任意角的三角函数定义
三角函数基础知识
三角函数基础知识三角函数基础知识1、任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是(2)三角函数值的符号正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同)2．同角三角函数的基本关系式(1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tgαctgα=1(3)平方关系：sin2α+cos2α=1 1+tg2α=sec2α 1+ctg2α=csc2α3．诱导公式(1) k·360°+α(k∈Z)，-α，180°±a，360°-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即sin(k·360°+α)＝sinα，cos(k·360°+α)=cosαtg(k·360°+α)=tgα，ct g(k·360°+α)=ctgα(k∈Z)sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosαtg(-α)=-tgα，ctg(-α)=-tgαsin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosαtg(180°+α)=tgα，ctg(180°+α)=ctgαsin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosαtg(180°-α)=-tgα，ctg(180°-α)=-ctgαsin(360°-α)=-sinα，cos(360°-α)=cosαtg(360°-α)=-tgα，ctg(360°-α)=-ctgα(2) 90°±α，270°±α的三角函数值等于a的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90°+α)=cosα，tg(270°+α)=-ctgα综上，诱导公式可概括为k·90°±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”．4．三角函数的图象和性质(1)三角函数线以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．(2)三角函数的图象正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx(如图2—4)正切函数y=tgx 余切函数y=ctgx (如图2—5)(3)三角函数的周期①周期函数对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．(4)三角函数的性质5、积化和差与和差化积（1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。
第二节 任意角的三角函数定义
③按键顺序为 tan [ +/- 53 D°M'S'' 23 D°M'S'' 48 ] = .
知识梳理
首先将计算器置于RAD(以弧度为单位的计算)状态，
例如：求①
sin
21π 4
；② cos 21π
4
；③
tan
2 3 22
-1
0
1
31
3
不存 3 在 3
-1 3
3
不存 0在 0
知识梳理
4.单位圆与三角函数线 (1)单位圆：如右图所示，__半__径__等__于__1_个__单__位__的圆叫做 单位圆． (2)三角函数线 正弦线与余弦线：如右图所示，设角α的顶点在圆心O， 始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作 PM垂直于x轴，垂足为M，则有向线段___O_M____叫做角α的 余弦线，有向线段___M__P___叫做角α的正弦线． (3)角α的终边与单位圆的交点坐标是__(c_o_s_α_，__s_i_n_α_) _．
21π 4
.
①按键顺序为 sin [ +/- 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = ;
②按键顺序为 cos [ 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = ;
③按键顺序为 tan [ +/- 21 2ndF EXP ÷ 4 ] = .
知识梳理
6．三角函数值在各象限的符号 我们知道，根据三角函数的定义，cosα，sinα的符号分 别与各象限中的点的横坐标和纵坐标的符号相同，如图所 示．
第一章 任意角的三角函数的定义
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3 若 sinα<0 且 tanα>0，则 α 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由 sinα<0 知 α 是第三或第四象限或终边在 y 轴非 正半轴上，由 tanα>0 知，α 是第一或第三象限角，所以 α 是 第三象限角，故选 C.
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自测自评
1．若角 α 终边上有一点 P(0,3)，则下列函数值无意义的 是( ) A．tanα B．sinα C．cosα D．都有意义 y 解析：tanα＝x，这里 x＝0，所以 tanα 无意义．
答案：A
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2 2 2．若角 α 的终边与单位圆相交于点( 2 ，－ 2 )，则 sinα 的值为( ) 2 2 A. 2 B．－ 2 1 1 C.2 D．－2 2 y 解析： 依定义： r＝1， sinα＝r ＝－ 2 . 答案：B
解：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点 P(1,2)，由 r 2 2 5 1 5 2 2 2 ＝|OP|＝ 1 ＋2 ＝ 5， sinα＝ ＝ 5 ， 得 cosα＝ ＝ 5 ， tanα＝1＝ 5 5 2. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点 Q(－1，－2)， 由 r＝|OQ|＝ －12＋－22＝ 5，得： －2 －1 －2 2 5 5 sinα＝ ＝－ 5 ，cosα＝ ＝－ 5 ，tanα＝ ＝2. －1 5 5
答案：D
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9π 4．sin 4 ＝________. 2 答案： 2
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三角函数的定义和公式
口诀：余余正正，符号相反。
简记： C （ ）
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
两角差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
8.关于扇形的公式：
l为扇形弧长， 为扇形的圆 心角，r为半径，S为扇形面积 （ 1）l r 1 （2）S r 2 2 1 （3）S l r 2
例4：（1）已知扇形的周长为 8cm，圆心角为2rad，求该扇形 的面积
9.三角函数诱导公式
(1)诱导公式二 sin(π＋α)＝ －sinα ， cos(π＋α)＝－cosα ， tan(π＋α)＝ tanα .
数学应用
4 例1. 已知sin ，且 是第二象限角，求 cos , tan 的值. 5 2 2 解： sin cos 1 4 变题：已知 sin ,求 4 2 cos 9 , tan 的值. 2 2 cos 诱导公式三 sin(－α)＝ －sinα ， cos(－α)＝ cosα ， tan(－α)＝ －tanα . (3)诱导公式四 sin(π－α)＝ sinα， cos(π－α)＝ －cosα， tan(π－α)＝－tanα .
两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
两角和的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
sin 4 0 5 为第一或第二象限角
3 4 10 当 为第一象限角时， cos tan ; 5 3 3 4 20 当 为第二象限角时， cos tan 5 3
小结: 当角的象限不明确时,要注意根据已知角的三角函 数值分象限进行讨论.
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
中职数学4.3 任意角的三角函数课件
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.
任意角的三角函数
R
tan
{ k
, (k Z})
2
归纳总结
2、三角函数值的符号：
“第一象限全为正，二正三切四余弦”
sinx
tanx
cosx
3、诱导公式一
公式的作用:可以把
任意角的三角函数值
分别转化为0到2的
角的同一三角函数值.
；
x
﹒
所以，正弦，余弦，正切都是以
角为自变量，以单位圆上点的坐标或
坐标的比值为函数值的函数，我们将
他们称为三角函数.
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
。
说 明
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的终边
y
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
x
3
3 10
3
＝ 10 ，tan θ＝1＝3.
当x＝1时，P(1,3)， 此时 sin θ＝ 2
1 ＋32
当x＝－1时，P(－1,3)，
3
3 10
3
此时 sin θ＝
2
2＝ 10 ，tan θ＝－1＝－3.
－1 ＋3
巩固提高
题型一
三角函数定义的应用
3
跟踪训练 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋
三角函数定义的应用
例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝
10
x，求 sin θ，tan θ.
10
解 由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，
x
x
由三角函数定义得 cos θ＝r ＝ 2
三角函数概念与规律
三角函数概念与规律一．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.二．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：sin 上为正、cos 右为正、tan 一三为正． (3)三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但p （x,y ）是终边上任意一点，它到原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .(4)．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线(5)特殊角的三角函数值： sin 00= 0 cos 00= 1 tan 00= 0sin300=21cos300=23tan300=33sin 045=22cos 045=22tan 045=1sin600=23cos600=21 tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无意义三.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。
1.2.1 任意角的三角函数重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
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P( 1 , 3 )
22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可 直接利用定义求三角函数值。
【例2】：求角2 的正弦、余弦和正切值。
3
分析：解RtΔOMP可得点
y
P( 1 , 3 ) ，故
P（x，y）
2
22
3
sin 2 3 cos2 －1
MO
x
32
32
tan2 3
3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位 圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
1.2.1 任意角的三角函数定义
回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义
在RT△ABC中，
A
sinbc
co sa
c
cb
tanb
a
B
a
C
思考：任意角的三角函数如何定义呢？
探究：在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其
终边上的点的坐标表示吗？
y
记 r|OP | x2y2 = 1
sin MP
OP
co s OM
o x离
r x2y2 0
ｙ 正弦sinａ＝ ｒ
余弦cosａ＝
ｘ ｒ
正切tanａ＝
ｙ ｘ
（x≠0）
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值 的函数，它们统称为三角函数
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
（2）x叫做α的余弦（cosine），
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
x
P(x，y)
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
OP
y
= ry
x
=rx
P(x, y)
P(x, y)
OM
x
tan MP
OM
y
=x
思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
（2）x叫做α的余弦（cosine），
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
统称为三角函数
x
P(x，y)
【例1】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是
P( 1 , 3 ) ，求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
分析：OM1P1∽ OMP
|O|P (1)2( 3)22
siny y 3
12
P(1, 3) y
P1(x, y)
cosxx11 M M 1 O
x
12 2
tany 3 3
x 1
y a的终边
P( x，y ) r P1
y
(x1,y1)
y1 r1
o
x x1
y r
y1 1
y1
x 思位考置值：改会rx当变随点时之x11P，改在上变x终1 述吗边三？上个的
【练习】
1、已知角β的终边过点 P( 2 , 2 )，求角β的
三个三角函数值。
22
7 2、求角 6 的三个三角函数值。
19 3、求角 6 的三个三角函数值。
解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义。 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
思考：已知角α的终边经过点 P(1, 3)，求角α的正 弦、余弦和正切值。
ｙ
比值 ｒ
ｙ 称为ａ的正弦，记作sinａ，即sinａ＝ｒ
ｘ 比值 ｒ
比值 ｙ
ｘ
称为ａ的余弦，记作cosａ，即cosａ＝
ｘ ｒ
ｙ
称为ａ的正切，记作tanａ，即tanａ＝ ｘ
三个比值都不会随 P 在 a 终边上的位置变化而改变
a的终边
P( x,y )
y 任意角三角函数的定义
设 是一个任意角，在
ｒ
的终边上任取（异于原点的） 一点P（x,y），P与原点的距