下的弯矩图 图b、c 相加后的弯矩图如图d 弯矩图的叠加是指纵坐标叠加
8.4
静定梁
8.4.1 单跨静定梁与多跨静定梁
其内部各部分之间因相对位置改 变而引起的相互作用力的改变量。 如图， 距A端x处截面上内力有 剪力FS 、 弯矩M 、轴力FN，对 于梁，一般不考虑轴力的影响。
FS
C
FN M F
FA
FN
M FS
C
FB
内力的符号规定
+
FS
m
1、剪力符号
使dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错 动时，横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微 段有顺时针转动趋势的剪力为正。 使dx微段有左端向下而右端向上的相对错 动时，横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段 有逆时针转动趋势的剪力为负.
(3)
Me FS ( x) l
(0 x l ) (1)
FA
Me
FB
A
a
C b l
B
由(1)式可见，整个梁的剪力图
是一条平行于 x 轴的直线.梁的
任一横截面上的剪力为 FS
Me l
Me l
绘出梁的剪力图
+
Me M ( x) x l
(0 x a )
(2)
FA A a x
Me
M 0 M 0
A
FA
x
l
FB
绘出弯矩图
ql l 弯矩的极值 M max M x 2 8
dM ( x ) ql 令 qx 0 dx 2 l 得驻点 x 2
l/2
2
+
ql 8
2
q
A
由图可见，此梁在跨中点截面 B
x
上的弯矩值为最大
l
FA
ql/2
FB
ql M max 8
第8章 杆件结构的内力及计算
8.1 杆件的内力及计算
8.2 内力方程与内力图
8.3 用叠加法作剪力图和弯矩图
8.4 静定梁 8.5 静定平面刚架
8.6 静定拱
8.7 静定平面桁架
8.1
杆件的内力及计算
a
m m l x
8.1.1 杆件的内力 建筑力学中所要讨论的内力 AF NhomakorabeaB
是指杆件受到外力作用而变形时，
x= l ， M = 0
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截 面上的弯矩值(图)发生突变，其突变 值等于集中力偶矩的数值.此处剪力 图没有变化.
FA A a
Me
FB B b
C
l
Me l M eb l
+
+
M ea l
例8-5 图示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载用。试
作此梁的的剪力图和弯矩图。 q
x2 6x l 2 0
x (3 2 2 )l 0.1716 l MG 0.0858 ql2 弯矩图如图c
内力方程
BC 段：FN2 F 0
FN2 F
内力方程
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ），称为轴力图
8.2.2 梁的内力方程和内力图
单跨静定梁是指由一根梁形成的静定结构，而多跨静
定梁是由若干根梁用铰连接而成，并用若干支座与基础相 连而组成的静定结构。
8.4.2 多跨静定梁的几何组成
用于公路桥的多跨静定梁 计算简图 层叠图 计算顺序：先附属部分 后基本部分 基本部分：不依赖其他部分而独立地维持其几何不变性， 如AB、CD部分； 附属部分：必须依靠基本部分才能维持其几何不变性， 如BC部分；
FA A FA
F
B
FB
FA A
m m
F
B FB
F (l a) Fy 0 , Fs FA l M C 0 , M FA x
FA
x
FS
M
FA
M FS
C
F C FB
8.2
内力方程与内力图
（F1=F，F2=2F）
8.2.1 轴力与轴力图
FR F2 F1 F
AB 段：FN1 F
解 (1) 求支反力
FA FB ql 2
A FA
B
x
l
FB
(2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) RA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) RA x qx (0 x l ) 2 2 2
ql FS ( x) qx (0 x l ) 2
例8-3 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F作用。
试作此梁的剪力图和弯矩图. 解 (1)求梁的支反力 FA
Fa FB l
F
FB B b
Fb FA l
A a
C
因为AC段和CB段的内力方程不同， 所以必须分段写剪力方程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
l