第九章第三节 抽样误差
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第九章 第三节 定量资料的统计推断
回顾:
统计分析: 统计描述
统计推断:
统计推断 参数估计 假设检验
点估计 区间估计
参数估计：运用统计学原理，利用样本统计 量，对总体参数进行估计。例如：总体均数 的参数估计
假设检验：又称显著性检验，是指由现成的 样本间存在的差别推断所代表的总体间是否 有差别。例如：均数u检验、均数t检验
标准误用 表示； X
其估计值用 S X 表示。
区
别 计算公式 S
(X X )2
n 1
SX
S n
标准误越小，样本均数的分布越集 统计学 标准差越小，个体值相对越集中， 中，样本均数与总体均数的差别越
意义 均数对数据的代表性越好。
小，抽样误差越小，由样本均数估 计总体均数的可靠性越大。
用途
描述个体值的变异程度
例5-1 2000年某研究者随机调查某地健康成年 男子27人，得到血红蛋白量的均数为125 g /L， 标准差为15 g /L。试估计该样本均数的抽样误 差。
sX = s / n = 15 / 27 = 2.89g /L
标准差和标准误的区别和联系
标准差
标准误
统计符号
总体标准差用 表示； 样本标准差用 S 表示。
现将这100个样本均数。看成新的随机变量绘制频数分布 表，如下表：
从正态总体N (155.4, 5.32)抽样得到的100个样本均数的频数分布（n =30）
组段下限值(cm)
152.6~ 153.2~ 153.8~ 154.4~ 155.0~ 155.6~ 156.2~ 156.8~ 157.4~ 158.0~
样本均数的标准差： X
标准误：样本均数的标准差。通常用SX 代替 X
标准误
标准误的计算公式：
X
n
sX
s n
标准误的大小与标准差成正比，与样本含量n的平方根 成反比，即在同一总体中随机抽样，样本含量n越大，
抽样误差越小。所以在实际应用中可通过增加样本含
量n来减小样本均数的标准误，从而降低抽样误差。
抽样误差
医学研究中，对总体中的所有对象进行 观测是没有必要的也是不可能的，因此 通常要采用抽样研究的方法。
抽样研究的目的是用样本信息推断总体 特征
Baidu Nhomakorabea
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。研 究者从所有符合要求的七岁男童中每次抽取100人，共 计抽取了三次。
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
即u分布也称z分布。
实际工作中，当 X未知时，常用 sX 来代替
X
sX 则代替后不再服从标准正态分布
t 分布
英国统计学家W.S.Gosset于1908年以“Student”笔名
证明它服从自由度 = n 1的t分布，即
t X X
sX s / n
~ t分布， = n 1
每次均抽取30例（n= 30）组成一份样本，可以算
出每一份样本的平均身高.共抽取这样的样本100 次， 最终计算得到156.7, 158.1, 155.6,····157.7等100个样 本均数,如表：
均数的抽样误差
均数的抽样误差(sampling error of mean) 随机抽取样本引起的样本均数与总体均数之间 或样本均数与样本均数之间的差异称为均数 的抽样误差。 是客观存在不可避免的。
合计
频数
1 4 4 22 25 21 17 3 2 1
100
频率%
1.0 4.0 4.0 22.0 25.0 21.0 17.0 3.0 2.0 1.0
100
样本均数的抽样分布具有以下4个特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数; 2. 样本均数之间存在差异; 3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数 （155.4cm），中间多、两边少，左右基本对
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本统计量和总 体参数间的差别
Xi
样本统计量和样
本统计量间的差
别
Xi X j
既然抽样误差不可避免且是有规律的， 那么到底它的分布规律到底是怎样的？ (以均数的抽样误差为例)
假定某年某地所有13岁女学生身高服从总体均数 =155.4cm,总体标准差 =5.3cm的正态分布N（， 2）。在这样一个有限的总体中作随机抽样，
称，也服从正态分布；
由此得出：
原始 总体
μ
SAMPLE 1：x11 x12 x13 x14...x1n
X1
SAMPLE 2：x21 x22 x23 x24...x2n
X2
SAMPLE k：xk1 xk2 xk3 xk4...xkn
Xk
⑴.从正态总体中随机抽取例数为n的样本，其 所有样本均数的分布仍服从正态分布
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数）分布的离散程度，体 现了抽样误差的大小。
标准误越大，说明样本统计量（样本均数）的离散程 度越大，即用样本统计量来直接估计总体参数越不可 靠。反之亦然。
标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从标
准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体一定时， 样本例数越多，标准误越小。说明我们可以通过增加 样本含量来减少抽样误差的大小。
描述均数的抽样误差大小
联 系
SX
S n
t 分布
若随机变量X服从正态分布N（,2），
经过u转换
u X
可以变成标准正态分布。
从正态分布N（,2）总体中抽取例数为n的几份
样本，得到的几个样本均数 X 也服从正态分布记
为： N
,
2
X
t 分布
对正态变量X 作u变换： z
X
X
可将一般的正态分布转化为标准正态分布 N(0,,12 )
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 120.18cm s=4.90cm
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同
每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
由于存在个体差异，即使非常严格取出的样 本计算得到的各种样本指标都不可能完全等 于总体参数值——抽样误差(sampling error) ， 比如均数。
⑵.从偏态总体中抽样，当n足够大时，其所有 样本均数的分布也服从正态分布
——中心极限定理
4.这100个样本均数的均数为155.4cm，其标准差为 0.95cm，而原数据的标准差为5.3，说明样本
均数之间的变异要比原数据之间的变异减小;
XX
为了区别原个体值的标准差和样本均数之间的标准差，
原来数据的标准差：
回顾:
统计分析: 统计描述
统计推断:
统计推断 参数估计 假设检验
点估计 区间估计
参数估计：运用统计学原理，利用样本统计 量，对总体参数进行估计。例如：总体均数 的参数估计
假设检验：又称显著性检验，是指由现成的 样本间存在的差别推断所代表的总体间是否 有差别。例如：均数u检验、均数t检验
标准误用 表示； X
其估计值用 S X 表示。
区
别 计算公式 S
(X X )2
n 1
SX
S n
标准误越小，样本均数的分布越集 统计学 标准差越小，个体值相对越集中， 中，样本均数与总体均数的差别越
意义 均数对数据的代表性越好。
小，抽样误差越小，由样本均数估 计总体均数的可靠性越大。
用途
描述个体值的变异程度
例5-1 2000年某研究者随机调查某地健康成年 男子27人，得到血红蛋白量的均数为125 g /L， 标准差为15 g /L。试估计该样本均数的抽样误 差。
sX = s / n = 15 / 27 = 2.89g /L
标准差和标准误的区别和联系
标准差
标准误
统计符号
总体标准差用 表示； 样本标准差用 S 表示。
现将这100个样本均数。看成新的随机变量绘制频数分布 表，如下表：
从正态总体N (155.4, 5.32)抽样得到的100个样本均数的频数分布（n =30）
组段下限值(cm)
152.6~ 153.2~ 153.8~ 154.4~ 155.0~ 155.6~ 156.2~ 156.8~ 157.4~ 158.0~
样本均数的标准差： X
标准误：样本均数的标准差。通常用SX 代替 X
标准误
标准误的计算公式：
X
n
sX
s n
标准误的大小与标准差成正比，与样本含量n的平方根 成反比，即在同一总体中随机抽样，样本含量n越大，
抽样误差越小。所以在实际应用中可通过增加样本含
量n来减小样本均数的标准误，从而降低抽样误差。
抽样误差
医学研究中，对总体中的所有对象进行 观测是没有必要的也是不可能的，因此 通常要采用抽样研究的方法。
抽样研究的目的是用样本信息推断总体 特征
Baidu Nhomakorabea
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。研 究者从所有符合要求的七岁男童中每次抽取100人，共 计抽取了三次。
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
即u分布也称z分布。
实际工作中，当 X未知时，常用 sX 来代替
X
sX 则代替后不再服从标准正态分布
t 分布
英国统计学家W.S.Gosset于1908年以“Student”笔名
证明它服从自由度 = n 1的t分布，即
t X X
sX s / n
~ t分布， = n 1
每次均抽取30例（n= 30）组成一份样本，可以算
出每一份样本的平均身高.共抽取这样的样本100 次， 最终计算得到156.7, 158.1, 155.6,····157.7等100个样 本均数,如表：
均数的抽样误差
均数的抽样误差(sampling error of mean) 随机抽取样本引起的样本均数与总体均数之间 或样本均数与样本均数之间的差异称为均数 的抽样误差。 是客观存在不可避免的。
合计
频数
1 4 4 22 25 21 17 3 2 1
100
频率%
1.0 4.0 4.0 22.0 25.0 21.0 17.0 3.0 2.0 1.0
100
样本均数的抽样分布具有以下4个特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数; 2. 样本均数之间存在差异; 3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数 （155.4cm），中间多、两边少，左右基本对
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本统计量和总 体参数间的差别
Xi
样本统计量和样
本统计量间的差
别
Xi X j
既然抽样误差不可避免且是有规律的， 那么到底它的分布规律到底是怎样的？ (以均数的抽样误差为例)
假定某年某地所有13岁女学生身高服从总体均数 =155.4cm,总体标准差 =5.3cm的正态分布N（， 2）。在这样一个有限的总体中作随机抽样，
称，也服从正态分布；
由此得出：
原始 总体
μ
SAMPLE 1：x11 x12 x13 x14...x1n
X1
SAMPLE 2：x21 x22 x23 x24...x2n
X2
SAMPLE k：xk1 xk2 xk3 xk4...xkn
Xk
⑴.从正态总体中随机抽取例数为n的样本，其 所有样本均数的分布仍服从正态分布
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数）分布的离散程度，体 现了抽样误差的大小。
标准误越大，说明样本统计量（样本均数）的离散程 度越大，即用样本统计量来直接估计总体参数越不可 靠。反之亦然。
标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从标
准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体一定时， 样本例数越多，标准误越小。说明我们可以通过增加 样本含量来减少抽样误差的大小。
描述均数的抽样误差大小
联 系
SX
S n
t 分布
若随机变量X服从正态分布N（,2），
经过u转换
u X
可以变成标准正态分布。
从正态分布N（,2）总体中抽取例数为n的几份
样本，得到的几个样本均数 X 也服从正态分布记
为： N
,
2
X
t 分布
对正态变量X 作u变换： z
X
X
可将一般的正态分布转化为标准正态分布 N(0,,12 )
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 120.18cm s=4.90cm
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同
每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
由于存在个体差异，即使非常严格取出的样 本计算得到的各种样本指标都不可能完全等 于总体参数值——抽样误差(sampling error) ， 比如均数。
⑵.从偏态总体中抽样，当n足够大时，其所有 样本均数的分布也服从正态分布
——中心极限定理
4.这100个样本均数的均数为155.4cm，其标准差为 0.95cm，而原数据的标准差为5.3，说明样本
均数之间的变异要比原数据之间的变异减小;
XX
为了区别原个体值的标准差和样本均数之间的标准差，
原来数据的标准差：