任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数
任意角和弧度制及任意角的三角函数课件
角函数
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第三章
三角函数
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第三章
三角函数
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1．角的有关概念
(1)按旋转方向不同分为 正角、负角、零角 ．
(2)按终边位置不同分为 象限角和轴线角 ． (3)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z) ．
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第三章
三角函数
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【思考探究】 (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐 角吗？ 提示： (1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角， 但它们不是锐角．
和角公式Βιβλιοθήκη 倍角公式和半 角公式、积化 和差与和差化 积
正弦定理和余 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量 弦定理 问题．
正弦定理、余 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量 弦定理的应用 和几何计算有关的实际问题. 举例
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第三章
三角函数
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第1课时 任意角和弧度制及任意角的三
知识点
考纲下载 1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公 式． 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正 切公式，了解它们的内在联系． 1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
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第三章
三角函数
完整版)三角函数知识点归纳
完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。
2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。
弧度与角度可以互相转换。
2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。
注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。
和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。
2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l ＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一 角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角． (2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆M B ．M ＝N C ．M ND ．M ∩N ＝∅ [解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二 扇形的弧长和面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2， 当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解]设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5. 当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】 若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45[解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D. [答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． [解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.[答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2[解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－35，45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213， 所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限， 所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C。
任意角和弧度制、三角函数的概念
π
3π
所以 kπ+2 < 2<kπ+ 4 (k∈Z).
π
3π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+2 < 2<2nπ+ 4 , 2是第二象限角;
3π
7π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 , 2是第四象限角.
综上可知,当 α 是第三象限角时,2是第二或第四象限角.
4
3
3
3
是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命
题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题.
π
π
(2)集合 π + ≤ ≤ π + ,∈Z 中的角的终边所表示的范围(阴影
4
2
部分)是( C )
π
π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+ ≤ ≤2nπ+ ,
3
3
3
4π
,k∈Z}.
3
= 2π +
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数
对k的奇偶性讨论可得解. (2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的范围， 最后确定终边所在的位置. 【规范解答】(1)选B.由 2k＜＜3 2k，k Z, 得 k＜1 ＜3 k，k Z，
2 2 2 4 故 k＜ 1 ＜ k, k Z. 4 2 2 当k为偶数时π- 1 α在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象 2 2
2 2
13
13
13
13
因此 sin 2 2sin cos ( 3 13 ) 2 2 3 13 2 13 3 .
13 13 13 13
(2)由题设知 x 3，y m，
∴r2=|OP|2=（ r 3 m2 .
2 2 3 ） +m （O为原点），
第三章 三角函数、三角恒等变形、
解三角形
第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的 三角函数
1.角的有关概念
射线 象限角
旋转
正角 负角
零角
α +k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
单位长度 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心 rad 弧度 角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.
从而 sin
m r
2m m ， 4 2 2
r 3 m2 2 2，
于是3+m2=8，解得 m 5. 当 m 5 时，r 2 2，x 3，
3 6 15 cos ，tan ; 4 3 2 2 当 m 5 时， 2 2，x 3， r cos 3 6 15 ，tan . 4 3 2 2
v u 于点P(u,v)，则sin α =__，cos α =__，tan α = v u 0）. （
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
因为－2 023°＝－360°×6＋137°， 所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角
θ
的终边经过点
P－sin
延伸探究
若α是第一象限角，则
α 2
是第几象限角？
因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，
所以 k·180°<α2<k·180°＋45°，k∈Z， 当 k 为偶数时，α2是第一象限角， 当 k 为奇数时，α2是第三象限角.
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为____－__6_7_5_°_和__－__3_1_5. °
a2＋2a2a2＝
2a
2 ＝
5
5，a>0，
5|a| －255，a<0，
所以 2sin α－cos α＝－35355，5，a>a0<，0.
(2)sin 2cos 3tan 4的值
√A.小于0
C.等于0
B.大于0 D.不存在
∵π2<2<3<π<4<32π，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0.
(3)若 A(1，a)是角 θ 终边上的一点，且 sin θ＝ 633，则实数 a 的值为 ___1_1__.
根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝ 1＋a2， 所以 sin θ＝ a2a＋1＝ 633>0， 即 a>0 且 a2＝11，所以 a＝ 11.
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解三角形
第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的 三角函数
1.角的有关概念
射线 象限角
旋转
正角 负角
零角
α +k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
单位长度 的弧所对的圆心 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________ rad ，读作_____. 弧度 角为1弧度的角,它的单位符号是____
（2）公式：
角α 的弧度数公式
角度与弧度的换算
|α |=
l （弧长用l表示） r 180 ②1 rad=( )°
①1°= 180 rad
弧长公式
扇形面积公式
弧长l= r|α |
1 1 2 l r S= 2 = 2 r | |
3.任意角的三角函数 （1）定义：在平面直角坐标系中，设角α 的终边与单位圆交
(A)第一象限角 (B)第二象限角
)
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选C.由sin θ＜0，则θ的终边在三、四象限，或y轴 负半轴.由tan θ＞0，则θ的终边在一、三象限，故θ是第三 象限角.
3.已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形 的周长为( (A)2 ) (B)4 (C)6 (D)8
+2kπ ＜α ＜π +2kπ ，k∈Z} 2 +kπ ＜α ＜ 3π +kπ ，k∈Z} 4 4
(C){α |90°+k×180°＜α ＜180°+k×180°，k∈Z}
(D){α |
【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时
不成立，故选B.
2.已知sin θ ＜0，tan θ ＞0，那么角θ 是(
（5）正确.由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得 .
(6)正确.由已知得tan α＜0，cos α＜0，所以α为第二象限 角. 答案：（1）〓 (6)√ （2）〓 （3）〓 （4）〓 (5)√
1.终边落在第二象限的角可表示为(
)
(A){α |90°+2kπ ＜α ＜180°+2kπ ，k∈Z} (B){α |
(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角；
余弦线 和角α 的_______. 正切线 _______
4.特殊角的三角函数值 角α 角α 的 弧度数 sin α cos α tan α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 0 0 __ 1 __ 0 __
6 1 2 4 3 2 2 3
150° 180°
5 6 1 2
限，故选B.
(2)∵α是第一象限角，
k 2＜＜k 2 , k Z. 2
①k·4π＜2α＜k·4π+π,k∈Z, 即2k·2π＜2α＜2k·2π+π,k∈Z, ∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.
②k ＜ ＜k , k Z, 2 4 当k=2n(n∈Z)时, 2n＜ ＜2n , n Z, 2 4 ∴ 的终边在第一象限. 2
x 2
答案：1
考向 1
终边相同的角的表示
2
【典例1】（1）若α 是第三象限的角，则π - 1 α 是(
)
(A)第一或第二象限的角
(C)第二或第三象限的角
(B)第一或第三象限的角
(D)第二或第四象限的角
2
（2）已知角α 是第一象限角，确定2α ， 的终边所在的象
限位置.
【思路点拨】(1)由α为第三象限角求得π- 1 α的范围，通过
v ，cos α =__ u ，tan α = v 于点P(u,v)，则sin α =__ （u 0）.
u
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正 弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点 都是(1,0).
正弦线 ，角α 的 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α 的_______
当k=2n+1(n∈Z)时,
＜ 2n 1 , n Z, 2 4 即 2n ＜ ＜2n 5 , n Z, 2 4 ∴ 的终边在第三象限. 2 综上可得 的终边在第一象限或第三象限. 2
2n 1 ＜
【拓展提升】强化对终边相同角的表示与应用 (1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k〓360°,k∈Z 的形式.π 0 __2 2 223 21 2
1 __ 0 __
3 2
1 2
3 2 3 3
3 2
-1 ____
0 __
1 __
3
3
3 3
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）小于90°的角是锐角.( ) )
（2）锐角是第一象限角，反之亦然.(
（3）与45°角终边相同的角可表示为k×360°+45°，k∈Z或 2kπ +45°，k∈Z.( ) )
（4）将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60°.( （5）终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
（6）点P（tan α ，cos α ）在第三象限，则角α 终边在第二 象限.( )
【解析】（1）错误.负角小于90°但它不是锐角. （2）错误.第一象限角不一定是锐角，如-350°是第一象限角， 但它不是锐角. （3）错误.不能表示成2kπ+45°,k∈Z，即角度和弧度不能混 用. （4）错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60°.
2
对k的奇偶性讨论可得解. (2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的范围， 最后确定终边所在的位置. 【规范解答】(1)选B.由 2k＜＜3 2k，k Z, 得 k＜1 ＜3 k，k Z，
2 2 2 4 故 k＜ 1 ＜ k, k Z. 4 2 2 当k为偶数时π- 1 α在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象 2 2 2
【解析】选C.设扇形的弧长为l，半径为r,圆心角为α，则
S 1 1 r 2 4r 2 2, 解得r=1,故l=|α|r=4〓1=4,所以扇形周 2 2
长为2r+l=2〓1+4=6.
4.已知角α 终边上一点A(2,2)，则tan α =______.
【解析】tan y 2 1.