阿贝尔定理
阿贝尔定理应用的一类典型题目
这是关于阿贝尔定理应用的一种题型，有很多童鞋都对这种题目感到模棱两可，今天笔者就好好解析下到底是怎么回事，其实没有那么难。
先把阿贝尔定理回顾一下吧，如下：阿贝尔定理：幂级数n n a x ∑在x 0处收敛，则在一切|x|<|x 0|处都绝对收敛，若在x 0处发散，则在一切|x|>|x 0|处都发散。
下面我们就来相关一类典型例题，如下。
题目：若()1nn a x -∑在x=-1处收敛，则此级数在x=2处（B ），在x=-2处（D ）A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 收敛性不确定解析：我把两道题合并成了一道，但解决的思路都是一样的。
以后遇到这种类型的题，尽管按照下面的思路来做就行了。
因为阿贝尔定理是针对幂级数的，因此我们首先做个简单的变换，使原级数变成幂级数：()1(1)n n n n a x a t t x -==-∑∑，那么原级数在x=-1处收敛，则n n a t ∑在t=-2处收敛。
根据阿贝尔定理有n n a t ∑在|t|<|-2|处绝对收敛，即|t|<2处绝对收敛。
将t 回代为x ，就有()1n n a x -∑在|x-1|<2处绝对收敛，解之得-1<x<3。
也就说原级数在[-1,3]内绝对收敛，而x=2落在该区间，因此在x=2时绝对收敛，选B 。
而x=-2落在该区间外，根据题目的条件我们无法判断[-1,3]之外的情况，因此x=-2的敛散性无法判断，选D 。
点睛：此题的关键在于利用n n a t ∑与()1nn a x -∑的等价关系，从而利用n n a t ∑的敛散性得到()1n n a x -∑的敛散性。
而阿贝尔定理的应用是突破口。
阿贝尔公式的应用
一文(见《福建中学数学》2004 年第 7 期)通
过类比,提出下列猜想:
b
a2 + c2
+
c
b2 +a2
+
a
c2 +b2
≥
3 4
;
(1 ' )
a2 + b2 + c2 ≥ 3 ;
(2 ' )
b(1 + b) c(1 + c) a(1 + a) 4
a + b + c ≥9;
(8 ' )
a + bc b + ca c + ab 4
例 2 已知:{an} 是首项是 a1 ,公差是 d 的等 差点数列,{bn} 是首项是 b1 ,公比是 q(q ≠1) 的
等比数列.求{anbn} 的前 n 项和. 解 ∵ an = a1 + ( n −1)d, ai − ai+1 = −d ,
Si
=
b1
1− qi 1− q
(i
= 1,2,3Ln)
> 2
1 2λ
2
2
=
2 8λ
.
即有
(1
xλ + x )λ
+
yλ (1+ y)λ
>
2 8λ
.
同理
yλ (1 + x )λ
+
xλ (1+ y)λ
>
2 4λ
.
将以上两个不等式相加,即可得不等式(5)
的左不等式. 故定理 2 成立.
参考文献
[1] 宋庆,龚浩生.一个不等式的下界估计.中学数学月 刊.2003.2.
有限生成阿贝尔群的结构定理
有限生成阿贝尔群的结构定理有限生成阿贝尔群的结构定理，是群论中的一个重要定理，它描述了有限生成的阿贝尔群的结构。
本文将详细介绍该定理的内容和证明过程。
在群论中，阿贝尔群是指满足交换律的群。
有限生成阿贝尔群是指可以由有限个元素生成的阿贝尔群。
有限生成阿贝尔群的结构定理告诉我们，任意一个有限生成的阿贝尔群都可以分解为一些循环群的直积。
具体来说，设G是一个有限生成的阿贝尔群，可以写为G = <a1, a2, ..., an>，其中a1, a2, ..., an是G中的元素。
根据有限生成群的定义，G中的每个元素都可以由这n个元素通过群运算得到。
根据结构定理，我们可以将G分解为一些循环群的直积。
循环群是指由一个元素生成的群。
设H1, H2, ..., Hm是G的一些循环子群，它们分别由元素b1, b2, ..., bm生成。
那么根据结构定理，我们有G = H1 × H2 × ... × Hm。
接下来，我们需要证明这个分解是唯一的。
换句话说，我们需要证明如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
为了证明这个定理，我们首先需要了解循环群的性质。
循环群的性质告诉我们，循环群中的元素的阶数是相等的。
所以，如果Hi和Kj是循环群，且Hi = Kj，则它们的阶数必须相等。
假设Hi的阶数为mi，Kj的阶数为nj。
接下来，我们考虑循环群的生成元。
根据循环群的定义，如果Hi由元素bi生成，Kj由元素cj生成，则对于任意的i和j，存在一个整数ki和kj，使得bi^ki = cj^kj。
这意味着bi和cj的阶数也必须相等。
我们可以得出结论：如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
阿贝尔方法及其在数学分析中的应用
阿贝尔方法及其在数学分析中的应用阿贝尔（1802~1829年）是挪威的数学家，他的一生虽然短暂而凄苦，但他的研究成果在数学史上的作用是巨大的。
尽管众说纷纭，阿贝尔方法及其应用不可否认，尤其在数学分析中经常应用到。
阿贝尔是从一个浅显的恒等式开始的，它可以直接导出阿贝尔引理，从而又可以导出一系列有价值的命题。
下面简单阿贝尔方法及其在数学分析中的应用：阿贝尔恒等式：设m引理1：若对一切n=1，2，3…而言b1≥b2…≥bn≥0，m≤ak≤M则有b1m≤akbk≤b1M证明：设Sk=ai（k=1，2，3…n），则akbk=Snbn+Sk（bk-bk+1），由于m≤Sk≤M，bk-bk+1≥0，得akbk≤Mbn+M（bk-bk+1）=Mb1，akbk≥mbn+m（bk-bk+1）=mb1，即有b1m≤akbk≤b1M引理2：设（1）ak为单调数列（2）Bk（Bk=bi，k=1，2，…）为有界数列，即存在M>0，对一切k，Bk≤M成立，则akbk≤M（a1+2ap）。
证明：由引理1得akbk≤apBp+ak+1-akBk≤M（ap+ak+1-ak）由于ak单调，所以ak+1-ak=ap-a1，即akbk≤M（a1+2ap）一、级数的收敛性定理1（阿贝尔定理）：设an=S，则anxn=S证明：容易看出anxn=f（x）在0≤x≤1上为一致收敛，事实上对任给正数ε，有N使当n>N时，akxk那么，应用阿贝尔定理，我们还可以得到级数乘法定理和阿贝尔求和法，下面分别这两方面的内容。
定理2（级数乘法定理）：令cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，又设级数an，bn，cn都收敛，则cn=（an）（bn）证明：因为绝对收敛的级数可以相乘，因此cnxn=（anxn）（bnxn）=S1（x）S2（x）（0≤x≤1），于是由阿贝尔定理可得：cn=cnxn=S1（x）S2（x）=S1（x）S2（x）=（an）（bn）例1．设an和bn二收敛级数中至少有一个绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+…anb0，则cn收敛，且（an）（bn）=cn证明：不妨设an为绝对收敛，且设An=ak→A，Bn=bk→BCn=ck，ak=A′，Bn≤B′则可得AnB-Cn=a0（B-Bn）+a1（B-Bn-1）+…+an（B-B0）从AnB-Cn≤arB-Bn=r+arB-Bn=r≤A′B-Bn=r+2B′ar可见，AnB-C→0即Cn→AB（n→∞）。
幂级数的阿贝尔(Abel)定理(最全)word资料
幂级数的阿贝尔（Abel）定理当幂级数中的变量 x 取定某一个值时，它就成为一个常数项级数。
若收敛，则称为幂级数（1）的收敛点；若发散，则称为幂级数（1）的发散点。
幂级数（1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。
例如：幂级数是一个公比为 x 的等比级数，显然当 | x | < 1 时，该级数收敛，当 |x |≥1 时，该级数发散，当故该级数的收敛域为（－1，1），发散域为，可见它的收敛域是一个关于原点对称的区间，由下面的定理可知，这个结论对于一般的幂级数（1）也是成立的。
定理1 阿贝尔（Abel）定理①若幂级数（1）在（≠0）处收敛，则对于满足不等式 | x | < | | 的一切 x ，幂级数（1）绝对收敛。
②若幂级数（1）在处发散，则对于满足不等式| x | > | | 的一切 x ，幂级数（1）发散。
证：①设是幂级数（1）的收敛点，即级数收敛，根据级数收敛的必要条件知又因收敛数列必有界，故存在常数 M > 0，使于是，对于级数（1）为一般项，有由条件 | x | < | | ，即，可知等比级数，再由比较判别法知收敛，故幂级数绝对收敛。
②用反证法：假设有一点（| | > | |）使幂级 a 数（1）在该点处收敛，那么由本定理1中的①知，幂级数（1）在处绝对收敛，这与条件相矛盾，定理证毕。
例1：设在点= 3 处收敛，问此级数在点=－2.5 与点=3.5自是否收敛？解：因为| |＝|－2.5| =2.5 < | | =3，而在点=3 处收敛，故由阿贝尔定理知，该级数在点＝－2.5 处也收敛，而该级数在点＝3.5处的敛散性不能确定。
第二部分 函数项级数和含参变量广义积分第十九章 函数项级数.幂级数§1.函数项级数的一致收敛1. 讨论下列函数序列在所示区间的一致收敛性2(1)();(2)(),01;(3)()sin(),();(4)()(1),01;(5)(),01;1(6)()ln ,0 1.n n n n n n n n n f x x f x x x x x f x ni l x l ii x f x x x x nxf x x nx x xf x x n n=-∞<<+∞=-≤≤=-<<-∞<<+∞=-≤≤=≤≤+=<<解：（1）显然()||().n f x x n =→→∞因为22()||().111|()|||1n n f x x n n f x x n n =→→∞-=<=对任给的0,ε>取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，恒有01|()|||n f x x n ε-<<故()n f x 在(,)-∞+∞内一致收敛。
2014考研数学备考重点解析——如何求幂级数的收敛半径和收敛域
2014考研数学备考重点解析——如何求幂级数的收敛半径和收敛域一、相关定理 阿贝尔定理： (1) 若∑∞=1n nn x a当)0(00≠=x x x 时收敛，则当||||0x x <时，∑∞=1n nnx a 绝对收敛. (2) 若∑∞=1n nnx a当0x x =时发散,则当||||0x x >时，∑∞=1n n n x a 发散.二、具体型问题的收敛半径、收敛域的求法 1.通用求法：根据阿贝尔定理，∑∞=1n n nx a绝对收心理学考研敛，所以把n n a x 加绝对值后，由比值法或根植法可反解出收敛区间.即令11lim 1n n n n n a x a x++→∞<或lim 1n n n a x →∞<解出x 的范围，即可得出收敛区间与收敛半径. 2.便捷求法（针对不缺项的幂级数）：如果ρ=+∞→nn n a a 1lim,则ρ1=R ；或如果ρ=→∞n n n a ||lim ,则ρ1=R .特别0ρ=时，R =+∞；ρ=+∞时，0R =3.再单独讨论收敛区间两个端点处的常数项级数的敛散性,收敛区间与收敛端点结合在一起就是收敛域.三、抽象型问题的收敛半径、收敛域的求法 根据阿贝尔定理，已知01()nnn a x x ∞=-∑在某点1x （10x x ≠）的敛散性，确定该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：（1）若在1x 处收敛，则收敛半径10R x x ≥-； （2）若在1x 处发散，则收敛半径10R x x ≤-；（3）若在1x 处条件收敛，则收敛半径10R x x =-.（你会心理学考研用反证法证明该条么？）【例1】求n n nn x n )1()2(31--+∑∞=的收敛域. 【解析】nn n n n n n n n n nn n n n u u )2(3)2(3lim)2(31)2(3limlim11111-+-+=-+⋅+-+=++∞→++∞→+∞→3)32(1)32(23lim=-+--=∞→nnn . 或3)32(1lim 3)2(3lim||lim =-+=-+=∞→∞→∞→nn n nnnn n n n n nu .则收敛半径31=R . 当311=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=-+=-+1111)32(131)2(3n n n nn n n n n n ， 由于∑∞=11n n发散，∑∞=-11)32(n n n 收敛，则原幂级数在311=-x 处发散.当311-=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=+-=--+111)32(1)1(3)1()2(3n n n n nn n n n n n n ，则原幂级数在311-=-x 处收敛，故原幂级数收敛域为)34,32[.【例2】求幂级数212(3)n n nn nx +∞=+-∑的收敛半径. 【解析】这是缺项级数，只能用通用求法来求收敛半径，即222111212(3)limlim 132(3)n n n n n n nnn nn xu x n u x++++→∞→∞++-==<+-，得(3,3)x ∈-，收敛半径为3.【例3】例7.22 设幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在0=x 收敛,在2=x 发心理学考研散,则该幂级数收敛域为____.【解析】由于幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在0=x 处收敛，可知当|01|R ≥-，即1R ≥； 该级数在2=x 处发散，可知当|21|R ≤-，即1R ≤.所以收敛半径1R =，该幂级数收敛域为).2,0[。
数学定理列表
数学定理列表数学定理列表（按字母顺序排列）A阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔—鲁菲尼定理指出，五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
阿蒂亚-辛格指标定理阿蒂亚-辛格指标定理断言：对于紧流形上的椭圆偏微分算子，其解析指标（与解空间的维度相关）等于拓扑指标（决定于曲面的拓扑性状）。
它涵摄了微分几何中许多大定理，在理论物理学中亦有应用。
阿贝尔定理设为一幂级数，其收敛半径为R。
若对收敛圆（模长为R 的复数的集合）上的某个复数z0，级数收敛，则有: 。
若收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。
安达尔定理（阿姆达尔定律）是固定负载（计算总量不变时）时的量化标准。
可用公式：来表示。
式中Ws,Wp分别表示问题规模的串行分量（问题中不能并行化的那一部分）和并行分量，p表示处理器数量。
阿贝尔二项式定理。
阿贝尔曲线定理艾森斯坦定理奥尔定理阿基米德中点定理阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。
若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB阿基米德原理指对于任何正实数a、b，如果a < b，则存在自然数n，有。
阿基米德公理亦可表述为如下的现代记法：对于任何实数x，存在自然数n有n > x。
在体论中，这叙述称为阿基米德公理。
在现代实分析中，这不是一个公理。
它退却为实数具完备性的结果。
基于这理由，常以实数的阿基米德性质的叫法取而代之。
埃尔布朗定理在谓词演算中，一个公式是前束范式的，如果它可以被写为量词在前，随后是被称为矩阵的非量化部分的字符串。
所有一阶公式都逻辑等价于某个前束范式公式。
可以用公式在如下重写规则下的逻辑等价来证实：它们的存在对偶：这里的x 在Q 中是自由的，并注意通过这些规则的持续应用所有量词都可以移动到公式的前面。
阿达马三圆定理在复分析中，阿达马三圆定理是一个关于全纯函数性质的结论。
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解阿贝尔-鲁菲尼定理(Abel - Ruffini theorem)目录• 1 什么是阿贝尔-鲁菲尼定理• 2 阿贝尔-鲁菲尼定理的内容• 3 阿贝尔-鲁菲尼定理的历史• 4 阿贝尔-鲁菲尼定理的现代证明什么是阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。
它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
这个定理以保罗•鲁菲尼和尼尔斯•阿贝尔命名。
前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。
埃瓦里斯特•伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表阿贝尔-鲁菲尼定理的内容阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。
事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。
然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。
通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。
例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。
三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。
阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。
或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。
换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。
这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。
比如X5− 2 = 0的解就是。
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阿贝尔定理
16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。
这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。
当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。
然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。
这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。
”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。
阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理
定理（阿贝尔（Abel）定理）：
1.如果幂级数在点x0 (x0不等于0)收敛，则对于适合不等式/x/</x0/的一切x使这幂级数绝对收敛。
2.反之，如果幂级数在点x0发散，则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
问题1：我想请问下，1和2是逆否命题吗？我怎么没看出来呢？能帮我讲下吗？
问题2：在证明2中，用到了反证法，需要用到否定2的结论，我想问下2的结论“则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
”它的否定是什么？
定理1 （阿贝尔第一定理）
1）若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在都收敛。
2）若幂级数①在x1发散，则幂级数①在都发散。
定理2：有幂级数①，即，若
则幂级数①的收敛半径为
定理3（阿贝尔第二定理）
若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。
定理4 若幂级数与的收敛半径分别是正数r1与r2，则r1= r2
定理5 若幂级数的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间连续。
定理6 若幂级数的收敛半径r>0,则它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即
定理7 若幂级数的收敛半径r>0,则则它的和函数在区间(-r , r) 可导，且可逐项微分
参考资料：
阿贝尔与椭圆函数
椭圆函数是从椭圆积分来的。
早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。
19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。
他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。
也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色，开拓了“柳暗花明”的前途。
关键来自一个简单的类比。
微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的反函数就是三角函数。
不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。
既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？
“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。
但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它。
科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的天才吧。
“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。
他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆函数的周期性。
他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。
至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由黎曼（B.Riemann，1826－1866）首先提出并加以深入研究的。
事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说，阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。
阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。
此时他已经把高斯置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托在法国的数学家身上。
他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后，便启程前往巴黎。
在这世界最繁华的大都会里，荟萃着像柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒让得、拉普拉斯pLace，1749－1827）、傅立叶（I.Fourier，1768－1830）、泊松（S.D.Poisson，
1781－1840）这样一些久负盛名的数字巨擘，阿贝尔相信他将在那里找到
知音。
设f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n为一幂级数，其收敛半径为R。
若对收敛圆（模长为R的复数的集合）上的某个复数z_0，级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收敛，则有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n。
若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。
编辑本段例子和应用
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。
方法是通过在级数
每项后加上x^n项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算x趋于 1 时幂级数的极限。
由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。
1. 为计算收敛级数 \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} ，设
f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)。
于是有\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2
2. 为计算收敛级数\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}，设g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)。
因此
有\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}
ar:لبآةنهربمda:Abels sætningen:Abel's theoremfr:Théorème d'Abel (analyse)nl:Stelling van Abel
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