第10讲最大功率传输定理
《电路分析基础》正弦稳态最大功率传递定理
Pmax
U
2 oc
4 Req
21.472 42
57.62mW
X
求当RL、CL为何值时，负载可得到最大功率?
PLmax ?
Zs
解：当ZL Zs* 5 j5时，负载获得
最大功率。
RL CL
U
s
亦即
YL
1 ZL
1 Zs*
1 5 j5 1 j 1 5 j5 50 10 10
因为 YL
1 RL
j CL
所以： 1 1 RL 10
RL 10
X
解（续）
Zs
I
UL
U
s
ZL
X
最大功率传输定理
PL I 2RL
Rs RL
U
2 s
2 Xs XL
2 RL
欲使PL最大，首先应使分母最小。
对RL来说，当电抗之和 Xs XL 0，
即 XL Xs 时，分母 最小。
对PL求导，确定使PL为最大值的RL值。
dPL dRL
Rs RL 2 2 Rs RL Rs RL 4
CL
1, 10
CL 0.1F
PL max
Us2 4Rs
102 45
5W
X
例题2 电路如图所示，已知 Us 240 V，R 10k，
XC 5k ，XL 20k 求负载获得最大功率的条件
及负载得到的最大功率。
jX C
jX L
解：将负载移去，求剩下的单
口网络的戴维南等效电路。
Uoc
Us R R jXC
PL
Rs
|
Z
Us2 | Z | cos
| cos 2 Xs
|
最大功率传输定理
题目：最大功率传输定理专业：电气工程及其自动化班级：电气16-5姓名：柳云龙、姜乔林、袁靖昊学号：08、06、22一．导引一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。
二．定理内容设一负载R L电压型电源上，若该电源的电压U S保持规定值和串联电阻R S不变，负载R L可变，则当R L=R S时，负载RL上可获得最大功率。
这就是最大功率传输定理。
三．定理证明：下面所示电路来证明最大功率传输定理。
图a中U S为电源的电压、R为电源的内阻、R L是负载。
该电路可代表电源通过两条传输线向负载传输功率，此时，R S就是两根传输线的电阻。
负载R L所获得的功率P L为P L=I L2R L=(U SR S+R L)2R L=U S2R S+R L?R LR S+R L=P Sη上式中P S =U S2R S +R L为电源发出的功率，η=R L R S +R L为传输效率。
将R L 看为变量，P L 将随R L 变化而变化，最大功率发生在 dP L dR L=0的条件下，即dP LdR L=U S 2[(R S +R L )2−R L ×2(R S +R L )(R S +R L )]=0求解上式得R L =R S R L 所获得的最大功率P Lmax =U S 2R S (2R S )2=U S24R S当负载电阻R L =R S 时，负载可获得大功率，此种情况称为 R L 与R S 匹配。
最大功率问题可推广至可变化负载R L 从含源一端口获得功率的情况。
将含源一端口（如图b ）用戴维宁等效电路来代替，其参数为U oc 与R eq ，当满足R L = R eq 时，R L 将获得最大功率。
P Lmax =U oc24R eq我们还可以通过对关于功率P 的函数求导来得出同样的结论 2)(Leq oc L R R u R P +=对P 求导：0)()(2)( 422'=++-+=L eq L eq L L eq oc R R R R R R R u P匹配条件R L = R eq最大功率P Lmax =U oc24R eq四．解题步骤① 求开路电压 ② 求等效电阻③ 根据最大功率传输定理求解P maxR LP五．注意事项①最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况。
最大功率传输定理
4A
I1
7 6
2 2
4 4
15 6
2.5A
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例3 已知:uab=0, 求电阻R
解 用替代：
uab 3I 3 0 I 1A
用结点法：
c
44
RR IRI++
aa
uC
1A
320＋V3V
22
2200VV － bb －－ 88 I1
a点
(1 2
1 4)ua
1 20 4
1
ua ub 8V I1 1A IR I1 1 2A
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1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的
开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或
等效电阻Req）。
i a
+
Au -b
Req +
Uoc -
ia + u
b
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例
a
10 10 +
返回 上页 下页
例 RL=2 R1=1 R2=1 us=51V，求电流 i
21A R1
+
+21V– +
us
–
R2
– us'=34V
8A R1 + 8V –
13A R2
3A R1 + 3V –
5A R2
i i '=1A
+ RL 2V
2A
–
解 采用倒推法：设 i'=1A
则 i us 即 i us i' 51 1 1.5A
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3.4 最大功率传输定理
在电子技术中，经常需要考虑这样一个问题，即负载在什么 条件下才能获得最大的功率，比如说，在什么条件下放大 器才能得到有效利用，从而使扬声器（作为放大器的负载） 输出最大的音量？这就是最大功率传输问题。
• 在电力电路传输系统中，传输的功率大，要求效率高，
否则能量的损耗太大，所以不允许电路工作在匹配状态。
• • 但在电子电信网络中，传输的功率数值小，效率往
往不是主要的，获得最大功率成为矛盾的主要方面， 因此，在电子工程中总是尽量使电路工作在匹配状态， 使负载获得最大功率。
例为3-何4-值3 时如可图获3-4得-5最（大a）功所率示，电并路求，出负该载最电大阻功可率任。意改变，问电阻RL
图 3-4-5
3-4-3 题3-4-3图所示电路中，N为线性有源二端网 络， 当RL = 2 Ω时， U = 2 V；当RL = 6 Ω时， U = 3V， 求RL为何值时获得最大功率， 并计算PLmax。
题3-4-3图
3-4-4 对题3-4-4图所示电路，RL为何值时获得最大 功率？ 并计算PLmax。
•如果将有源二端网络等效为一个如图3-4-2所示的诺顿等效电 路，在iSC和Req保持不变、而RL的值可变时，同理可推得当 RL = Req时，负载RL获得功率最大，其最大功率PLmax为
P L m ax1 4R eqiS 2C1 4R LiS 2C
图3-4-2 诺顿等效电路向负载供电
归纳以上结果可得结论：设一可变负载电阻RL接在有源线性二 端网络NS上，且二端网络的开路电压uOS和等效电阻Req为已 知（见图3-4-1）或者二端网络的短路电流iSC和等效电阻Req 为已知（见图3-4-2）， 则在RL = Req时，负载RL可获得最大功率。其
最大功率传输定理-最全资料PPT
由此式求得p为极大值或极小值的条件是
R LR o (41)2
由于
d2p dR2
L RLRo
8uRo2o3c
0
Ro0
由此可知，当Ro>0,且RL=Ro时，负载电阻RL从单口网
络获得最大功率。
最大功率传输定理：含源线性电阻单口网络(Ro>0)向
可变电阻负载RL传输最大功率的条件是：负载电阻RL与单
写出负载RL吸收功率的表达式
pRi (RRuR) 电阻RL表示获得能量的负载。
2 L
2 L oc
2 oL
整理得到
本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。
欲求p的最大值，应满足dp/dR =0，即 解：为求uoc，按图(b)所示网孔电流的参考方向，列出网
孔方程：
万用表电阻档输出电阻测量
L
对单口网络 N中的独立源而言，效率可能更低。
为求isc,按图(c)所示网孔电流参考方向，列出网孔方程
(1 0)i1(3)isc1V 2 (3)i1(4)isc1V 2( 3)i1
整理得到
10i1 3isc 12A 4isc 12A
解得 isc=3A
为求Ro，用式(4－10)求得
Ro
uoc isc
62 3
得到单口网络的戴维宁等效电路，如图(d)所示。由式
口网络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条件时，称为最大
功率匹配，此时负载电阻RL获得的最大功率为
pmax 4uR o2oc
(413)
满足最大功率匹配条件(RL=Ro>0)时，Ro吸收功率与RL
吸收功率相等，对电压源uoc 而言，功率传输效率为=50%。
对单口网络 N中的独立源而言，效率可能更低。电力系统 要求尽可能提高效率，以便更充分地利用能源，不能采用 功率匹配条件。但是在测量、电子与信息工程中，常常着 眼于从微弱信号中获得最大功率，而不看重效率的高低。
最大功率传输定理证明
最大功率传输定理证明
最大功率传输定理概述
最大功率传输定理是关于使含源线性阻抗单口网络向可变电阻负载传输最大功率的条件。
定理满足时，称为最大功率匹配，此时负载电阻（分量）RL获得的最大功率为：Pmax=Uoc /4R0。
最大功率传输定理是关于负载与电源相匹配时，负载能获得最大功率的定理。
最大功率传输定理证明
因一个复杂的含源一端口网络可以用一个戴维南等效电路（或诺顿等效电路）来替代。
下图可看成任何一个复杂的含源一端口网络向负载RL 供电的电路。
设Uoc和Req 为定值，若RL的值可变，则RL等于何值时，它得到的功率最大，最大功率为多大？下面就这些问题进行讨论。
从图中可知，负载RL消耗的功率pL为：
对于给定的Uoc和Req ，负载功率pL大小由负载RL决定。
当RL= 0时，电流IL为最大，但因RL= 0 所以pL= 0；而当RL→∞时，因IL= 0所以pL仍为零，这样，只有当负载RL为某值时，必能获得最大功率，即pL = pLmax。
最大功率传输定理
最大功率传输定理
证明： 负载吸收的平均功率为：
PL RL I 2
从电路图上可求得： I
1 V S Zi Z L
VS 1 所以有： I VS Zi Z L ( Ri RL ) 2 ( X i X L ) 2
将它代人PL的表达式，得：
RL 2 PL V 2 2 S ( Ri RL ) ( X i X L )
PL max
RLVS 2 VS 2 2 (2 Ri ) 4 Ri
VS 2 但在电源内阻抗上的损耗也是 ，电路的传输效 4Ri 率为： PL 0.5 PL Pi 也就是说只有50％。
最大功率传输定理
这个结果表明负载取得最大功率时电路的传输效率 却很低。对电力系统来说这是不允许的。因为不能 容忍发电机发出的功率只有50%送给用户（负载）， 而另外50%被白白地消耗掉，所以电力系统从来不 使发电机在共轭匹配的情况下工作。 至于在电信系统和一些测量系统则另作别论了，因 为在这些系统中负载取得最大功率具有重要意义， 而效率之高低却无关紧要。
最大功率传输定理
最大功率传输定理
右图表示的是一个内阻抗为Zi的 正弦电源向负载ZL供电的电路图。 在电源电压保持不变和Zi已给定 的情况下，负载应满足什么条件 才能吸收最大的平均功率？这个 问题被归结成如下的定理：
Zi
Vs 源负载的阻抗 ZL为电源内阻抗Zi的共轭复数 即 Z L Zi 时，负载吸收的功率最大。
最大功率传输定理
首先来看PL与XL的关系。由于XL出现在上式的分母 中，故知在RL为任意值下XL=-Xi时PL达到最大，即：
RL 2 PL ' V S ( Ri RL )2
上式表明PL’尚为RL的函数，所以应该进一步求出RL 为何值时PL’最大。为此令PL’对RL的导数为零，即:
最大功率传输定理
题目：最大功率传输定理专业：电气工程及其自动化班级：电气16-5姓名：柳云龙、姜乔林、袁靖昊学号：1605040508、1605040506、1605040522一．导引一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。
二．定理内容设一负载R L电压型电源上，若该电源的电压U S保持规定值和串联电阻R S不变，负载R L可变，则当R L=R S时，负载RL上可获得最大功率。
这就是最大功率传输定理。
三．定理证明：下面所示电路来证明最大功率传输定理。
图a中U S为电源的电压、R为电源的内阻、R L是负载。
该电路可代表电源通过两条传输线向负载传输功率，此时，R S就是两根传输线的电阻。
负载R L所获得的功率P L为P L=I L2R L=(U SR S+R L)2R L=U S2R S+R L∙R LR S+R L=P Sη上式中P S =U S2R S +R L为电源发出的功率，η=R L R S +R L为传输效率。
将R L 看为变量，P L 将随R L 变化而变化，最大功率发生在 dP L dR L=0的条件下，即dP LdR L=U S 2[(R S +R L )2−R L ×2(R S +R L )(R S +R L )]=0求解上式得R L =R S R L 所获得的最大功率P Lmax =U S 2R S (2R S )2=U S24R S当负载电阻R L =R S 时，负载可获得大功率，此种情况称为 R L 与R S 匹配。
最大功率问题可推广至可变化负载R L 从含源一端口获得功率的情况。
将含源一端口（如图b ）用戴维宁等效电路来代替，其参数为U oc 与R eq ，当满足R L = R eq 时，R L 将获得最大功率。
P Lmax =U oc24R eq我们还可以通过对关于功率P 的函数求导来得出同样的结论 2)(Leq oc L R R u R P +=对P 求导：0)()(2)( 422'=++-+=L eq L eq L L eq oc R R R R R R R u P匹配条件R L = R eq最大功率P Lmax =U oc24R eq四．解题步骤① 求开路电压 ② 求等效电阻③ 根据最大功率传输定理求解P maxR LP五．注意事项①最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况。
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P L max
I
2 SC
1 4
4 G eq
R eq I
2 SC
最大功率匹配的条件是在二端网络一定，即VOC 与Req不变的情况下推导出来。
第4章 电路定理与应用
如果Req可变、RL固定，则应该使Req尽可能小， 才能使负载获得尽可能大的功率。很容易得出，当 VOC一定，Req = 0时，负载RL将获得最大功率。
第4章 电路定理与应用
由前面的分析还可以知道，当调整负载使电路
达到最大功率匹配状态时，电源端的输出功率只有
一半被负载利用，其余的都被内阻消耗掉了，即电
源的传输效率仅达到50%。因此在电力传输系统中， 电路一般不工作在最大功率匹配状态，以避免造成 能源的过度浪费。而在控制、通信等系统中，通常 要求信号功率尽可能大（信号强），宁肯牺牲电源 传输效率来换取大的传输功率。
4 R eq
作业： P115习题4-11、4-13 。
L
4
0
从而得出Req = RL时PL达到最大值。 所以，当Req = RL时，在RL上可以获得最大功率，且该
最大功率为：
PL max V OC
2
4 R eq
第4章 电路定理与应用
此时的电路状态称最大功率匹配状态，或称为电 路达到最大功率传输。
如果有源网络用诺顿定理等效，同样可得到此时 的最大功率传输条件仍为Geq = GL，且此时的最大功 率为：
a UOC R0 b RL
第4章 电路定理与应用
可求得，
U OC 300 V , R 0 25
（1）根据最大功率传输定理，当戴维宁等效内阻等
于负载电阻时，即 RL = R0 = 25Ω 时，负载上获得最大功率。 （2）RL 可获得的最大功率 PLmax为：
PL max 300
2
( 4 25 ) 900 (W )
PL max V
2 OC
6
2
4R
44
2 . 25 ( W)
第4章 电路定理与应用
4Ω R
6V − i 2Ω 2Ω (a)
(b)
+
4i 6V
− i' 2Ω 2Ω
4i'
2i'
4Ω iS VOC
+ − R 2i''
i'' 2Ω
2Ω
(d)
4Ω iS
Req
+
+
+
−
+
2i
+
−−Biblioteka 4Ω4Ω + vOC −
R
第4章 电路定理与应用
例题2. 电路如图，若 RL 可变，求：
（1）RL 取何值其功率最大？
（2）RL 可获得的最大功率 PLmax ？ （3）RL 获最大功率时，电压源 US 的功率及传送给 RL 的百分比。
US 360V 150Ω
30Ω
a RL b
第4章 电路定理与应用
解：
I US 360V 150Ω 30Ω a RL b
电压源用VOC表示，等效内阻用Req表示。若负载端的 电阻用RL，且可以调整，则负载端的电流为：
I V OC R eq R L
而负载获得的功率：
第4章 电路定理与应用
根据数学中求极值的方法，要使PL最大，应有：
d PL dRL V
2 OC
R
L
R eq
2
R
2 R L R L R eq R eq
电路分析电子教案
授课班级：通信101班、通信102班 授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能
第4章 电路定理与应用
第4章 电路定理与应用
4. 1 叠加定理
4. 2
4. 3
替代定理
等效电源定理
4. 4
最大功率传输定理
第4章 电路定理与应用
4.4 最大功率传输定理
设一负载RL 接于电压型电源上，若该电源的电压 UOC 保持规定值和串联电阻R0 不变，负载RL 可变，则 当RL=R0 时，负载RL 上可获得最大功率。这就是最大
第4章 电路定理与应用
例题1. 如图，若负载电阻R可调，请问负载为多大时 可获得最大功率？且最大功率为多少？ 解：先将负载以外得含源二端网络转换为戴维宁等效 电路， 可求得戴维南等效电路的 VOC=6V，Req=4Ω 。 根据最大功率传输定理，则当 R = Req = 4（Ω） 时，负载可获得最大功率传输。此时获得的最大功 率为：
第4章 电路定理与应用
（3）现求RL 获最大功率时，电压源 US 产生的功率。 回到原电路，可求得：
R 30 150 // 25 360 7 ( )
I U S R 7 ( A)
PUs 360 7 2520 (W )
这样可求得RL 获最大功率时，电压源 US 产生功率 传送给 RL 的百分比为：
功率传输定理。
一个线性含源二端网络，其两端接上负载（用电
器），在给定二端网络的情况下，负载不同，二端网
络传送给负载的功率也不同，有时（特别在通信技术
中）希望负载能获得尽可能大的功率。
第4章 电路定理与应用
第4章 电路定理与应用
现证明最大功率传输定理： 无论线性含源二端网络如何，均可变换为戴维宁
（或诺顿）等效电路，通常，戴维宁等效电路的理想
PL max
P Us 900 2520 100 % 35 . 71 %
第4章 电路定理与应用
小结： 最大功率传输定理是戴维宁（诺顿）定理的具体 其条件是负载电阻应与线性有源二端网络内部独立源 置零后的等效电阻相等，此时为最大功率匹配状态， 且最大功率为：
PL max V OC
2
应用，若一个线性有源二端网络为负载提供最大功率，