任意角的三角函数定义
三角函数基础知识
三角函数基础知识三角函数基础知识1、任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是(2)三角函数值的符号正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同)2．同角三角函数的基本关系式(1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tgαctgα=1(3)平方关系：sin2α+cos2α=1 1+tg2α=sec2α 1+ctg2α=csc2α3．诱导公式(1) k·360°+α(k∈Z)，-α，180°±a，360°-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即sin(k·360°+α)＝sinα，cos(k·360°+α)=cosαtg(k·360°+α)=tgα，ct g(k·360°+α)=ctgα(k∈Z)sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosαtg(-α)=-tgα，ctg(-α)=-tgαsin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosαtg(180°+α)=tgα，ctg(180°+α)=ctgαsin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosαtg(180°-α)=-tgα，ctg(180°-α)=-ctgαsin(360°-α)=-sinα，cos(360°-α)=cosαtg(360°-α)=-tgα，ctg(360°-α)=-ctgα(2) 90°±α，270°±α的三角函数值等于a的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90°+α)=cosα，tg(270°+α)=-ctgα综上，诱导公式可概括为k·90°±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”．4．三角函数的图象和性质(1)三角函数线以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．(2)三角函数的图象正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx(如图2—4)正切函数y=tgx 余切函数y=ctgx (如图2—5)(3)三角函数的周期①周期函数对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．(4)三角函数的性质5、积化和差与和差化积（1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。
第二节 任意角的三角函数定义
③按键顺序为 tan [ +/- 53 D°M'S'' 23 D°M'S'' 48 ] = .
知识梳理
首先将计算器置于RAD(以弧度为单位的计算)状态，
例如：求①
sin
21π 4
；② cos 21π
4
；③
tan
2 3 22
-1
0
1
31
3
不存 3 在 3
-1 3
3
不存 0在 0
知识梳理
4.单位圆与三角函数线 (1)单位圆：如右图所示，__半__径__等__于__1_个__单__位__的圆叫做 单位圆． (2)三角函数线 正弦线与余弦线：如右图所示，设角α的顶点在圆心O， 始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作 PM垂直于x轴，垂足为M，则有向线段___O_M____叫做角α的 余弦线，有向线段___M__P___叫做角α的正弦线． (3)角α的终边与单位圆的交点坐标是__(c_o_s_α_，__s_i_n_α_) _．
21π 4
.
①按键顺序为 sin [ +/- 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = ;
②按键顺序为 cos [ 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = ;
③按键顺序为 tan [ +/- 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = .
知识梳理
6．三角函数值在各象限的符号 我们知道，根据三角函数的定义，cosα，sinα的符号分 别与各象限中的点的横坐标和纵坐标的符号相同，如图所 示．
第一章 任意角的三角函数的定义
人教A版必修四· 新课标· 数学
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3 若 sinα<0 且 tanα>0，则 α 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由 sinα<0 知 α 是第三或第四象限或终边在 y 轴非 正半轴上，由 tanα>0 知，α 是第一或第三象限角，所以 α 是 第三象限角，故选 C.
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自测自评
1．若角 α 终边上有一点 P(0,3)，则下列函数值无意义的 是( ) A．tanα B．sinα C．cosα D．都有意义 y 解析：tanα＝x，这里 x＝0，所以 tanα 无意义．
答案：A
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2 2 2．若角 α 的终边与单位圆相交于点( 2 ，－ 2 )，则 sinα 的值为( ) 2 2 A. 2 B．－ 2 1 1 C.2 D．－2 2 y 解析： 依定义： r＝1， sinα＝r ＝－ 2 . 答案：B
解：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点 P(1,2)，由 r 2 2 5 1 5 2 2 2 ＝|OP|＝ 1 ＋2 ＝ 5， sinα＝ ＝ 5 ， 得 cosα＝ ＝ 5 ， tanα＝1＝ 5 5 2. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点 Q(－1，－2)， 由 r＝|OQ|＝ －12＋－22＝ 5，得： －2 －1 －2 2 5 5 sinα＝ ＝－ 5 ，cosα＝ ＝－ 5 ，tanα＝ ＝2. －1 5 5
答案：D
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9π 4．sin 4 ＝________. 2 答案： 2
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三角函数的定义和公式
口诀：余余正正，符号相反。
简记： C （ ）
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
两角差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
8.关于扇形的公式：
l为扇形弧长， 为扇形的圆 心角，r为半径，S为扇形面积 （ 1）l r 1 （2）S r 2 2 1 （3）S l r 2
例4：（1）已知扇形的周长为 8cm，圆心角为2rad，求该扇形 的面积
9.三角函数诱导公式
(1)诱导公式二 sin(π＋α)＝ －sinα ， cos(π＋α)＝－cosα ， tan(π＋α)＝ tanα .
数学应用
4 例1. 已知sin ，且 是第二象限角，求 cos , tan 的值. 5 2 2 解： sin cos 1 4 变题：已知 sin ,求 4 2 cos 9 , tan 的值. 2 2 cos 诱导公式三 sin(－α)＝ －sinα ， cos(－α)＝ cosα ， tan(－α)＝ －tanα . (3)诱导公式四 sin(π－α)＝ sinα， cos(π－α)＝ －cosα， tan(π－α)＝－tanα .
两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
两角和的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
sin 4 0 5 为第一或第二象限角
3 4 10 当 为第一象限角时， cos tan ; 5 3 3 4 20 当 为第二象限角时， cos tan 5 3
小结: 当角的象限不明确时,要注意根据已知角的三角函 数值分象限进行讨论.
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
中职数学4.3 任意角的三角函数课件
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.
任意角的三角函数
R
tan
{ k
, (k Z})
2
归纳总结
2、三角函数值的符号：
“第一象限全为正，二正三切四余弦”
sinx
tanx
cosx
3、诱导公式一
公式的作用:可以把
任意角的三角函数值
分别转化为0到2的
角的同一三角函数值.
；
x
﹒
所以，正弦，余弦，正切都是以
角为自变量，以单位圆上点的坐标或
坐标的比值为函数值的函数，我们将
他们称为三角函数.
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
。
说 明
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的终边
y
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
x
3
3 10
3
＝ 10 ，tan θ＝1＝3.
当x＝1时，P(1,3)， 此时 sin θ＝ 2
1 ＋32
当x＝－1时，P(－1,3)，
3
3 10
3
此时 sin θ＝
2
2＝ 10 ，tan θ＝－1＝－3.
－1 ＋3
巩固提高
题型一
三角函数定义的应用
3
跟踪训练 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋
三角函数定义的应用
例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝
10
x，求 sin θ，tan θ.
10
解 由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，
x
x
由三角函数定义得 cos θ＝r ＝ 2
三角函数概念与规律
三角函数概念与规律一．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.二．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：sin 上为正、cos 右为正、tan 一三为正． (3)三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但p （x,y ）是终边上任意一点，它到原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .(4)．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线(5)特殊角的三角函数值： sin 00= 0 cos 00= 1 tan 00= 0sin300=21cos300=23tan300=33sin 045=22cos 045=22tan 045=1sin600=23cos600=21 tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无意义三.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。
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P( 1 , 3 )
22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可 直接利用定义求三角函数值。
【例2】：求角2 的正弦、余弦和正切值。
3
分析：解RtΔOMP可得点
y
P( 1 , 3 ) ，故
P（x，y）
2
22
3
sin 2 3 cos2 －1
MO
x
32
32
tan2 3
3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位 圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
1.2.1 任意角的三角函数定义
回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义
在RT△ABC中，
A
sinbc
co sa
c
cb
tanb
a
B
a
C
思考：任意角的三角函数如何定义呢？
探究：在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其
终边上的点的坐标表示吗？
y
记 r|OP | x2y2 = 1
sin MP
OP
co s OM
o x离
r x2y2 0
ｙ 正弦sinａ＝ ｒ
余弦cosａ＝
ｘ ｒ
正切tanａ＝
ｙ ｘ
（x≠0）
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值 的函数，它们统称为三角函数
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
（2）x叫做α的余弦（cosine），
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
x
P(x，y)
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
OP
y
= ry
x
=rx
P(x, y)
P(x, y)
OM
x
tan MP
OM
y
=x
思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
（2）x叫做α的余弦（cosine），
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
统称为三角函数
x
P(x，y)
【例1】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是
P( 1 , 3 ) ，求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
分析：OM1P1∽ OMP
|O|P (1)2( 3)22
siny y 3
12
P(1, 3) y
P1(x, y)
cosxx11 M M 1 O
x
12 2
tany 3 3
x 1
y a的终边
P( x，y ) r P1
y
(x1,y1)
y1 r1
o
x x1
y r
y1 1
y1
x 思位考置值：改会rx当变随点时之x11P，改在上变x终1 述吗边三？上个的
【练习】
1、已知角β的终边过点 P( 2 , 2 )，求角β的
三个三角函数值。
22
7 2、求角 6 的三个三角函数值。
19 3、求角 6 的三个三角函数值。
解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义。 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
思考：已知角α的终边经过点 P(1, 3)，求角α的正 弦、余弦和正切值。
ｙ
比值 ｒ
ｙ 称为ａ的正弦，记作sinａ，即sinａ＝ｒ
ｘ 比值 ｒ
比值 ｙ
ｘ
称为ａ的余弦，记作cosａ，即cosａ＝
ｘ ｒ
ｙ
称为ａ的正切，记作tanａ，即tanａ＝ ｘ
三个比值都不会随 P 在 a 终边上的位置变化而改变
a的终边
P( x,y )
y 任意角三角函数的定义
设 是一个任意角，在
ｒ
的终边上任取（异于原点的） 一点P（x,y），P与原点的距