测力环曲线回归(最小二乘法与图表法)
分析最小二乘法在工作测力仪二次曲线回归中的应用[论文]
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分析最小二乘法在工作测力仪二次曲线回归中的应用摘要：随着我国科学技术的不断发展，最小二乘法作为一种数学优化技术在工作测力仪二次曲线回归中也得到了广泛应用。
本文主要介绍应用最小二乘法分析拟合质量流量计的工作曲线，从而有效完善流量计的使用操作参数。
文章首先根据已经存在的工作曲线，通过拟合的方式找出设定流量和工作时间二者的变化规律，然后根据得出的规律拟合找到流量计的设定流量稳定时间曲线。
并且根据该结果指导流量计实际的工作参数设定调整。
关键词：最小二乘法工作测力仪二次曲线回归测力仪又叫测力计，主要是用来测量拉力和压力的一种仪器。
工作测力仪是测力仪中的一种，主要包括百分表测力仪、管形测力仪以及机械式拉力表几种类型。
每种类型的测力仪都有各自的优点和缺点，因此，在对其相关的数据进行测量的时候，测量值也会受到一定程度的影响。
比如说机械式拉力表，其本身具有线性较好的特点，因此在求测量值的时候可以采用直线拟合，而测力环由于本身线性不好，在求其测量值的时候就应该先用其他的拟合方法求其回归方程，然后在通过该方程求出测量值。
一、最小二乘法的工作原理最小二乘法最早提出是在1795年，由高斯在他那星体运动轨道预报工作中提出的。
最小二乘法是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
后来，经过一段时间的发展，最小二乘法就成为了估计理论的奠基石。
最小二乘法凭借着自身结构简单，编制程序也不困难等诸多优势，在我国目前很多领域都有广泛的应用，受到了人们的高度重视。
最小二乘法的表示方式有很多种，如果采用标准符号来表示的话，其可以表示为：ax=b（2-43）上述式子中的解是最小化，通过下式中的伪逆可求得：此即最小二乘法的一次完成算法，现代的递推算法，更适用于计算机的在线辨识。
虽然最小二乘法是一种最基本的辨识方法，其应用范围也比较广泛，但是在使用过程中仍然存在一些缺点，一方面是当模型噪声是有色噪声的时候，最小二乘估计不是无偏、一致估计；另一方面随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象。
最小二乘法在线性和非线性回归中的应用PPT课件
这样仍可用最小二乘法定出（从而也就定 出了A,C ），得到近似函数
S AeCt
13
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下面列出几种常用的线性处理方法，利用最小 二乘法的原理对直线型、抛物线型和指数曲线 型的方程的参数估计方法 。
14
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直线型
直线方程的一般形式为： Y a bX
lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T 中的参量x，使得
f T (x) f (x) f1(x)2 f2(x)2 fn (x)2
偏导数,并令导数等于0,得到联立方程组解方程组,即 可得到参数的计算公式。
Y na b X c X 2 0 Y X 2 a X b X 2 c X 3 0 Y X 2 a X 2 b X 3 c X 4 0
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指数曲线型
指数曲线的一般形式为 Y abX
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1 ri2a2 rimam yi )2 达到最小，
i1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
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线性最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
e=4.149e+05
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用MATLAB作非线性最小二乘拟合
Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m， 在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参 考例题.
回归分析曲线拟合通用课件
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
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回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
最小二乘法拟合曲线在工程中的应用.docx
最小二乘法拟合曲线在工程中的应用摘要：应用MATLAB数值逼近的方法到工程实际中。
本文介绍了MATLAB中最小二乘法相关函数的使用方法。
关键字：最小二乘法MATLAB曲线拟合工程应用1引言：工程实验中常遇到一些相关数据的分析处理，并要求拟合曲线以便反映数组规律和扩大应用范围。
工程实验中，常常会取得一些相关数据，这些数据往往来自与施工密切相关的测量或试验中，比如用拉伸法测暈金属丝杨氏模暈实验中金属丝长度与舷码总质暈存在线性关系，又如预应力千斤顶与油表的配套校验中，油表读数与千斤顶实际张拉力又有一种关系，这些原始数据一般是5组以上。
2方法原理介绍现实中通过测量或试验取得的各组数据其本身不可避免地带有测试误差，如果构造一个较为简单的插值法P(x)来逼近真实函数f(x),当个别数对误差影响较大时就会引起插值函数发生严重波动，从而影响逼近精度，因为插值法要求插值函数通过插值节点，即P(x7) = f(x y),j = 0,1,这时候，为尽可能减小测试误差对逼近精度的影响，我们可以用另一种方法构造一个经验公式，使得该公式在每一个节点上所求得的结果与原测试结果的差的平方和最小，即曲线拟合的误差最小，精度最高，这就是最小二乘法原理，用定义表述为：设有n对数据石、x t (j = 0,1,••- ,n),通过这些数据找一个m次P(x) = a0 +a1x+ ••• + a m x m (m < n),适当选取系数使得詆％"…,％)= -力］'为最小值，则称p(x)为最小二乘拟合多项式，或称x、yZ间的经验公式。
3仿真结果分析比较(1)求解张拉千斤顶与油表读数的回归方程预应力千斤顶与油表的配套校验中，分级张拉数据可达到5〜20组，而张拉力与油表读数实际为线性关系，一般只需两组数据便可确定其关系式，但数据越多，回归方程越真实，越精确。
此时采用最小二乘法可使每一组数据参与回归。
经验公式：y=ax+b某千斤顶校验数据见下表(z7)MATLAB 程序：x=[0 100 300 500 700 900 1100]; y=[0 11 11.2 18.4 25.1 32.2 39.0]; plot(x,y；o,)；xlabelC标准压力值(kN)*);ylabelf 油表读数(MPa)');4035200 400600800 1000 1200标准压力值(kN)从图中可以看出第二组数据偏离直线，误差较大，回归时舍君亥组数据,取n=6组。
最小二乘法与曲线拟合(共24张PPT)
j 1
n
aNj
xj
bN
j1
2a1k
a2k
aNk
(
Ax
b)
Q
故 x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT b )
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
即
ATxAk x
AT b
〔*〕
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设
解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，记为点P0(a1,a2,…,an)，
或写为
其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 rankA＝n〔A的秩为n〕的矛盾方程组〔N>n〕，我 们寻求其最小二乘意义下的解。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表 达式y= (x)，要求近似表达式能够反映数据的根本趋势 而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函 数的近似表达式y= (x)称为拟合曲线。本章介绍用最小 二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
3.最小二乘法解矛盾方程组
计算步骤：
〔1〕判断方程组的秩是否满足rankA=n？
〔2〕写出正那么方程组；
〔3〕求解正那么方程组，其解就是矛盾方程组 的最小二乘解。
最小二乘法和总体最小二乘法线性回归中的估值漂移及其判定
最小二乘法和总体最小二乘法线性回归中的估值漂移及其判定摘要线性回归分析研究的是建立一个能反映因变量Y与一个或多个自变量X之间关系的线性回归方程，利用这个方程，来分析因变量和自变量之间的相互关系以及回归系数等的相关情况。
经典最小二乘法（LS法）和总体最小二乘法（TLS法）都可以用于解算线性回归方程。
实验表明，LS法和TLS法在进行线性回归分析时，均可能出现回归参数显著地偏离其真值的情形，即回归参数估值漂移。
本文对LS法和TLS法线性回归中的估值漂移及其判定方法进行了研究。
通过LS法线性回归分析的算例和仿真实验，说明了线性回归分析中存在回归系数估值漂移的现象，以及仅用复相关系数和复判定系数判断线性回归有效性的局限性。
通过一元至五元线性回归的仿真实验，讨论了判定线性回归系数估值漂移指标和判定回归系数有效性的基本条件。
对LS法解算线性回归特别是回归系数有效性的确定具有更高的可靠性。
通过TLS法线性回归分析的算例和仿真实验，说明了在三种误差模型下（（1）因变量和自变量同时含有误差的情形；（2）仅因变量含有误差的情形；（3）仅自变量含有误差的情形),TLS法解算线性回归方程中同样会出现回归系数估值漂移现象,通过一元至五元线性回归的仿真实验，确定了判断一元至五元线性回归系数估值漂移指标。
算例和仿真实验还说明了在三种误差模型下TLS法在解算线性回归方程中存在的观测值验后方差因子偏小，回归系数估值的相对真误差与相对均方误差两者存在显著差异的问题，以及用TLS法解算线性回归方程的观测值估值和回归系数估值缺乏足够精度，可靠性低的问题，并对相关问题进行了讨论。
对TLS法解算线性回归特别是回归系数有效性的确定具有更高的可靠性。
关键字：最小二乘法,总体最小二乘法,线性回归,估值漂移,回归有效性THE ESTIMATED VALUE DRIFT OF LINEAR REGRESSIONBY LS&TLS METHODABSTRACTLinear Regression Analysis is used to establish a linear model to reflect correlation between the dependent variable and one or more independent variables, as well as between the regression coefficients, etc. The classical Least Squares method (LS method) and the Total Least Square method (TLS method) can be used to set up linear regression models or equations. However, many experiments show that the results by either LS method or TLS method can significantly deviate from the true values of the regression parameters.Using the Least square method through the example and the simulation experiment of the linear regression, the problem of the estimated value drift of regression coefficients is illusitrated, and the results only with multiple correlation coefficients and multiple decision coefficients to judge whether the valuation deviates from the truth are unreliable. Through one to five dimensional linear regression simulation experiments, the drift index of the estimated value is concluded, and the judgement conditions are drawn, and relative valuations such as observations of variance are discussed and analysed.Through the example and the simulation experiment of the Total least square mathod in three kinds of random error model, the problem that posterior variance of observations is too small and the obvious difference between the relative true error and the relative mean squareerror of the regression coefficient are shown, furthermore, the reason is discussed and analised.KEY WORDS：TLS method, LS method, Linear Regression, the Estimated Value Drift, Regression Validity目录第一章绪论 (1)1.1 研究背景和选题意义 (1)1.1.1 研究背景 (1)1.1.2 选题意义 (3)1.2 研究内容、方法和组织结构 (3)1.2.1 研究内容 (3)1.2.2 研究方法 (4)1.2.3 组织结构 (4)第二章参数的估值漂移和检验方法 (6)2.1 参数估值的相对真误差和估值漂移 (6)2.2 判定参数估值漂移的初步方法 (6)2.3 有关系数的确定 (7)第三章最小二乘法线性回归的估值漂移及其判定 (9)3.1 线性回归的计算 (9)3.2 估值漂移算例 (10)3.3线性回归仿真实验 (16)3.3.1仿真实验说明 (16)3.3.2仿真实验一 (17)3.3.3仿真实验二 (22)3.4三元线性回归估值漂移的讨论 (26)3.5最小二乘法线性回归中回归系数估值漂移的判定 (27)第四章总体最小二乘法线性回归的估值漂移 (30)4.1 总体最小二乘法及误差模型 (30)4.2 三元线性回归估值漂移算例 (31)4.3三元线性回归仿真实验 (37)4.3.1仿真实验一 (37)4.3.2仿真实验二 (44)4.4总体最小二乘法线性回归估值漂移总结 (48)4.5 总体最小二乘法精度评定的分析 (51)第五章总结与展望 (52)5.1 论文总结 (52)5.2 论文展望 (53)参考文献 (54)致谢 (58)攻读硕士研究生学位期间发表学术论文和参与科研项目 (59)第一章绪论1.1 研究背景和选题意义1.1.1 研究背景1.LS法估值漂移线性回归分析[1]研究的是建立一个能反映因变量Y与一个或多个自变量X之间关系的线性回归方程，来分析因变量和多个自变量之间的相互关系，以及回归系数的相关情况[2]等。
高中数学人教B版选修2-3第三章统计案例3.2 回归分析教学课件 (共13张PPT)
…
xn
y y1 y2 y3
…
yn
回归方程为 y b x a
40
35
30
25 20
A xi , yi
15 10
B xi ,bxi a
5
i yi (a+bxi ) 随机误差项
n
i 2最小
i 1
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
x
回归方程为
ybxa
y
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y 40
xi2 nx2 22 32 42 52 62 5 42 3.16
r
n
xi yi nxy
1
112.3 5 4 5 0.98
n
n
( xi2 nx 2 )( yi2 ny 2 )
3.16 3.97
1
1
查表知：r0.05＝0.98.由|r|>r0.05，可知变量 y 和 x 存在线性相关关 系．
研究两个变量的相关关系：变量
分类变量——独立性检验 定量变量——回归分析
比《必修3》中“回归”增加的内容
必修３——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法
的思想 3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
选修2-3——统计案例
5. 引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因
题目中已给出） （3）根据样本相关系数计算公式计算出 r 的值。
（4）作统计推断。如果 |r|>r0.05 ，表明有95 00 把握认为 x 与 Y 之间具有线性
相关关系。 如果 |r| ≤r0.05，则接受假设，这时寻求回归直线方程是毫无意义的。
数值分析课件Chapter7曲线拟合与线性最小二乘问题.ppt
可以验证 x GT (GGT )1(F T F )1 F T b
是法方程组的一个解，故是原方程组的一个最小二乘解
推论7.1.2 若 rankA ，r则方n程组
有无穷多个最小二乘解。
Ax b
Def 2 方程组 Ax b 的所有最小二乘解中2-范数最小
8.9
8.5
10
4
3.5
22
9
8
11
4.5
4.2
23
9.5
8.1
12
4.6
3.5
24
10
8.1
可以看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加
并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可认为强度与 拉伸倍数之间的主 要关系是线性关系
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y ( x ) a bx
该直线称为这一问题的数学模型。
线性无关，下面讨论正交分解的具体实现方法。
记 A [a1, a2 , , an ]，Q [q1, q2 , , qr ] 其中 a1, a2 , , ar线性无关，q1, q2 , , qr两两正交。
Gram-Schmidt正交化方法： 由 A QU 得
a1 u11q1 a2 u12q1 u22q2
y a bx c 1 x
1( x) 1;
2(x)
x;
3(x)
1 x
三、最小二乘问题解的存在性、唯一性
Def 1 设 A R，m若n 存在 x 精R确n地满足