高一年级数学三角函数单元测试题附答案
三角函数测试题一．选择题（5分×12=60分） 1．tan300o ＋cot405o 的值为A ．1＋3 B.1－3 C.－1－3 D.－1＋3 2.令a=sin(π－1),b=sin2,c=cos1,则它们的大小顺序为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b3.函数y=sin(4π－x)的递增区间是 A.[ 2k π－43π,2k π＋4π](k ∈ Z) B.[ 2k π＋π43,2k π＋π47](k ∈ Z)C.[2k π＋4π,2k π＋π45](k ∈ Z)D.[2k π－4π, 2k π＋π43](k ∈ Z)4.sin6ocos24osin78ocos48o的值等于A.－161B.81C.161D.－815.已知sin αcos α=83且α∈(4π,2π),则cos α–sin α的值是A.21 B.－21 C. 41 D.－416. 函数f(x)=3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是偶函数,则θ等于 A. k π B. k π＋3π C. k π－6π D. k π＋6π7. 已知点P(sin α－cos α,tan α)在第一象限,则在α∈ [0,2π]内α的取值范围是A.(2π, 43π) ∪（π, π45） B. (4π,2π)∪(π, π45) C. (2π, 43π) ∪ (π45,23π) D.(4π,2π)∪(43π, π)8. 函数f(x)=cos （2x ＋φ）的图像关于点（3π,0）中心对称的充要条件是A. φ= 65π＋k π(k ∈ Z)B. φ= －6π＋2k π(k ∈ Z)C. φ=－32π＋k π(k ∈ Z)D. φ= 34π＋2k π(k ∈ Z)9.如图正弦曲线对应的函数解析式是A. y=23sin （56x ＋π43）＋23B. y=23sin （56x ＋π109）＋23C. y=3sin （12x ＋π43） D. y=23sin （512x ＋π109）＋2310.下列四个函数中以π为最小正周期,且在区间（ππ,2）上为减函数的是A.y=cosxB.y=2 |sinx|C.y=（31）cotxD.y=-cosx11.在平面直角坐标系中,已知A （cos80o ,sin80o ）、B （cos20o ,sin20o）, 则｜AB ｜的值是A.21B.22C.23D.112.函数f （x ）=2sin2cos cos x x x-的值域是A.（-2,2）B.[-2,2]C. [ -2,0) ∪(0,2]D. （-2,0）∪（0,2）二.填空题（4分×4=16分）13．已知 sin α– sin β= a ，cos α+cos β=b ，则cos （α+β）= 14．已知sinx=215-，则 sin2（x －4π）= 15. f （x ）是以5为周期的奇函数, f （－3）= 4且cos α=21, 则f （4cos2α）的值是16. 已知x ∈[0, 2π],函数y=42sinxcosx+cos2x 的值域是三角函数测试题班级 姓名一. 选择题:二.填空题:13. 14.15. 16.三.解答题（12分×5+14分=74分） 17. 已知αααtan 12sin sin 22++=k （4π<α<2π）,试用k 表示sin α－cos α的值.18. 已知0<α<2π，cos α－sin α=－55，求αααtan 112cos 2sin -+-的值.19. 求值:0220sin 3－0220cos 1＋64sin 220o20. 已知函数f （x ）=5sinxcosx －53cos 2x ＋253（x R ）.（1） 求 f （x ）的单调区间;（2） 求 f （x ）图象的对称轴, 对称中心;（3） 函数f （x ）的图象经过怎样的变化得到y=5sinx 的图象21. .在△ABC中,角A、B、C依次成等差数列,求cos2A＋cos2C的取值范围.22. 已知函数y=2sinαcosα－sinα－cosα（0≤α≤π）.试问这个关于α的函数有没有最大值、最小值?若有,求出最值.三角函数测试题参考答案二.填空题:13. 2222-+b a 14. 2－515. －4 16. [－1, 3 ]三.解答题（12分×5+14分=74分） 17. 已知αααtan 12sin sin 22++=k （4π<α<2π）,试用k 表示sin αcos α的值. 解：k=αααtan 12sin sin 22++=ααααααcos cos sin )cos (sin sin 2++=2sin αcos α .又4π<α<2π, ∴sin α＞cos α ∴sin αcos α=ααcos sin 21-=k -1 即sin αcos α=k -1 .18. 已知0<α<2π，cos α－sin α=－55，求αααtan 112cos 2sin -+-的值.解: αααtan 112cos 2sin -+-=ααααααsin cos )sin 2cos sin 2(cos 2-+=αααααsin cos )sin (cos 2sin -+=ααπααsin cos 4sin 22sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅. 由 cos α－sin α=－55，两边平方得sin2α=54. 又2cos （α+4π）=－55, ∴cos （α+4π）=－1010.而0<α<2π , ∴4π<α+4π<43π, ∴sin （α+4π）=10103. ∴原式=5510103254-⋅⋅=－512 19.求值:0220sin 3－0220cos 1＋64sin 2200. 解: 原式=0202020220cos 20sin 20sin 20cos 3-+64sin 2200 =02000040sin 41)20sin 20cos 3)(20sin 20cos 3(-++64sin 2200=020040sin 40sin 80sin 44⨯+64sin 2200 = 32cos400 +32（1－cos400） = 32 .20. 已知函数f （x ）=5sinxcosx － 53cos 2x ＋253（x ∈ R ）.（1）求 f （x ）的单调区间;（2）求 f （x ）图象的对称轴, 对称中心;（3） 函数f （x ）的图象经过怎样的变化得到y=5sinx 的图象.解: f （x ）=25sin2x －5322cos 1x +⋅＋253 = 25sin2x －253cos2x = 5sin （2x －3π）. （1） 由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π得[ k π－12π, k π＋125π], k ∈ Z 为f （x ）的单调增区间.由2k π＋2π≤2x －3π≤2k π＋23π得[ k π＋125π, k π＋1211π], k ∈ Z 为f （x ）的单调减区间.（2）令2x －3π= k π＋2π，得x= 21k π＋125π，k ∈ Z 为f （x ）图象的对称轴方程.令2x －3π= k π，得x= 21k π＋6π, k ∈ Z. 故对称中心为（21k π＋6π, 0 ）, k ∈Z.（3）将y = 5sin （2x －3π）图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得到 y = 5sin （x －3π）. 然后,将y=5sin （x －3π）图象上每一点向左平移3π个单位,纵坐标不变,即得到y=5sinx 的图象.21. 在△ABC 中,角A 、B 、C 依次成等差数列,求cos 2A ＋cos 2C 的取值范围.解:∵ A 、B 、C 成等差数列, ∴B=60o , ∴C=120o －A.∴ cos 2A ＋cos 2C= cos 2A ＋cos 2（120o －A ）= cos 2A ＋（－21cosA+23sinA ）2= cos 2A ＋（41cos 2A ＋43sin 2A －23sinAcosA ）=45cos 2A ＋43sin 2A －43 sin2A=21cos 2A ＋43－43 sin2A= 41cos2A －43 sin2A +1 =21cos （2A+60o ）+1∵0o <A<120o ∴60o <2A+60o <300o ∴ －1≤cos （2A+60o ）＜21∴21≤1+21 cos （2A+60o ）＜45 , 即cos 2A ＋cos 2C 的取值范围是[21，45）.22. 已知函数y=2sin αcos α－sin α－cos α（0≤α≤π）.试问这个关于α的函数有没有最大值、最小值？若有，求出最值.解: 设u= sin α+cos α,则 sin αcos α=212-μ, y=u 2－u －1=（u －21）2－45.又u= sin α+cos α=2sin （α+4π）. ∵α∈ [0,π] ∴α+4π∈ [4π,45π]∴－22≤ sin （α+4π）≤1 ∴－1≤u ≤2 对于y=（u －21）2－45，u ∈ [－1, 2]有：u=21时，y min =-45; u=－1时，y max =1.。
高一数学三角函数章节测试卷(含详解)
高一三角函数章节测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) A. π3B. −π3C. π6D. −π62. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：√2≈1.414;√3≈1.732) ( )A. 1.612米B. 1.768米C. 1.868米D. 2.045米3. 已知θ是第四象限角，M (1,m )为其终边上一点，且sinθ=√55m ，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ的值( ) A. 0B. 45C. 43D. 54. sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=( ) A. −12B. 12C. −√32D. √325. 终边为一、三象限角平分线的角的集合是( ) A. {α|α=2kπ+π4,k ∈Z} B. {α|α=kπ+π2,k ∈Z} C. {α|α=2kπ+π2,k ∈Z}D. {α|α=kπ+π4,k ∈Z}6. 已知4sin α−2cos α5cos α+3sin α=57，则sinα⋅cosα的值为( ) A. −103B. 103C. −310D. 3107. 设a =cos π12,b =sin 41π6,c =cos 7π4，则( )A. a >c >bB. c >b >aC. c >a >bD. b >c >a8. 为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点( )A. 向左平移π12个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 下列化简结果正确的是( ) A. cos22∘sin52∘−sin22∘cos52∘=12B. sin15∘sin30∘sin75∘=14C. cos15∘−sin15∘=√22D. tan24∘+tan36∘1−tan24∘tan36∘=√310. 对于函数f (x )=sinx +cosx ，下列说法正确的有( ) A. 2π是一个周期B. 关于(π2,0)对称 C. 在[0,π2]上的值域为[1,√2]D. 在[π4,π]上递增11. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )A. g(x)的最小正周期为2π3 B. g(x)在区间[π9,π3]上单调递增 C. g(x)的图象关于直线x =4π9对称 D. g(x)的图象关于点(π9,0)成中心对称12. 绍兴市柯桥区棠棣村是浙江省美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景．假设水轮半径为4米(如图所示)，水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时(图中P 0)开始计时，则( )A. 点P 第一次达到最高点，需要20秒B. 当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D. 点P 距离水面的高度ℎ(米)与t(秒)的函数解析式为ℎ=4sin (π30t −π6)+2三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 函数f (x )=tan (πx −π4)的定义域为______．14. 要得到函数y =cos (x 2−π4)的图象，只需将y =sin x2的图象向左平移 个单位；15.1sin10∘−√3sin80∘的值为16. 已知cosα=13，且−π2<α<0，则cos (−α−π)sin (2π+α)tan (2π−α)sin (3π2−α)cos (π2+α)= ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题10分)已知sin x 2−2cos x2=0．(1)求tanx 的值；(2)求cos2xcos(5π4+x)sin(π+x)的值．18. (本小题12分)已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π4−x)+√3sin xcos x ．(1)求f(π6)的值；(2)在△ABC 中，若f(A2)=1，求sinB +sinC 的最大值．19. (本小题12分)设函数f(x)=√32cos x +12sin x +1．(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间;(2)当f(α)=95，且π6<α<2π3时，求sin(2α+2π3)的值．20. (本小题12分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)，x ∈[0,π4]，求ℎ(x)的取值范围．21. (本小题12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x.(1)求函数y=f(x)周期及其单调递增区间;(2)当x∈[0,π2]时，求y=f(x)的最大值和最小值．22. (本小题12分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为P(−45,35 )．(1)求cos(α+π4)和sin2α的值；(2)求的值．答案和解析1.解：将时钟拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，∴将时钟拨快10分钟，分针转过的弧度数是−π3．故选B ．2.解：由题得：弓所在的弧长为：l =π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴两手之间的距离d =2Rsin π4=√2×1.25≈1.768．故选B ．3.解：∵θ是第四象限角，M(1,m)为其终边上一点，则有m <0，∴|OM|=√1+m 2，则sin θ=√1+m2=√55m ，即m =−2，∴tanθ=−2，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ=2tanθ−1tanθ+1=−4−1−1=5．故选D ． 4.解：sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=sin15°cos75°−cos15°sin75°=sin (15°−75°)=−sin60°=−√32．故选C ．5.解：设角的终边在第一象限和第三象限角的平分线上的角为α，当角的终边在第一象限角的平分线上时，则α=2kπ+π4，k ∈Z ，当角的终边在第三象限角的平分线上时，则α=2kπ+5π4，k ∈Z ，综上，α=2kπ+π4，k ∈Z 或α=2kπ+5π4，k ∈Z ，即α=kπ+π4，k ∈Z ，终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α=kπ+π4,k ∈Z }．故选D ．6.解：由4sinα−2cosα5cosα+3sinα=57，得4tanα−25+3tanα=57，解得tanα=3，∴sinα⋅cosα=sinα⋅cosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α=31+32=310．故选D ．7.解：b =sin41π6=sin(6π+5π6)=sin5π6=sinπ6=cosπ3,c =cos7π4=cosπ4，因为 π 2> π 3> π 4> π 12>0，且y =cos x 在(0,π2)是减函数，所以cosπ12>cosπ4>cosπ3，即a >c >b ．故选A ．8.因为y =4sinxcosx =2sin2x ，y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)=2sin2(x +π12)，所以为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点向右平移π12个单位长度即可，故选：B9.解：A 中，cos 22∘sin 52∘−sin 22∘cos 52∘=sin30°=12，则A 正确，B 中，sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°sin (90°−15°)=sin15°cos15°sin30°=12sin30°sin30°=18，则B 错误，C 中，cos 15∘−sin 15∘=√2cos(45°+15°)=√22，则C 正确；D 中，tan 24∘+tan 36∘1−tan 24∘tan 36∘=tan60°=√3，则D 正确．故选ACD ．10.解：因为函数f (x )=sinx +cosx =√2sin (x +π4)，故它的一个周期为2π，故A 正确；令x =π2，得f (x )=√2sin (π2+π4)=√2sin 3π4=1，所以函数f (x )不关于(π2,0)对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，π4≤x +π4≤3π4，所以√2×√22≤√2sin (x +π4)≤√2×1，即f (x )的值域为[1,√2]，故C 正确；当π4≤x ≤π时，π2≤x +π4≤5π4，所以函数f (x )在[π4,π]上单调递减，故D 不正确．11.解：根据函数的图象：周期12T =5π12−(−π12)=π2，解得T =π，故ω=2．由图可得A =2，当x =5π12时，f(5π12)=2sin(5π6+φ)=−2，即5π6+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，由于|φ|<π，所以φ=2π3，所以f(x)=2sin(2x +2π3)，函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到函数y =2sin(3x +2π3)的图象，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x +π6)的图象， 故对于A ：函数g(x)的最小正周期为T =2π3，故A 正确；对于B ：由于x ∈[π9,π3]，所以3x +π6∈[π2,7π6]， 故函数g(x)在区间[π9,π3]上单调递减，故B 错误；对于C ：当x =4π9时，g(4π9)=2sin(4π3+π6)=−2， 故函数g(x)的图象关于直线x =4π9对称，故C 正确；对于D ：当x =π9时，g(π9)=2，故D 错误． 故选：AC ．12.解：设点P 距离水面的高度为ℎ(米)和t(秒)的函数解析式为ℎ=Asin(ωt +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)，由题意，ℎmax =6，ℎmin =−2，∴{A +B =6−A +B =−2，解得{A =4B =2，∵T =2πω=60，∴ω=2πT =π30，则ℎ=4sin(π30t +φ)+2．当t =0时，ℎ=0，∴4sinφ+2=0，则sinφ=−12，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．ℎ=4sin(π30t −π6)+2，故D 正确；令ℎ=4sin(π30t −π6)+2=6，0⩽t ⩽60，∴sin(π30t −π6)=1，得t =20秒，故A 正确； 当t =155秒时，ℎ=4sin(π30×155−π6)+2=4sin5π+2=2，故B 正确； 4sin(π30×t −π6)+2>2，令0<π30×t −π6<π，解得5<t <35，故有30秒的时间，点P 距水面超过2米，故C 错误．故选：ABD ．13.解：由πx −π4≠π2+kπ，k ∈Z ，可得x ≠k +34,k ∈Z ，即定义域为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．故答案为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．14.解：将函数y =sin x 2的图象上所有点向左平移π2个单位纵坐标不变，可得函数y =sin 12(x +π2)=sin(x 2+π4)=cos(π4−x 2)=cos(x 2−π4)的图象．故答案为： π2．15.解：原式=1sin10∘−√3cos10∘=cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘=4(12cos10∘−√32sin10∘)2sin10∘cos10∘=4cos(60∘+10∘)sin20∘=4cos70∘sin20∘=4sin20∘sin20∘=4，故答案为4．16.解：cos(−α−π)sin(2π+α)tan(2π−α)sin(3π2−α)cos(π2+α)=(−cosα)sinα(−tanα)(−cosα)(−sinα)=tanα，∵cosα=13，且−π2<α<0，∴sinα=−2√23，则原式=tanα=sinαcosα=−2√2．故答案为−2√2． 17.解：(1)∵f(x)=sin (π 4+x)sin (π 4−x)+√3sin xcos x=sin (π4+x)sin [π2−(π4+x)]+√3sinxcosx =sin (π4+x)cos (π4+x)+√3sinxcosx =12cos2x +√32sin2x =sin (2x +π6)，∴f (π6)=sin (2×π6+π6)=1． (2)由f (A2)=sin (A +π6)=1，而0<A <π，可得A +π6=π2，即A =π3， ∴sinB +sinC =sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin (B +π6)， ∵0<B <2π3，∴π6<B +π6<5π6，12<sin (B +π6)≤1，则√32<√3sin (B +π6)≤√3，故当B =π3时，sinB +sinC 取最大值，最大值为√3． 19.【答案】解：(1)由图象有A =√3，最小正周期T =43(7π12+π6)=π，所以ω=2πT=2，所以f(x)=√3sin(2x +φ)．由f (7π12)=−√3，得2·7π12+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，所以φ=π3+2kπ，k ∈Z ．又因为0<φ<2π，所以φ=π3.所以 f(x)=√3sin(2x +π3) ．(2)由(1)可知f(x)=√3sin (2x +π3)，ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)=√3sin (2x +π3)×√3sin2x =3sin2x(12sin2x +√32cos2x)=32sin 22x +3√32sin2xcos2x =32·1−cos4x 2+3√34sin4x =32sin(4x −π6)+34．因为x ∈[0,π4]，所以4x −π6∈[−π6,5π6]，所以sin(4x −π6)∈[−12,1]，所以ℎ(x)的取值范围为[0,94]. 20.解：(1)因为f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x =2+sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)+2所以f(x)=√2sin(2x +π4)+2；所以f(x)的最小正周期为2π2=π；令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，所以−3π8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z 所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]k ∈Z;(2)因为x ∈[0,π2]，所以2x +π4∈[π4,5π4]，所以sin(2x +π4)∈[−√22,1]所以f(x)∈[1,2+√2]，所以f(x)的最大值为2+√2，最小值为1．21.解：(1)由sin x 2−2cos x2=0，知cosx2≠0，∴tanx 2=2，∴tanx =2tan x21−tan 2x2=2×21−4=−43． (2)由(1)，知tanx =−43，∴cos2x cos(5π4+x)sin(π+x)=cos2x −cos(π4+x)(−sinx)=22(√22cos x−√22sin x)sin x=√22(cos x−sin x)sin x=√2×cos x+sin x sin x=√2×1+tan xtan x =√24． 22.解：(1)由题意，|OP|=1，则sinα=35，cosα=−45，∴cos(α+π4)=cosαcos π4−sinαsin π4=−45×√22−35×√22=−7√210，sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425．(2)由(1)知，tanα=sinαcosα=−34，则3sin (π−α)−2cos (−α)5cos (2π−α)+3sin α=3sinα−2cosα5cosα+3sinα=3tanα−25+3tanα=3×(−34)−25+3×(−34)=−1711．。
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (17)(含答案解析)
高中数学必修一第五章三角函数单元测试 (17) 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，则ω的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 62.已知f(x)=sin(2x−φ)(0<φ<π2)在[0,π3]上是增函数，且f(x)在(0,7π8)有最小值，则φ的取值范围是()A. [π6,π2) B. [π6,π4) C. [π3,π2) D. [π4,π3)3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，若存在0≤x1<x2≤π，满足f(x1)=f(x2)=34，则cos(x1−x2)=()A. −√74B. √74C. 34D. −344.已知α∈(0,π2)，tanα=√2cosα，则sinα=()A. √33B. √63C. √22D. √325.sin(−19π6)=()A. −√32B. −12C. 12D. √326.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 直线x=−5π12为函数f(x)的一条对称轴C. 点(−2π3,0)为函数f(x)的一个对称中心D. 函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到y=√2sin2x的图象7.已知函数f(x)=2cosωx2(sinωx2+cosωx2)(ω>0)(ω>0)，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，将f(x)的图象向左平移√π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为()A. √πB. πC. 3√πD. 3π8.若cos(π4−α)=√55，则sin2α=()A. −35B. 35C. −45D. 459.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)，函数g(x)的图象由f(x)图象向右平移π4个单位长度得到，则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A. g(x)的图象关于直线x=π6对称 B. g(x)的图象关于点(π3,0)对称C. g(x)在[−π24,5π24]单调递增 D. g(x)在[−π6,π3]单调递减10.将函数y=sin3x的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数图象的解析式为()A. y=sin(3x+π4) B. y=sin(3x+3π4)C. y=sin(3x−π4) D. y=sin(3x−3π4)二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）11.若点P(cosα,sinα)在直线y=2x上，则cos(2α+π2)的值等于______．12.已知函数y=√32sinπx+12cosπx在x∈[23,t](t>23)时的最小值为m，最大值为M，若2M+m=0，则(m+M)t的取值范围为______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.已知函数f(x)=2cosxcos(x−π6)−√3sin2x+sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程[g(x)]2−(2+a)g(x)+2a=0在[−3π4,π4]上恰有2个根，求a的取值范围．14.已知sinα=13，tanα<0．(Ⅰ)求sin2α的值；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，若α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，将角α的终边绕原点顺时针旋转π4后与单位圆交于点Q，求点Q的坐标．15.已知α∈(π2,π)，且sinα=35．(1)求tan(α−π4)的值；(2)求sin(α2+2019π)的值．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)，其部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若α∈(0,π2)，且sin(α−π2)=−13，求f(α)的值．17.已知函数f(x)=cos4x+2sinxcosx−sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．18.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−4,3)．(1)求cosα的值；(2)若角β满足sin(α−β)=513，求sinβ的值．19.已知函数f(x)=√3sinx⋅cosx−cos2x−12．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称中心；(Ⅱ)当x∈[−π12,5π12]时，求函数f(x)的值域．20.已知α∈(0,π2)．(Ⅰ)若sinα=√55，求sin(α+π6)的值；(Ⅱ)若cos(α+π6)=√55，求sinα的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，而π12+π4=π3，可得f(x)的图象既关于直线x=5π24对称，又关于点(π3,0)对称，∴2k+14⋅2πω=(π3−5π24)，∴ω=8k+4，k∈Z，则ω的最小值为4，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．2.答案：B解析：解：由x∈[0,π3]，可得2x−φ∈[−φ,2π3−φ]，结合0<φ<π2，由f(x)在[0,π3]上是增函数，可得2π3−φ≤π2，所以π6≤φ<π2①．当x∈(0,7π8)时，2x−φ∈(−φ,7π4−φ)，由f(x)在(0,7π8)有最小值，可得7π4−φ>3π2，即φ<π4②，结合①②可得，π6≤φ<π4，故选：B．由题意利用正弦函数的最值、定义域和值域，求得φ的取值范围．本题主要考查正弦函数的最值、定义域和值域，属于中档题．3.答案：C解析：解：由图象知函数的周期T=2×(13π12−7π12)=2×6π12=π，即2πω=π，得ω=2，f(7π12+13π122)=f(10π12)=sin(2×10π12+φ)=−1，即5π3+φ=2kπ+3π2，即φ=2kπ−π6，k∈Z，当k =0时，φ=−π6， 即f(x)=sin(2x −π6)，∵存在0≤x 1<x 2≤π，满足f(x 1)=f(x 2)=34， ∴−π6≤2x 1−π6≤11π6，则θ1=2x 1−π6，θ2=2x 2−π6关于π2对称，即2x 1−π6+2x 2−π62=π2，得x 2=2π3−x 1，且sin(2x 1−π6)=34 则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)，设2x 1−π6=α，则2x 1=π6+α，即sinα=34 则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)=cos(π6+α−2π3)=cos(α−π2)=sinα=34故选：C ．根据图象求出函数解析式，结合对称性求出x 2=2π3−x 1，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键．有一定的难度． 4.答案：C解析：解：∵α∈(0,π2)，tanα=√2cosα， ∴sinαcosα=√2cosα，即cos 2α=2又∵sin 2α+cos 2α=1， ∴sin 2α√2=1，即√2sin 2α+sinα−√2=0，解得sinα=√22，负值舍去．故选：C ．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos 2α=√2sin 2α+cos 2α=1，可得解sinα的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题． 5.答案：C解析：解：sin(−19π6)=sin(−3π−π6)=sin π6=12．故选：C ．由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 6.答案：D解析：解：函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象， 可得A =√2，14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2，∴最小正周期为T =2π2=π，故A 正确．再根据五点法作图，可得2×π3+φ=π，∴φ=π3， 故函数f(x)=√2sin(2x +π3).令x =−5π12，求得f(x)=−√2，为最小值，故直线x =−5π12为函数f(x)的一条对称轴，故B 正确． 令x =−2π3，求得f(x)=0，故点(−2π3,0)为函数f(x)的一个对称中心，故C 正确．把函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到y =√2sin(2x −π3)的图象，故D 不正确，故选：D ．由题意利用由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题． 7.答案：A解析：解：∵函数f(x)=2cos ωx 2(sinωx 2+cosωx 2)(ω>0)=sinωx +cosωx +1=√2sin(ωx +π4)+1(ω>0)，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，ωx +π4∈(−ω2+π4,ω2+π4)， ∴−ω2+π4≥−π4，ω2+π4≤π2，求得ω≤√π2．又函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，∴ω2+π4=kπ+π2，即ω=√kπ+π4，∴ω=√π2，f(x)=√2sin(√π2x +π4)+1．将f(x)的图象向左平移√π6个单位长度后得到函数g(x)=√2sin(√π2x +π12+π4)+1=√2sin(√π2x +π3)+1的图象． 令g(x)=0，求得sin(√π2x +π3)=−√22，则函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为T4=14√π2=√π，故选：A ．由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，结合正弦函数的周期性和零点，求出函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性和零点，属于中档题． 8.答案：A解析：解：法一：根据已知，有sin2α=cos(π2−2α)=2cos 2(π4−α)−1=2×(√55)2−1=−35．法二：由cos(π4−α)=√55得cosα+sinα=√105，两边平方得1+2sinαcosα=25，所以2sinαcosα=−35，即sin2α=−35．故选：A ．法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．本小题主要考查诱导公式、余弦的二倍角公式、三角函数求值等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想． 9.答案：C解析：解：函数f(x)=2sin(2x +π3)，把由f(x)图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=2sin(2x −π6)的图象，关于函数g(x)，令x =π6，可得g(x)=1，不是最值，故排除A ； 令x =π3，求得g(x)=2，为最大值，故排除B ；在[−π24,5π24]上，2x −π6∈[−π4,π4]，故g(x)在[−π24,5π24]单调递增，故C 正确； 在[−π6,π3]上，2x −π6∈[−π2,π2]，故g(x)在在[−π6,π3]上单调递增，故D 错误，故选：C ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题． 10.答案：D解析：解：函数y =sin3x 的图象向右平移π4个单位长度， 得到y =sin3(x −π4)=sin(3x −3π4)，即所得的函数解析式是y =sin(3x −3π4).故选：D ．根据三角函数的图象平移关系进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合三角函数的图象平移关系是解决本题的关键，属于基础题．11.答案：−45解析：解：∵点P(cosα,sinα)在直线y =2x 上， ∴sinα=2cosα，又sin 2α+cos 2α=1， 解得：cos 2α=15；∴cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosα=−4cos 2α=−45．故答案为：−45．根据点P 在直线上，得到sinα和cosα之间的关系，利用同角三角函数基本关系式公式和诱导公式化简得出答案．本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．12.答案：[−1,−23]解析：解：y =√32sinπx +12cosπx =sin(πx +π6)∵x ∈[23,t]，∴πx +π6∈[56π,πt +π6]，∵当x =23时，y =12，∴M ≥12或−1≤m <12，即−1≤−2M <12，∴−14<M ≤12， ∴M =12，m =−1．由正弦函数的图象可知，πt +π6∈[32π,136π]，解得t ∈[43,2]．∴(m +M)t =(−1+12)t ∈[−1,−23].故答案为：[−1,−23].先根据辅助角公式将函数y 化简为y =sin(πx +π6)，从而得πx +π6∈[56π,πt +π6]，当x =23时，y =12，由此可推出M ≥12或−1≤m <12，进而得到M =12，m =−1.再结合正弦函数的图象可知，πt +π6∈[32π,136π]，解之得t 的取值范围，故而得解．本题考查三角函数与三角恒等变换的综合应用，涉及辅助角公式、正弦函数的图象与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2cosxcos(x −π6)−√3sin 2x +sinxcosx=√3cos 2x +sinxcosx −√3sin 2x +sinxcosx =√3cos2x +sin2x =2sin(2x +π3)，所以，f(x)的最小正周期为T=2π2=π．令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x+π3)，将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=2sin(x+π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，所以g(x)=2sin(x+π3+π4)=2sin(x+7π12)．由[g(x)]2−(2+a)g(x)+2a=0，得g(x)=2，或g(x)=a．当x∈[−3π4,π4]时，x+7π12∈[−π6,5π6]．当且仅当x+7π12=π2，即x=−π12时，g(x)=2．由题意，g(x)=a仅有一个根，因为2sin(−π6)=−1，2sin5π6=1，所以，a的取值范围是[−1,1)．解析：(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论．(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再结合三角函数的图象与性质，求得a的范围．本题考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，定义域和值域，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象与性质，属于中档题．14.答案：解：(Ⅰ)∵tanα<0，且sinα=13，∴cosα=−√1−sin2α=−2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29．(Ⅱ)由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为α−π4．∵cos(α−π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4=−2√23×√22+13×√22=√2−46，sin(α−π4)=sinαcosπ4−cosαsinπ4=13×√22+2√23×√22=√2+46，∴点Q的坐标为(√2−46,√2+46)．解析：(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin2α的值．(Ⅱ)由题意利用任意角三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得点Q的坐标．本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于基础题．15.答案：解：(1)因为α∈(π2,π)，且sinα=35．所以：cosα=2α=−45；∴tanα=−34；∴tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=−34−11+(−34)×1=−7；(2)因为α∈(π2,π)，∴α2∈(π4,π2)；又cosα=−45=1−2sin2α2⇒sinα2=3√1010；∴sin(α2+2019π)=−sinα2=−3√1010．解析：(1)根据三角函数的定义先求出cosα，即可得到结论．(2)利用三角函数的诱导公式进行化简进行求解即可．本题主要考查三角函数的定义以及三角函数的诱导公式的应用，属于基础题目．16.答案：解：(1)易知A=1，T=4(7π12−π3)=π，故ω=2ππ=2．故此时f(x)=sin(2x+φ)，将(π3,0)代入得sin(2π3+φ)=0，因为此处函数递减，故2π3+φ=π+2kπ,k∈Z，结合φ的范围，当k=0时，得φ=π3，故f(x)=sin(2x+π3)．(2)sin(α−π2)=−13，得cosα=13，sinα=2√23．所以f(α)=sin(2α+π3)=sin(2α)cosπ3+cos2αsinπ3=2sinαcosα×12+(2cos2α−1)×√32 =2×2√23×13×12+(2×(13)2−1)×√32=4√2−7√318．解析：(1)根据最高点与最低点的坐标求出A 的值，再根据最低点、零点间的距离求出周期，进而求出ω的值，最后结合最小值点求出φ值；(2)先根据sin(α−π2)=−13，求出cosα的值，然后根据倍角公式求出结论．本题考查三角函数的图象与性质，据图求式时，利用零点求φ值时，要注意零点处的增减性．属于中档题． 17.答案：解：(1)∵f(x)=cos 4x +2sinxcosx −sin 4x ，=(cos 2x −sin 2x)(cos 2x +sin 2x)+sin2x ，=cos2x +sin2x ，=√2sin(2x +π4)， 故f(x)的最小正周期T =π；(2)由x ∈[0,π2]可得2x +π4∈[π4,5π4]， 当2x +π4=π2即x =π8时，函数取得最大值√2，当得2x +π4=5π4即x =π2时，函数取得最小值−1．解析：(1)先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；(2)由x 的范围先求出2x +π4的范围，结合正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数的最值的求解，属于基础试题．18.答案：解：(1)角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−4,3)． 所以cosα=−45．(2)由于α为第二象限角，所以cosα=−45，sinα=35．由于sin(α−β)=513，所以cos(α−β)=±1213当cos(α−β)=1213时，所以sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=5665．当cos(α−β)=−1213时，所以sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=−1665故结果为5665或−1665．解析：(1)直接利用三角函数定义的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.答案：解：(Ⅰ)由于f(x)=√32sin2x−1+cos2x2−12=√32sin2x−12cos2x−1=sin(2x−π6)−1，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，求得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间是[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z．令2x−π6=kπ，求得x=kπ2+π12，可得它的图象的对称中心是(12kπ+π12,−1),k∈Z．(Ⅱ)∵−π12≤x≤5π12，∴−π3≤2x−π6≤2π3，∴−√32≤sin(2x−π6)≤1，从而−1−√32≤sin(2x−π6)−1≤0，则f(x)的值域是[−1−√32,0]．解析：(Ⅰ)利用三角恒等变换花简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得它的单调递增区间及其图象的对称中心．(Ⅱ)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、图象的对称性、定义域和值域，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)因为sinα=√55，α∈(0, π2)，所以cosα=2√55，所以sin(α+π6)=√32sinα+12cosα，=√1510+2√510=√15+2√510．(Ⅱ)因为α∈(0, π2)，所以α+π6∈(π6, 2π3)，又因为cos(α+π6)=√55，所以sin(α+π6)=2√55，所以sinα=sin[(α+π6)−π6]=√32sin(α+π6)−12cos(α+π6)，=2√1510−√510=2√15−√510．解析：(I)由已知结合同角平方关系可求cosα，然后结合两角和的正弦公式即可求解；(II)由已知结合两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角基本关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．5-B ．19-C ．5 D ．193．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（ ）米．A ．10B ．2C ．15D ．1524．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43- C ．53- D ．45-5．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425- B ．725 C ．2425D ．725-6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）.A ．3B ．12-C ．32D ．127．2cos 232cos()4θθθ=-，则sin 2θ=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-8．设31cos 29sin 2922a =-，1cos662b -=、22tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ） A ．19B ．459C ．19-D ．459-10．已知()1sin 2=-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．310-B ．310 C ．35D ．35二、填空题13．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.15．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 16．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．17．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______．18．将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移4π个单位长度后，得到函数g (x )的图象，如果g (x )在区间[0]a ，上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 19．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 20．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min7x x π-=，求ϕ的值.23．若函数223sin cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 24．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 25．已知函数()sin (sin 3cos )1f x x x x =+-. （1）若(0,)2πα∈，且1sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.26．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 3．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ． 【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠=∴30PE DE PD CD ==== ∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．4．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．5．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.6．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒2=. 故选：C.7．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin2cos()cos cos sin sin444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin2cos sinθθθθθθ+-==-，()2cos sin2θθθ∴-=，两边平方得()241sin23sin2θθ-=，解得sin22θ=-（舍去）或2sin23θ=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin2θθθ-=，再平方求解.8．B解析：B【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,ab c，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】129si sin(6029)si3n29122na =︒-︒=︒=-，b=sin33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin161tan161ccos16sin32os16c===︒︒︒︒=︒︒︒++，显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b<<．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．9．C解析：C【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．10．B解析：B 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】()()1sin 2f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；当π2x =时，ππ1024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项； （3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】 由题意3sin 2θ=-，1cos 2θ=，所以，31sin sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-16．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.17．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可 【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 18．【分析】求出的平移后的解析式再利用函数在区间上是单调递减函数从而得到的最大值【详解】由题意将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象因为函数在区间上是单调递减所以解得所以实数的最大值为故答案为：解析：4π【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到a 的最大值.【详解】由题意，将函数()cos 2f x x =的图象向左平移4x个单位长度，得到函数()cos 2+n 4si 2g x x x π⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为函数()g x 在区间[0]a ，上是单调递减，所以022a π<≤，解得04a π<≤，所以实数a 的最大值为4π. 故答案为：4π. 19．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：120．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos a ≤≤12k ⎡∈⎢⎣⎦；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=， 此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， 此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =， 综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝， 所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）37π；（2）14π. 【分析】（1）题意说明周期6T π≥，4x π=是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6T π≥得ω的范围，从而得ω的值；（2）()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π，由此可得． 【详解】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤.又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论． 23．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 24．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π， 得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可. 25．（1）12；（2）T π=；调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】先把函数()f x 化简，（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】21()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62f x x x x x x x x π=-=-=--，（1）由(0,)2πα∈，1sin 2α=，可得6πα=，所以1()sin(2)sin 66662f ππππ=⨯-==，（2）函数周期为22T ππ==， 令2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，k Z ∈， 解得[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈.26．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试(含答案解析)
一、选择题1．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A ．14B ．2π C ．4π D ．123．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定4．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=5．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．sin15cos15+=（ ） A ．12B ．22C ．3 D ．6 8．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1B ．2C ．2.5D ．49．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-10．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ）A ．79B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为75°，则山高h =______米.14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-=⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________. 15．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________． 16．方程2sin 2cos 20x x ++=的解集为________.17．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 18．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________． 19．已知50sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，tan α=__________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知函数()sin 31f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.22．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 23．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 24．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6f x x x πωωω=-+->的最小正周期为π，（1）求ω的值 （2）求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若323f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 26．已知π0π2αβ<<<<，且5sin()13αβ+=，1tan 22α=. （1）求cos α的值； （2）求sin β.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==， 故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B2．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.3．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．4．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D5．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 6．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．7．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.8．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．9．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故选：C.10．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．【分析】求出在两个直角三角形中表示出再在直角梯形中建立等量关系解得【详解】首先山高为长度根据图可得∴解得故答案为：解析：150【分析】PQ h =，求出CQ ，在两个直角三角形中表示出,BC AQ ，再在直角梯形AQCB 中建立等量关系，解得h ． 【详解】首先sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒2321622-=⨯-⨯=， cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒2321622+=⨯+⨯=， 31tan 45tan 303tan 75tan(4530)231tan 45tan 3031+︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒-， 山高h 为PQ 长度，根据图可得，()200sin155062CQ =︒=-，3tan 603h AQ h ==︒，tan 75PCBC =︒()506223h --=+()()23503652h =---， ∴()()()323503652200cos1550623h h --+-=︒=+，解得()15062h =+.故答案为：()15062+.14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：35【分析】利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值． 【详解】由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-222222sin sin cos tan tan 933sin sin cos sin cos tan 1915ααααααααααα++-+====+++故答案为：3515．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直， 所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=， 则1cos sin 3ϕθ=±=±， 故答案为：13±16．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为： 解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈【分析】原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=， 即2cos 2cos 30x x --=，解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去）， 所以2,x k k Z ππ=+∈故答案为：{}2,x x k k Z ππ=+∈17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：解析：13-【分析】 由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解. 【详解】tan tan1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为：13-18．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析： 【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称， 故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为： 【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ； 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3 【分析】由平方关系求出cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 44444422ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴cos 10α==， sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，这就要确定4πα-的范围．以确定余弦值的正负．20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin 2αααααα=-，所以cos sin =αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12； 当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出；（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++，由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=，又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； （Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=， 所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 23．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.24．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可． （2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可． 【详解】解：（1）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，0>ω， 解得1ω=.（2）由（1）得π()sin(2)6f x x =+. 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤. 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为.25．（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos22322f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos22223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 3πα⎤⎛⎫=-+= ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角. 26．（1）3cos 5α=；（2）6365. 【分析】（1）根据二倍角的正切公式以及同角三角函数的关系，可求得结果； （2）由3cos 5α=求出4sin 5α，由5sin()13αβ+=求出12cos()13αβ+=-，再根据[]sin sin ()βαβα=+-以及两角差的正弦公式可得结果.【详解】（1）因为1tan22α=，所以22tan42tan 31tan 2ααα==-， 所以22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3cos 5α=.（2）由已知得322ππαβ<+<，又5sin()13αβ+=，所以12cos()13αβ+==-，又24sin 1cos 5αα， sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+531246313515565⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，二倍角的公式，两角差的正弦公式，关键在于观察，用已知角表示待求的角，属于中档题.。
高一三角函数考试题及答案
高一三角函数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. 1B. √2C. 2D. 02. 已知tan(α) = 1/2，则sin(α)的值为：A. 1/√5B. 1/√2C. 1/3D. 2/√53. 若cos(θ) = -√3/2，则θ所在的象限为：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 函数y = 2sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 4πD. 1/2π5. 若sin(α) = 3/5，且α在第一象限，则cos(α)的值为：A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/56. 已知tan(β) = -2，则β的终边所在的象限为：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [0, √2]C. [-√2, √2]D. [1, √2]8. 若sin(α) = 1/2，则α的取值范围为：A. α = π/6 + 2kπ 或α = 5π/6 + 2kπ，k∈ZB. α = π/3 + 2kπ 或α = 2π/3 + 2kπ，k∈ZC. α = π/2 + 2kπ 或α = 3π/2 + 2kπ，k∈ZD. α = π/4 + 2kπ 或α = 3π/4 + 2kπ，k∈Z9. 函数y = cos(x)的图像关于：A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 直线y = x对称10. 若tan(γ) = √3，则γ的值为：A. π/3 + kπ，k∈ZB. π/4 + kπ，k∈ZC. π/6 + kπ，k∈ZD. 2π/3 + kπ，k∈Z二、填空题（每题3分，共15分）1. 已知sin(α) = 2/3，α在第二象限，则cos(α) = _______。
2. 若tan(β) = 1，则β = _______ + kπ，k∈Z。
高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）
⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。
高一数学第一章三角函数单元测试题及答案
三角函数数学试卷一、 选择题（本大题共12小题；每小题3分；共36分；在每小题给出的四个选项中；只有一个是符合要求的；把正确答案的代号填在括号内.） 1、600sin 的值是（ ）)(A ;21 )(B ;23 )(C ;23- )(D ;21-2、),3(y P 为α终边上一点；53cos =α；则=αtan （ ）)(A 43-)(B 34)(C 43± )(D 34±3、已知cos θ＝cos30°；则θ等于（ ）A. 30°B. k ·360°＋30°(k ∈Z)C. k ·360°±30°(k ∈Z)D. k ·180°＋30°(k ∈Z)4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ）5、函数的递增区间是6、函数)62sin(5π+=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） )(A ;12π-=x )(B ;0=x )(C ;6π=x )(D ;3π=x7、函数的图象向左平移个单位；再将图象上各点的横坐标压缩为原来的；那么所得图象的函数表达式为8、函数|x tan |)x (f =的周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π9、锐角α；β满足41sin sin -=-βα；43cos cos =-βα；则=-)cos(βα（ ）A.1611-B.85C.85-D.161110、已知tan(α＋β)=25；tan(α＋4π)=322； 那么tan(β－4π)的值是（ ）A ．15B ．14 C ．1318 D ．132211．sin1；cos1；tan1的大小关系是（ ）A.tan1>sin1>cos1 an1>cos1>sin1C.cos1>sin1>tan1D.sin1>cos1>tan112．已知函数f (x )=f (π-x )；且当)2,2(ππ-∈x 时；f (x )=x +sin x ；设a =f (1)；b =f (2)；c =f (3)；则（ ）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b 二、填空题（本大题共4小题；每小题3分；共12分；把最简单结果填在题后的横线上.13．比较大小 （1）0508cos 0144cos ；)413tan(π- )517tan(π-。
高一数学（人教版）必修四单元测试：三角函数（word版，有答案）
高一数学三角函数部分单元试卷班级________ 姓名__________学号________一、 选择题（每题5分）1. 集合|,24k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,42k N x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭（ ） (A)M N = (B)M N ≠⊂ (C) N M ≠⊂ (D)M N φ=2．下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （ ）（A ）sin ||y x =-（B ）cos ||y x =（C ）sin(2)2y x π=+ （D ）cos(2)2y x π=+ 3．如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+的值是 （ ）（A ）．12-（B ）12（C ）4．已知1sin 1a a θ-=+，31cos 1a aθ-=+，若θ为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） （A ）.1(1,)3a ∈- （B ）. 1a = (C). 119a a ==或 (D). 19a = 5. 方程cos x x =在(,)-∞+∞内 （ ）(A).没有根 (B).有且只有一个根 (C).有且仅有两个根 (D).有无穷多个根 6. 设将函数()cos (0)f x x ωω=>的图像向右平移3π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）13（B ） 3 （C ） 6 （D ） 9 7.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位8.已知函数()sin(2),f x x ϕ=+其中ϕ为实数. 若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （ ）A ． ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ． 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ． ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题4分）9.函数sin y x ω=和函数tan (0)y x ωω=>的最小正周期之和为π,则ω=________ 10．已知α、β∈[－π2，π2]且α＋β<0，若sin α＝1－m ，sin β＝1－m 2，则实数m 的取值范围是_________________11．令tan a θ=，sin b θ=，cos c θ=，若在集合π3π,44θθθ⎧-<<≠⎨⎩ππ0,,42⎫⎬⎭中，给θ取一个值，,,a b c三数中最大的数是b ，则θ的值所在范围是____________ 12.若函数()2sin (01)f x x ωω=<<在闭区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2，则ω的值为______ 13.22sin120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒=_______三、解答题（每题10分）14. 已知tan 2α=，计算①2cos()cos()2sin()3sin()2παπαπαπα+----+ ②33sin cos sin 2cos αααα-+15. 已知函数3)62sin(3)(++=πx x f（1（2）指出)(x f16.已知在ABC ∆中,17sin cos 25A A += ①求sin cos A A②判断ABC ∆是锐角三角形还是钝角三角形 ③求tan A 的值17.已知函数lg cos(2)y x ，（1）求函数的定义域、值域； （2）讨论函数的奇偶性；（3）讨论函数的周期性 （4）讨论函数的单调性高一数学三角函数部分试卷参考答案一、 选择题（每小题3分，共40分）二、 填空题（每小题4分，共20分）9． 3 10.11． 3(,)24ππ 12. 3413. 1三．解答题：(本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14.解 (1)tan 2α=2sin cos 2tan 13cos 3sin 13tan 7αααααα-+-+∴==-++原式=（5分）(2)322322sin cos (sin cos )sin 2cos sin cos αααααααα-+=++原式（）3232tan tan 11tan 2tan 26αααα--==++ （10分） 15解：（1）图略 （5分） （2）04,3,6T A ππϕ===，22()3x k k Z ππ=+∈对称轴 3ππ对称中心（-+2k ,3）， （10分）16解：（1）17sin cos 25A A +=两边平方得 21712sin cos 25A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭336sin cos 625A A =-.......（3分）(2)17sin cos 125A A +=< 2A π∴>,ABC ∆为钝角三角形 ..................（6分）（3）2217sin cos 25sin cos 1A A A A ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 得24sin 257cos 25A A ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩24tan 7∴=- ....（10分）17. 解（1）定义域(,)()44k k k Z ππππ-++∈ 值域(,0]-∞ ....（3分）(2) 偶函数 ........（5分） （3）T π= ........（8分） （4）增区间(,)()4k k k Z πππ-+∈减区间(,)()4k k k Z πππ+∈ ........（10分）。
三角函数测试题及答案
高一年级新教材三角函数单元测试卷一、单选题1.() 1920sin -=( ) A.21 B.21- C. 23 D.23-2.已知扇形的圆心角为3弧度,弧长为6cm,则扇形的面积为( )2cm A.2B.3C.6D.123.已知α为第三象限角,且25sin 5α=-,则cos (α= ) A.55B.55-C.255D.255-4.已知函数)32sin()(π+=x x f ,为了得到函数)62cos()(π+=x x g 的图象,可以将)(x f 的图象( )A.向右平移6π个单位长度B.向左平移12π个单位长度C.向左平移6π个单位长度D.向右平移12π个单位长度5.函数)1sin 2lg(+=x y 的定义域为( )A.},656|{Z k k x k x ∈+<<+ππππ B.},676|{Z k k x k x ∈+<<+ππππC.},65262|{Z k k x k x ∈+<<+ππππD.},67262|{Z k k x k x ∈+<<-ππππ6.若函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=2sin πϕϕωx x f 的部分图象如图所示,则ω和ϕ的值是( )A.3,1πϕω== B.3,1πϕω-== C.6,21πϕω== D.6,21πϕω-==7.如图,在平面直角坐标系中,角)0(παα≤≤的始边为x 轴的非负半轴,终边与单位圆的交点为A ,将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ,过点B 轴作x 的垂线,垂足为Q ,记线段BQ 的长为y ,则函数)(αf y =的图象大致是( )8.若将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<+=22sin 2πϕϕx x f 的图象向左平移6π个单位后得到的图象关于轴对称,则函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 23二、多选题9. 下列结论正确的是( )A. 67π-是第三象限角B. 若圆心角为3π的扇形的弧长为π,则该扇形面积为23πC. 若角的终边过点P(-3,4),则53cos -=α D. 若角为锐角,则角为钝角10.下列各式中,值为23的是( ) A. 15cos 15sin 2 B. 15sin 15cos 22- C. 15sin 212- D. 15cos 15sin 22+11.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向右平行移动5π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B.向右平行移动10π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C.横坐标缩短到原来的12倍,再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D.横坐标缩短到原来的12倍,再把所得各点向右平行移动10π个单位长度12.已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>,||)2πϕ<,其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π,且直线12x π=-是其中一条对称轴,则下列结论正确的是( )A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间[6π-,]12π上单调递增 C.点5(24π-,0)是函数()f x 图象的一个对称中心D.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的图象向左平移6π个单位长度,可得到()sin 2g x x =的图象 三、填空题13.已知3)tan(,4tan =-=βπα,则)tan(βα+= .14.函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++-=65,6,23sin 2cos 22ππx x x x f 的值域是 .15.已知)4,0(,34cos sin πθθθ∈=+,则θθcos sin -= .16.已知π1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则25πsin sin 6π3x x -+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 .四、解答题17.已知3sin(3π)cos(2π)sin π2()cos(π)sin(π)f αααααα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭=--⋅--.(1)化简()f α;(2)若α为第四象限角且31sin π25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f α的值;(3)若31π3α=-,求()f α.18.已知α,β为锐角,1cos 7α=,11cos()14αβ+=-.(1)求sin()αβ+的值;(2)求cos β的值.19.已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x =+∈R .(1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 的最值及取得最值时x 的集合.20.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0经长期观测,港口的水深与时间关系,可近似用函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>++=2,0,sin πϕωϕωA B t A t f 描述.(1)根据以上数据,求出函数()()B t A t f ++=ϕωsin 的表达式; (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米,安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？21.已知0a >,函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++,当[0,]2x π∈时,()51f x -≤≤.(1)求常数,a b 的值;(2)设()()2g x f x π=+且()lg 0g x >,求()g x 的单调区间.22.已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭,其图象与x 轴相邻两交点的距离为2π.(1)求函数()f x 的解析式;（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭,求当m 取得最小值时,()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.1.【答案】D【解析】sin (-1920°)=- sin 1920°=- sin (21x90°+30°)=-cos30°＝23-求三角函数值,根据诱导公式负化正(即把负角转化为正角),把较大的正角化为 k .90°+α的形式,α为锐角,根据奇变偶不变符号看象限,把所求的三角函数转化为求锐角的三角函数,即可求出.2.【答案】C【解析】因为扇形的圆心角为3弧度,弧长为6cm, 所以其所在圆的半径为623r ==, 因此该扇形的面积是21166m 2c 22S lr ==⨯⨯=,故选C.3.【答案】B【解析】因为α为第三象限角,且25sin 5α=-,则22255cos 11()55sin αα=--=---=-. 4. 【答案】C【解析】5.【答案】D【解析】6.【答案】D【解析】7.【答案】B 【解析】8.【答案】A 【解析】9.【答案】BC 【解析】10.【答案】BC【解析】11.【答案】AD【解析】将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度得到y ＝sin(x 5π-),再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍得到y ＝sin(2x 5π-).也可以将函数y ＝sin x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍得到y ＝sin2x , 再把所得各点向右平行移动10π个单位长度得到y ＝sin2(x 10π-)＝sin(2x 5π-).12. 【答案】AC 【解析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>,||)2πϕ<,其图象相邻两条对称轴之间的距离为1224ππω⋅=,4ω∴=,()sin(4)f x x ϕ=+. 直线12x π=-是其中一条对称轴,4()122ππϕπ∴⨯-+=+,Z ∈,6πϕ∴=-,()sin(4)6f x x π=-.故函数()f x 的最小正周期为242ππ=,故A 正确; 当[6x π∈-,]12π,54[66x ππ-∈-,]6π,函数()f x 没有单调性,故B 错误; 令524x π=-,求得()0f x =,可得点5(24π-,0)是函数()f x 图象的一个对称中心,故C 正确;将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,可得sin(2)6y x π=-的图象;再把得到的图象向左平移6π个单位长度,可得到()sin(2)6g x x π=+的图象,故D 错误, 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式,由周期求出ω,由图象的对称性求出ϕ的值,正弦函数的图象和性质,属于中档题.13.【答案】131 【解析】14.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,1【解析】15.【答案】32-【解析】16.【答案】59【解析】因为5πππ1sin sin πsin 6663x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2222πππππ18sin sin cos 1sin 13266699x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以25ππ185sin sin 63399x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17.【答案】(1)()cos f αα=-;(2)15-;(3)12-.【解析】(1)[]3sin(π)cos()sin π(sin )cos (cos )2()cos cos(π)sin(π)(cos )sin f αααααααααααα⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪-⋅⋅-⎝⎭===-+⋅-+-⋅.(2)因为31sin πsin cos 2π25ααα⎛⎫⎛⎫-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1()cos 5f αα=-=-.(3)因为31π3α=-,()cos f αα=-, 所以31π31cos π33f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 52ππcos πco 3πs 13321⎛⎫⎪⎛⎫=--⨯-=--=- ⎝⎭⎭=-⎝⎪. 18.解：(1)α,β为锐角,11cos()14αβ+=-. ∴2παβπ<+<,221153sin()1()1()14cos αβαβ∴+-+=--. (2)α为锐角,1cos 7α=,22143sin 11()7cos αα∴=-=-=. cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ∴=-+=⋅++⋅+ 11143531()7142=⨯-=. 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.19.(2)当142sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ,可得()Z k k x ∈+=+πππ2242,即()Z k k x ∈+=ππ8时,函数()x f 的最大值为12+,此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,8|ππ.20.21.(1)由[0,]2x π∈,所以72[,]666x πππ+∈,则1sin(2)[,1]62x π+∈-,所以2sin(2)[2,]6a x a a π-+∈-,所以()[,3]f x b a b ∈+,又因为()51f x -≤≤,可得531b a b =-⎧⎨+=⎩,解得2,5a b ==-. (2)由(1)得()4sin(2)16f x x π=-+-,则()7()4sin(2)14sin(2)1266g x f x x x πππ=+=-+-=+-, 又由()lg 0g x >,可得()1g x >, 所以4sin(2)116x π+->,即1sin(2)62x π+>, 所以5222,666k x k k Z πππππ+<+<+∈, 当222,662k x k k Z πππππ+<+≤+∈时,解得,6k x k k Z πππ<≤+∈, 此时函数()g x 单调递增,即()g x 的递增区间为(,),6k k k Z πππ+∈ 当5222,266k x k k Z πππππ+<+<+∈时,解得,63k x k k Z ππππ+<<+∈, 此时函数()g x 单调递减,即()g x 的递减区间为(,),63k k k Z ππππ++∈. 22.解：(1)()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 311cos22cos24222x x x ωωω-=--⨯+ 33sin 2cos222x x ωω=+ 323x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由已知函数()f x 的周期T π=,22ππω=,1ω= ∴()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (2)将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()3223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, ∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭3sin 22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴23m k ππ-=,k Z ∈ ∴26k m ππ=+,k Z ∈ ∵0m >,∴当0k =,m 取最小值,此时最小值为6π此时,()2323g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤,则2112336x πππ≤+≤ 当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤,即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时,函数()g x 单调递增 当232232x πππ≤+≤,即51212x ππ-≤≤时,函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2023最新人教版高中数学必修一第五章《三角函数》单元测试(附答案解析)
试卷第 4 页，共 4 页
1．C
参考答案：
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】 cos
150
cos150 cos(1800 300 ) cos 300
3， 2
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应 用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值. 2．A
答案第 2 页，共 12 页
【详解】 f (x) sin x cos
2
sin( x
π 4
)
，因为
x
a
,
b
，所以
x
π 4
a
π 4
,
b
π 4
，因
为 1
2
sin( x
π 4
)
2 ，所以
2 2
sin( x
π 4
)
1.
正弦函数
y
sin
x
在一个周期
π 2
,
3π 2
内，要满足上式，则
x
π 4
π 4
f
x
sin x
的图象过点
1 3
,1
，若
f
x 在2, a 内有
5
个
零点，则 a 的取值范围为______.
四、解答题
17．在① sin
6 3
，②
tan 2
2 tan 4 0 这两个条件中任选一个，补充到下面的
问题中，并解答.
已知角 a 是第一象限角，且___________.
(1)求 tan 的值；
S1 S2
2
1 2
可求得