新北师大版数学必修一期末测试卷(含详细解析)
【北师大版】高中数学必修一期末试卷附答案(2)
一、选择题1．已知函数()102xx f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则a b +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x R f x α∈∈=，(){}0x R g x β∈∈=，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（ ）A ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．[]2,43．已知一元二次方程210x mx ++=的两根都在()0,2内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦[)2,⋃+∞ B ．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭()2,⋃+∞ C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦5．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c6．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦7．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．()(),13,-∞+∞8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞9．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确B ．①错误②错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确10．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若()AB C ⊆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}|21m m -≤≤B ．1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．11|24m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭11．集合{}*|421A x x N =--∈，则A 的真子集个数是（ ） A ．63B ．127C ．255D ．51112．如果集合{}2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-二、填空题13．已知当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0>ω）有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______.14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.15．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______.16．若()34,0m nm n =≠，则4log 3=______.（用m n ，表示）17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．18．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，则不等式()()f x f x >-的解集为_______________．19．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”.（1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1A x∈.给出以下命题：①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；⑤设集合A 是“好集合”，若x 、y A ，则x y A +∈；其中真命题的序号是________.20．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x AB ⊗=∈且}x A B ∉，已知{|2}2xA x x =<+，{|3}B x x =>-，则A B ⊗=_________ 三、解答题21．某化工厂一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为*()x x N ∈时溶液杂质含量为y（1）分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量1y ，2y 的值． （2）写出y 与x 的函数关系式（要求写出定义域）（3）按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg2=0.301)22．某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足141m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 23．已知：2256x ≤且21log 2x ≥ （1）求x 的取值范围；（2）求函数f （x）＝2log 22x ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值.24．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________. 25．已知函数()()kf x x x R x=+∈，且()()12f f =. （1）求k ；（2）用定义证明()f x 在区间)+∞上单调递增.26．已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A . （1）若2a =，求集合A ；（2）若集合A 是集合{}4|2x x -≤≤的真子集，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，可知函数()h x 的零点为1b -，令()0f x =，可得出102x x =-，令()0h x =可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，利用函数10x y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标，进而可求得+a b 的值. 【详解】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则函数()h x 的零点为1b -.令()0f x =，可得102x x =-，令()0h x =，可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10xy =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，如下图所示：由于函数10xy =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，直线2y x =-与直线y x =垂直，设直线2y x =-与函数10xy =的交点为点A ，直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ，易知点A 、B 关于直线y x =对称，直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ，且C 为线段AB 的中点，所以12a b +-=，因此，3a b +=. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查函数零点之和，解题的关键在于利用函数10xy =、lg y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线y x =对称，结合对称性来求解.2．C解析：C 【分析】先求得函数()f x 的零点为1x =，进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】由题意，函数()12x f x ex -=+-单调递增，且()10f =，所以函数()f x 的零点为1x =， 设()23g x x ax a =--+的零点为β，则11β-≤，则02β≤≤，由于()23g x x ax a =--+必过点()1,4A -，故要使其零点在区间[]0,2上，则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩，即()()3730a a -+-≤或()230370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪⎨--+≥⎪⎪≤≤⎪⎩，所以23a ≤≤，故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.3．C解析：C 【分析】设()21f x x mx =++，根据二次函数零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】设()21f x x mx =++，则二次函数()21f x x mx =++的两个零点都在区间()0,2内，由题意()()2400220102250m m f f m ⎧∆=-≥⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩，解得522m -<≤-. 因此，实数m 的取值范围是5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向、判别式、对称轴以及端点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．A解析：A 【分析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log22aa<<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a≤<.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数342xy=-的图象与函数log ay x=的图象求解是解题关键. 5．B解析：B【分析】根据指数函数的图象与性质可求解.【详解】根据函数图象可知函数①y=x a；②y=x b为减函数，且1x=时，②y=1b<①y=1a，所以1b a<<，根据函数图象可知函数③y=c x；④y=d x为增函数，且1x=时，③y=c1>④y=d1，所以1c d>>故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 6．B解析：B【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解.【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题7．D解析：D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围 【详解】解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题 8．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．D解析：D 【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】①错误，可举反例：21()31xx f x x x ⎧=⎨-+>⎩，230()30121x x g x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪>⎩，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；()f x ∴为奇函数；同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．10．B解析：B 【分析】求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论． 【详解】由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，①m ＜0，x 1m -＜，∴1m -≥2，∴m 12≥-，∴12-≤m ＜0； ②m ＝0时，C ＝R,成立；③m ＞0，x 1m -＞，∴1m-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1， 综上所述，12-≤m ≤1， 故选：B ． 【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．11．B解析：B 【分析】先求得{}*|421A x x N =--∈的元素个数,再求真子集个数即可.【详解】由{}*|421A x x N=--∈,则421x --为正整数.则21x -可能的取值为0,1,2,3,故210,1,2,3x -=±±±,故x 共7个解.即{}*|421A x x N =--∈的元素个数为7故A 的真子集个数为721127-= 故选：B 【点睛】本题主要考查集合中元素个数的求解与知识点：元素个数为n 的集合的真子集有21n -个. 属于基础题型.12．D解析：D 【分析】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解，分0a =和00a ≠⎧⎨∆=⎩两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解.当0a =，{}12102A x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭，合乎题意； 当0a ≠时，则440a ∆=+=，解得1a =-. 综上所述：0a =或1-，故选D. 【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.二、填空题13．【分析】令利用正弦函数的性质解方程得出非负根中较小的六个根根据题意得出且整理即可得出答案【详解】令得则或整理得或则非负根中较小的有则且解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范 解析：56163ω≤<【分析】令()0f x =，利用正弦函数的性质解方程1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得出非负根中较小的六个根，根据题意，得出44ππω≤且2434πππωω+>，整理即可得出答案. 【详解】令()0f x =，得1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭则266x k ππωπ+=+或52,66x k k Z ππωπ+=+∈ 整理得2k x πω=或22,3k x k Z ππωω=+∈ 则非负根中较小的有22224240,,,,,333πππππππωωωωωωω++则44ππω≤且2434πππωω+> 解得：56163ω≤<故答案为：56163ω≤< 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.14．（-∞-）【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判别式及根解析：（-∞，-12） 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.16．【分析】利用换底公式化简即可【详解】设则故故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用属于中档题 解析：n m【分析】利用换底公式化简即可. 【详解】设()34,0m na m n ==≠,则34log ,log m a n a ==,故344341log 3log log log 31log 4log log a a a a na m a====. 故答案为：n m【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用,属于中档题.17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析：33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间【详解】函数22223,0()23||23,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞- 故答案为：33(,],[0,]44-∞- 【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题18．【分析】由表达式可知函数为奇函数则等价转换为解不等式即可【详解】因为当时则；同理当时又综上所述为奇函数则即当时解得；当时解得故的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式函数奇偶性 解析：()()2,02,-+∞【分析】由表达式可知，函数()f x 为奇函数，则()()f x f x >-等价转换为()0f x >，解不等式即可 【详解】因为2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，当0x >时，0x -<，则()()()2222f x x x x x -=----=-+，()()f x f x -=-；同理当0x <时，()()()220,22x f x x x x x ->-=---=+，()()f x f x -=-，又()00f =，综上所述()f x 为奇函数，则()()()()f x f x f x f x >-⇔>-，即()20f x >，当0x >时，()2020f x x x >⇔->，解得2x >；当0x <时，()2020f x x x >⇔-->，解得20x -<<，故()()f x f x >-的解集为()()2,02,-+∞故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式，函数奇偶性的判断，常用以下方法： （1）对于分段函数判断奇偶性可用定义法，也可采用数形结合法，结合图象判断； （2）由函数性质解不等式可采用代数法直接运算求解，也可结合函数图象求解.19．③④⑤【分析】取结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用好集合的定义可判断③④的正误；由可推导出再结合（1）可判断⑤的正误【详解】对于命题①但①错误；对于命题②但②错误；对于命题③解析：③④⑤ 【分析】取2x =，2y =-结合（1）可判断①的正误；取2x =结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由y A ，可推导出y A -∈，再结合（1）可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误；对于命题②，2Z ∈，但12Z ∉，②错误； 对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，③④正确； 对于命题⑤，当yA 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈，当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确. 故答案为：③④⑤. 【点睛】解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．20．【分析】先计算集合A 再根据定义得到答案【详解】或且或故答案为：【点睛】本题考查了集合的新定义问题意在考查学生的理解能力和解决问题的能力解析：(,4)(3,2]-∞---【分析】先计算集合A ，再根据定义得到答案. 【详解】{{|2}42xA x x x x =<=<-+或2}x >-，{|3}B x x =>- {|A B x x A B ⊗=∈且{}4x A B x x ∉⋂=<-或}32x -<≤-故答案为：(,4)(3,2]-∞---【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.三、解答题21．（1）1%，0.5%；（2）211()50x y =⨯，*x ∈N ；（3）7． 【分析】 （1）1次过滤后，11502⨯，2次过滤后，1115022⨯⨯，化简即可； （2）由每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半得12%(1)2xy =⨯-，*x ∈N ；（3）结合lg20.301=，解不等式11()0020.2%5x ⨯，即可得到x 的范围． 【详解】（1）1次过滤后，溶液杂质含量1110.011%502y =⨯==， 2次过滤后，溶液杂质含量21110.0050.5%5022y =⨯⨯==； （2）因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，所以过滤次数为*()x x N ∈时溶液杂质含量111222%(1)()50x x y =⨯-=⨯，*x ∈N ．（3）设至少应过滤x 次才能是产品达到市场要求，则11()0020.2%5x ⨯， 即0121()10x ，所以121lg2100 6.7lg 2lgx=≈， 又*x ∈N ，所以7x ，即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求． 【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22．（1）251081y x x =--+（(0,]x a ∈）；（2）当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大；当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8252mm+⨯ 所以()8252825my m m x m+=⋅-++825m x =+-. 182541x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭251081x x =--+（(0,]x a ∈） 所以251081y x x =--+（(0,]x a ∈）. （2）当4a ≥时，由251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-= 当且仅当2511x x =++，即4x =时取等号.又(0,]x a ∈ 当4x =时，y 有最大值；当04a <<时，令()251091f x x x =--+ 在(]0,a 上任取12,x x 使得12x x <()()()()()121221121225252510910911111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=---++=--⎪ ⎪++++⎝⎭(]()()()()122112121225,0,,401125,1011x x x x x x a a x x x x ∴-∈<∴<++<∴+<<>-+()()()120f x f x f x ∴-<∴是(]0,a 上的增函数..所以x a =时，y 有最大值；答：当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大； 当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大.. 【点睛】关键点睛：解题关键在于，当4a ≥时，利用均值不等式得到，251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-=；当04a <<时，令()251091f x x x =--+，利用定义法判断()f x 的单调性，进而求出x a =时，y 有最大值，最后得到答案，难度属于中档题23．（18x ；（2）min max 1(),()24f x f x =-= 【分析】（1）利用指数与对数不等式求出x 的范围，求出交集即可．（2）通过x 的范围求出log 2x 的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即可． 【详解】（1）由2x ≤256得x≤8，21log 2x >得2,28x x ∴.（2）由（18x 得21log 32x ，f （x ）＝2log 2x ⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭＝（log 2x ﹣log 22）()2=（log 2x ﹣1）（log 2x ﹣2）＝2231log 24x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当log 2x ＝32，f （x ）min ＝﹣14； 当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2． 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换元，配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．24．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。
新北师大版高一数学必修一期末测试卷一(含详细解析)
新北师大版高一必修一期末测试卷（共2套 附解析）综合测试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·全国卷Ⅰ理，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－3，－32)B ．(－3，32)C ．(1，32)D ．(32，3)2．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3 的定义域( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f (x )与g (x )有相同图像的一组是( )A ．f (x )＝(x 2)12，g (x )＝(x 12 )2B ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3C ．f (x )＝(x 12 )2，g (x )＝2log 2xD ．f (x )＝x ，g (x )＝lg10x4．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)5．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是( )A ．x >1B ．x <1C ．0<x <2D ．1<x <26．已知x 12 ＋x －12＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．277．(2014·山东高考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <18．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数9．(23)23 ，(25)23 ，(23)13 的大小关系为 ( )A ．(23)13 >(25)23 >(23)23B ．(25)23 >(23)13 >(23)23 C ．(23)23 >(23)13 >(25)23D ．(23)13 >(23)23 >(25)2310．已知函数f (x )＝log 12 x ，则方程(12)|x |＝|f (x )|的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．200611．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是( )A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，“好点”的个数为（ )A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．14．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.15．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．16．函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递减区间是________三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，求A ∪B . 18．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋(－9.8)0 (2)如果f (x －1x )＝(x ＋1x)2，求f (x ＋1)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1. (1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .(1)求f (log 213)的值；(2)求f (x )的解析式．21．(本小题满分12分)(2015·上海高考)已知函数f (x )＝ax 2＋1x ，其中a 为常数(1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由．22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中a >0且a ≠1.23．(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1<f (x －1)<4，结果用集合或区间表示．一．选择题 1.[答案] D[解析] A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}．故A ∩B ＝{x |32<x <3}．故选D.2.[答案] C[解析] 由函数y ＝f (x )的表达式可知，函数f (x )的定义域应满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤xx >2且x ≠3.即函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]，故应选C.3.[答案] D[解析] 选项A 中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；选项B 中，f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g (x )的定义域为R ；选项C中，f (x )＝(x 12 )2＝x ，x ∈[0，＋∞)，g (x )＝2log 2x ，x ∈(0，＋∞)，定义域和对应关系都不同；选项D 中，g (x )＝lg10x ＝x lg10＝x ，故选D.4.[答案] B[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)． 5.[答案] D[解析] 由已知得⎩⎨⎧x >02－x >0x >2－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <2x >1，∴x ∈(1,2)，故选D.6.[答案] B[解析] x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 12＋x －12)2－2＝52－2＝23. 故选B. 7.[答案] D[解析] 本题考查对数函数的图像以及图像的平移．由单调性知0<a <1.又图像向左平移，没有超过1个单位长度．故0<c <1，∴选D. 8.[答案] B[解析] f (x )＝3x ＋3－x 且定义域为R ，则f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )为偶函数． 同理得g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．故选B. 9.[答案] D[解析] ∵y ＝(23)x 为减函数，13<23，∴(23)13 >(23)23 . 又∵y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，且23>25，∴(23)23 >(25)23 ， ∴(23)13 >(23)23 >(25)23 .故选D. 10.[答案] B[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(12)|x |及y ＝|log 12x |的图像如图所示，易得B.11.[答案] D[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．又∵－2<－32<－1，且f (x )在(－∞，－1)上是增函数，∴f (2)<f (－32)<f (－1)．12.[答案] C[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝(2)x 和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G (2，12)在指数函数y＝(22)x上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C. 二．填空题 13.[答案] 4[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14.[答案]2[解析] 此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量． 令f (a )＝t ，则f (t )＝2. ∵t >0时，－t 2<0≠2，∴t ≤0. 即t 2＋2t ＋2＝2，∴t ＝0或－2.当t ＝0时，f (a )＝0，a ≤0时，a 2＋2a ＋2＝0无解． a >0时，－a 2＝0，a ＝0无解．当t ＝－2时，a ≤0，a 2＋2a ＋2＝－2无解 a >0时－a 2＝－2，a ＝ 2. 15.[答案] (12，1)[解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0， 又f (12)＝(12)3－6×(12)2＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为(12，1)．16. [答案] (3，＋∞)[解析] 先求定义域，∵x 2－3x >0，∴x >3或x <0， 又∵y ＝log 13u 是减函数，且u ＝x 2－3x .即求u 的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)． 三．解答题17.[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}， ∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B ，根据元素与集合的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝6.∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意． ∴A ∪B ＝{2,3,4}．18.[解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x)2＝x 2＋1x 2＋2＝(x 2＋1x 2－2)＋4＝(x －1x )2＋4∴f (x )＝x 2＋4，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4＝x 2＋2x ＋5.19.[解析] (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ>0， 即Δ＝4＋12(1－m )>0，可解得m <43；Δ＝0，可解得m ＝43；Δ<0，可解得m >43.故m <43时，函数有两个零点；m ＝43时，函数有一个零点；m >43时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.20.[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ， 所以f (log 213)＝f (－log 23)＝－f (log 23)＝－2log 23＝－3.(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ， 即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ； 又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0，综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >00，x ＝0－2－x，x <0.21.[解析] (1)f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，关于原点对称， f (－x )＝a (－x )2＋1－x ＝ax 2－1x ，当a ＝0时，f (－x )＝－f (x )为奇函数，当a ≠0时，由f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1，知f (－1)≠－f (1)，故f (x )即不是奇函数也不是偶函数．(2)设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)－1x 1x 2]， 由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4,1＜x 1x 2＜4， －1<－1x 1x 2<－14，又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 23.[解析] (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x －1，∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)．∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1(x ≥0)－a －x ＋1(x <0).(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0－1<－a －x ＋1＋1<4或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0－1<a x －1－1<4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0－3<a －x ＋1<2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥00<a x －1<5.当a >1时，有⎩⎨⎧ x <1x >1－log a 2或⎩⎨⎧x ≥1x <1＋log a 5注意此时log a 2>0，log a 5>0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a >1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0<a <1时，不等式的解集为R .。
【北师大版】高中数学必修一期末试题(带答案)(2)
一、选择题1．已知函数,01()11,10(1)x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m =--，其中m 是非零的实数，若函数()g x 在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭2．已知函数f (x )＝1,01,0x x x⎧⎪⎨>⎪⎩则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)3．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与MN最接近的是（ ）(参考数据：lg30.48≈) A ．3310B ．5310C ．7310D ．93105．已知函数()()()2331log 6log 1y x a a x x =--++在[]0,1x ∈内恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ） A．13a <<B．a >C．13a <<D．a >6．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e7．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞B ．[]1,2C ．()1,2D ．(],1-∞ 8．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关9．已知函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4x <时，1f x f x =+（）（），则22log 3f +（）=A ．124 B ．112C ．18D ．3810．已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( )A ．()2∞+，B ．[)2∞+，C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，11．已知集合{}|15A x x =≤<，{}|3B x a x a =-<≤+.若BA B =，则a 的取值范围为（ ） A ．3,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集二、填空题13．若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是______．14．已知函数()21f x x =-+，().g x kx =若方程()()f x g x =有两个不等实数根，则实数k 的取值范围是______．15．已知18log 2a =，试用a 的式子表示2log 3=________．16．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x=+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.17．若函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 满足:()()123f x f x x +-=+.设()f x 在[](),2t t t R +∈上的最小值为()g t ，则()g t =____.18．已知函数()2()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则()3f =________.19．已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则AB =________20．若关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集 ，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题21．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()124x f x g x +-=.（Ⅰ）求函数()f x 和()g x 的表达式；（Ⅱ）若方程()4xf x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有一个实根，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）设()44log 23xg x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.23．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()log (31)a f x x =+，()log (13)a g x x =-(0a >且1)a ≠． （1）求()()()F x f x g x =-的定义域； （2）判断函数()F x 的奇偶性；（3）若()()0f x g x ->，求x 的取值范围．25．已知二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <，()()213g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和最小值；26．已知集合{()(1)0}M xx t x =-+≤∣，{|21}N x x =|-|<. （1）当2t =时，求M N ⋃； （2）若N M ⊆，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x 零点等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x -<<时，011x <+<，满足上支范围，所以()11f x x +=+，所以,01()11,101x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数. 当直线4y mx m =+过点(1,1)时，15m =， 所以当105m <<时，直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点. 当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（10x -<<）相交时， 联立4111y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y 得，24(51)0mx m x m -++=， 因此22(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.2．D解析：D 【分析】分别讨论x ≤0和x >0，方程有解时，m 的取值. 【详解】当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即1x m x+=，解得m ≥2， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃+∞故选：D 【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.3．C解析：C 【分析】设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ，则有1()4xy =，然后根据物质的剩留量不超过原来的1%，建立不等关系，利用对数运算性质进行求解即可. 【详解】设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ，则有1()4xy =， 依题意得11()4100x≤，整理得22100x ≥， 解得4x ≥，所以至少需要的年数是4， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关放射性物质的剩留量的求解问题，在解题的过程中，注意根据条件，列出相应的关系式，之后将其转化为指数不等式，结合指数函数的性质，求得结果，属于简单题目.4．D解析：D 【分析】设36180310M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】解：设36180310M x N ==，两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，故选：D . 【点睛】 关键点睛:本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令36180310x =，两边取对数后进行化简整理.5．C解析：C 【分析】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦，由题意得出()()0010g g ⎧>⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦， 由题意可得()()()()23301log 0126log 0g a g a ⎧=->⎪⎨=->⎪⎩，可得311log 3a -<<，解得13a <<故选：C. 【点睛】思路点睛：求解一次函数不等式在区间上恒成立，一般限制一次函数在区间上的端点函数值符号即可，即可得出关于参数的不等式，求解即可.6．D解析：D 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =与xy e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】函数()2f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22a-<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （） 在区间[]2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当022a≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2a--， 上递增，在[2]2a -， 上递减， 且22f f -<（）（） ， 此时2322424a a M m f f a -=---=--（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关③当202a-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2a -，上递减，在[2]2a --，上递增， 且22f f <-（）（）此时222424a a M m f f a -=--=-+（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．9．A解析：A根据232log 34<+<，()()222log 33log 3f f +=+可得，又有23log 34+> 知，符合4?x >时的解析式，代入即得结果. 【详解】因为函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当4x <时，1f x f x =+（）（），所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=21log 242=124，故选A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 【详解】 解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-. A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.11．C解析：C 【分析】首先确定B A ⊂，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】B A B =B A ∴⊂，当B φ=时，332a a a -≥+⇒≤-； 当B φ≠时，3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，312a ∴-<≤- ， 综上：1a ≤-， 故选C.本题考查根据集合的包含关系，求参数取值范围，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.12．B解析：B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集；对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选： B. 【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：（1）利用子集的概念，可以判断出1P 的元素，一定是2P 的元素，得到对任意a ，1P 是2P 的子集；（2）利用R 是R 的子集，结合判别式的符号，存在实数1b >时，有12Q Q R ==，得到结果.二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：⎡⎢⎣⎦【分析】将函数4y ax a =+()()4f x a x =+与()g x =点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，()g x =则函数4y ax a =+()()4f x a x =+与()g x =点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-的图像相切时，有2421aa =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以3a =， 所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-的图像有交点时，只需303a ≤≤. 故答案为：30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．【解析】试题分析：当时当时函数在上递减在上递增所以在处取得最小值且所以最小值点的坐标为若方程有两个不相等的实根则函数与有两个不同交点而是过原点的直线则应大于点与原点连线的斜率且小于直线的斜率即故答案解析：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：当2x ≥时，()1f x x =-，当2x <时，()3f x x =-+，函数()f x 在(),2-∞上递减，在2,上递增，所以在2x =处取得最小值，且()21f =，所以最小值点的坐标为()2,1，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则函数()f x 与()g x 有两个不同交点，而()g x kx =是过原点的直线，则k 应大于点()2,1与原点连线的斜率，且小于直线1y x =-的斜率，即112k <<，故答案为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.考点：分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15．【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：故答案为：【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得再结合对数运算性质化简即可得答案 解析：12aa- 【分析】根据换底公式和对数运算性质得18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯运算化简即可得答案.【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：18181818182181818181818log log 32log 3log 91log 211111112log 3log 22log 22log 22log 22log 222a a a a---==⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.故答案为：12aa-. 【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得182182log 31log 32log 2=⨯，再结合对数运算性质化简18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯即可得答案. 16．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.17．【分析】根据题意求得ab 的值可得的解析式分别讨论三种情况结合二次函数图像与性质即可求得结果【详解】由题意得：所以所以解得所以为开口向上对称轴为的抛物线当即时在上单调递减所以当即时在上单调递减在上单调解析：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【分析】根据题意，求得a ，b 的值，可得()f x 的解析式，分别讨论3t <-，31t -≤≤-，1t >-三种情况，结合二次函数图像与性质，即可求得结果. 【详解】由题意得：22(1)(1)(1)121f x a x b x ax a ax bx b +=++++=+++++，所以()()222111223ax a ax bx b ax bx ax a f b x x x f +++++---=++=-=++，所以223ax xa b =⎧⎨+=⎩，解得1,2a b ==，所以22()21(1)f x x x x =++=+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线， 当21t +<-，即3t <-时，()f x 在[],2t t +上单调递减，所以2()(2)(3)g t f t t =+=+，当12t t ≤-≤+，即31t -≤≤-时，()f x 在[,1)t -上单调递减，在[1,2]t -+上单调递增，所以()(1)0g t f =-=；当1t >-时，()f x 在[],2t t +上单调递增，所以2()()(1)g t f t t ==+，综上：22(3),3()0,31(1),1t t g t t t t ⎧+<-⎪=-≤≤-⎨⎪+>-⎩故答案为：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【点睛】求二次函数在区间[,]a b 上最值时，一般用分类讨论的方法求解，讨论对称轴位于区间的左右两侧，位于区间内，再根据二次函数图像与性质，求解即可，考查分析求解的能力，属中档题.18．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键解析：16 【分析】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】因为()2()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，则2a =±.又0a >，所以2,a =.22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=故答案为：16 【点睛】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.19．【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式再由交集的定义求解即可【详解】由题因为解得则因为解得或则或所以故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算考查含根式的不等式的运算考查解高次不等式 解析：{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可 【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >, 所以{}|30A B x x ⋂=-<<, 故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式20．【分析】由题意知关于的方程无实数解可得出由此可解出实数的取值范围【详解】由题意知关于的方程无实数解当时原方程为解得不合乎题意；当时则有解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利用集合的 解析：()1,+∞【分析】由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解，可得出00a ≠⎧⎨∆<⎩，由此可解出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解.当0a =时，原方程为210x +=，解得12x =-，不合乎题意；当0a ≠时，则有440a ∆=-<，解得1a >. 综上所述，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查利用集合的子集个数求参数，将问题转化为方程无实解是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）()44xxf x -=+，()44xx g x -=-；（Ⅱ）5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）由()()124x f x g x +-=，结合()f x 的偶函数，()g x 是奇函数，得到()()124x f x g x -+-=，两式联立求解.（Ⅱ）()4xf x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根，即()214410xx m m --⋅-=在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个实根，令()4,1,2xz z =∈，转化为()2110m z mz ---=在()1,2上恰有一个实根，令()()211h z m z mz =---，用二次函数的性质求解.【详解】（Ⅰ）由()()124x f x g x +-=.得()()124x f x g x -+---=，.因为()f x 的偶函数，()g x 是奇函数， 所以()()124x f x g x -+-=，解得()44xxf x -=+，()44xx g x -=-.（Ⅱ）因为()4xf x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根， 即444x x x m m -+=⋅-，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根， 即()214410xx m m --⋅-=在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个实根，令()4,1,2xz z =∈，则()2110m z mz ---=在()1,2上恰有一个实根，令()()211h z m z mz =---又()12h =-，则有()2250h m =->或()()244012211020m m m m m h ⎧∆=+-=⎪⎪<<⎪-⎨⎪-<⎪<⎪⎩， 解得52m >， 综上m 的取值范围为5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）12k =-；（2）{}()31,-+∞.【分析】（1）根据偶函数得到()()f x f x =-，化简得到441log 241x x x kx -+==-+，解得答案.（2）化简得方程142223xx x a a +=⋅-，设20xt =>得到()241103a t at ---=有且仅有一个正根，考虑1a =和1a ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-，∴()()44log 41log 41xxkx kx -++=+-，441log 241x x x kx -+==-+，即2x kx =-对一切x ∈R 恒成立，∴12k =-.（2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 即方程()4414log 41log 223xx x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根. 化简得：方程142223xx x a a +=⋅-有且只有一个实根. 令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根， 当1a =时，34t =-，不合题意； 当1a ≠且()244103a a ⎛⎫∆=+-= ⎪⎝⎭，解得34a =或3a =-. 若34a =，12t =-，不合题意；若3a =-，12t =满足； 当1a ≠且()244103a a ⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭时，即34a >或3a <-且101a -<-，故1a >； 综上，实数a 的取值范围是{}()31,-+∞.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键.23．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞.【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足；当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有0a >⎧⎨∆<⎩； 若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩. 24．（1）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域. （2）通过()()F x F x -=-证得()F x 是奇函数.（3）对a 进行分类讨论，结合对数型函数的单调性求得x 的取值范围. 【详解】（1）()log (31)log (13)a aF x x x =+--，310130x x +>⎧⎨->⎩，解得：1133x -<<， 所以()F x 的定义域为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知()F x 的定义域关于原点对称，又()log (13)log (31)()a a F x x x F x -=--+=-，所以()F x 是奇函数，. （3）()()0f x g x ->，即log (31)log (13)a a x x +>-，当1a >时，3101303113x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：103x <<，当01a <<时，3101303113x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：103x -<<.【点睛】判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称性. 25．（1）()211f x x x =++；（2）见详解.【分析】（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线12x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；（2）先由（1）得到()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值.【详解】（1）因为二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，所以131b c =++，即12b c +=①；又函数12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，因此()y f x =关于直线12x =-对称；所以122b -=-，即1b =，代入①式可得11c =， 所以()211f x x x =++； （2）由（1）()211f x x x =++，所以()()()22222,0111322,0x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()22g x x x =-在[],2t 上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-；当01t ≤<时，()22g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当10t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []0,2x ∈时，()22g x x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦， 所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当1t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以()(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-+；综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为()2min22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩. 【点睛】 方法点睛：二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 26．（1）[1,3)-（2）[3,)+∞ 【分析】（1）可得出N ={x |1 <x <3 }，t =2时求出集合M ，然后进行并集的运算即可; （2）根据N M ⊆即可得出集合M ={x |-1≤x ≤t }，进而可得出t 的取值范围. 【详解】（1）{|21}N x x =|-|<={13}xx <<∣， 当2t =时，{(2)(1)0}(1,2)M xx x =-+≤=-∣， [)1,3M N ∴⋃=-（2）N M ⊆，∴M ={x |-1≤x ≤t }，3t ∴≥，∴实数t 的取值范围[3,)+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题.。
【北师大版】高中数学必修一期末试卷带答案(3)
一、选择题1．已知函数321()232x f x ax bx c =+++的两个极值分别为1()f x 和2()f x ，若1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，则21b a --的取值范围是（ ） A ．(1,14)B ．1[,1]4C ．1(,)(1,)4-∞+∞D ．1(,][1,)4-∞+∞2．设函数3,()log ,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩()0a >， 若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a的取值范围是（ ） A ．. ()0,2B ．()0,9C ．()9,+∞D ．()()0,29,⋃+∞3．函数()211f x x x=-+的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．34．已知函数()2()ln1f x x x =+-，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 5．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃B ．1y x =+和2(1)y x =+C ．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞和(,0)-∞上具有相反的单调性D ．若不等式220ax bx ++>恒成立，则280b a -<且0a > 8．已知函数()3221x f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<9．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，10．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ） A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉11．已知{}lg M y y x ==，{}xN y y a ==，则MN =（ ）A ．0,B ．RC ．∅D ．,012．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤二、填空题13．若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是______． 14．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.15．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________. 16．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上） 17．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．18．对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是______19．设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，则R C M =_____.20．对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ∉；②()X Y X Y ∆=-()Y X -，（X Y ∆称为X 与Y 的对称差）.已知{}{}221,R =90A y y x x B x x ==-∈-≤，，则A B ∆=_________.三、解答题21．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取10 3.2=)22．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数()2x f x =图像上的三点．(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.23．已知函数()21log 1xf x x-=+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）证明：函数()f x 在定义域上单调递减. 24．计算下列各式的值：（1）1100.753270.064()160.258---++;（2）53log 425log lg lg 452++-. 25．已知函数1f x x +=+ （1）求函数()f x 的解析式、定义域；（2）函数()()g x f x ax =-，[]2,4x ∈，求函数()g x 的最小值. 26．设集合{}|36A x x =≤<，集合{}|19B x x =<≤. 求：（1）AB ；（2）()R C A B ⋃.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由极值点的所在区间即可知()f x 的导函数2()2f x x ax b '=++的零点区间，应用根的分布可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，结合目标式的几何意义即可求其范围.【详解】由题意知：2()2f x x ax b '=++，而()f x 两个极值点1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，∴方程220x ax b ++=两个根在(0,1)与(1,2)内，()'f x 开口向上，∴012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，即214122a b ->->-⎧⎨->->-⎩，∴令1,2x a y b =-=-，问题转化为在24,12x y ->>-->>-的可行域内的点与原点所成直线斜率yx的取值范围，如下图示：有1(,1)4yx∈，故选：A【点睛】本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.2．D解析：D【分析】函数()2y f x=-有且仅有两个零点等价于()y f x=与2y=两个函数图象有且仅有两个交点，数形结合即可求出a的取值范围.【详解】令2x=可得12x=-，22x=；令3log2x=得39x=函数()2y f x=-有且仅有两个零点等价于()y f x=与2y=两个函数图象有且仅有两个交点，作3,()log,x x af xx x a⎧≤=⎨>⎩()0a>图象如图：当02a<<时，()y f x=与2y=两个函数图象有且仅有两个交点，交点横坐标为12x=-，39x=，符合题意；当29a ≤≤时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有3个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，39x =，不符合题意；当9a >时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有2个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，不符合题意；所以a 的取值范围是：()()0,29,⋃+∞， 故选：D 【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数的范围，函数的零点转化为对应方程的根，转化为函数图象的交点，属于中档题.3．B解析：B 【分析】 令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像得解. 【详解】令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像, 由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.4．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))222()ln1ln11f x x x x x x x=+==-+++，其中21y x x +单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出()2()ln 1f x x x =+在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.5．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=． 所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．6．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．A解析：A 【分析】利用抽象函数的定义域列不等式判断A ；利用特例法判断BCD. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,4)，由21412x x <<⇒<<或21x -<<-，所以函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃，A 正确；1y x =+和1,11,1x x y x x +≥-⎧==⎨--<-⎩，对应法则不同，不表示同一函数，B 错； 偶函数()1f x =在(0,)+∞和(,0)-∞上不具有相反的单调性，C 错；0a b 时，不等式220ax bx ++>恒成立，但280b a -<且0a >不成立，D 错；故选：A. 【点睛】方法点睛：若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出，若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域.8．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221xf x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.9．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数； 当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数， 则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.10．B解析：B 【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xy z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先化简集合M ，N ，再计算M ∩N 即可． 【详解】由已知易得M ＝R ，N ＝{y ∈R|y >0}，∴M ∩N ＝(0，+∞）． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单．12．B解析：B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将函数244y ax a x =+--存在零点转化为()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =-，则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-2421aa =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以3a =所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-30a ≤≤. 故答案为：30,3⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．【分析】将问题转化为在上有两个解令利用导数判断的单调性及最值数形结合即可求得a 的范围【详解】令可得令则因为当时当时所以在上单调递减在上单调递增所以当时取得最小值又所以因为在上有两个解所以故答案为：【 解析：441,1(]e + 【分析】将问题转化为22ln a x x =-在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，令2()2ln g x x x =-，利用导数判断()g x 的单调性及最值，数形结合即可求得a 的范围.【详解】令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x-'=-=，因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>，所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =，又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为()ag x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+.故答案为：441,1(]e+ 【点睛】本题考查函数的零点、利用导数求函数的最值，考查等价转化思想和数形结合思想，属于中档题.15．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象，易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f aa ==又01a <<，所以12a =， 再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题16．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;解析：①②④ 【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.17．【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到f （2-x ）+2f （x ）=2-x②这样①②联立即可解出f （x ）【详解】由题意因为f （x ）+2f （2-x ）=x①；∴f （2-x ）+2f （x ） 解析：()4f x x 3=-【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到，f （2-x ）+2f （x ）=2-x②，这样①②联立即可解出f （x ）． 【详解】由题意，因为f （x ）+2f （2-x ）=x①； ∴f （2-x ）+2f （x ）=2-x②； ①②联立解得()43f x x =-. 故答案为()43f x x =-． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中根据题意，联立方程组求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18．【解析】∵局部奇函数∴存在实数满足即令则即在上有解再令则在上有解函数的对称轴为分类讨论：①当时∴解得；②当时解得综合①②可知点睛：新定义主要是指即时定义新概念新公式新定理新法则新运算五种然后根据此新解析：1m ≤【解析】∵()f x “局部奇函数”，∴存在实数x 满足()()f x f x -=-，即2242234223x x x x m m m m ---⨯+-=-+⨯-+，令2(0)xt t =>， 则222112()260t m t m t t +-++-=， 即2211()2()280t m t m tt+-++-=在(0,)t ∈+∞上有解，再令1(2)h t h t=+≥，则22()2280g h h mh m =-+-=在[2,)h ∈+∞上有解，函数的对称轴为h m =，分类讨论：①当2m ≥时，()()g h g m ≥，∴222()2280g m m m m =-+-≤，解得2m ≤≤②当2m <时，()()2g h g ≥，2(2)44280g m m ∴=-+-≤，解得12m -≤<.综合①②，可知1m ≤点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．19．【分析】根据集合中的元素的互异性列出不等式组求解【详解】由题：集合则化简得：解得：即所以故答案为：【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围需要注意不重不漏 解析：{}4,2,0,1,4--【分析】根据集合中的元素的互异性，列出不等式组求解. 【详解】由题：集合{}24,,3A m m m =+，则224343m m m m m m ≠⎧⎪+≠⎨⎪+≠⎩，化简得：()()()441020m m m m m ⎧≠⎪+-≠⎨⎪+≠⎩， 解得：()()()()()(),44,22,00,11,44,m ∈-∞----+∞，即()()()()()(),44,22,00,11,44,M =-∞----+∞， 所以{}4,2,0,1,4R C M =--. 故答案为：{}4,2,0,1,4--【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围，需要注意不重不漏.20．【分析】先求出AB 再求得解【详解】由题得所以所以=故答案为：【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用考查集合的并集运算意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：)()-3,13⎡⋃+∞⎣，【分析】先求出A,B,,A B B A --,再求A B ∆得解. 【详解】由题得[1,)A =-+∞,[3,3]B =-， 所以(3,),B A [3,1)A B -=+∞-=--，所以A B ∆=()()A B B A -⋃-=)()3,13⎡-⋃+∞⎣，. 故答案为：)()3,13⎡-⋃+∞⎣，【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．(1) 破坏性地震 (2) 32倍【分析】(1)先阅读题意，再计算12 10 4.8= 4.81.5lg M -=，即可得解；(2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.【详解】解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8= 4.81.5 1.5lg M --==.因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E . 由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，即16.818.31210 , 10E E ==,所以 1.52110E E ==3.2=,得2132E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍. 【点睛】本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.22．（1）48；（2）24log 3【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）()()()123312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，则1111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111422222x x x x x x x x =-⨯--⨯--+-⨯ ()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++()2222224log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭即S 关于m 的函数为：()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，[)2,m ∈+∞ 令24v m m =+，因为24v m m =+在[)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413t <≤； 而2log S t =在区间41,3⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，所以，函数()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭在区间[)2,+∞上是减函数， 故当2m =时，()()2max 42log 3S m S ==．【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题. 23．(1) (1,1)- (2) 函数()f x 为奇函数 (3)证明见解析. 【分析】(1)由()f x 的定义域满足101xx->+可得答案. (2)直接判断()f x 与()f x -的关系可得答案. (3) 设1211x x -<<<，先作差判断出212111011--<<++x x x x ，再由对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++，即可得出结论. 【详解】解：（1）令101xx->+，可得()()110x x -+>，即()()110x x -+<，解得11x -<< 函数()f x 的定义域为(1,1)-（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称由2211()log log ()11x xf x f x x x+--==-=--+，可得函数()f x 为奇函数 （3）设1211x x -<<<设()()()()()()()()()122112212112121111211111111+--+-----==++++++x x x x x x x x x x x x x x∵1211x x -<<<∴121210,10,0x x x x +>+>-< ∴212111011--<<++x x x x 利用对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++ 即()()21f x f x <故函数()f x 在(1,1)-上单调递减． 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出2211x x -+与1111x x -+的大小关系，再由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增得到21222111log log 11x x x x --<++，即()()21f x f x <，属于中档题. 24．（1）10 （2）0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=（2）53log 425log lg lg 452++- 34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+-()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.25．（1）22f xx ，[)2,x ∈+∞；（2）()2min22,42,484144,8a a ag x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】（1）利用换元法，求函数的解析式，并利用基本不等式求函数的定义域；（2）由（1）可知()22g x x ax =--，[]2,4x ∈，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.【详解】解：（1）由题0x >，令t =，则2t ≥ ∴()22f t t =-∴22f xx ，[)2,x ∈+∞（2）()22g x x ax =--，[]2,4x ∈ 当4a ≤时，()()min 222g x g a ==-当48a <<时，2min224a a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 当8a ≥时，()()min 4144g x g a ==-综上所述：()2min22,42,484144,8a a ag x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩ 【点睛】易错点点睛：本题第一问考查已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦，求()y f x =的解析式，容易忽略函数的定义域，即求函数()g x 的值域；本题第二问求函数的最值，不能直接就是顶点纵坐标，需讨论定义域和对称轴的关系，分情况求函数的最小值. 26．（1）{}|36A B x x ⋂=≤<；（2）()R C A B R ⋃= 【分析】（1）根据集合的交集运算即可（2）根据集合的补集、并集运算. 【详解】因为集合{}|36A x x =≤<，集合{}|19B x x =<≤ 所以{}|36A B x x ⋂=≤<. 所以{|3R C A x x =<或}6x ≥， ∴R C A B R ⋃=. 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集，并集运算，属于容易题.。
【北师大版】高中数学必修一期末试题附答案(1)
一、选择题1．已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞2．已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()3,1-B ．()0,1C ．(]3,0-D ．()0,∞+3．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①4．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--5．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）.A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)6．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．若函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．4,⎡-⎣B．4⎤⎦C ．[]3,4-D．⎡⎣8．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)9．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)y x =-的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃10．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集11．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥12．已知集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}||1|3B x x =-≤，集合4|05x C x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A ，B ，C 的关系为（ ）A ．B A ⊆B ．A B =C ．C B ⊆D ．A C ⊆二、填空题13．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为______.14．已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．16．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________.17．已知函数()4f x x a a x=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．18．已知函数2262()2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，，是R 上的减函数，则a 的取值范围为______．19．设P 为非空实数集满足：对任意给定的x y P ∈、（x y 、可以相同），都有x y P +∈，x y P -∈，xy P ∈，则称P 为幸运集.①集合{2,1,0,1,2}P =--为幸运集；②集合{|2,}P x x n n ==∈Z 为幸运集； ③若集合1P 、2P 为幸运集，则12PP 为幸运集；④若集合P 为幸运集，则一定有0P ∈；其中正确结论的序号是________20．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x AB ⊗=∈且}x A B ∉，已知{|2}2xA x x =<+，{|3}B x x =>-，则A B ⊗=_________ 三、解答题21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？22．已知函数5()log ,(01)5ax f x a a x -=>≠+，． （1）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）设()log (3)a g x x =-，若方程()1()f x g x -=有实根，求a 的取值范围； 23．计算下列各式的值：（1）0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）3ln 2145log 2lg 4lg 82e +++ 24．计算下列各式的值：（1）1100.753270.064()160.258---++;（2）53log 425log lg lg 452++-. 25．已知函数()21f x x=- （1）证明函数()f x 在()0,∞+上是减函数． （2）求函数()f x 在[)2,x ∈+∞时的值域．26．已知集合{}12,U xx x P =-≤≤∈∣，{}02,A x x x P =≤<∈，{}1,(11)B x a x x P a =-<≤∈-<<.（1）若P =R ，求U A 中最大元素m 与UB 中最小元素n 的差m n -；（2）若P =Z ，求AB 和UA 中所有元素之和及()UAB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果. 【详解】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．B解析：B 【分析】函数()y f x k =-零点的个数，即为函数()y f x =与函数y k =图象交点个数，结合函数图象可得实数k 的取值范围． 【详解】因为关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，所以函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当01k <<时，函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点，所以实数k 的取值范围是(0,1). 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论4．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减.外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 5．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.6．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138a a -+--≤，从而得到答案.【详解】函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则满足下列条件：（1）()2238y x a x =-+--在(],1-∞递增，2312a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.9．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)1y x x =--有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈，则函数0(2)1y x x =--满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠，所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．B解析：B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集.对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B. 【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.11．C解析：C 【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.12．D解析：D 【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合A ，根据绝对值不等式的解法可求出集合B ，根据分式不等式的解法可求出集合C ，从而可得出集合A ，B ，C 间的关系. 【详解】解：由于{}{{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}|1324B x x x x =-≤=-≤≤， {}4|0545x C x x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，可知，A C ⊆. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力.二、填空题13．【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值令由题意可知方程有两个不同的实数根根据数形结合和韦达定理可知一个根在内一个根在内再令因为所以只需由此即可求出的取值范围【详解】解：令得或1当时函数在上单调递解析：3366e m e >+【分析】先利用导数求出函数()f x 的单调区间和极值，令()f x t =，由题意可知，方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，再令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由此即可求出m 的取值范围． 【详解】解：()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=得，3x =-或1，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()363f x f e=-=极大值，()()12f x f e ==-极小值， 令()f x t =，因为关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，所以方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内，或者一根为36e ，另一根在()2,0e -内；因为m 为正数，所以121t t =，120t t m +=>，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在()2,0e -内，也不可能一根为36e ，另一根在()2,0e -内； 所以实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e>+，即m 的取值范围为：336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故答案为：336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．14．【分析】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象利用数形结合思想进行求解即可【详解】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象如下图所示：由图象可知 解析：(1,3)【分析】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<. 故答案为：(1,3) 【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.15．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增 则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.16．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象， 易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f a a ==又01a <<，所以12a =， 再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题17．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞【分析】对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】当1a ≤时，()44f x x a a x x x=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；当14a <<时，()42,14,4a x x a xf x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，则()1325f a =+>，不符合题意；当4a ≥时，()42f x a x x=-+，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.18．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键解析：[2，209] 【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求． 【详解】 解；226,2(),2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，∴204462a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪-+⎩， 解可得，2029a．故答案为：202,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．19．②④【分析】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；【详解】①当所以集合P 不是幸运集故错误；②设则所以集合P 是幸运集故正确；③如集合为幸运集但不为幸运集如时故错误；④因为集合为幸运集则当时解析：②④ 【分析】①取2x y ==判断；②设122,2x k P y k P =∈=∈判断；③举例12{|2,},{|3,}P x x k k Z P x x k k Z ==∈==∈判断；④由x y 、可以相同判断； 【详解】①当2x y ==，4x y P +=∉，所以集合P 不是幸运集，故错误； ②设122,2x k P y k P =∈=∈，则()()1212122,2,2x y k k A x y k k A xy k k A +=+∈-=-∈=⋅∈，所以集合P 是幸运集，故正确；③如集合12{|2,},{|3,}P x x k k Z P x x k k Z ==∈==∈为幸运集，但12P P 不为幸运集，如2,3x y ==时，125x y P P +=∉⋃，故错误；④因为集合P 为幸运集，则x y P -∈，当x y =时，0x y -=，一定有0P ∈，故正确； 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x y P ∈、（x y 、可以相同），都有x y P +∈，x y P -∈，xy P ∈”，灵活运用举例法.20．【分析】先计算集合A 再根据定义得到答案【详解】或且或故答案为：【点睛】本题考查了集合的新定义问题意在考查学生的理解能力和解决问题的能力解析：(,4)(3,2]-∞---【分析】先计算集合A ，再根据定义得到答案. 【详解】{{|2}42xA x x x x =<=<-+或2}x >-，{|3}B x x =>- {|A B x x A B ⊗=∈且{}4x A B x x ∉⋂=<-或}32x -<≤-故答案为：(,4)(3,2]-∞---【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.三、解答题21．（1）500名；（2）(0,5]. 【分析】（1）求出剩下1000x -名员工创造的利润列不等式求解； （2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a 的范围． 【详解】解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤. 即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元， 则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以223110002500500x ax x x x -+--.所以221000500++x ax x，即210001500++x a x 在(0,500]x ∈时恒成立. 因为21000224500x x+=， 当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤.所以a 的取值范围为(0,5].【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．22．（1）奇函数，证明见解析；（2）a ⎛∈ ⎝⎦.【分析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义即可判断（2）通过()log (3)a g x x =-，将()1()f x g x -=化简，求出方程中a 的表达式，通过变形，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）()f x 为奇函数 由505x x ->+解得定义域为{|5x x >或5}x <-关于原点对称， 55()log log ()55a a x x f x f x x x ----==-=--++，所以()f x 为奇函数 ；（2） 由题意知log log ()a a x 51x 3x 5--=-+，即5log log (3)5aa x a x x -=-+， 所以()535x a x x -=-+， 即5(5)(3)x a x x -=+-在(5,)+∞有解，设5x t -=，则(0,)t ∈+∞设(10)(2)ty t t =++，则12012y t t=++，因为201212t t++≥，当且仅当20t t==等号成立 ， 所以12012y t t=++值域为30,16⎛ ⎝⎦，所以30,16a ⎛∈ ⎝⎦， 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题. 23．（1）53-；（2）172. 【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误. 【详解】（1）原式()()1134340.321-⎡⎤=-+⎣⎦150.32143-=-+-=-.（2）原式32ln 2322log 2515lg 4lg lg 1621828log 4e ⎛⎫=+++=-+⨯+ ⎪⎝⎭ 172=. 【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）24．（1）10 （2）0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=（2）53log 425log lg lg 452++- 34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算. 25．（1）证明见解析；（2）(]1,0-. 【分析】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，然后怍差()()()2112122x x f x f x x x --=判断其符号即可.（2）根据（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2x =取得最大值，再由20x>确定值域. 【详解】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，则有()()()2112121222211x x f x f x x x x x --=--+=，又因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()f x 在()0,∞+上是减函数．（2）由（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数， 所以当2x =时()max 0f x =， 又因为20x>，所以211x ->-，所以函数()f x 在()0,∞+上的值域为(]1,0-． 【点睛】方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．26．（1）3；（2）所求元素之和为1，(){}1,1,2UAB =-或(){1,0,1,2}UAB =-.【分析】（1）根据P =R ，然后利用补集的运算，分别求得UA ，UB 再求解.（2）根据P =Z ，得到{}{}02,0,1A x x x =≤<∈=Z ，{}1B =或{}0,1，进而得到{}0AB =或A B =∅求解.【详解】（1）因为P =R ，{}12,U xx x P =-≤≤∈∣， 所以{|10U A x x =-≤<或}2x =，{}1,12U B xx a x =-≤≤-<≤∣， ∴2m =，1n =-， ∴(13)2m n --=-=.（2）∵P =Z ， ∴{}{}12,1,0,1,2U x x x =-≤≤∈=-Z ， ∴{}{}02,0,1A x x x =≤<∈=Z ，{}1B =或{}0,1. ∴{}0A B =或A B =∅，即A B 中元素之和为0. 又{}1,2U A =-，其元素之和为121-+=.故所求元素之和为011+=. ∵{}0A B =或A B =∅， ∴(){}1,1,2U A B =-或(){1,0,1,2}U A U C B C U =∅==-.【点睛】本题主要考查集合的补集运算，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.。
【北师大版】高中数学必修一期末试题(附答案)(2)
一、选择题1．已知函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3[4，1]B ．3(4，1)C ．(0,1)D ．3(4，)+∞2．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==-> 其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①3．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．14 4．设0.60.6a =， 1.20.6b =，0.61.2c =中，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a << 5．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<6．已知正实数a ，b ，c 满足：21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)8．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉9．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与2(22)f a a ++的大小关系是（ ）A ． 2(1)(22)f f a a ->++B ．2(1)(22)f f a a -<++C ．2(1)(22)f f a a -≥++D ． 2(1)(22)f f a a -≤++10．集合{}2|6,y y x x ∈=-+∈N N 的真子集的个数是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6111．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集12．已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB =（ ）A ．{}12x x -≤≤B ．{}10x x -≤≤C ．{}12x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤二、填空题13．已知函数f (x )=212{3,21x x x x -≤>-，，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为________．14．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为______.15．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |；③若log a12＜1，则a 的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）；④若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），则x +y ＜0.其中所有正确命题的序号是_____.16．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．17．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意x y +∈R ， 都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________19．已知{}2|340,{|10}A x x x B x ax a =+-==-+=，且B A ⊆，则所有a 的值所构成的集合M =_________. 20．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =-，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为______．三、解答题21．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a '(与a 之间满足·)kta a e -'=.现测得出土的古莲子中14C 残余量占原始量的87.9%，试推算古莲子是多少年前的遗物.(注：计算结果精确到个位数；20.693ln ≈，2log 0.8790.186≈-.) 22．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 24．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中0a <. （1）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，求k的取值范围.25．对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 26．设全集U =R .（1）解关于x 的不等式|1|10()x a a R -+->∈；（2）记A 为（1）中不等式的解集，B 为不等式组2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩的整数解集，若()U C A B ⋂恰有三个元素，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】画出函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象，函数()y f x a =-有三个零点等价于()y f x =与y a =的图象有3个不同交点，数形结合得答案.【详解】作出函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象如图，函数()y f x a =-有三个零点，即()y f x =与y a =的图象有3个不同交点， 由图可知，实数a 的取值范围为3(4，1). 故选：B. 【点睛】方法点睛：由零点求参数范围：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．2．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论3．C解析：C 【分析】解方程()0g x =，得1()2f x =或1()4f x =，作出()f x 的图象，由对称性只要作0x >的部分，观察()f x 的图象与直线12y =和直线14y =的交点的个数即得． 【详解】2()8()6()10g x f x f x =-+=,1()2f x ∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.，是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22时，>∈+=⋯=-x x k k k f x f x ，是由(]22,2,∈-x k k 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，根据对称轴可得y 左侧的结论，6x >时，1()8f x ≤，()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有3个和5个，∴函数g(x)的零点个数为2(35)16⨯+=，故选：C ．【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．4．C解析：C 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断． 【详解】因为指数函数0.6xy =是单调减函数，0.6 1.2<，所以0.6 1.20.60.6>，即a b >； 因为幂函数0.6y x=在()0,∞+上是增函数，0.6 1.2<，所以0.60.61.20.6>，即c a >．综上，b a c <<．故选：C ． 【点睛】熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．5．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.6．B解析：B 【分析】a ､b ､c 的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断a ，b ，c 大小关系.【详解】因为21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=， 所以a ､b ､c 为2log y x =与1()2x y =，1()3xy =，y x =-的交点的横坐标，如图所示：由图象知： c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属中挡题.7．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.8．A解析：A 【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案． 【详解】 解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ． 22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <， 当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，1121a t -≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．9．C解析：C 【分析】由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2(22)f a a ++的大小即可，而2222(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与2(22)f a a ++大小关系.【详解】因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，又2222(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．10．C解析：C 【分析】根据条件求解,x y 的范围，结合,x N y N ∈∈，得到集合为{2,5,6}，利用集合真子集个数的公式即得解. 【详解】由于260y N y x ∈∴=-+≥x ≤≤，又,x N ∈0,1,2x ∴=6,5,2y ∴=，即集合{}2|6,{2,5,6}y y x x ∈=-+∈=N N故真子集的个数为：3217-=【点睛】本题考查了集合真子集的个数，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集；对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选： B. 【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：（1）利用子集的概念，可以判断出1P 的元素，一定是2P 的元素，得到对任意a ，1P 是2P 的子集；（2）利用R 是R 的子集，结合判别式的符号，存在实数1b >时，有12Q Q R ==，得到结果.12．D解析：D 【解析】B ={x ∣x 2−2x ⩽0}={x |0⩽x ⩽2}， 则A ∩B ={x |0⩽x ⩽1}， 本题选择D 选项.二、填空题13．【分析】将所求问题转化为与直线的图象有三个不同交点数形结合即可得到答案【详解】方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根等价于与直线的图象有三个不同交点作出的图象如图由图可得故答案为：【点睛】方法点睛： 解析：(0,1)【分析】将所求问题转化为()y f x =与直线y a =的图象有三个不同交点，数形结合，即可得到答案.方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根等价于()y f x =与直线y a =的图象有三个不同交点，作出()f x 的图象如图，由图可得(0,1)∈a 故答案为：(0,1)【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解14．【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值令由题意可知方程有两个不同的实数根根据数形结合和韦达定理可知一个根在内一个根在内再令因为所以只需由此即可求出的取值范围【详解】解：令得或1当时函数在上单调递解析：3366e m e >+【分析】先利用导数求出函数()f x 的单调区间和极值，令()f x t =，由题意可知，方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，再令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由此即可求出m 的取值范围． 【详解】解：()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=得，3x =-或1，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()()363f x f e=-=极大值，()()12f x f e ==-极小值， 令()f x t =， 因为关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同的实数解，所以方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内，或者一根为36e ，另一根在()2,0e -内；因为m 为正数，所以121t t =，120t t m +=>，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在()2,0e -内，也不可能一根为36e ，另一根在()2,0e -内； 所以实数根1t ，2t ，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，令()21g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e>+，即m 的取值范围为：336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故答案为：336,6ee⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．15．②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x﹣1＝1得x＝1∴函数f（x）＝loga （2x﹣1）﹣1的图象过定点（1﹣1）故①错误；对于②函数解析：②④【分析】根据对数函数的图像与性质，以及函数的单调性和奇偶性，逐个分析判断即可得解.【详解】对于①，由2x﹣1＝1，得x＝1，∴函数f（x）＝log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；对于②，函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝﹣x（﹣x+1）＝x（x﹣1），则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣|x|，故②正确；对于③，由log a 12＜1，得log a12＜log a a，当a＞1时，不等式成立，当0＜a＜1时，解得012 a<<.则a的取值范围是（0，12）∪（1，+∞），故③错误；对于④，由2﹣x﹣2y＞ln x﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），得2﹣x﹣lnx＞2y﹣ln（﹣y），∵函数f（x）＝2﹣x﹣ln x为定义域内的减函数，∴x＜﹣y，即x+y＜0，故④正确.故答案为：②④.【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质，考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了转化思想，属于中档题.本题涉及的方法有一下几个：（1）根据奇偶性求解析式，注意范围的设定；（2）构造函数，利用函数的单调性，确定大小关系.16．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可. 【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ， 则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.17．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13， 【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff =+，得()231f f ==-，所以12f =-， 令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+， 即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-， 得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3).故答案为：（1,3） 【点睛】 思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路： 第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.18．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和解析：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，所以()2221m m -<，即()22210m m --<，即()()3110m m --<，解得113m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．19．【分析】计算根据得到四种情况分别计算得到答案【详解】当时：此时；当时：解得；当时：解得；当时：无解；综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据集合关系求参数忽略掉空集是容易发生的错误解析：110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】计算{}1,4A =-，根据B A ⊆得到B =∅，{}1B =，{}4B =-，{}1,4B =-四种情况，分别计算得到答案. 【详解】{}{}2|3401,4A x x x =+-==-，B A ⊆当B =∅时：{|10}B x ax a =-+==∅，此时0a =； 当{}1B =时：{}{|10}1B x ax a =-+==，解得12a =； 当{}4B =-时：{}{|10}4B x ax a =-+==-，解得13a =-； 当{}1,4B =-时：{}{|10}1,4B x ax a =-+==-，无解； 综上所述：110,,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭故答案为：110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了根据集合关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.20．【分析】解可得集合B 对于A 先将转化为且分三种情况讨论求出集合A 判断是否成立综合可得a 的范围即可得答案【详解】或则或对于A 且时成立符合题意时或不会成立不符合题意时或要使成立必有则a 的范围是综合可得a 的 解析：[]1,3【分析】解21x ->可得集合B ，对于A ，先将1|0x x a-≥-转化为()()10x x a --≥且x a ≠，分1a =，1a >，1a <三种情况讨论，求出集合A ，判断B A ⊆是否成立，综合可得a 的范围，即可得答案 【详解】211x x ->⇔<或3x >，则{|1B x x =<或3}x >，对于A ，()()1010x x x a x a-≥⇔--≥-且x a ≠， 1a =①时，{|1}A x x =≠，B A ⊆成立，符合题意， 1a <②时，{|A x x a =<或1}x ≥，B A ⊆不会成立，不符合题意，1a >③时，{A x x a =或1}x ≤，要使B A ⊆成立，必有3a ≤，则a 的范围是13a ，综合①②③可得，a 的取值范围为13a ≤≤，即[]1,3； 故答案是：[]1,3． 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．三、解答题21．古莲子约为1036年前的遗物 【分析】由14C 的半衰期，计算可得k ，再由两边取2为底的对数，计算可得所求值. 【详解】 由题意可得55701·2k a a e -=， 即557012k e -=， 解得25570ln k =， 由0.879?kt a a e -=， 即0.879kt e -=，两边取2为底的对数，可得2222log 0.879log ?·log 5570ln kt e t e =-=-， 5570t-=， 则55700.1861036t =⨯≈. 则古莲子约为1036年前的遗物. 【点睛】本题主要考查函数在实际问题中的运用以及指数与对数的运算，还考查了函数思想和运算能力，属于中档题. 22．(1)见解析（2）即20,12BA m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10. (3) 不存在满足条件的A m 、B m 的值 【解析】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1)当35A B m m =时，23535(20)(5)125B B B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++甲235320(5)(20)35BB B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++乙, h 甲=h 乙 （2）当35A B m m =时， 2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B Bm h m m m m m m ==++++++甲 由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得， 故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105． （3）（方法一）由（2）知：0h =105由010=1255A B A B m m h h m m ⋅≥=++甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤， 令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤． 同理，由得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈ 55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值； （2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭，即可证明结论. 【详解】 （1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=， 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-； 当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=， 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =； （2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-， ()()()()()()1111lnln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----， ()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+， 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证.24．（1）[)1,-+∞；（2）[]1,1-. 【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a 的值，求出1122()log (1)log (1)f x x x +-=+，根据函数的单调性求出m 的范围即可；（2）问题转化为211k x x =-+-在[]2,3上有解，即2()11g x x x =-+-在[]2,3上递减，根据函数的单调性求出()g x 的值域，从而求出k 的范围即可．【详解】（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）， ()()()()111122221log 1log log 1log 11x f x x x x x ++-=+-=+-， 当1x >时，()12log 11x +<-，∵当()1,x ∈+∞时，()()12log 1f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-，即m 的取值范围为[)1,-+∞；（2）由（1）知，()()12log f x x k =+即()()11221log log 1x f x x k x +==+-， 即11x x k x +=+-，即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减， min max ()(3)1,()(2)1g x g g x g ，∴()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．25．（1）[]0,1；（2）104m ≤<. 【分析】1）由函数2y x 在[0,)+∞上是增函数，根据“不变”区间的定义，由22a a b b ⎧=⎨=⎩求解；（2）假设函数存在“不变”区间，根据函数2(0)y x m x =+≥单调递增，由22a m a b m b ⎧+=⎨+=⎩，消去m ，结合a b <，求得a 的范围，再由2m a a =-+，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）因为函数2y x 在[0,)+∞上是增函数，所以22a a b b⎧=⎨=⎩，解得0a =或1a =，0b =或1b =， 因为a b <，所以 0,1a b ==，所以函数的 “不变”区间是[]0,1；（2）假设函数2(0)y x m x =+≥存在“不变”区间，因为函数2(0)y x m x =+≥单调递增， 所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，即()()+10a b a b --=， 因为a b <，所以+10a b -=，即1b a =-，所以10a a ->≥，解得102a ≤<， 所以221124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104m ≤<， 所以实数m 的取值范围是104m ≤<【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由a b <，即10a a ->≥求得a 的范围.26．（1）见解析（2）10a -<≤【分析】（1）通过讨论a 的取值范围，求出不等式的解集即可.（2）解不等式组求得集合B ，通过讨论a 的范围求出A 的补集，再根据()U C A B ⋂恰有三个元素，建立不等式求解.【详解】（1）因为|1|10()x a a R -+->∈，所以|1|1->-x a ，当10a -< 即1a > 时，解集为R ，当10a -= 即1a = 时，解集为{}|1x x ≠ ，当10a -> 即1a < 时，11->-x a 或11-<-x a ，所以2x a >-或x a <，所以解集为{|2x x a >- 或}x a <.综上：1a > 时，解集为R ；1a = 时，解集为{}|1x x ≠ ；1a < 时，解集为{|2x x a >- 或}x a <.（2）因为2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩， 所以23510410x x x x -⎧-≤⎪+⎨⎪-+≥⎩，所以()()29404210x x x x x ⎧⎛⎫+-≤≠-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+≥⎩， 解得942x -<≤ . 因为B 为不等式组2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩的整数解集，所以{}3,2,1,0,1,2,3,4B =--- ，当1a > 时，U A =∅ 不满足()U C A B ⋂恰有三个元素. 当1a = 时，{}=1U A 不满足()U C A B ⋂恰有三个元素. 当1a < 时，{}=≤≤-|2U A x a x a ，21a -> ，因为()U C A B ⋂恰有三个元素，所以12224a a a a a <⎧⎪--≥⎨⎪--<⎩， 解得10a -<≤ .综上：a 的取值范围是10a -<≤.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式，分式不等式及一元二次不等式的解法和集合的基本运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
【北师大版】高中数学必修一期末试卷(带答案)(2)
一、选择题1．已知函数()24xf x =-，()()()1g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．(-3，-1)D ．(-3，-1]2．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 3．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．10094．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C ．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =5．设0.60.6a =， 1.20.6b =，0.61.2c =中，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．1747．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4B ．3C ．2D ．18．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（ ）A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦， B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．函数2log xy x x=的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．10．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（ ）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法； （2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法； （4）{}|2G x x a b a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法． A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知集合{}21,A x y x y Z ==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ） A ．A B =B ．ABC ．BA D ．AB =∅12．已知集合{}{}21239A B x x ==<，，，，则A B =（ ）A ．{}210123--，，，，，B ．{}21012--，，，，C ．{}123，，D ．{}12， 二、填空题13．已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，给出下列三个结论： ①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-.恰有3个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =-．其中，所有正确结论的序号是______．14．已知函数21,0()(1),0x x f x f x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若方程()f x x a =--有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________.15．已知函数()4sin 22x x f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.16．设函数()f x =，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.17．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.18．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-的定义域是________.19．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G +∈；②存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{},G x x a a b Q ==+∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是________（请填写编号）20．已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠且A B ⋂≠∅，则m的取值范围是________三、解答题21．为了在“双11”购物狂欢节降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定：①若一次购物付款总额不超过200元，则不予优惠；②若一次购物付款总额超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③若一次购物付款总额超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500的部分给予7折优惠.（1）若一次性购买x 元商品，实际付款数为()f x ，求()f x 的解析式；（2）小丽和她妈妈两人先后各去超市购物一次，分别付款为178元和432元.假如她俩一同去超市一次性购买上述同样的商品，则应付款为多少元？22．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a '(与a 之间满足·)kta a e -'=.现测得出土的古莲子中14C 残余量占原始量的87.9%，试推算古莲子是多少年前的遗物.(注：计算结果精确到个位数；20.693ln ≈，2log 0.8790.186≈-.)23．（1）计算00.520.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知11223x x-+=，求12222x x x x --+++-的值．24．已知函数()f x ()()4log 41xkx k R =++∈的图象关于y 轴对称．（1）求实数k 的值（2）设函数()g x 12421f x xx m +=+⋅-（），[]20log 3x ∈，，是否存在实数m ， 使得()g x 的最小值为0？若存在， 求出m 的值，若不存在说明理由． 25．已知函数()4f x x x=+. （1）用单调性的定义证明()f x 在()0,2上单调递减； （2）判断()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调情况，并求最值.26．已知函数()()2log 4f x x =-的定义域为集合A ，集合{}211B x m x m =-≤<+.（1）当0m =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若AB =∅，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.2．C解析：C 【分析】由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8xf x x x=∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即1ln 2x m x=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =∈，则()21ln xf x x-'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增，所以当x e =时，函数()f x 取得最大值1e，且()ln83ln 2888f ==， 所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 224m e≤<，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为1ln 2x m x =在(]0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x f x x =的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.3．A解析：A 【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019xf x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1． 方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．4．B解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.5．C解析：C 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断． 【详解】因为指数函数0.6xy =是单调减函数，0.6 1.2<，所以0.6 1.20.60.6>，即a b >； 因为幂函数0.6y x=在()0,∞+上是增函数，0.6 1.2<，所以0.60.61.20.6>，即c a >．综上，b a c <<． 故选：C ． 【点睛】熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．6．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x x f x g x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．B解析：B 【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．8．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数； 当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数， 则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.9．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．B解析：B 【分析】根据新定义运算⊕判断．【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个． 故选：B. 【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．11．C解析：C 【分析】由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.【详解】由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则BZ ，因此，BA .故选：C. 【点睛】本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题.12．D解析：D 【解析】 【分析】先求出集合B ，然后与集合A 取交集即可. 【详解】由题意，{}{}2933B x x x x =<=-<<，则{}1,2A B =.故答案为D. 【点睛】本题考查了集合的交集，考查了不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题.二、填空题13．②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设进而可得令验证后即可判断③；即可得解【详解】对于①当时由所以函数在区间不单调递减故①解析：②③ 【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a-=，2bx e -=，3b x e =，令111b x a-==-验证后即可判断③；即可得解. 【详解】对于①，当2a =-时，由201e -<<，22(0)1()ln 2f f e e --=<==，所以函数()f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0()ln ,01ln ,1ax x f x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<， 则1231ln ln ax x x b +=-==， 所以11b x a-=，2b x e -=，3bx e =，所以231b b x x e e -⋅=⋅=， 令111b x a-==-即1b a =-+，当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.14．【分析】先画出当时函数的图象当时利用周期性画出函数的图象在同一直角坐标系内画出直线的图象利用数形结合进行求解即可【详解】当时画出函数的图象当时当时画出函数的图象如下图所示：Failedtodownl 解析：(1,)-+∞【分析】先画出当0x ≥时函数()f x 的图象，当0x <时，利用周期性画出函数()f x 的图象，在同一直角坐标系内画出直线y x a =--的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】当0x ≥时，画出函数()f x 的图象， 当10x -≤<时，1()21x f x +=-，当21x -≤<-时，2()21x f x +=-，画出函数()f x 的图象如下图所示： [Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/4/16/2442971918139392/2444041550692352/EXPLANATION /d0eaa7b33ddc4636b9cc52164f3abcc4.png]因为方程()f x x a =--有两个不同实根，所以函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.由直线y x a =--过(0,1)，得1a =-； 由直线y x a =--过(0,0)，得0a =； 由直线y x a =--过(1,0)-，得1a =；而函数()f x 不过(0,1),(1,1),(2,1)--因此有当1a >-时，函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.，即方程()f x x a =--有两个不同实根.故答案为：(1,)-+∞ 【点睛】本题考查了已知方程根的个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想，考查了函数的周期性，考查了数学运算能力.15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】 观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解. 【详解】因为()()()2442sin sin 222222x xf x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.16．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题 解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()12f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()11222xx xf x ∴-====，()()1x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()54345662f f f f f f -+-+-++++=⨯=. 故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围利用和换元法将变形为二次函数的形式从而求解出其取值范围【详解】由解析式得大致图象如下图所示：由图可知：当时且则令解得：又令则即故答案为：【点睛】思路点睛：根据解析：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭，()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.18．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的 解析：()0,2【分析】根据题意，得到函数()g x 满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即2202x x -<<⎧⎨<<⎩，解得02x <<，即函数()g x 的定义域为()0,2. 故答案为：()0,2. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.19．①④【分析】逐一验证每个选项是否满足融洽集的两个条件若两个都满足是融洽集有一个不满足则不是融洽集【详解】①对于任意的两非负整数仍为非负整数所以取及任意的非负整数则因此是非负整数集：实数的加法是融洽集解析：①④ 【分析】逐一验证每个选项是否满足“融洽集”的两个条件，若两个都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”. 【详解】①对于任意的两非负整数,,a b a b +仍为非负整数， 所以a b G +∈，取0e =及任意的非负整数a ， 则00a a a +=+=，因此G 是非负整数集，⊕：实数的加法是“融洽集”；②对于任意的偶数a ，不存在e G ∈， 使得a e e a a ⊕=⊕=成立， 所以②的G 不是“融洽集”； ③对于{G二次三项式}，若任意,a b G ∈时，则,a b 其积就不是二次三项式，故G 不是“融洽集”；④{},G x x a a b Q ==+∈，设1,x a a b Q =+∈，212,,(,x c c d Q x x a c b d a c b d Q =+∈+=+++++∈，所以12x x G +∈；取1e =，任意,11a G a a a ∈⨯=⨯=， 所以④中的G 是“融洽集”. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查对新定义的理解，以及对有关知识的掌握情况，关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件，属于中档题.20．【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于的不等式组解出即可【详解】解：若且则解得即故答案为：【点睛】本题考查了集合的交集并集的定义属于基础题 解析：[6,8)-【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m 的不等式组，解出即可． 【详解】解：{|68}A x x =-，{|}B x x m =， 若A B B ≠且A B ⋂≠∅，则68m m -⎧⎨<⎩，解得68m -≤<，即[)6,8m ∈-故答案为：[)6,8-． 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的定义，属于基础题．三、解答题21．（1）()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪=<≤⎨⎪+>⎩；（2）560.6元.【分析】（1）根据题意分段写出()f x 的表达式，最后写成分段函数形式； （2）根据实际付款各计算出所购商品标价，相加后利用()f x 计算， 【详解】解（1）当0200x ≤≤时，()f x x = 当200500x <≤时，()0.9f x x =当500x >时，()()0.95000.75000.7100f x x x =⨯+-=+()()()(),02000.9,2005000.7100,500x x f x x x x x ⎧≤≤⎪∴=<≤⎨⎪+>⎩（2）当0200x ≤≤时，()0200f x ≤≤， 当200500x <≤时，()180450f x <≤， 当500x >时，()450f x >又知小丽实际付款为178元，所以小丽购买了178元的商品，小丽妈妈实际付款为432元，则小丽妈妈购买的商品价格总额应大于200小于等于500，所以，由0.9432x =得480x =，则小丽和她妈妈购买的商品价格总额为178480658+=元，若一次性购买这些商品，则应付款为()6580.7658100560.6f =⨯+=元答：若小丽和她妈妈一次性购买先前分两次买的商品，则应付款为560.6元.． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题方法是根据所给函数模型写出函数解析式，然后由函数解析式进行计算求解．考查学生应用能力． 22．古莲子约为1036年前的遗物 【分析】由14C 的半衰期，计算可得k ，再由两边取2为底的对数，计算可得所求值. 【详解】 由题意可得55701·2k a a e -=， 即557012k e -=， 解得25570ln k =， 由0.879?kt a a e -=， 即0.879kt e -=，两边取2为底的对数，可得2222log 0.879log ?·log 5570ln kt e t e =-=-， 5570t-=， 则55700.1861036t =⨯≈. 则古莲子约为1036年前的遗物. 【点睛】本题主要考查函数在实际问题中的运用以及指数与对数的运算，还考查了函数思想和运算能力，属于中档题.23．（1）1615；（2）15． 【分析】（1）利用幂的运算法则计算；（2）已知式平方得1x x -+，再平方可得22x x -+，然后代入求值． 【详解】（1）原式112219112111441004310-⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1615= （2）∵11223x x-+=，∴21112227x x x x --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭， ()2221249247x x x x--+=+-=-=，故122272124725x x x x --+++==+--． 【点睛】本题考查幂的运算法则，整数指数幂中多项的乘法公式在分数指数幂中仍然适用． 24．（1）12-；（2）1-． 【分析】（1）根据()()()4log 41xf x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．得到()()f x f x -=，再利用待定系数法法求解.（2）由（1）知()42=+⋅xx g x m ，[]20log 3x ∈，，令2x t =，[]13t ∈，得到2=+⋅y t m t ，然后利用二次函数的图象和性质求解.【详解】 （1）()()()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．∴函数()f x 是偶函数．()()f x f x ∴-=，即()()44log 41log 41xx kx kx -+-=++，即()()()44log 411log 41xxk x kx +-+=++，即210k +=，12k ∴=-；（2）()1242142（）+=+⋅-=+⋅f x xx x x g x m m ，[]20log 3x ∈，，设2x t =，则[]13t ∈，， 2∴=+⋅y t m t 在[]13t ∈，上最小值为0，又22()24m m y t =+-，[]13t ∈，，当12m-≤ 即2m ≥-时，1t =时10min y m =+=， 1m ∴=-，符合，当132m -<-< 即62m -<<-时，2m t =-时，204min m y =-=，0m ∴= 不符合，当32m-≥ 即6m ≤-时，3t =时，930min y m =+=， 3m ∴=-，不符合， 综上所述m 的值为1-． 【点睛】本题主要考查偶函数的应用，对数运算以及二次函数的图象和性质的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）()f x 在[)1,2上单调递减，在72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值4，最大值5.【分析】（1）任取1x 、()20,2x ∈且12x x <，作差()()12f x f x -、因式分解，判断()()12f x f x -的符号，进而可证得结论成立；（2）同（1）可证函数()f x 在区间()2,+∞上为增函数，由此可判断出函数()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，并由此可求得函数()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）证明：任取1x 、()20,2x ∈且12x x <，则()()()()()121212121212121244444x x x x f x f x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1202x x <<<，120x x ∴-<，1204x x <<，1240x x ∴-<，()()()()1212121240x x x x f x f x x x --∴-=>，即()()12f x f x >，因此，函数()4f x x x=+在()0,2上单调递减； （2）由（1）可知，()f x 在()0,2上单调递减，同理（1）可证()f x 在()2,+∞上单调递增，当71,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 在[)1,2上为减函数，在72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，故当2x =时，()f x 取最小值4， 又()15f =，765214f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且65514>，故当1x =时，()f x 取最大值5. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论. 26．（1）[)1,4A B =-（2）3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）计算得到142A xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，[)1,1B =-，求并集得到答案. （2）讨论B =∅和B ≠∅两种情况，分别计算到答案. （3）讨论B =∅和B ≠∅两种情况，分别计算到答案. 【详解】（1）由40210x x ->⎧⎨->⎩，解得142A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，当0m =时，[)1,1B =-，所以[)1,4AB =-.（2）当B =∅时，211m m -≥+，2m ≥，符合B A ⊆.当B ≠∅时，根据B A ⊆得211121214m m m m -<+⎧⎪⎪->⎨⎪+≤⎪⎩，解得324m <<. 综上所述，m 的取值范围是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （3）当B =∅时，211m m -≥+，2m ≥，符合A B =∅.当B ≠∅时，211112m m m -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩或211214m m m -<+⎧⎨->⎩，解得12m ≤-. 综上所述，m 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了集合的并集，根据集合包含关系求参数，根据交集结果求参数，意在考查学生对于集合运算的综合应用.。
新北师大版高一数学必修一期末测试卷一(含详细解析)
新北师大版高一必修一期末测试卷（共2套附解析）综合测试题(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)5．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是() A．x>1 B．x<1C．0<x<2 D．1<x<26．已知x＋x－＝5，则的值为()A．5B．23C．25D．277．(2014·山东高考)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1D．f(2)<f(－)<f(－1)12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“好点”的个数为（)A．0 B．1C．2 D．3第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有________个．14．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.15．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝a x－1.其中a>0且a≠1.23．(1)求f(2)＋f(－2)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．一．选择题1.[答案] D[解析]A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>}．故A∩B＝{x|<x<3}．故选D.2.[答案] C[解析]由函数y＝f(x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足条件：，解＝52－2＝23.故选B.7.[答案] D[解析]本题考查对数函数的图像以及图像的平移．由单调性知0<a<1.又图像向左平移，没有超过1个单位长度．故0<c<1，∴选D.8.[答案] B[解析]f(x)＝3x＋3－x且定义域为R，则f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．同理得g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．故选B.9.[答案] D[解析]∵y＝()x为减函数，<，∴()>().13.[答案] 4[解析]∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，∴0,1∈A且－1?A.又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，∴1∈A且至多－2,0,2∈A.故0,1∈A且至多－2,2∈A.∴满足条件的A只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个．14.[答案][解析]此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．令f(a)＝t，则f(t)＝2.∵t>0时，－t2<0≠2，∴t≤0.即t2＋2t＋2＝2，∴t＝0或－2.∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．∴A∪B＝{2,3,4}．18.[解析](1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1＝＋2＋3＝.(2)∵f(x－)＝(x＋)2＝x2＋＋2＝(x2＋－2)＋4＝(x－)2＋4∴f(x)＝x2＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋4＝x2＋2x＋5.19.[解析](1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0，可解得m<；Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，可解得m>.故m<时，函数有两个零点；(2)设1≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)[a(x1＋x2)－]，由1≤x1<x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4,1＜x1x2＜4，－1<－<－，又1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．23.[解析](1)∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0. (2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，∵f(－x)＝a－x－1，∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．∴所求的解析式为f(x)＝.。
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综合测试题(二)本试卷分第¢ñ卷(选择题)和第¢ò卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·四川理，1)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2)D ．(1,2]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 24．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝( )A.12 B.413 C ．－95D.25415．log 43、log 34、log 43 34的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log 43 34B ．log 34>log 43>log 43 34C ．log 34>log 43 34>log 43D ．log 4334>log 34>log 436．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确7．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2D ．48．(2015·安徽高考)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <09．(2016·山东理，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)．则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．210．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知log a 12>0，若a x 2＋2x －4≤1a ，则实数x 的取值范围为________．14．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ . 15．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． 16．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12 [(12)x －1]，(1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的增减性．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R .(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数． 20.(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件： ①f (x )在D 上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]∈D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ]．那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由． (2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) 22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12(x 2－mx －m .(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． 一．选择题1.[答案] C[解析] 由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中元素的个数为5.故选C. 2.[答案] D[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}， B ＝{x |x ≤2}．所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}． 3.[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以 y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A. 4.[答案] B[解析] 由于|12|<1，所以f (12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f (－32)＝11＋(－32)2＝1134＝413，所以f [f (12)]＝413，选B. 5.[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．¡ßlog 34>log 33＝1， log 43<log 44＝1，又0<34<1，43>1，¡àlog 43 34<0.6.[答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.有log 43 34<log 43<log 34.所以选B.7.[答案] B[解析] ¡ß当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ¡àf (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，¡àa ＝12.8.[答案] C[解析] 由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图像可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0；当x ＝0时，f (0)＝bc 2>0，所以b >0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba >0，所以a <0.故a <0，b >0，c <0，选C.9.[答案] D[解析] ¡ß当x >2时，f (x ＋12)＝f (x －12)，¡àf (x ＋1)＝f (x )，¡àf (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)， 又当－1≤x ≤1时，f (x )＝－f (－x )．¡àf (1)＝－f (－1)，又因为当x <0时，f (x )＝x 3－1， ¡àf (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 10.[答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点． 11.[答案] C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x －2a x －2>1得a x >3，¡àx <log a 3. 12.[答案] C[解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，¡àn ≥21. 二.填空题13.[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由log a 12>0得0<a <1.由a x2＋2x －4≤1a得a x 2＋2x －4≤a －1， ¡àx 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1. 14.[答案] 1<a <54[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，¡à1<a <54.15.[答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ， 则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0， 即m ≠－⎝⎛⎭⎫13x －1.而⎝⎛⎭⎫13x －1>0，¡àm ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ¡Ê[0，＋∞)．16.[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题17.[分析] A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B . [解析] A ＝{－4,0}． (1)¡ßA ∩B ＝B ，¡àB ⊆A . ¢Ù若0¡ÊB ，则a 2－1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ⊆A .¢Ú若－4¡ÊB ，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}，B ⃘A .¢Û若B ＝∅，则Ä＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，a <－1. 由¢Ù¢Ú¢Û得a ＝1，或a ≤－1. (2)¡ßA ¡ÈB ＝B ，¡àA ⊆B .¡ßA ＝{－4,0}，又¡ßB 中至多只有两个元素， ¡àA ＝B . 由(1)知a ＝1.18.[解析] (1)(12)x －1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)¡ßy ＝(12)x －1是减函数，f (x )＝log 12 x 是减函数，∴f (x )＝log 12 [(12)x －1]在(－∞，0)上是增函数．19.[解析] f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1，x 2¡ÊR ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ¡àf (x 1)－f (x 2)<0，¡àf (x 1)<f (x 2)， ¡àf (x )在[0,3]上是增函数， ¡àf (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0， 而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，¡à当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ¡àf (x 1)<f (x 2)．¡à当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数． 20.[解析] (1)¡ßf (1－a )＋f (1－a 2)>0， ¡àf (1－a )>－f (1－a 2)． ¡ßf (x )是奇函数， ¡àf (1－a )>f (a 2－1)．又¡ßf (x )在(－1,1)上为减函数， ¡à⎩⎪⎨⎪⎧1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2.(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数， 则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)． 又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，(1－m )2>m 2，解之得－1≤m <12.21.[解析] (1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足¢Ù；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝b－b 3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足¢Ú， 所以f (x )＝－x 3(x ¡ÊR )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足¢Ú，即⎩⎨⎧k ＋a ＋2＝ak ＋b ＋2＝b即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根，且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f (k )≥0Ä>02k ＋12>k解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值范围为(－94，－2]．22.[解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52，∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。