2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件:1.2含有绝对值的不等式1.2.2
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典例透析
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S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
2.2 绝对值不等式的解法
-1-
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1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
4.∴x=-4. (2)当-4<x<2时,原不等式等价于(x+4)-(x-2)≤6,即6≤6成立.∴-
4<x<2. (3)当x≥2时,原不等式等价于(x+4)+(x-2)≤6,得2x+2≤6,即
x≤2.∴x=2.
综上所述,原不等式的解集为{x|-4≤x≤2}.
题型一 题型二 题型三
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题型二 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 【例2】 解不等式|x-1|+|x+2|≥5. 分析:这个绝对值不等式比较复杂,我们需要从它的几何意义来 分析.设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则不等式的解就是数轴 上到A,B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.所以我们只要 在数轴上确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解 集.
≤ 0,
������ ≥ ������, ������ < ������,
即
������
≤
������ 4
或
������ ������ ≤ - 2 .
因为 a>0,
解析:不等式等价于
������-3 1≤
≥ 0, ������-3 ≤
6
或
������-3 < 0, 1 ≤ 3-������ ≤ 6.
解得 4≤x≤9 或-3≤x≤2.
答案:A
题型一 题型二 题型三
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题型一 题型二 题型三
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【变式训练2】 求不等式|x+4|+|x-2|≤6的解集. 解:令x+4=0,得x=-4.令x-2=0,得x=2. (1)当x≤-4时,原不等式等价于-(x+4)-(x-2)≤6,得-2x-2≤6,即x≥-
3
题型一 题型二 题型三
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题型一 |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
【例1】 解不等式2<|2x-5|≤7.
分析:分清楚绝对值不等式的类型,利用绝对值不等式的定义或
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题型一 题型二 题型三
反思本例题有三种解题方法,各有特点. 解法一可利用绝对值不等式的几何意义,体现了数形结合思想. 从中可以发现,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式准确的几 何解释是解题关键. 解法二可利用|x-1|=0,|x+2|=0的解,将数轴分为三个区间,然后在 这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值符号的不等式求解,体 现了分类讨论思想.从中可以发现,以绝对值的“零点”为分界点,将 数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值中多项式的符号, 进而去掉绝对值符号. 解法三可通过构造函数,利用函数的图像,体现了函数与方程的 思想.从中可以发现,正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需 要考查函数的单调性)是解题的关键.
数化为正数后再求解.
题型一 题型二 题型三
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【变式训练1】 不等式1≤|x-3|≤6的解集是( )
A.{x|-3≤x≤2或4≤x≤9}
B.{x|-3≤x≤9}
C.{x|-1≤x≤2}
D.{x|4≤x≤9}
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
即-3x+4<2,即 x> 2 . ∴ 2 < ������ < 5.
33
2
(3)当 x≥52 时,原不等式等价于(2x-5)-(x+1)<2,
即 x-6<2,即 x<8.∴ 52≤x<8.
综上,得原不等式的解集为 ������ 2 < ������ < 8 .
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【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
(2)当-2<x<1 时,原不等式可以化为-(x-1)+(x+2)≥5,
即 3≥5,矛盾.
所以不等式组
-2 < |������-1|
������ +
< |������
1, +
2|
≥
5
的解集为⌀.
(3)当 x≥1 时,原不等式可以化为(x-1)+(x+2)≥5,解得 x≥2,
即不等式组
������ ≥ 1, |������-1| +
几何意义求解.
解法一:原不等式等价于
|2������-5| > 2, |2������-5| ≤ 7,
∴ 2������-5 > 2 或 2������-5 < -2,
-7 ≤ 2������-5 ≤ 7,
解得
������ > 7 或������ < 3 ,
2
2
-1 ≤ ������ ≤ 6.
∴原不等式的解集为 ������ -1 ≤ ������ < 3 或 7 < ������ ≤ 6 .
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1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
-������ < ������ < ������(������ > 0),
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题型一 题型二 题型三
(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0,
将此不等式化为不等式组得:
������ ≥ ������, ������-������ + 3������
≤
0
或
������ < ������, ������-������ + 3������
.
解析:由原不等式,得x+4>9或x+4<-9,
解得x>5或x<-13.
答案:{x|x<-13或x>5}
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3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 解法一:可以利用绝对值的几何意义.(简称几何法) 解法二:利用分类讨论的思想,以绝对值的“零点”为分界点,将数 轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中多项式的符号,进而去掉 绝对值符号.(简称分段讨论法) 解法三:可以通过构造函数,利用函数图像,得到不等式的解集.(简 称图像法) 由上可以看出:解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的 意义设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不 等式组(即不含绝对值符号的不等式).
|������
+
2|
≥
5
的解集是[2,+∞).
综上所述,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
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题型一 题型二 题型三
解法三:(图像法)将原不等式转化为|x-1|+|x+2|-5≥0. 构造函数y=|x-1|+|x+2|-5,
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【变式训练2】 设a,b∈R+,且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
解:
������ ������
������ ������
������ ������
������ ������
=
������ ������-������ ������ ������-������
解:由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
������ 2������ ������ 2������������ 2������ ������ ������ +������������ ������+������ ������ ������+������
=
������ ������
������
������-������
> 1.
������
������
综上可知 aabb>abba.
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题型一 题型二 题型三
题型三 利用不等式的性质证明不等式
【例 3】
已知
a>b>c>d>0,且
������ ������
������ ������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������=aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b
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f(k+1)=f(k)+3=k+2+
������-1 2
+
������-2 3
+
3
=(k+1)+2+ ������+1 + ������+1 , 结论成立;
2
3
2°若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有
f(k+1)=f(k)+1=k+2+
������ 2
+
������ 3
+
1
=(k+1)+2+
(������+1)-1 2
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
应用
设
a,b
为正数,n∈N+,求证:
������
������
+������ 2
������
≥
������+������
������
.
2
提示:这是一个不等式证明问题,它涉及全体正整数n,用数学归纳
法证明.
证明:(1)当
n=1时,
������+������ 2
2
3
4
1 ������2 + ������2 ≥ 8.
9
7
当且仅当 12������
2
=
13������ 3
=
������ 1
,
即a=
8 7
,
������
=
18 7
, ������
=
2 7
时等号成立.
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件:1.4 不等式的证明1.4.1 .pdf
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题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 已知0<x<1,求证:|loga(1-x)|>|loga(1+x)|(其中a>0, 且a≠1).
证明:∵0<x<1,a>0,且 a≠1,
∴
|log������ (1-������)| |log������ (1 + ������)|
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【变式训练3】 已知a,b,c∈R+,且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥ 3
证明:要证 a+b+c≥ 3, 由于a,b,c∈R+,
只需证(a+b+c)2≥3,
①当a>b>0时,a-b>0,bn-an<0,
有(a-b)(bn-an)<0.
②当b>a>0时,a-b<0,bn-an>0,
有(a-b)(bn-an)<0.
③当a=b>0时,a-b=0,有(a-b)(bn-an)=0.
即(a-b)(bn-an)≤0, 故(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
2
2
2
只需证
������ + 1 +
2
������ + 1
2
≤4,
即只需证 a+b+1+2
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-4同步配套课件:1.1 平面直角坐标系1.1.1 .pdf
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题型一 题型二 题型三
则������
0,
3 2
������
, ������
-
������ 2
,0
, ������
������ 2
,0
.
设 P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+
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题型一 题型二 题型三
解:A,B两点如图所示,A(0,40),B(80,0), 所以|OA|=40 n mile,|OB|=80 n mile. 设我军舰直行到点C与敌舰相遇, 且点C的坐标为(x,0), 所以|OC|=x n mile,|BC|=|OB|-|OC|=(80-x) n mile. 因为敌我两舰速度相同,所以|AC|=|BC|=(80-x) n mile. 在Rt△AOC中,|OA|2+|OC|2=|AC|2, 即402+x2=(80-x)2,解得x=30. 所以点C的坐标为(30,0). 反思利用坐标系解决实际问题的关键是分析清楚题意,根据题意 建立适当的平面直角坐标系或利用已有的平面直角坐标系建立相 关点的关系式,从而解决实际问题.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
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2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件:本章整合1
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 设 a>0,b>0,a+b=1.求证: 2������ + 1 + 2������ + 1 ≤ 2 2.
提示:可将式子变形为
2������+1+ 2������+1,
2
视为点到直线的距离公式来解.
证明:所证不等式变形为
2������+1+ 2
2������ +1 ≤2,
解:(1)因为( ������ + ������)2 = ������ + ������ + 2 ������������, ( ������ + ������)2 = ������ + ������ + 2 ������������, 由题设 a+b=c+d,ab>cd得( ������ + ������)2 > ( ������ + ������)2. 因此 ������ + ������ > ������ + ������.
12345
知识建构
综合应用
真题放送
当x=
1 2
时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-
a|+a≥3.①
(分类讨论)
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
12345
知识建构
综合应用
真题放送
3(2016
,
2������,������
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件:选修4-5 不等式选讲 .pdf
知识梳理 考点自诊
-3-
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:
①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|aБайду номын сангаас+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔ -c≤ a x+ b ≤ c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax + b≥ c 或 ax+ b ≤ -c .
当x≤-2时,不等式为4x≤-12,∴x≤-3,∴x∈(-∞,-3];
当-2<x<1时,不等式为5≥9,不成立;
当x≥1时,不等式为2x≥6,∴x≥3,∴x∈[3,+∞),
综上所述,不等式的解集为(-∞,-3]∪[3,+∞). (2)f(x+a)+f(x-b)=|x+a-1|+|x-b-1|≥x+a-1-(x-b-1)
5.若不等式|x+a|≤2在x∈[1,2]时恒成立,则实数a的取值范围是 . [-3,0]
解析:∵|x+a|≤2,∴-2-a≤x≤2-a. ∵不等式|x+a|≤2在x∈[1,2]时恒成立,
-8-
考点1
考点2
绝对值不等式(多考向)
考向1 绝对值不等式的解法
例1(2018全国1,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
考点1
考点2
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件:2.2排序不等式 .pdf
2.(1)顺序和、乱序和、逆序和:
设实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3,则 a1b1+a2b2+a3b3≥a1������������1 +a2������������2 +a3������������3 ≥a1b3+a2b2+a3b1,其中j1,j2,j3是 1,2,3的任一排列方式.上式当且仅当a1=a2=a3(或b1=b2=b3)时取“=” 号.
������3 ������3 + ������3 ������3 + ������3 ������3 ≥ ������3 ������3 + ������3 ������3 + ������3 ������3 = ������3 + ������3 + ������3 .
又∵a2≥b2≥c2,
1 ������3
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∴
������1 ������1
+
������2 ������2
+
⋯
+
������������ -1 ������������ -1
≥
1 2
+
2 3
+
⋯
同理,∵b≥c>0,于是
1 ������
≤
1,
������
又∵a>0,∴
1 ������
>
0.
于是得 1 ≥ 1 .
������������ ������������
从而 1 ≥ 1 ≥ 1 .
������������ ������������ ������������
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件:1.2含有绝对值的不等式1.2.1 .pdf
当-1<x<4 时,-5<2x-3<5.
∴y∈[-5,5],∴ymax=5,ymin=-5.
反思1.形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用 绝对值不等式或其几何意义进行求解.
2.一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a||x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|.
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【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1.求证:|f(x)-
f(a)|<2(|a|+1).
证明:∵f(x)=x2-x+13,|x-a|<1, ∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|. 又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+2|a|+1=2(|a|+1), ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
∴g(1)≤g(x)≤g(-1). ∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|c|=|f(0)|≤1,
题型一 题型二 题型三
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∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2,g(1)=a+b=f(1)-c≥-
∴y∈[-5,5],∴ymax=5,ymin=-5.
反思1.形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用 绝对值不等式或其几何意义进行求解.
2.一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a||x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|.
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【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1.求证:|f(x)-
f(a)|<2(|a|+1).
证明:∵f(x)=x2-x+13,|x-a|<1, ∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|. 又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+2|a|+1=2(|a|+1), ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
∴g(1)≤g(x)≤g(-1). ∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|c|=|f(0)|≤1,
题型一 题型二 题型三
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∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2,g(1)=a+b=f(1)-c≥-
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������ ������ + ������ ������ + ������-1
∴1+ 1 + 1 + ⋯ + 1 < 2 + 2( 2 − 1) + 2( 3 −
23
������
⋯+2( ������ − ������-1) = 2 ������(������∈N+),
∴原不等式得证.
2) +
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+
c +1 a≥3·3
1
,
(������ +������ )(������+������ )(������ +������ )
∴(a+b+c)
1 +1 + 1
������+������ ������+������ ������+������
≥
1·3·3 (������ + ������)(������ + ������)(������ + ������)·3·3
2
2
������(������ + 2) =2
������2 + 2������ (������ + 1)2
= 2 < 2.
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题型一 题型二
题型一 利用综合法证明不等式
【例 1】
设
a,b,c
������ ������
������ ������
������ ������
2019_2020学年高中数学第二章几何重要的不等式2_1_1简单形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
第二章 几何重要的不等式
第1页
§1 柯西不等式 1.1 简单形式的柯西不等式
第2页
知识探究
第3页
简单形式的栖西不等式
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1.柯西不等式三种形式的关系 根据向量的意义及其坐标表示不难发现简单形式的柯西不等 式及简单形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式 的坐标表示条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号. (2)向量形式中当α=kβ或β=0时取等号. (3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且 P1,P2在原点O两旁时取等号. 3.简单形式的柯西不等式的变式 (1) a2+b2· c2+d2≥|ac+bd|. (2) a2+b2· c2+d2≥|ac|+|bd|. (3) a2+b2· c2+d2≥ac+bd.
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思考题 2 已知 θ 为锐角,a,b∈R+, 求证:(a+b)2≤coas22θ+sinb22θ.
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【证明】 设 m=(coasθ,sinbθ),n=(cosθ,sinθ), |a+b|=cosaθ·cosθ+sinbθ·sinθ =|m·n|≤|m|·|n| = (coasθ)2+(sinbθ)2·1 = coas22θ+sinb22θ, ∴(a+b)2≤coas22θ+sinb22θ.
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【证明】 设 m=( ax, by),n=( a, b), 则|ax+by|=|m·n|≤|m|·|n| = ( ax)2+( by)2· ( a)2+( b)2 = ax2+by2· a+b= ax2+by2. ∴(ax+by)2≤ax2+by2.
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探究 2 使用向量形式的柯西不等式时要注意向量模的计算 公式|α|= x2+y2对数学式子变形的影响.
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§1 柯西不等式 1.1 简单形式的柯西不等式
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知识探究
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简单形式的栖西不等式
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1.柯西不等式三种形式的关系 根据向量的意义及其坐标表示不难发现简单形式的柯西不等 式及简单形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式 的坐标表示条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号. (2)向量形式中当α=kβ或β=0时取等号. (3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且 P1,P2在原点O两旁时取等号. 3.简单形式的柯西不等式的变式 (1) a2+b2· c2+d2≥|ac+bd|. (2) a2+b2· c2+d2≥|ac|+|bd|. (3) a2+b2· c2+d2≥ac+bd.
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思考题 2 已知 θ 为锐角,a,b∈R+, 求证:(a+b)2≤coas22θ+sinb22θ.
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【证明】 设 m=(coasθ,sinbθ),n=(cosθ,sinθ), |a+b|=cosaθ·cosθ+sinbθ·sinθ =|m·n|≤|m|·|n| = (coasθ)2+(sinbθ)2·1 = coas22θ+sinb22θ, ∴(a+b)2≤coas22θ+sinb22θ.
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【证明】 设 m=( ax, by),n=( a, b), 则|ax+by|=|m·n|≤|m|·|n| = ( ax)2+( by)2· ( a)2+( b)2 = ax2+by2· a+b= ax2+by2. ∴(ax+by)2≤ax2+by2.
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探究 2 使用向量形式的柯西不等式时要注意向量模的计算 公式|α|= x2+y2对数学式子变形的影响.
