统计学第3章概率分布与抽样分布

可能的取值 X0 0 X 100 X0
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统计学
STATISTICS
分布函数的定义
定义 设X是一随机变量，X是任意实数，则实值函数 F(x)＝P {Xx}， x∈(-∞，+∞)
称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随机
变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1<X x2}＝P{X x2}－P{Xx1}＝ F(x2)－F(x1).
简单随机抽样
(simple random sampling)
1. 从总体N个也单称位纯中随随机机抽地样抽，取是n应个用单最位多作、为样本，使 得每一个总最体基单本位的都抽有样相方同法的之机一会(概率)被抽中
2. 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 3. 特点
➢ 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 ➢ 用样本统计量对目标量进行估计比较方便 ➢ 但是当N很大时，不易构造抽样框 ➢ 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难 ➢ 没有利用其他辅助信息以提高估计的效率
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统计学
STATISTICS
正态分布的转换
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
Z X ~ N (0,1)
X-μ表示将一般正态分布的曲线平衡到标准正态分布的位置
除以σ表示将一般正态分布的曲线形状转换为标准正态分布
P
(a
x
b
)
(
b
)
(
a
)
P(
X
b)
(b
)
24
b
3. P{a X b} a f (x)dx,
则称X是连续型随机变量，f(X)称为X的概率密度函
数,简称概率密度。
注意f(x)不是概
率
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统计学
STAT概IST率ICS密度函数的性质
1) f ( x) 0
2) f ( x)dx 1
这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量X的概率 密度函数的充要条件
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统计学
STATISTICS
N (1,0.82 )
0.6
f (X )
0.5
0.4 N (0,12 )
0.3
N (1,1.22 )
μ决定曲线的位置，σ0.决2 定曲线的“胖瘦”
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
统计学
STATIS正TIC态S 分布下的概率计算
P{X x} F ( x) 1
➢ 组织实施调查更方便
➢ 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层 的目标量进行估计
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统计学
系统抽样
STATISTICS
(systematic sampling)
也称等距抽样或机械抽样
1. 将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺 序排列，在规定的范围内随机地抽取一个 单位作为初始单位，然后按事先规定好的 规则确定其他样本单位
两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交
5. 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下 的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1
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统计学
STATIS正TIC态S 概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
2. 以确定的概率取这些不同的值
3. 离散型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1
4
统计学
STATISTICS
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统计学
STATISTICS
简单随机抽样的优缺点
▪ 优点：简单随机抽样是最符合随机原则的 抽样方法，能保证总体的每个成员具有已 知的且同等的被选为样本单位的机会，因 此，产生的样本，不论其多大都是总体的 一个有效代表。
▪ 缺点：不论使用哪种抽样方法，都需要预 先设定每个总体成员，要为每个总体成员 提供一个标志值，而且要有一个完整的总 体情况表，这往往是难以获得的。
2. 描述连如续t分型布随、机F变分量布的、最χ2分重布要都的是分在布正态分 3. 许多现布象的都基可础以上由推正导态出分来布的，来此描外述，t分布、 4. 可用于二分近项布似分，离布在散、 一型定Po随条is机件so变下n分量，布可的的以分极按布限正为态正分态布
➢ 例布如原：理来二项处分理布。当n越来越大，越近似服从正态分
P
X
500 60
Hale Waihona Puke 560 500 60 1
560 500 60
1 (1)
1 0.8413 0.1587
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统计学
STATISTICS
3.3 常用的抽样方法
▪ 3.3.1 简单随机抽样 ▪ 3.3.2 分层抽样 ▪ 3.3.3 系统抽样 ▪ 3.3.4 整群抽样
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统计学
STATISTICS
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统计学
STATISTICS
分层抽样
(stratified sampling)
1. 将总体单位按某种特征或某种规则划分为
不同的层，然分层后或从分不类同时，的应层使中层独内各立、随机
地抽取样本 单位的差异尽可能小，而使
2. 优点
各层之间的差异尽可能大。
➢ 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从 而提高估计的精度
1 0.97725 0.02275
P(40 X 60) Φ(60 50) Φ(40 50) Φ(1) Φ(1) 2Φ(1) 1
10
10
2 0.8413 1 0.6826
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统计学
STATIS练TIC习S 设X ~ N (500 ,60 2 ), 求
() P{ X }
解 (1) P{ X } P{ X }
解 P{1.25 X 2}
(2) (1.25)
查表标准正态分布函数表
0.9772 0.8944
0.0828.
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统练习计学设X ~ N(0,1)求 (1) P(0.2 X 0.5), (2) P( X 1.2),
STATISTICS
() P(| X | 0.34)
解 查标准正态分布表
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统计学
STATISTICS
(5) 曲线以 x 轴为渐近线; (6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
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统计(7学) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴
STATIS不TIC变S,而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖.
连续型随机变量
1. 连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴 上的任意一个值
2. 它取任何一个特定的值的概率都等于0 3. 不能列出每一个值及其相应的概率 4. 通常研究它取某一区间值的概率 5. 用概率密度函数和分布函数的形式来描述
试验 抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度
随机变量 使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm)
0, x 1,
＝00..71,,
0 x 1, 1 x 2,
F(x)
1, x 2.
1
0
1
2
x 8
统计学
STATISTICS
连续型随机变量与概率密度
设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函 数f(x)，满足条件
1. f (x) 0,
2. f (x)dx 1,
对于任意的 a,b(a b), a也可为 , b也可为,有
f (x) 1
S
o
••
ab
x
b
3) X落入区间［a,b］内的概率＝ f ( x)dx a
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统计学
STATISTICS
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望
E(X ) xf (x)dx
2. 方差
D( X
)
[
x
E
(
X
)]2
f
( x)dx
2
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统计学
STATISTICS
在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机 变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了 随机变量的概率分布情况。
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统计学
STATISTICS
分布函数的性质
1、单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)F(x2)；
2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且
F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
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统计学
STATISTICS
正态分布函数的性质
1. 图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x= 处 2. 均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确
定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”
3. 均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具
体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。
越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭 4. 当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的
() P(0.2 X 0.5) (0.5) (0.2) 0.6915 0.5793 0.1122
() P( X 1.2) (1.2) 1 (1.2)