5.2 样本频率的抽样分布与抽样误差
概率与统计中的频率分布与抽样分布
概率与统计中的频率分布与抽样分布概率与统计是数学中一门重要的学科，它研究的是事物发生的概率和统计规律。
在概率与统计中，频率分布和抽样分布是两个重要的概念。
本文将分别介绍频率分布和抽样分布，并探讨它们在实际应用中的意义和作用。
一、频率分布频率分布是指将数据按照不同的区间进行分类，并统计每个区间内数据出现的频数或频率。
频率分布是对数据进行整理和总结的方式，它可以帮助我们更直观地了解数据的分布情况和规律。
频率分布可以通过直方图、饼图等图表形式进行展示。
直方图是一种常见的频率分布图，它将横坐标划分为若干个区间，纵坐标表示每个区间内数据出现的频率或频数。
通过直方图，我们可以清楚地看到数据的分布情况，包括数据的集中趋势、分散程度、偏态和峰度等信息。
在实际应用中，频率分布可以帮助我们了解各类数据的分布规律。
例如，在市场调研中，我们可以通过对消费者购买金额的频率分布进行分析，来确定产品的定价策略；在医学研究中，我们可以通过对患者体温的频率分布进行分析，来判断患者的健康状态。
二、抽样分布抽样分布是指从总体中随机抽取样本，并根据样本数据推断总体的分布情况。
抽样分布是概率与统计中非常重要的概念，它为我们进行统计推断和参数估计提供了基础。
抽样分布可以通过抽样分布图进行展示。
抽样分布图是一种曲线图，横坐标表示样本统计量（例如样本均值、样本比例等），纵坐标表示抽样分布的概率密度。
通过抽样分布图，我们可以了解到样本统计量的变化情况，以及估计量的准确程度和可靠性。
在实际应用中，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
例如，在市场调研中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本平均值的抽样分布，并根据抽样分布来估计总体的平均值；在医学研究中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本比例的抽样分布，并根据抽样分布来推断总体的比例。
总结：概率与统计中的频率分布和抽样分布是两个重要的概念，它们在数据分析和统计推断中发挥着重要的作用。
频率分布可以帮助我们了解数据的分布规律，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
概率与统计抽样频率与误差分析
概率与统计抽样频率与误差分析概率和统计是数学中两个重要的分支，涵盖了许多与随机事件和数据分析相关的理论和方法。
在实际应用中，我们常常需要通过抽样来获取代表性的样本，然后利用统计方法对样本数据进行分析和推断。
而在这个过程中，抽样频率和误差分析是非常关键的概念和技术。
一、概率与统计基础在探讨抽样频率和误差分析之前，我们首先需要了解一些概率与统计的基础知识。
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，统计是通过收集和分析数据得出有关总体特征的方法。
二、抽样频率抽样频率是指在多次独立抽样中，出现某一特定事件的频率。
在抽样的过程中，我们从总体中随机选择样本，通过对样本的观察和测量，得到了某种事件发生的频率。
这种频率可以用于对总体特征的推断和估计。
抽样频率的计算需要满足随机抽样和独立性的条件。
随机抽样保证了样本的代表性，使得样本能够反映总体的特征。
而独立性则保证了多次抽样之间的独立性，使得每次抽样的结果相互独立。
三、抽样误差抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
由于我们无法对整个总体进行观察和测量，而只能通过样本来对总体进行推断，因此样本统计量与总体参数之间必然存在一定的差异。
这种差异即抽样误差。
抽样误差的大小与样本容量、总体变异性以及抽样方法等因素密切相关。
增加样本容量可以减小抽样误差，因为样本容量越大，样本统计量越接近总体参数。
总体变异性越小，抽样误差越小。
而选择恰当的抽样方法也可以减小抽样误差，如使用分层抽样、系统抽样等方法。
四、频率与误差分析频率与误差分析是在探究抽样频率和误差的基础上进行的统计推断和分析。
通过研究抽样频率和误差的分布、置信区间、假设检验等方法，可以对总体特征进行推断和判断。
在频率与误差分析中，我们常常使用参数估计和假设检验等方法。
参数估计是通过样本统计量来估计总体参数的值，如样本均值估计总体均值。
而假设检验是用于检验某一假设是否成立的方法，如检验总体均值是否等于某一特定值。
五、实例应用为了更好地理解概率与统计抽样频率和误差分析的应用，我们举一个实例来说明。
卫生统计学七版 第五章参数估计基础电子教案
P0.05
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计 称的 为范 置围 信区C间（ I ， co用 nfidenicneterv）al
表示，其置信1度 ）为，（一般取置95信 %，度即为取 为0.05，此区
间的较小值称为 限置 ，信 较下 大值称为 限置 。信 一上 般进行双 区侧 间的估计。
卫生统计学七版 第五ຫໍສະໝຸດ 参数估 计基础第一节 抽样分布与抽样误差
一、样本均数的抽样分布与抽样误差
……
x15 .55 1 sx0.9617
样本均数的标准差越，大抽样误差就越大
样本均数的标准差称标为准误
x
n
sx
s n
sx称为标准误估计值，简也称标准误
标准误与标准差成正比 ，与样本含量成反比
标准误越大，抽样误差越大。
2、正态近似法
当已知时X： u
n
当未知但n足够大时X：u0.05
s n
X1.96 s n
或：X1.96s X
例5-3(P95) 某医生于2000年在某市随机抽取90名 19岁的健康男大学生，测量了他们的身高，得样本均数 为172.2cm，标准差为4.5cm，试估计该市2000年19岁健 康男性大学生平均身高的95%置信区间 。
对任意分布，在样本含量足够大时，其样本均数的分布都 近似正态分布，且样本均数的均数等于原分布的均数。
二、样本频率的抽样分布与抽样误差
总体率的标准误：
p
(1 )
n
率的标准误的估计值：
sp
p(1 p) n
标准误大抽样误差就大。
第二节 t分布
一、t分布的概念
5.2 样本频率的抽样分布与抽样误差
第五章 参数估计基础二、样本频率的抽样分布与抽样误差内 容1. 样本均值抽样分布和抽样误差回顾2. 样本频率抽样分布和抽样误差1. 样本均值抽样分布和抽样误差 （1）正态分布总体样本均数抽样分布特点（2）非正态分布总体样本均数抽样分布规律（3）均值标准误的含义和计算（1）正态分布总体样本均数抽样分布特点n样本均数等于总体均数的情况极其罕见； n样本均数之间存在差异；n样本均数围绕总体均数，呈近似正态分布； n样本均数标准误小于原始变量的标准差。
（2）非正态分布总体样本均数抽样分布规律n虽然原分布是偏态分布，但当抽取样本量n足够大时(如 n＞30) 样本均数也近似正态分布，且样本均数的均数等 于原分布的均数。
（3）均值标准误的含义和计算2. 样本频率的抽样分布与抽样误差 电脑摸球实验，表% 20 = p 时的随机抽样结果( 50 = i n )黑球比例(%)样本频数 样本频率(%) 8 2 2.00 10 4 4.00 12 8 8.00 14 7 7.00 16 11 11.00 18 13 13.00 20 19 19.00 22 11 11.00 24 11 11.00 26 6 6.00 28 3 3.00 30 4 4.00 32 1 1.00 合计100100.00n样本频率抽样误差n从同一总体中随机抽出观察单位相等的多个样本，样本率与总体 率及各样本率之间都存在差异，称为频率的抽样误差。
n样本频率的标准误n表示样本频率抽样误差大小的指标即为频率的标准误。
小 结1. 样本均值抽样分布和抽样误差知识回顾2. 样本频率抽样分布和抽样误差n样本频率分布规律n频率标准误含义和计算。
统计学5-2
不重复抽样： X ~ N [ ,
2 N n
n ( N 1
X
)]
N n ) n N 1
2
~ N (0,1)
(
课堂练习
某汽车电瓶商声称其生产的电瓶寿命服 从均值为60个月，标准差为6个月的正 态分布，现假设质检部门决定检验该厂 的说法是否正确，为此随机抽取了36个 该厂生产的电瓶进行寿命试验。 问：假定该厂商声称正确，则36个样 品组成的样本的平均寿命不超过57个月 的概率为多少。
5.3 抽样分布
从正态总体中抽样得到的 样本平均数的分布服从正态分 布，从非正态总体中抽样得到 的样本平均数的分布呢？
中心极限定理
如果一个随机变量是由大量相互独立 的随机因素的综合影响所造成，而每一个 因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正 态分布. • 该定理表明：不论总体服从什么分布，只 要数学期望和方差存在，对这一总体进行重 复抽样，当样本容量n充分大时（n≥30）， n X i 或 X 就趋于正态分布。
样本平 均数 X 34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本 46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
样本平 均数 X 40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
5. 1 5. 2 5. 3
……………………………..
…………………………….. …………………………….. ……………………………… ……………………………..
抽样调查
抽样误差 抽样分布
5. 4
5. 5
抽样估计的方法
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计算公式为
X
n
其中，σ为总体标准差，n为抽样的样本例数
在研究工作时，由于总体标准差常常未知， 可以利用样本标准差近似估计
sX
s n
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标准误的计算
【例】根据7岁男童的身高资料， 在已知总体标准差时，标准误为
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样本均数和 总体均数间 的差别 X i
样本均数和 样本均数间 的差别 X i X j
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抽样误差
定义。 只要有个体变异和随机抽样研究，
抽样误差就是不可避免的。 抽样误差有自己的客观规律，统
计学就是拨开抽样误差之雾来洞 察客观规律的利器。
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2.1 标准误的定义
样本统计量（如均数）也服从一 定的分布；
与描述观测值离散趋势的指标类 似，我们使用样本统计量的标准 差来反映抽样误差的大小。又称 标准误(standard error)。
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对象 计算方法
标准差
个体变异 定义
标准误
抽样误差 定义
性质 用途
n越大，标准差越
稳定
参考值范围 衡量离散程度
n越大，标准误越小
可信区间，假设检验
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3.1 样本均数的抽样分布规律
中心极限定理
从均数为μ，标准差为σ的正态总体中随机抽样，样 本均数服从均数为μ，标准差为 的n 正态分布。
极限定理 样本及抽样分布
f ( y)
n =1
n=5 n = 15
O
y
χ 2 (n)分布具有以下性质 分布具有以下性质:
2 χ2 χ2 χ2 (1)如果 1 ~ χ 2 (n1 ), χ2 ~ χ 2 (n2 )且 1 与 2 相互独立 2 χ2 则 1 + χ2 ~ χ 2 (n1 + n2 )
(2)如果 ~ χ (n), 则有 (χ ) = n, D(χ ) = 2n. χ E
1 n E(S ) = E( Xi2 ) − nE( X 2 ) ∑ n − 1 i=1
2
1 σ 2 2 2 2 = ∑(σ + µ ) − n(µ + n ) = σ n − 1 i=1
n 2
第二节 抽样分布
χ2 分布 1、 、
是来自总体N(0，1)的样本，称统计量 的样本， 设X1,X2…Xn是来自总体 ， 的样本
1 2 2 (∑ Xi + ∑ X − 2∑ Xi X ) = n − 1 i =1 i =1 i =1 n n n 1 2 2 X = ∑ Xi ⇒ ∑X 2 X = 2 X∑Xi ...X 2 = nX 2 = X + X + = nX= ⇒ ∑Xi n i =1 i =1 i =1
n n n
1 2 2 (∑Xi + nX − 2nX 2 ) = n − 1 i =1
定义5.1 设随机变量序列Y 是常数, 定义5.1 设随机变量序列 1 , Y2 …Yn , a是常数, 是常数 对于任意正数ε, 有
n
lim P { Yn − a < ε } = 1, →∞
则称序列 Y1 , Y2 L Yn ... 依概率收敛于 a , 记为 P Yn → a .
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第五章 参数估计基础二、样本频率的抽样分布与抽样误差
内 容
1.样本均值抽样分布和抽样误差回顾
2.样本频率抽样分布和抽样误差
1.样本均值抽样分布和抽样误差（1）正态分布总体样本均数抽样分布特点
（2）非正态分布总体样本均数抽样分布规律（3）均值标准误的含义和计算
（1）正态分布总体样本均数抽样分布特点
n样本均数等于总体均数的情况极其罕见； n样本均数之间存在差异；
n样本均数围绕总体均数，呈近似正态分布； n样本均数标准误小于原始变量的标准差。
（2）非正态分布总体样本均数抽样分布规律
n虽然原分布是偏态分布，但当抽取样本量n足够大时(如 n＞30) 样本均数也近似正态分布，且样本均数的均数等于原分布的均数。
（3）均值标准误的含义和计算
2.样本频率的抽样分布与抽样误差电脑摸球实验，
表 % 20 = p 时的随机抽样结果( 50 = i n )
黑球比例(%) 样本频数 样本频率(%)
8 2 2.00
10 4 4.00
12 8 8.00
14 7 7.00
16 11 11.00 18 13 13.00
20 19 19.00
22 11 11.00
24 11 11.00
26 6 6.00
28 3 3.00
30 4 4.00
32 1 1.00
合计100 100.00
n样本频率抽样误差
n从同一总体中随机抽出观察单位相等的多个样本，样本率与总体 率及各样本率之间都存在差异，称为频率的抽样误差。
n样本频率的标准误
n表示样本频率抽样误差大小的指标即为频率的标准误。
小 结
1.样本均值抽样分布和抽样误差知识回顾
2.样本频率抽样分布和抽样误差
n样本频率分布规律
n频率标准误含义和计算。