正态分布及抽样误差
正态分布参考值抽样误差
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
f(x)=(fi/n)
0.25
相 对 频 0.20 率
0.15
以频率为纵坐标
0.10
0.05
0.00
3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于
一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中
间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态
分布曲线。
因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
0.14 0.12
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
概率与统计中的正态分布与抽样误差
概率与统计中的正态分布与抽样误差概率与统计是数学中重要的一个分支，它研究的是数据和随机现象之间的关系。
在概率与统计的研究中，正态分布是一个非常重要的概念。
正态分布是一种连续型的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
在实际应用中，我们经常会遇到抽样误差的问题，而正态分布在抽样误差的分析中扮演着重要的角色。
一、正态分布的概念及性质正态分布，也被称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中常见的连续型概率分布。
它的概率密度函数可以用以下的形式表示：（在这里可以插入正态分布的概率密度函数的公式，但请注意我不能给出具体的数学公式）正态分布的最重要的性质是其均值和标准差决定了它的形状。
均值确定了正态分布的中心位置，而标准差决定了曲线的宽度。
正态分布的曲线呈钟形，对称分布于均值左右。
二、正态分布在统计中的应用正态分布在统计中的应用广泛。
它在实际问题的建模和分析中起着至关重要的作用。
1. 中心极限定理中心极限定理是概率与统计中一个重要的定理，它指出当独立同分布的随机变量的样本容量足够大时，它们的样本平均值将近似地服从正态分布。
这个定理的应用使得我们能够利用样本数据对总体进行推断。
2. 抽样分布在统计推断中，我们需要通过样本数据来对总体进行估计。
抽样分布是指从总体中抽取多个样本，计算每个样本的统计量，然后将这些统计量的分布进行研究。
正态分布在抽样分布的分析中起着关键的作用。
3. 参数估计参数估计是指利用样本数据对总体的参数进行估计。
最常见的估计方法是点估计和区间估计。
在估计过程中，我们通常假设总体服从正态分布，并根据样本数据来计算得到参数的估计值。
4. 假设检验假设检验是统计推断的一个重要方法，用于判断某个假设是否成立。
在假设检验中，我们通常需要构建一个检验统计量，并根据其分布来进行推断。
正态分布在假设检验中经常被用作对总体分布的近似。
三、抽样误差与正态分布抽样误差是指由于从总体中随机抽取样本所引入的误差。
在真实的情况下，我们很难获得总体的所有数据，因此只能从总体中抽取样本来对总体进行研究和推断。
统计学中的抽样误差分布类型
统计学中的抽样误差分布类型统计学中的抽样误差是指由于选取抽样方法的随机性引起的样本与总体之间的差异。
在统计学中，我们常常利用抽样方法来研究总体的特征。
然而，由于抽样的随机性，样本很可能无法完全准确地反映总体的真实情况。
因此，了解抽样误差的分布类型对于正确解释样本数据的意义至关重要。
在统计学中，有多种类型的抽样误差分布。
本文将介绍其中的三种常见类型：正态分布、均匀分布和偏态分布，并探讨它们对样本数据的影响。
一、正态分布正态分布也被称为高斯分布，是抽样误差最常见的分布类型之一。
正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差决定了曲线的幅度。
在正态分布中，抽样误差呈现出对称的模式分布，均值为零。
这意味着样本数据中的大部分值都接近总体的真实值。
正态分布的特点使得它在许多应用中非常有用。
例如，在对人体身高进行抽样调查时，正态分布可以很好地描述不同个体的身高分布情况。
不过需要注意的是，当样本量较小时，正态分布的逼近效果可能会受到一定的影响。
二、均匀分布均匀分布是另一种常见的抽样误差分布类型。
均匀分布呈矩形形状，表示样本中每个值的概率是相等的。
在均匀分布中，抽样误差的分布是连续而平均的，不会出现严重的偏差。
均匀分布的特点在一些特定场景中非常适用。
例如，在调查抛硬币结果的分布时，当我们进行大量的抛硬币试验时，得到正面和反面的概率应该是接近均匀分布的。
然而需要注意的是，均匀分布并不适用于所有情况，特别是当总体分布是非均匀的时候。
三、偏态分布偏态分布是一种常见的非对称抽样误差分布类型。
在偏态分布中，曲线的形状倾斜向某一侧。
偏态分布可以进一步分为正偏态和负偏态两种类型。
正偏态分布指的是曲线的尾部偏向较大的一侧，而负偏态分布则相反。
偏态分布的特点使得它在某些情况下更适合描述抽样误差。
例如，在研究收入分布时，负偏态分布可能更符合实际情况，因为大多数人的收入可能集中在低收入水平。
然而，需要注意的是，偏态分布会导致样本数据的误差，因此在解释数据时需要谨慎。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
正态总体的常用抽样分布
特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面 积，即其尾部比正态分布更重。随着 自由度n的增加，卡方分布趋近于正 态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值 和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估 计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区 间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随 着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。 样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。 在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正 态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都 需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准 确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳 定性有显著影响。随着样本量增加， 抽样分布的形状逐渐接近正态分布， 且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估 计的参数值越接近真实值。因此，在 制定抽样计划时，应充分考虑样本量 的大小，以确保估计的精度满足要求。
正态分布及标准误(1)
算得某95%的可信区间，则： 总体参数有95%的可能落在该区间。 有95%的总体参数在该区间内。 该区间包含95%的总体参数。 该区间有95%的可能包含总体参数。 该区间包含总体参数，可信度为95%。
2021/4/22
46
概念辨析
标准差 个体变异 参考值范围 变量分布
标准误 抽样误差 可信区间 抽样分布
2021/4/22
47
作业：
简述标准差和标准误的区别和联系 简述参考值范围与均数的可信区间的区别和联
系
2021/4/22
48
2021/4/22
谢谢 再见
49
③正态分布有两个参数，即均数与标准差，常用 N(,)表示，用N（0，1）表示标准正态分布。其位置与均
数有关，形状与标准差有关。标准差大，离散程度大，正态 分布曲线则“胖”，反之，则“瘦”；
④正态分布的面积分布有一定的规律性。
2021/4/22
4
三 正态曲线下面积的分布规律
统计学家求出了标准正态分布从- 到（-u）的面积。 2021/实4/22际工作中经常要用的面积分布规律有以下三点： 5
2021/4/22 差异或各样本均数的差异。
20
抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了估计七
岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁
男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
X 118.21cm
s=4.45cm
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
– 参数估计(parameter estimation)
点估计 区间估计
– 假设检验(hypothesis testing)
2021/4/22
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-1.9
-1.6 -1.0 -0.5 0
0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239
0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681 u 0
组 段
124～ 128～ 132～ 136～ 140～ 144～ 148～ 152～ 156～ 160～164
频 数
1 2 10 22 37 26 15 4 2 1 120
频率
0.0083 0.0167 0.0833 0.1834 0.3083 0.2167 0.1250 0.0333 0.0167 0.0083 1.0000
u
X
~ N (0,1)
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； -1.64～ +1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。 小于-3的面积为 0.13%; 小于-2的面积为 2.28%; 小于- 的面积为15.87%。
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
估计频数分布
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其 均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为 低体重儿，试估计低体重儿的比例。
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-, X)
-
S( +X,)＝S(-, -X)
X
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987 S(-, )=1
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0， 标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
(X )
1 2
e
u2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3)=0.0013
S(-, -2)=0.0228
S(-3, -2)=0.0215
S(-2, -1)=0.1359
S(-, -1)=0.1587
S(-, -0)=0.5
S(-1,
)=0.3413
-3
-2 -
3
正态分布的背景－高尔顿钉板试验
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
x
这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。
4
频 率
0.40
0.30 0.20
0.10
0
124 132 140 148 156 164
图
某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布
5
极差=160.9-125.9=35 分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取 4 下界 124 ，上界164
+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96
+1.96
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64
+1.64
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
0.5%
-2.58
+2.58
思考
S(-1.96, +1.64)=?
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 1
3
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置参 数(均数)和变异度参数(标准差)。 高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
正态曲线下的面积规律
正态分布(Normal distribution)
法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution
1
2
正态分布的背景－一个街头赌博游戏
为什么如此摆放奖品？ 平时，我们很少有人会去关心小球下 落位置的规律性，人们可能不相信它是 有规律的。 高尔顿钉板试验
6
合 计
身高的分布
7
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X)
1
2
பைடு நூலகம்
e
( X )2 2 2
(-∞＜ X ＜+∞)
则称 X 服从正态分布 , 记作 X ～ N(,2), 其中， 为分布的均数， 为分布的标准差。
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
-2