2.4、2.5平摆线及其参数方程;平摆线及其参数方程
湘教版选修4《平摆线及其参数方程》教案及教学反思
湘教版选修4《平摆线及其参数方程》教案及教学反思一、教学目标1.了解平面曲线及其方程2.掌握平面曲线的参数方程3.学习使用Matlab软件绘制平面曲线二、教学内容1. 平面曲线及其方程1.1 什么是平面曲线1.2 平面曲线的方程1.2.1 直角坐标系下的表示法1.2.2 极坐标系下的表示法2. 参数方程2.1 什么是参数方程2.2 参数方程的定义和性质2.3 求某些平面曲线的参数方程3. 绘制平面曲线3.1 将参数方程转化为直角坐标系下的坐标值3.2 使用Matlab软件绘制平面曲线三、教学过程1. 平面曲线及其方程1.1 什么是平面曲线平面曲线是在平面直角坐标系或极坐标系中的一条非直线的曲线。
我们可以通过数学方法来表示平面曲线，并得到其方程。
1.2 平面曲线的方程1.2.1 直角坐标系下的表示法在直角坐标系中，我们可以用方程y=f(x)或x=f(y)来表示平面曲线。
例如，抛物线的方程可以表示为y=ax2+bx+ c，其中a,b,c是常数。
1.2.2 极坐标系下的表示法在极坐标系中，我们可以用方程 $r=f(\\theta)$ 或$\\theta=f(r)$ 来表示平面曲线。
例如，圆的方程可以表示为r=a，其中a是圆的半径。
2. 参数方程2.1 什么是参数方程参数方程是指用参数表示一条曲线的方程。
通常情况下，用t来表示参数。
2.2 参数方程的定义和性质设x=x(t)，y=y(t)，则由参数方程可以得到曲线在平面直角坐标系内的各点坐标(x,y)。
参数方程是一种非常灵活和方便的表示平面曲线的方法。
通过调整参数t的取值，可以得到一条平面曲线上的所有点。
2.3 求某些平面曲线的参数方程计算某些平面曲线的参数方程时，需要考虑曲线的性质。
例如，在求弧长相等的两个圆弧的参数方程时，需要保证两个圆弧对应的弧长相等。
3. 绘制平面曲线3.1 将参数方程转化为直角坐标系下的坐标值为了用Matlab软件绘制平面曲线，需要将参数方程转化为直角坐标系下的坐标值。
2018版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义：第二讲 参数方程 4 平摆线和渐开线
§4 平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(πr ，2r )，再滚动半周，点M 到达(2πr ，0)，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r ，最小值是0，即平摆线的拱高为2r . 2.平摆线轨迹的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （α－sin α），y ＝r （1－cos α）(－∞＜α＜＋∞，α为参数) 3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的基圆. 4.圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(其中φ为参数). 【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一 平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M 的起始位置是圆与定直线的切点O ，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B 作圆周运动.如果点M 绕圆心B 转过φ弧度后，圆与直线相切于A ，那么线段OA 的长等于AM ︵的弧长，即OA ＝rφ；点M 绕圆心B 运动一周回到切点的位置E ，那么OE 的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M 的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程. 解 根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)可知，只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π (k ∈Z )代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1. 所以r ＝12k π.又根据实际情况可知r 是圆的半径， 故r >0.所以，应有k >0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.所以，所求摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）(φ为参数) (其中k ∈N＋).【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ，圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹方程. 解 x M ＝r ·θ－r ·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（φ＋θ）－π2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋θ－π2 ＝r [1－cos(φ＋θ)].题型二 圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM 的长就是AB ︵的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.解 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角和向量知识，得OA→＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM → ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎨⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ）这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y ). (2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解 直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为：⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ） (φ是参数).【例3】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.分析 首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φ sin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)， 分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16（13－63）π2－6π－363＋72.即点A 、B 之间的距离为 16（13－63）π2－6π－363＋72.【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋28π，22－28π1.若某圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ (φ为参数)，则此圆的方程是____________，对应的φ＝0的点的坐标是__________，对应的φ＝π2的点的坐标是________.答案 x 2＋y 2＝4 (2，0) (π，2)2.曲线⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φy ＝a sin φ－a cos φ(φ是参数)的形状为( )A.第一、三象限的平分线B.以原点为圆心，2|a |为半径的圆C.以(－a ，－a )，(a ，a )为端点的线段D.以(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的线段 解析 ⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φ＝a （－cos φ＋sin φ），y ＝a sin φ－a cos φ＝a （sin φ－cos φ），∴x －y ＝0，y ＝x . 但是x ＝a (－cos φ＋sin φ)＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin φ－22cos φ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ，－2|a |≤x ≤2|a |，∴对应的曲线为y ＝x (－2|a |≤x ≤2|a |)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的一段线段. 答案 D3.当φ＝π2·π时， 求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φyy ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B间的距离.解 φ＝π2代入渐开线方程，x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2， y ＝sin π2－π2cos π2＝1， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.同理x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π， 点B 的坐标为(－1，π). 即|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋（π－1）2 ＝π24＋π＋1＋π2－2π＋1＝54π2－π＋2.一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解 如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB→＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)，∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）. 7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解 轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.习题2－4 (第47页)A 组1.解 (1)取点A 的初始位置O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴，圆滚动的方向为正方向建立平面直角坐标系，设圆转动的角度α为参数，则点A 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝12（α－sin α），y ＝12（1－cos α）. (2)令y ＝0即cos α＝1，取α＝0，α＝2π，得点A 相邻两次着地点间的距离为24π. 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2252（cos φ＋φsin φ），y ＝2252（sin φ－φcos φ）(φ为参数)B 组解 如图，设圆的渐开线上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)，作直线MN 和基圆相切于点N ，连接OM ，ON ，以∠MON ＝α为参数，则在直角三角形OMN 中，cos α＝|ON ||OM |＝R ρ，所以，ρ＝R cos α. 又tan α＝|MN ||ON |＝AN ︵R ＝（θ＋α）RR ＝θ－α.所以θ＝tan α－α这就得到圆的渐开线的极坐标参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝R cos α，θ＝tan α－α(α为参数).。
人教A版高中数学选修4-4课件 2.4摆线课件1
O
M A
5、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
O
A
x
由于向量e1 (cos,sin )是与OB同方向的单位向量，
因而向量e2 (sin, cos )是与向量BM同方向的单位向量。
பைடு நூலகம்
所以BM (r)e2,即
BM (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
6、渐开线的参数方程
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
3、摆线的参数方程
M
B
yO A
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xy
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
思考：
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
直齿
斜齿
齿轮齿条
内齿轮
交错轴齿轮传动机构
斜 齿
蜗杆蜗轮
曲齿
人字齿
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
斜齿
曲线齿
准双曲面齿轮
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
高中数学 第2章 参数方程 2.4 平摆线和渐开线课件 北师大版选修44
φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.
【导学号：12990031】
【解析】 所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝21kπα－sinα， y＝21kπ1－cosα
(α 为参数，k∈N＋).
根据圆的摆线的参数方程
x＝rα－sin α， y＝r1－cos α
(α 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆线的参数方
程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.
【答案】 A
圆的渐开线参数方程及其应用 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，
B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离.
【精彩点拨】 根据渐开线的参数方程，分别求出 A，B 两点的坐标，再由 A，B 两点间的距离公式求出.
【自主解答】 由题意，知 r＝1，则圆的渐开线参数方程为
【答案】 (1)√ (2)√
教材整理 2 渐开线的参数方程 1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头 离开圆周，保持线与 圆相切， 线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆 叫作渐开线的 基圆.
2.设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
x＝cos φ＋φsin φ， y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数).
当 φ＝π2时，xy＝ ＝csions2ππ2－＋π2π2csoinsπ2π2＝＝π21， ，
所以 Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝ ＝csions3322ππ－＋3322ππ··csoins3322ππ＝＝－－312π，， 所以 B 点坐标为－32π，－1. 所以|AB|＝ π2＋32π2＋1＋12 ＝2 π2＋1.
平摆线与渐开线
B
OA 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于MA的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
2、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
因而向量e2 (sin, cos )是与向量BM同方向的单位向量。
所以 | BM | (r )e2 ,即
| BM | (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
y
x y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
M
B
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
y DM AC AB CB r r cos.
3、摆线的参数方程
M
B
OA y
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xy
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
2.5渐开线及其参数方程
1、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
2.4、2.5平摆线及其参数方程;平摆线及其参数方程
x＝cos 得 y＝sin
π π ＋ sin 2 2 π π － cos 2 2
π π ＝ ， 2 2 π ＝1. 2
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π ∴A2，1 .
将 θ＝π
x＝cos θ＋θsin 代入 y＝sin θ－θcos
课堂互动探究数学选修44f版课前自主学习反馈当堂达标课后自主演练设圆的半径为8沿x轴正向滚动开始时圆与x轴相切于原点o记圆上动点为m它随圆的滚动而改变位置写出圆滚动一周时点m的轨迹方程画出相应曲线求此曲线上纵坐标y的最大值说明该曲线的对称轴
第2章 参数方程
2.4 2.5
平摆线及其参数方程 渐开线及其参数方程
的柔顺细线，在此细线的外端系上一支铅笔，把此线拉紧保持
相切 与此圆__________ 地逐渐展开，铅笔画出的曲线称为此圆周的
基圆 渐开线，此圆称为渐开线的__________.
x＝rcos θ＋θsin θ， y＝rsin θ－θcos θ (2)圆渐开线的参数方程：___________________.
θ， θ 为参数． θ，
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x＝cos π 当 θ＝ 时， 2 y＝sin
π π ＋ sin 2 2 π π － cos 2 2
π π ＝ ， 2 2 π ＝1. 2
π ∴A2，1 .
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圆的平摆线、渐开线参数方程的应用
设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴 相切于原点 O，记圆上动点为 M ，它随圆的滚动而改变位置，
数学(选修44)练习2.42.5平摆线及其参数方程;平摆线及其参数方程达标
第2章 2.4 2.51．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4θ－4sin θ，y ＝4－4cos θ(θ为参数)，则该圆的面积是( )A ． 6πB ．12πC ．16πD ．32π解析：因为圆的半径a ＝4，所以S ＝16π. 答案：C2．下列关于渐开线与平摆线的命题，为真命题的是( )A ．对于同一个圆，平面直角坐标系建立的位置不同，画出的渐开线的形状就不同B ．平摆线与渐开线一样，只是绘图的方法不同，才得到不同的图象C ．圆的渐开线的参数方程不能化为普通方程D ．平摆线一个拱的宽度等于半圆的周长，拱高等于半径解析：若圆的半径确定，则其渐开线就确定；平摆线与渐开线是完全不同的，得出的图象也不同；圆的渐开线的参数方程不能化为普通方程；平摆线一个拱的宽度等于圆的周长，拱高等于直径．答案：C3．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos θ＋θsin θ)，y ＝2(sin θ－θcos θ)(θ为参数)，则此渐开线的基圆的直径是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由圆的渐开线的参数方程，知基圆的半径r ＝2.则其直径为4. 答案：B4．已知某渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋3θsin θ，y ＝3sin θ－3θcos θ(θ为参数)，根据参数方程可以得出该渐开线的基圆半径为________；当θ＝π2时，对应的曲线上的点的坐标为________.解析：基圆半径为r 的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos θ＋θsin θ)，y ＝r (sin θ－θcos θ)(θ为参数)，与题中所给参数方程对照，得r ＝ 3. 当θ＝π2时，对应的点为⎝⎛⎭⎫3π2，3.答案：3 ⎝⎛⎭⎫3π2，3 5．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4θ－4sin θ，y ＝4－4cos θ(θ为参数)，求该圆对应的圆的渐开线的参数方程．解：根据平摆线的参数方程可知圆的半径为4，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋4θsin θ，y ＝4sin θ－4θcos θ(θ为参数)．。
《2.4.1 摆线的参数方程》教学案3
《2.4.1 摆线的参数方程》教学案3教学目标1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．教学过程知识梳理 一、平摆线 1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点____，再滚动半周，点M 到达______，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫32π，2之间的距离为( )． A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．32π－11．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．答案： 一、1．平摆线2．r (α－sin α) r (1－cos α) 3．(πr,2r ) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3.∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－32π2＋ 3－2 2＝10.二、1．相切 渐开线 基圆2．r (cos φ＋φsin φ) r (sin φ－φcos φ)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数) r ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos φ＋φsin φ ，y ＝4 sin φ－φcos φ (φ为参数)． 【做一做2－2】5π2－4π＋82 当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝⎛⎭⎫π2，1.当φ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，∴B (－1，π)．∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋12＋ 1－π 2＝54π2－π＋2＝5π2－4π＋82.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义． 题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程． 分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可． 题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t 的三角函数值，从而求出点的坐标． 反思：解此类题，应明确相应参数的意义． 答案：【例1】解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2， 即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ(φ为参数)．【例2】解：∵r ＝10，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10 cos φ＋φsin φ ，y ＝10 sin φ－φcos φ (φ为参数)．【例3】解：由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0， ∴sin t ＝1.∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π2－1，1.1半径为2的圆的渐开线方程是( )． A ．=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨-⎩（）,（）(φ为参数)B ．=2cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)C ．=2sin ,=2cos x y ϕϕϕϕ⎧⎨-⎩(φ为参数)D ．()()2sin cos ,2cos sin x y ϕϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4cos φ，y ＝－4sin φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 φ－sin φ ，y ＝4 1－cos φ (φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 1－sin φ ，y ＝4 φ－cos φ(φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________． 4已知圆C 的参数方程是=16cos ,=26sin x y αα+⎧⎨-+⎩(α为参数)，直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 答案： 1．A2．C 把r ＝4代入平摆线参数方程即可．3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数) S ＝36π，∴r ＝6. ∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．4．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 φ－sin φ ，y ＝6 1－cos φ (φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
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1．平摆线及其参数方程 一直线 滚动， (1)平摆线：一个圆沿此圆所在的平面内__________ 某个点M 运动的轨迹称为平摆线，也称为旋轮线． 圆周上__________
的柔顺细线，在此细线的外端系上一支铅笔，把此线拉紧保持
相切 与此圆__________ 地逐渐展开，铅笔画出的曲线称为此圆周的
基圆 渐开线，此圆称为渐开线的__________.
x＝rcos θ＋θsin θ， y＝rsin θ－θcos θ (2)圆渐开线的参数方程：___________________.
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平摆线的参数方程
(1) 求 平 摆 线
x＝2t－sin t， y＝21－cos t
(t 为 参 数 ， 且
0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点的平面直角坐标． (2)求半径为 2 的圆的平摆线的参数方程．
解：(1)当 y＝2 时，有 2＝2(1－cos t)，即 cos t＝0. π 3π ∵0≤t≤2π，∴t＝ 或 t＝ . 2 2
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在平摆线的参数方程中，参数θ的取值范围是什么？一拱 的宽度与高度各是多少？
提示：平摆线的参数方程中，参数θ的取值范围是(－∞，
＋∞)．一拱的宽度与高度的求法：当y＝0时，cos θ＝1，得一 拱的宽度为2πa；拱的最高点与定直线的距离为2a，则一拱的 高度是2a(其中a是滚动圆的半径)．
其中r为基圆的半径，θ为参数．
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渐开线的参数方程中的参数θ的几何意义是什么？
提示：渐开线的参数方程中，参数θ的几何意义就是相应
的圆心角．
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x＝rcos θ＋θsin θ， y＝rsin θ－θcos θ (2)圆渐开线的参数方程：___________________.
其中r为基圆的半径，θ为参数．
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2．渐开线及其参数方程
(1)渐开线：在一个固定的圆盘的圆周上缠绕着一条无弹性
第2章 参数方程
2.4 2.5
平摆线及其参数方程 渐开线及其参数方程
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学习目标 1.了解基圆与滚动圆的概念． 2.理解平摆线和渐开线的概念． 及应用.
重点难点 1.重点是平摆线与渐 开线的参数方程． 开线参数方程的应用.
3.掌握平摆线和渐开线的参数方程 2.难点是平摆线与渐
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1 ．已知一个圆的平摆线过一定点 (1,0) ，请写出该平摆线
的参数方程．
解：设所求平摆线的参数方程为
x＝aθ－sin θ， y＝a1－cos θ，
θ 为参数．
令 a(1－cos θ)＝0，可得 cos θ＝1. ∴θ＝2kπ(k∈Z)，
x＝2θ－sin θ， y＝21－cos θ，
θ 为参数．
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【点评】
x＝aθ－sin θ， 根据圆的平摆线的参数方程 y＝a1－cos θ
(θ 为参数)，可知只需求出其中的半径 a，圆的平摆线的参数方 程即可写出，也就是圆的平摆线的参数方程是由圆的半径唯一 确定的．
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代入可得 x＝a(2kπ－sin 2kπ)＝1. 1 ∴a＝ . 2 kπ 又 a＞0，∴k＞0 且 k∈Z，即 k∈N*. 故所求平摆线的参数方程是 1 x＝2kπθ－sin θ， y＝ 1 1－cos θ， 2 kπ
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2．渐开线及其参数方程
(1)渐开线：在一个固定的圆盘的圆周上缠绕着一条无弹性
的柔顺细线，在此细线的外端系上一支铅笔，把此线拉紧保持
相切 与此圆__________ 地逐渐展开，铅笔画出的曲线称为此圆周的
基圆 渐开线，此圆称为渐开线的__________.
其中 θ 为参数，k∈N*.
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圆的渐开线的参数方程
已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应 π 3π 的曲线上两点 A，B 对应的参数值分别是 和 ，求 A，B 两点 2 2 间的距离．
解：由题意知 r＝1，
x＝cos θ＋θsin 则圆的渐开线参数方程为 y＝sin θ－θcos
x＝aθ－sin θ， θ∈(－∞，＋∞) y ＝ a 1 － cos θ ， (2)平摆线的参数方程： ______________________________.
圆的半径 ， 其中 a 是__________ 参数 θ 是过圆周上点 M 的半径与过 x轴切点 的半径的夹角． 圆与__________
π π π 当 t＝ 时，x＝22－sin 2 ＝π－2； 2
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3π 3π 3π 当 t＝ 时，x＝2 2 －sin 2 ＝3π＋2. 2
∴所求的交点的平面直角坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)． (2)根据平摆线的定义，设圆上任意一点 M(x，y)，取点 M 的初始位置为点 O，建立平面直角坐标系，易得参数方程为