等差数列求和公式课件
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
等差数列求和 课件
________________
课堂练习
课本P:41页 页 课本 练习:1,2,3,4 练习
-10 32
26
1 已知数列{an }的前n项和为S n = n + n, 求这个 2 数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果
2
是，它的首项和公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 +L+ an−1 + an 与Sn−1 = a1 + a2 +L+ an−1(n −1),
可 知， n >1 ， 当 时 1 1 2 an = Sn − −1) 2 2 1 = 2n − 2
知识回顾 {an}为等差数列 ⇔ an+1- an=d 为等差数列
⇔ an= a1+(n-1) d ⇔ an= kn + b k、b为常数） 为常数） （ 、 为常数
a、b、c成等差数列 、 、 成等差数列 ⇔ b为a、c 的等差中项 为 、
a+c ⇔ b= ⇔ 2
2b= a+c
3.更一般的情形，an= 更一般的情形， 更一般的情形
a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 125 由题 a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 = 15
5 a 1 + ( 2 + 4 + 6 + 8 ) d = 125 法一 : 5 a 1 + ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) d = 15 a 1 + 4 d = 25 ⇒ a1 + 5d = 3 a 1 = 113 ⇒ d = − 22
等差数列求和公式课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2
等差数列的前n项和
主讲人：
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列叫做等差数
列。这个常数叫做等差数列的公差，
公差常用字母d表示。
= 1 + − 1 , ∈ +
等差数列的前n项和
古算书《张邱建算经》中有一问：今有与人钱，初一人与一钱，次一
则4 =3 + = 5, 首项1 =2 − =-1
4 =4× （4 +1 ）/2=8
总结
等差数列前n项和公式
首尾相加法
(1 + )
=
2
(−1)
=1 +
2
倒序相加法
(1)
= +−1 +−2 +…+3 +2 +1
(2)
2
= 1 + + 2 + −1 + 3 + −2 + ⋯ + −2 + 3 + −1 + 2
+ + 1
2 = (1 + )
(1 + )
=
2
练一练
解：公差=3 − 2 =2,
人与二钱，次一人与三钱，以次为之，转为一钱，共有百人，问共与
几钱？
…
我是第100
个人
× 100
1+2+3+…+100=？
计算1+2+3+…+100
1+2+3+4+…+97+98+99+100
等差数列的前n项和
主讲人：
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列叫做等差数
列。这个常数叫做等差数列的公差，
公差常用字母d表示。
= 1 + − 1 , ∈ +
等差数列的前n项和
古算书《张邱建算经》中有一问：今有与人钱，初一人与一钱，次一
则4 =3 + = 5, 首项1 =2 − =-1
4 =4× （4 +1 ）/2=8
总结
等差数列前n项和公式
首尾相加法
(1 + )
=
2
(−1)
=1 +
2
倒序相加法
(1)
= +−1 +−2 +…+3 +2 +1
(2)
2
= 1 + + 2 + −1 + 3 + −2 + ⋯ + −2 + 3 + −1 + 2
+ + 1
2 = (1 + )
(1 + )
=
2
练一练
解：公差=3 − 2 =2,
人与二钱，次一人与三钱，以次为之，转为一钱，共有百人，问共与
几钱？
…
我是第100
个人
× 100
1+2+3+…+100=？
计算1+2+3+…+100
1+2+3+4+…+97+98+99+100
1等差数列求和公式课件
求S16
（4）已知 a6=20 ,你能求出S11吗？
课堂小结：
1.会用两公式
2.若d=0,an=a，则Sn=______
n(n 1) Sn na1 d (2) 2 na
n(a1 an ) Sn (1) 2
3.推导公式的方法是用倒序相加法
等差数列求和公式
一、巩固与预习
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an=a1+(n-1)d
a = an+b n
a、b为常数
， ，d=
an am nm
a = a + ( n m ) d m n 更一般的，
.
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
ac b 2
例1 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形 架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个v形架上共 放120层铅笔，且自上而下各层的 铅笔数组成等差数列，记为{an}， 其中 a1=1， d=1,a120=120.已知n=120， 根据等差数列前n项和公式， 得s120=120×（120+12÷=7260， 即v形架上共放7260支铅笔。2b= a+c .
3.
下一页
若m n p q则a m +a n =a p +a q
在等差数列{an}中a1+an a3+ an-2 = …
=
a2+ an-1
=
数列{an }的前n项和为 : sn
sn a1 a2 a3 ... an
sn1 a1 a2 a3 ... an1
等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67， 求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和旳极值:
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
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二、学习新课
n(a1 an ) n( n 1) na1 d 2 2 ㈠等差数列前n 项和Sn = = .
=an2+bn a、b 为常数
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Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
(1)
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
(2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
例2.在小于100的正整数中共有多少个被 3 除余2，这些数的和是多少？
2 解 : 由3n 2 100, 得n 32 , 3
n 0,1,2, 31,32
即有33个被3整除余2的数，这些数为: 2，5，8，…98
Sn
( 2 98 ) 33 1650 2
n( n 1) S n na 1 d ( 2) 2
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn
（1）a1=5,an=95,n=10 （2）a1=100,d=－2,n=50
S10=500
S50=2550 S26=604.5
（3）a1=14.5,d=0.7,an=32
例1. 等差数列－10，－6， －2，2，…前 多少项和是54?
解：∵a1=-10, d=-6－(-10)=4
n(a1 a n ) Sn (1) 2
练习： 求集合M=｛m|m=7n, n∈N+,且 m﹤100｝的 元素个数，并求这些数的和
答：s14 735
课堂小结：
1.会用两公式
na 2.若d=0,an=a，则Sn=______
n(a1 a n ) Sn (1) 2 n( n 1) S n na 1 d ( 2) 2
a = an+b n
a、b为常数
， ，d=
an am nm
a = a + ( n m ) d m n 更一般的，
.
2. a、b、c成等差数列b为2b= a+c .
等差数列求和公式
数列{an }的前n项和为 :
sn a1 a2 a3 ... an sn1 a1 a2 a3 ... an1 sn sn1 an
sn
一、引例：1＋2＋3＋…＋100=？
10岁的高斯（德国）的算法： 首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……………………………………… 第50项与倒数第50项的和： 50+51=101 ∴101×（100／2）=5050
3.推导公式（1）的方法是用倒序相加法
例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下 面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面 一层多放一支，最上面一层放120支.这个V 形架上共放着多少支铅笔？
一、巩固与预习 (P43-44) a
1. {an}为等差数列 n+1- an=d 2an+1=an+2+an . an=a1+(n-1)d
n(a1 a n ) Sn (1) 2
思考：由上面的推导过程中，你能判定下式 的关系： = 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1—— a3+ an-2 = …am+an-m
三、公式的应用： n( n 1) n(a1 an ) d ...(2) Sn ....(1) S n na1 2 2
∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 解得: n=9，n=-3(舍)
∴前9项的和是54
n(a1 a n ) Sn (1) 2
n( n 1) S n na 1 d ( 2) 2
练习： （1）等差数列5，4，3，2，…前多少 项的和 是－30? 15项 （2）求等差数列13，15，17，…81的各 项和 1645
二、公式的推导：
设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]此种求 和法称 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] 为倒序
相加法
n个
∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
=n(a1+an)