等差数列求和公式复习过程
数列的求和-高考数学一轮复习(新高考专用)
第43讲 数列的求和【基础知识回顾】 1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 3、常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).1、数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100【答案】 D【解析】 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56 C ．16D ．130【答案】：B 【解析】：因为()11111n a n n n n ==-++，所以5111111111151122334455666S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ． 3、设11111++++2612(1)S n n =++，则S =( )A ．211n n ++ B ．21n n - C ．1n n+ D ．21n n ++ 【答案】：A 【解析】：由11111++++2612(1)S n n =++，得11111++++122334(1)S n n =+⨯⨯⨯+，111111112111++++222334111n S n n n n +=+-==+++----，故选：A.4、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________.【答案】 2 022【解析】 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023， ∴n ＝2 022.5、已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．【答案】：5000【解析】：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000．6、 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________． 【答案】：2n【解析】：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ．考向一 公式法例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】4 42【解析】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴()1535524022a a a ⨯+⨯==，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-，514254a ∴=-⨯=，()122(12142)(262)13169(13)13()22224n n n a a n n n n S n n n n n ++--====-=-+=--+, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42. 故答案为：（1）4；（2）42.变式1、(2019镇江期末） 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．【答案】 12【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 6a 3＝－12.易得S 6＝S 3(1＋q 3)，所以S 6S 3＝1＋q 3＝1－12＝12.变式2、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 【答案】.37【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为622a a =，所以2422a q a =，故24=q ．由于1≠q ，故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812=--=--=--=----=q q q q qq a q q a S S 方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.考向二 利用“分组求和法”求和例2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d ， 由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+= ① 又因为124,,a a a 成等比数列， 所以2214a a a =⋅，()()21113a d a a d +=⋅+，21d a d =，又因为0d ≠， 所以1a d =. ② 由①②得11,1a d ==， 所以n a n =，111b a ==，222b a == ，212b q b ==， 12n n b -∴= .(2)因为()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122 (2)12231n n S n n -⎛⎫=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+ 121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和121nn S n =-+.变式1、求和S n ＝1＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋12n －1.【解析】 原式中通项为a n ＝⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋ (12)－1＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12 ＝12n －1＋2n －2. 变式2、 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3.又S 2＝2a 1＋d ，所以a 1＝d ， 易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.变式3、（2021·广东高三专题练习）设数列{a n }满足a n +1＝123n a +，a 1＝4． （1）求证{a n ﹣3}是等比数列，并求a n ； （2）求数列{a n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）证明见解析，11()33n n a -=+；（2）31(1)323n n -+．【解析】（1）数列{a n }满足a n +1＝123n a +，所以113(3)3n n a a +-=-， 故13133n n a a +-=-， 所以数列{a n }是以13431a -=-=为首项，13为公比的等比数列． 所以1131()3n n a --=⋅，则1*1()3,3n n a n N -=+∈． （2）因为11()33n n a -=+，所以011111()()()(333)333n n T -=++++++⋯+＝11(1)33113n n -+-＝31(1)323n n -+． 方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和．考向三 裂项相消法求和例3、（2021·四川成都市·高三二模（文））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得20T 的值为（ ）A ．1939B ．3839C ．2041D ．4041【答案】C 【解析】当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；而12111a =⨯-=也符合21n a n =-，∴21n a n =-，*n N ∈.又11111()22121n n a a n n +=--+， ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-+++，所以202020220141T ==⨯+，故选：C.变式1、（2021·全国高三专题练习）已知在数列{}n a 中，14,0.=>n a a 前n 项和为n S ，若1,2)-+=∈≥n n n a S S n N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：132020n T <<【解析】（1）在数列{}n a 中，1(2)n n n a S S n -=-≥①∴1n n n a S S -=且0n a >，∴①式÷②11n n S S -= (2)n ≥， ∴数列{}nS 1142S a ===为首项，公差为1的等差数列，2(1)1n S n n =+-=+ ∴2(1)n S n =+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+；当1n =时，14a =，不满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩．（2）由（1）知4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，∴当1n =时，114520n T ==⨯， ∴当1n =时，120n T =，满足132020n T ≤<，∴12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++1111455779(21)(2n =++++⨯⨯⨯+111111111111()()()()45257792123202523n n n ⎡⎤=+⨯-+-++-=+⨯-⎢⎥⨯+++⎣⎦ 312046n =-+ ∴在n T 中，1n ≥，n ∈+N ，∴4610n +≥，∴114610n ≤+，∴1104610n >-≥-+，∴131320204620n ≤-<+．所以132020n T << 变式2、（2021·辽宁高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <.【解析】解：（1）因为2n n a S n =+①， 所以()11212n n a S n n --=+-≥② 由①-②得，121n n a a -=+.两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+，所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列. （2）令1n =，1121a S =+，则11a =. 由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-.因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a n ＝1n n ＋k 时，可转化为a n ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ，此类数列适合使用裂项相消法求和． （2）数列的通项公式形如a n ＝1n ＋k ＋n时，可转化为a n ＝1k(n ＋k －n )，此类数列适合使用裂项相消法求和．考向四 错位相减法求和例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()21n n S n a n N*=+∈，且12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+,即11n n a a n n +=+,n *∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列, 所以121n a a n ==, 所以2n a n =（2）由（1）,(1)2=(21)4n ann n b a n =--, 所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-+-…两式相减得：23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--…，2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯---，化简得120(65)4+99n n n T +-= 变式1、（2020·全国高三专题练习（文））已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且22a =，5S 为10和20的等差中项；数列{}n b 为等比数列，且319b b -=，4218b b -=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n M ． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，5S 为10和20的等差中项，所以112541020522a d a d +=⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =． 设等比数列{}n b 的公比为q ，因为319b b -=，4218b b -=，所以2121(1)9(1)18b q b q q ⎧-=⎨-=⎩，解得132b q =⎧⎨=⎩， 所以132n n b -=⋅．（2）由（1）可知132n n n a b n -⋅=⋅，所以213(122322)n n M n -=+⨯+⨯++⋅，令21122322n n P n -=+⨯+⨯++⋅ ①， 则232222322n n P n =+⨯+⨯++⋅ ②，-①②可得2112122222(1)2112nn nn n n P n n n ---=++++-⋅=-⋅=---，所以(1)21nn P n =-+，所以3(1)23n n M n =-+．变式2、（2020·湖北高三期中）在等差数列{}n a 中，已知{}35,n a a =的前六项和636S =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若___________(填①或②或③中的一个)，求数列{}n b 的前n 项和n T .在①12n n n b a a +=，②(1)nn n b a =-⋅，③2na n nb a =⋅，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由题意，等差数列{}n a 中35a =且636S =，可得112561536a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1d a ==，所以1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）选条件①：211(2n 1)(21)2121nb n n n ==--+-+，111111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选条件②：由21n a n =-，可得(1)(2n 1)nn b =--，当n 为偶数时，(13)(57)[(23)(21)]22n nT n n n =-++-+++--+-=⨯=； 当n 为奇数时，1n -为偶数，(1)(21)n T n n n =---=-，(1)n n T n =-，选条件③：由21n a n =-，可得212(21)2n a n n n b a n -=⋅=-⋅， 所以135********(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，35721214123252(23)2(21)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减，可得：()13521213122222(21)2n n n T n -+-=⨯++++--⨯()222181222(21)214n n n -+-=+⋅--⨯-，所以2110(65)299n n n T +-=+⋅. 方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。
第九讲等差数列求和
第九讲等差数列求和计算能力是重要的数学能力，计算要准确、熟练，还要运用运算定律简化计算。
对特殊规律的计算还要研究解决它的特殊规律和公式。
本讲介绍等差数列的求和问题。
一、从高斯求和故事谈起高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一。
高斯10岁的时候，数学教师出了一道数学题：1＋2＋3＋………＋100。
老师刚写完题目，高斯就把解题用的小石板交给老师，过了很久其他同学才写出答案。
老师非常吃惊地发现高斯的石板上只写了一个答数5050。
（后来高斯经过刻苦努力，终于成了世界著名的数学家。
）大家想想，高斯是怎样算的呢？其实奥妙在于高斯是发现了以下规律：两两搭配，共有（100÷2）50个101，总和是5050。
以上思考方法可用一个算式表示如下：（1＋100）×（100÷2）＝5050这个故事，使我们受到启发，要想算得又巧又快，就必须善于观察，注意题目的构造规律，以上问题是从1开始的连续自然数求和。
相邻两个自然数的差都是相等的（差都等于1）思考求和：（1）1＋2＋3＋…＋50（2）1＋2＋3＋…＋200（3）1＋2＋3＋…＋149（4）51＋52＋53＋…＋100（5）101＋102＋103＋…＋200（6）101＋102＋103＋…＋149二、等差数列求和按一定规律排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的一项，排在第一个位置的叫第一项，也叫首项；第二个叫第二项；第三个数叫第三项；…。
最后一项又叫末项。
第一项（首项）用a1表示，第二项用a2表示，…，第n项用a n表示。
如数列1，3，5，7， (99)a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，…。
对于一个数列，往往需要确定它的每个项或者计算某些项的和等等，这就要求我们首先研究数列的构造规律。
前面的故事说明，小高斯正是这样做的。
1．等差数列观察以下数列：2，4，6，8，…；1，4，7，10，…。
第一个数列的相邻两项的差都是2，第二个数列相邻两项之差都是3。
等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法 第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --=3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
高考数学一轮复习 等差数列求和方法学案(含解析)苏教
等差数列求和方法【考点1】等差数列的前n 项和公式 （1）等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=，或d n n na S n 2)1(1-+=，此式还可变形为n da n d S n )2(212-+=．（2）倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项公式的推导所用方法）．例1在等差数列{a n }中，（1）已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； （2）已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．【点拨】利用等差数列前n 项和公式的变形形式n da n d S n )2(212-+=待定系数法求解． 【解析】（1）不妨设S n ＝An 2＋Bn ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n∴S 28＝2×282－17×28＝1092．（2）∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16S 8＝442)(881=+a a ．【答案】（1）1092；（2）44．【小结】本题考查等差数列前n 项和公式．例2设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 前50项的绝对值之和．【点拨】通过通项公式找到数列{}n a 中的正．负分界项，利用等差数列前n 项和公式求解． 【解析】（1）由已知可知22,232510-==a a ，d a a 151025=-d 152322=--∴，解得3-=d ．509101=-=d a a 533+-=∴n a n ．（2）此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数．前50项的绝对值之和()()()20591175442225017175017501918173211321=--⨯=-=--=+++-++++=+++++=-S S S S S a a a a a a a a a a a a S n n ΛΛΛ．【答案】（1）353n a n =-+；（2）2059． 【小结】本题考查等差数列前n 项和公式练习1：已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和． 【解题过程】【解析】112,5211,6n n n n b a n n -≤⎧==⎨-≥⎩，当5n ≤时，2(9112)102n n S n n n =+-=-当6n ≥时，255525(1211)10502n n n S S S n n n --=+=++-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)6(,5010)5(,1022n n n n n n S n ．【考点2】等差数列前n 项和的最值 （1）在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定． （2）因为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最______值；当d <0时，S n 有最______值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．例3设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0．（1）求公差d 的范围；（2）问前几项的和最大，并说明理由．【点拨】找到数列{}n a 中的正．负分界项是解题关键．【解析】（1）根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3．（2）∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7<0，∴a 7<0．又S 12＝12a 1＋a 122＝6（a 1＋a 12）＝6（a 6＋a 7）>0，∴a 6>0．∴数列{a n }的前6项和S 6最大．【答案】（1）－247<d <－3；（2）数列{a n }的前6项和S 6最大．【小结】本题考查等差数列的最值．练习1：设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是________（只填序号）．①d <0；②a 7＝0；③S 9>S 5；④S 6与S 7均为S n 的最大值 【解题过程】【解析】由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0．又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0．故①②正确．由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2（a 7＋a 8）<0即S 9<S 5故③错误，④正确．【考点3】等差数列前n 项和的性质（1）数列{}{}{}212n n n a a ka b -+，，仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列；（2）若n 为偶数，则2nS S d -=偶 奇；若n 为奇数，则S S a -=偶 奇中（中间项）；例4一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和是________．【点拨】利用232n n n n n S S S S S --，，……成等差数列求解．【解析】数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D ．前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋（11－1）D＝100＋10×（－22）＝－120．∴S 110＝－120＋S 100＝－110． 【答案】－110．【小结】本题考查等差数列前n 项和的性质．练习1：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若363,7,S S ==则9S 等于 ． 【解答过程】【解析】由{}n a 是等差数列知36396,,S S S S S --成等差数列，即()92437S ⨯=+-，解得912S =．例5已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________． 【点拨】根据S 偶－S 奇＝n2d 求解．【解析】当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d 知30－15＝5d ，∴d ＝3．【答案】3【小结】本题考查等差数列的前n 项和公式．当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d ；含21n +项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为1=S n S n+奇偶，之差为1=n S S a +-奇偶． 练习1：等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________． 【解题过程】【解析】设数列公差为d ，首项为1a ，奇数项共1n +项：令其和为1319n S +=；偶数项共n 项：令其和为290n T =．有()()()12121432212131929029n n n n n n S T a a a a a a a a nd ++-+-=--+-++-=-=-=⎡⎤⎣⎦L ，有211129n n a nd a nd a ++-=+==．基础练习1．（2014·福建卷） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于___________． 2．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于____________．3．在等差数列{}n a 中，10120S =，则29a a +=____________．4．等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是____． 5．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200320040a a +>,200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是________．6．（2014·北京卷） 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．7．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d<0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为________．8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =，则612SS 等于____________． 9．已知等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若1>m ，且0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ,则=m ___．10．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____________．11．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a += （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c ． 12．（2014·全国卷） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S na n n =--． （1）求2a ,3a ,4a ,并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证：41<n T ．参考答案1．【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋（6－1）d ＝2＋5×2＝12．2．【解析】∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋（n －1）×3，即a n ＝3n －63 ∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n>21；a n <0时，n<21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2（a 1＋a 2＋…＋a 21）＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765．3．【解析】本题考查等差数列的前n 项和公式及等差数列的质.()11010102a a S +=.()295120a a =+=2924.a a ∴+=4．【解析】本题考查等差数列的性质.39,a a =-由题意可知即390a a +=所以63920a a a =+=，又因为公差0d <，所以70a <，n S 取得最大值的自然数n 是5或6.【答案】5或65．【解析】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式.由200320040a a +>，200320040a a ⋅<得200320040,0a a ><()1400620032004400640064600()=022a a a a S ++=>140072004200440074007()4007()022a a a a S ++==<，所以前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4006. 【答案】40066．【解析】∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n＝8时，数列{a n }的前n 项和最大．7．【解析】S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0， 又a 1>0，d<0，S 12＝a 1＋a 12·122＝0，故n<12时，S n >0．即S n >0成立的最大自然数n 为11．8．【解析】本题考查等差数列的性质232,,,n n n n n S S S S S --L 成等差数列. 由36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列得设36,3S x S x ==，则9636S S x x =+=， 129410S S x x =+=，612310S S =. 9．【解析】10． 10．【解析】 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11．则⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192，∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5．11．【解析】本题考查等差数列的概念及其性质. 由公差大于零的等差数列{}n a ,m n p q m n p q a a a a +=++=+,解得34,a a 的值，从而求得通项公式；{}n b 是等差数列， 只需计算前三项的的值就可以求得c 的值.【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d >.342522a a a a +=+=Q ，又34117a a ⋅=，34,a a ∴是方程2221170x x -+=的两个根． 又公差0d >,34a a ∴<，349,13a a ∴==.1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩,114a d =⎧∴⎨=⎩, 43n a n ∴=-.()2由()1知，()211422n n n S n n n -=⨯+⨯=-， 22n n S n n b n c n c -∴==++ 1231615,,123b b b c c c∴===+++ {}n b Q 是等差数列，2132b b b ∴=+，2120,2c c c ∴+=∴=-(0c =舍去)．12．【解析】（1）由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52， 因此d ＝－3．故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n ．（2）b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ．于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）． 13．【解析】（Ⅰ）由)1(2--=n n na S n n 得n na a n S S a n n n n n 4)1(111--+=-=+++ .41=-∴+n n a a 所以，数列}{n a 是以1为首项，4为公差的等差数列34-=∴n a n ，13,9,5432===a a a （Ⅱ）)14)(34(1139195151111113221+-++⨯+⨯+⨯=+++=+n n a a a a a a T n n n ΛΛΘ 41)1411(41]141341131919151511[41<+-=+-+++-+-+-=n n n Λ。
等差数列求和公式讲解
等差数列求和公式讲解等差数列求和公式，这可是数学中的一个重要知识点啊！咱们先来说说啥是等差数列。
比如说，1，3，5，7，9 这样的数列，每一项跟前一项的差值都一样，这个差值就叫公差。
那求和公式是啥呢？就是“和 = （首项 + 末项）×项数÷ 2”。
我给您举个例子来说明这个公式怎么用。
有一天我去逛超市，看到货架上摆着一排巧克力，第一块巧克力 2 元，往后每块都比前一块多 1 元，一直到第 10 块。
这时候咱们就可以用等差数列求和来算算这 10块巧克力总共值多少钱。
首项就是第一块巧克力的价格 2 元，末项就是第 10 块巧克力的价格 2 + （10 - 1）× 1 = 11 元，项数就是 10 。
那总价就是（2 + 11）× 10 ÷ 2 = 65 元。
咱们再深入理解一下这个公式。
为啥要乘以项数再除以 2 呢？您想想，把这个数列的第一项和最后一项相加，第二项和倒数第二项相加，第三项和倒数第三项相加……是不是每一组的和都一样呀？而且正好能组成项数的一半那么多组。
所以就得乘以项数再除以 2 啦。
在解题的时候，一定要看清楚题目给的条件，找准首项、末项和项数。
比如说，有个数列 5，8，11，14，……一直到第 20 项，让咱们求总和。
首项是 5，公差是 3，那末项就是 5 + （20 - 1）× 3 = 62 。
然后就能用求和公式算出总和啦。
再比如，有一道题说一个等差数列的前 5 项和是 75，首项是 5，公差是 4，让咱们求末项。
咱们先用求和公式反推出（首项 + 末项）的值，也就是 75 × 2 ÷ 5 = 30 。
首项是 5 ，那末项就是 30 - 5 = 25 。
学习等差数列求和公式，就像是掌握了一把解题的神奇钥匙。
在面对各种各样的题目时，只要咱们能灵活运用这个公式，就能轻松找到答案。
您可别觉得这公式难，多做几道题，多琢磨琢磨，您就能发现其中的乐趣和窍门。
等差求和的计算公式
等差求和的计算公式
等差数列是数学中的一种基本数列，它的每一项与前一项之差相等，这个差值称为公差。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的和。
等差数列的求和公式为：Sn = n(a1 + an) / 2，其中Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的第n 项，n表示等差数列的项数。
这个公式的推导过程比较简单，我们可以通过数学归纳法来证明它的正确性。
首先，当n=1时，Sn=a1，显然成立。
接着，假设当n=k时公式成立，即Sk = k(a1 + ak) / 2，那么当n=k+1时，我们可以将等差数列的前k+1项分成两部分，前k项的和为Sk，第k+1项为ak+1，那么前k+1项的和为Sk+ak+1，根据等差数列的性质，ak+1 = a1 + k*d，其中d为等差数列的公差，代入公式得到Sk+ak+1 = k(a1 + ak) / 2 + (a1 + k*d)，化简得到Sk+ak+1 = (k+1)(a1 + ak+1) / 2，即公式在n=k+1时也成立。
通过这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的和。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，它的首项a1=1，公差d=2，项数n=5，那么它的和为S5 = 5(1+9) / 2 = 25。
这个公式在数学中有着广泛的应用，例如在物理学中，可以用它来计算匀加速直线运动的位移；在经济学中，可以用它来计算等比数列的复利和等等。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的和，具有广泛的应用价值。
我们可以通过数学归纳法来证明它的正确性，掌握这个公式可以帮助我们更好地理解和应用等差数列的知识。
2.2.2等差数列前n项和公式
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
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Sn
n(a1 an) 2
S1000100 (1 2 010)00500500
例2.已知一个等差数列的首项为-12，第 30项为18，求它的前30项的和
解：
Sn
n(a1 an) 2
S3030 (2 12 1)890
例3.已知一个等差数列的首项
解
Sn n1 an(n21)d
求它的前20项的和
和记作 S n 即 S n a 1 a 2 a 3 . .a .n
S n 1 2 .. ( .n 1 ) n
S n n (n 1 ) .. 2 . 1
2 S n n (n 1 )
Sn
n(n1) 2
12 3 (n 1 )nn (n 1 ) 2
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世纪 莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其去世的 爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌 成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界 七大奇迹之一。
175个
4.请快速说出等差数 列前n项和公式
Sn
n(a1 an) 2
Sn n1 an(n21)d
5.前100个正偶数组成的等 差数列, 一共有几项？
50项
第二关
每4-6个人为一个小组，请思 考后在纸上解答，最后派代 表起来回答。
进入
第二关
1.在等差数列an 中，a136,a40126
，求它的前40项的和。
S 2 0 2 0 ( 5 ) 2 0 ( 2 2 0 1 ) 3
=470
第一关
思考片刻，请马上作答
1
2
3
4
5
1. 已知等差 an的 数首 列a项 1 1
公差 d2,a4等于（）
A．5 C．7
B．6 D．9
C
2.△ABC三个内角A、B、C成等差数列
，
60
则B＝__________.
3.李梅是某职高烹饪专业的一名 新生，在面点课上第一天10分钟 内可以包10个饺子，随着包饺子 技术的提高，在随后的6天里10 分钟内饺子数目每天递增5个， 问这个星期李梅包了几个饺子？
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn= an+an-1+an-2+…+ a3 + a2 +a1
2Sn = (a1+an )×n
Sn
n(a1 an) 2
由于
n(n1) Sn n1a 2 d
倒序 相加 法
例1，求前1000个正整数的和
解正整数从小到大排成一个等差数列，首项 ： 为1，第1000项为1000，从而前1000个正
S40 1800
2.等差数列an 中,d 2 ,n 4,a n 0 7,求 9 a 1 与 S n .
ana1(n1)d
a1 1
Sn
n(a1 an) 2
Sn习等差数列的 前n项和公式
Sn
n(a1 an) 2
Sn n1 an(n21)d
巩
运
固
用
会灵活运用公式
P295 A组 6, 7 P295 B组 2, 3
陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝，传说陵寝中有一个 三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你 知道这个图案一共花了多少宝石吗？以下是以10层为例，请 大家观察下图的规律。
倒
序
相
加
法
思考：一般等差数列怎样求和呢？
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
德国数学家高斯 （数学王子）
高斯是伟大的数学家，天文学家，高 斯十岁时，有一次，老师出了这样一 道题目，1+2+3+4+……+100=？过了 两分钟，正当 大家都在 1+2=3,3+3=6,6+4=10……算得不亦 乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+4+……+100=5050.”老师忙问， 你是怎么算出来的呢？
（聪明的同学们，你们知道吗？） 下面听高斯是怎么回答.
高斯答： 1+2+3+4+…+97+98+99+100=
5050
1+100=101 2+99=101 3+ 98=101
……
50+ 51=101
动动脑： 1+2+3+4+……+n=?
101×50=5050
思考：问1+2+3+4+…+n=?
一般地，我们把等差数列 an 的前n项的