统计_正态分布_抽样误差
正态分布参考值抽样误差
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
f(x)=(fi/n)
0.25
相 对 频 0.20 率
0.15
以频率为纵坐标
0.10
0.05
0.00
3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于
一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中
间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态
分布曲线。
因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
0.14 0.12
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
概率与统计中的正态分布与抽样误差
概率与统计中的正态分布与抽样误差概率与统计是数学中重要的一个分支，它研究的是数据和随机现象之间的关系。
在概率与统计的研究中，正态分布是一个非常重要的概念。
正态分布是一种连续型的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
在实际应用中，我们经常会遇到抽样误差的问题，而正态分布在抽样误差的分析中扮演着重要的角色。
一、正态分布的概念及性质正态分布，也被称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中常见的连续型概率分布。
它的概率密度函数可以用以下的形式表示：（在这里可以插入正态分布的概率密度函数的公式，但请注意我不能给出具体的数学公式）正态分布的最重要的性质是其均值和标准差决定了它的形状。
均值确定了正态分布的中心位置，而标准差决定了曲线的宽度。
正态分布的曲线呈钟形，对称分布于均值左右。
二、正态分布在统计中的应用正态分布在统计中的应用广泛。
它在实际问题的建模和分析中起着至关重要的作用。
1. 中心极限定理中心极限定理是概率与统计中一个重要的定理，它指出当独立同分布的随机变量的样本容量足够大时，它们的样本平均值将近似地服从正态分布。
这个定理的应用使得我们能够利用样本数据对总体进行推断。
2. 抽样分布在统计推断中，我们需要通过样本数据来对总体进行估计。
抽样分布是指从总体中抽取多个样本，计算每个样本的统计量，然后将这些统计量的分布进行研究。
正态分布在抽样分布的分析中起着关键的作用。
3. 参数估计参数估计是指利用样本数据对总体的参数进行估计。
最常见的估计方法是点估计和区间估计。
在估计过程中，我们通常假设总体服从正态分布，并根据样本数据来计算得到参数的估计值。
4. 假设检验假设检验是统计推断的一个重要方法，用于判断某个假设是否成立。
在假设检验中，我们通常需要构建一个检验统计量，并根据其分布来进行推断。
正态分布在假设检验中经常被用作对总体分布的近似。
三、抽样误差与正态分布抽样误差是指由于从总体中随机抽取样本所引入的误差。
在真实的情况下，我们很难获得总体的所有数据，因此只能从总体中抽取样本来对总体进行研究和推断。
统计学中的抽样误差分布类型
统计学中的抽样误差分布类型统计学中的抽样误差是指由于选取抽样方法的随机性引起的样本与总体之间的差异。
在统计学中，我们常常利用抽样方法来研究总体的特征。
然而，由于抽样的随机性，样本很可能无法完全准确地反映总体的真实情况。
因此，了解抽样误差的分布类型对于正确解释样本数据的意义至关重要。
在统计学中，有多种类型的抽样误差分布。
本文将介绍其中的三种常见类型：正态分布、均匀分布和偏态分布，并探讨它们对样本数据的影响。
一、正态分布正态分布也被称为高斯分布，是抽样误差最常见的分布类型之一。
正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差决定了曲线的幅度。
在正态分布中，抽样误差呈现出对称的模式分布，均值为零。
这意味着样本数据中的大部分值都接近总体的真实值。
正态分布的特点使得它在许多应用中非常有用。
例如，在对人体身高进行抽样调查时，正态分布可以很好地描述不同个体的身高分布情况。
不过需要注意的是，当样本量较小时，正态分布的逼近效果可能会受到一定的影响。
二、均匀分布均匀分布是另一种常见的抽样误差分布类型。
均匀分布呈矩形形状，表示样本中每个值的概率是相等的。
在均匀分布中，抽样误差的分布是连续而平均的，不会出现严重的偏差。
均匀分布的特点在一些特定场景中非常适用。
例如，在调查抛硬币结果的分布时，当我们进行大量的抛硬币试验时，得到正面和反面的概率应该是接近均匀分布的。
然而需要注意的是，均匀分布并不适用于所有情况，特别是当总体分布是非均匀的时候。
三、偏态分布偏态分布是一种常见的非对称抽样误差分布类型。
在偏态分布中，曲线的形状倾斜向某一侧。
偏态分布可以进一步分为正偏态和负偏态两种类型。
正偏态分布指的是曲线的尾部偏向较大的一侧，而负偏态分布则相反。
偏态分布的特点使得它在某些情况下更适合描述抽样误差。
例如，在研究收入分布时，负偏态分布可能更符合实际情况，因为大多数人的收入可能集中在低收入水平。
然而，需要注意的是，偏态分布会导致样本数据的误差，因此在解释数据时需要谨慎。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
抽样分布-正态分布
总体分布：总体内个体数值的次数分布 样本分布：样本内个体数值的频数分布 抽样分布：某一种统计量的
1 ～ 13 号 81 99 66 98 55 92 100 84 69 74 77 66 100 14 ～ 25 号 84 100 68 59 71 60 94 91 92 95 78 84 一共可以抽取 255 = 9765625 个样本，每个样本都有一个平均 数，了解样本平均数的次数分布规律，以便更好地对总体均值 进行估计或推断。
[例]
为方便举一很小的总体：1 1 1 1 2 2 2 3 3 4，这是一个 正偏态分布，其均值为2，方差为1。我们从这一总体里抽 取出容量为 2 的所有样本， 则有（下页）。
作业：
24，25，28，30
抽样分布--本节简介
抽样误差：由于抽样随机性而导致样本统计量和总体参数 不一致，即样本对总体的代表性误差。
抽样分布－－示例
区分三种不同性质的分布
本节主要内容： 样本平均数服从什么分布？ 两个样本平均数之差服从什么分布？ 样本方差服从什么分布？ 两样本方差之比服从什么分布？ 等
区分三种不同性质的分布
一、正态分布及渐进正态分布
⑴总体正态分布，且方差（σ2）已知，则一切可能样本平 均数的分布也呈正态分布，且有：
X
X
2 2 X n
X X Z X n
( X 标准误，或SE)
2
n
n
⑵方差（σ2）已知，总体不呈正态分布，样本容量n够大 （n>30），则一切可能样本的平均数趋近正态分布，同上。 示例
正态分布与统计推断
信区间或99％可信区间。 计算方法有三种，可依据资料的具体条件选定。
阿 尔 法 数 值 分 析
STATISTICS
一、 未知且n较小：按t分布的原理用下 式计算可信区间。
X t / 2( ) S X
或者
阿
(X t / 2( ) S X , X t S / 2( ) X )
法 则拒绝该假设；若不属小概率事件，则不拒绝该假设。
数 值 分 析
STATISTICS
单、双侧检验
阿 尔 法 数 值 分 析
STATISTICS
两类错误
尽管假设检验帮助我们回答了与0是否相等的问题，但 它是建立在小概率原理上的判断，无论接受无效假设H0、 拒绝备择假设H1，还是接受备择假设H1、拒绝无效假设H0 都有可能犯错误。统计学中将拒绝了正确的无效假设H0称 为Ⅰ类错误(type I error)，犯Ⅰ类错误的概率用表示，通
仅进行一次抽样，即只有一个样本均数 X ，故可用样本
标准差S估计抽样误差的大小。
抽样误差小，表示样本均数与总体均数越接近，即用样 本均数估计总体均数的可靠性越大；抽样误差大，样本 均数离总体均数就越远，用样本均数估计总体均数的可 靠性就越小。
阿 尔 法 数 值 分 析
STATISTICS
均数抽样误差的分布－t分布
阿 尔 法 数 值 分 析
STATISTICS
STATISTICS
正态分布和统计推断
• 正态分布和标准正态分布的概念
• 正态分布的特征和曲线下面积分布规律
• 医学参考值的估计
• 样本均数的抽样误差
阿
• 统计推断的假设检验
尔
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x 1.96s
x 2.58s
8
标准正态分布
❖ 标准正态分布：N( 0，1 )
❖ 数据经标准化后，使μ=0，σ=1时的正态分布
转换方式
u x-
u X-X S
❖ 任何一个正态分布，都可以通过变换，成为标 准正态分布
9
正态分布的应用
❖ 频数估计 ❖ 估计医学正常参考值范围
❖ 质量控制 ❖ 统计方法的理论基础
双侧 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
14
常用百分位数表
正常值范围(％) 单侧(低侧 高侧) 双侧
80
P20 P80 P10~ P90
90
P10 P90 P5~ P95
95
P5
P95
P2.5~ P97.5
98
P2
P98 P1~ P99
99
P1
P99
P0.5~ P99.5
15
本均数 X j ，它们服从总体均数为，总体标准差
为 X 的正态分布，则
X j - 也服从标准正态分布。
X
❖
X1, X 2 , X 3,...,服从正态分布N (, X )
X1 - , X 2 - , X 3 - ,...,服从标准正态分布(0,1)
X
X
X
21
t分布的概念
❖实际工作中， 由于
二、抽样误差及其应用
❖ 抽样误差的概念 ❖ 抽样误差的应用
参数估计 假设检验
16
抽样误差的概念
❖ 抽样误差
由抽样研究引起的样本统计量与总体参数间的差异 均数的抽样误差
❖ 两种表现形式
样本统计量与总体参数间的差异 样本统计量间的差异
❖ 抽样误差产生的原因
抽样研究 个体变异
17
标准误(standard error，SE)
p5或p95
12
正态分布的应用
❖ 质量控制 x 2s 作为上下警戒值
x 3s 作为上下控制值
❖ 统计方法的理论基础
u 检验、t 分布、F 分布、二项分布、χ2 分布等
13
常用u 值表
正常值范围(％) 80 90 95 98 99
单侧 0.842 1.282 1.64样本含量较大时，例如n＞100，t分布近似标准正态分布， 此时可用标准正态分布代替t分布，作为可信区间的近似计
算。相应的100(1-)％可信区间为
X
- u
s X
,
X
+ u
s X
28
可信区间的确切涵义
❖ 可信度为95% 的可信区间的确切涵义是：每 100个样本所算得的100个可信区间，平均有 95个包含了总体参数 。
第三讲 正态分布 抽样误差
1
一、正态分布及其应用
➢ 正态分布
➢ 正态分布的概念 ➢ 正态曲线下面积的分布规律 ➢ 标准正态分布
➢ 正态分布的应用
➢ 估计频数分布 ➢ 估计参考值范围 ➢ 质量控制 ➢ 理论分布的基础
2
正态分布的概念
30 20 10
0 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
❖ 样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量抽样误差的 大小。
❖ 标准误与个体变异 成正比，与样本含量n的平方根成反
比。
❖ 标准误理论值
X
n
18
标准误(standard error，SE)
❖ 实际工作中， 往往是未知的，一般可用样本标准
差s代替
❖ 标准误的估计值
s sX
n
❖ 因为标准差s随样本含量的增加而趋于稳定，故增
10
频数估计
•正态分布
x u s
•标准正态分布
u x - x
s
11
估计医学正常参考值范围
❖ 研究对象的选择
估计范围确定（80%、90%、95%、99%）
单双侧的确定
方法的选择
❖正态分布 ( X -1.96S, X +1.96S) ❖偏态分布 p2.5与p97.5
( X -1.645S ) ( X +1.645S )
❖ 由样本信息估计总体参数
点估计(point estimation) 区间估计(interval estimation)
25
点估计
❖ 直接用样本统计量作为总体参数的估计值
方法简单，但未考虑抽样误差的大小 在实际问题中，总体参数往往是未知的，但它
们是固定的值，并不是随机变量值。而样本统 计量随样本的不同而不同，属随机的
26
区间估计
❖ 按一定的概率或可信度(1- )用一个区间估计总体参 数所在范围，这个范围称作可信度为1- 的可信区 间(confidence interval, CI)，又称置信区间 。这种
估计方法称为区间估计。
27
均数的可信区间
❖ 总体均数的(1- )可信区间定义为
X
- t ,
s X
,
X
+ t ,
❖
加强自身建设，增强个人的休养。2021年1月 2日下 午9时6分21.1.221.1.2
❖
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。2021年1月 2日星 期六下 午9时6分6秒21:06:0621.1.2
❖
让自己更加强大，更加专业，这才能 让自己 更好。2021年1月下午 9时6分 21.1.221:06Januar y 2, 2021
❖ t分布为一簇单峰分布曲线 ❖ t分布以0为中心，左右对称
❖ t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，而两
侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准 正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布
23
不同自由度下的t分布
24
参数估计(parameter estimation)
❖
相信命运，让自己成长，慢慢的长大 。2021年1月2日星期 六9时6分6秒Saturday, January 02, 2021
❖
爱情，亲情，友情，让人无法割舍。21.1.22021年1月2日星 期六9时6分6秒21.1.2
谢谢大家！
X
未知，则用 sX
代替，则
X -
s X
服从t分布
X - X -
t
sX
sn
❖t分布(t-distribution)主要用于参数估计及t检验。英国统 计学家W.S.Gosset于1908年在《生物统计》杂志上发表 该论文时用的是笔名“Student”，故t分布又称Student t 分布。
22
t分布的特征
包含总体参数的可信程度为95% ❖ 95%的参考值范围中的95%是一个比例，即所求参考
值范围包含了95%的正常人。
31
标准差与标准误的区别与联系
❖ 标准差
意义：描述原始数据 的离散程度。衡量均 数对原始数据的代表 性
与n的关系
应用：
❖ 频数分布估计（医 学参考值范围估计）
❖ 标准误
意义：反映抽样误差大 小，衡量样本均数估计 总体均数的可靠性
29
可信区间的两个要素
❖ 可靠性
反映为可信度1- 的大小
❖ 精确性
用区间长度CU－CL衡量
30
可信区间与参考值范围的区别
❖ 可信区间用于估计总体参数，总体参数只有一个 。 ❖ 参考值范围用于估计变量值的分布范围，变量值可能
很多甚至无限 。 ❖ 95%的可信区间中的95%是可信度，即所求可信区间
加样本含量可以降低抽样误差
19
t分布的概念
❖ 设某一变量Xi服从正态分布N(,)，则
Xi -
服从标准正态分布
❖即
X1, X 2 , X 3,...,服从正态分布N (, )
X1 - , X 2 - , X 3 - ,...,服从标准正态分布(0,1)
20
t分布的概念
❖ 从正态分布N(,)的总体中随机抽样并计算多个样
140名成年男子的红细胞数的频数分布 3
正态分布的概念
❖ 频数分布概念 频数集中在均数周围，左右基本对称，离均数愈近 数据愈多，离均数愈远数据愈少 如果观察数不断增多，组距不断细分，直方图的边 线将逐渐接近一条光滑曲线 这条曲线数学上称为正态曲线—以均数为中心，两 侧对称并逐渐下降，永远不与横轴相交的一条钟型曲 线
❖
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。21.1.221:06:0621:06Jan- 212-Jan-21
❖
日复一日的努力只为成就美好的明天 。21:06:0621:06:0621:06Satur day, January 02, 2021
❖
安全放在第一位，防微杜渐。21.1.221.1.221:06:0621:06:06J anuar y 2, 2021
-3
-2
-1
01
1
22
3
43
5
6
7
1 < 2 < 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 2 1 2
1 <2 <3
3
4
5
6
-5 - 2-.458 -3- 1.9-62 --1 0 1 + 2 + 1.936 4+ 2.585
68.3% 95.0% 99.0%
正态曲线下的面积分布图
7
当资料近似正正态分布时，可以 x 作为μ的估计值， 以S作为σ的估计值，估计正态曲线下面积的分布规 律
❖
这些年的努力就为了得到相应的回报 。2021年1月2日星期 六9时6分6秒21:06:062 January 2021
❖
科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。下午9时6分6秒下午 9时6分 21:06:0621.1.2