2016年淮南市高中自主招生数学试题及答案
安徽淮南市2016届高考数学一模试卷理科附解析
安徽淮南市2016届高考数学一模试卷（理科附解析）2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．复数的虚部是（）A．iB．﹣iC．1D．﹣12．已知集合U={1，2，3，4}，B={1，2，3}，且A∩B={1，2}，则满足条件的A的个数为（）A．1B．2C．3D．43．下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是（）A．m=0B．m=1C．x=0D．x=14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，5．经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3=0B．x+80y﹣5=0C．x+3y﹣3=0D．x+5y﹣5=06．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心8．如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1C．D．9．已知中，，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）10．椭圆C：+=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C 上，且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]11．如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．二、填空题13．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P 坐标为．14．已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，则直线l的方程为．15．定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．16．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x+1对称，且f（﹣3）+f（﹣7）=1，则a的值为．三.解答题17．在△ABC中，B=，AC=，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．18．在公差为d的等差数列中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B=AC=5，AA1=BC=13，且AB=12．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小．20．已知点A（2，0），椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．已知函数f（x）=xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．四.选做题，以下三题任选一题22．已知函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．23．已知p：|1﹣|＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m ﹣n的最大值．2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数的虚部是（）A．iB．﹣iC．1D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：C2．已知集合U={1，2，3，4}，B={1，2，3}，且A∩B={1，2}，则满足条件的A的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】交集及其运算．【分析】根据全集U，B，以及A与B的交集，确定出满足条件的A，即可做出判断．【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={1，2，3}，且A∩B={1，2}，∴满足条件的A可能为{1，2}，{1，2，4}共2个，故选：B．3．下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是（）A．m=0B．m=1C．x=0D．x=1【考点】选择结构．【分析】本题考查了选择结构，由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0，从而得到判断框条件．【解答】解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0．由图可知应该填m=1．故选B4．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】利用函数的周期求解ω，然后利用五点法作图求解φ即可．【解答】解：由函数的图象可知T==π，ω==2．x=时，y=2，可得：2sin（2×+φ）=2，由五点法作图可知φ=﹣．故选：A．5．经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3=0B．x+80y﹣5=0C．x+3y﹣3=0D．x+5y﹣5=0【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线y=x2的焦点坐标、双曲线﹣=1的右焦点，即可求出直线方程．【解答】解：抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1），双曲线﹣=1的右焦点的坐标为（5，0），∴所求直线方程为即x+5y﹣5=0．故选：D．6．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b，故选：D．7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选B．8．如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故选：D．9．已知中，，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）【考点】数列与函数的综合．【分析】由于是递增数列，可得∀n∈N*，an+1＞an，即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，解出利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵是递增数列，∴∀n∈N*，an+1＞an，∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，λ＞﹣（2n+1），∴λ＞﹣3．故选：C．10．椭圆C：+=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C 上，且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆C：+=1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得=﹣，利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，1]，即可解出．【解答】解：由椭圆C：+=1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则得=﹣．∵=，=kPA1=，∴===﹣．∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，∴直线PA1斜率的取值范围是[，]故选：A．11．如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，画出它的直观图，即可求其体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥（底面直角三角形的直角边为2和2，高为1）；，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，其直观图如图所示，∴该多面体的体积为：2×2×2﹣2×﹣2×（2××）=．故选：B．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．【考点】基本不等式．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二、填空题13．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P 坐标为（﹣4，﹣2）．【考点】简单线性规划；直线与圆的位置关系．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置即可．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．14．已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，则直线l的方程为4x+3y+21=0或x=﹣3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心、半径，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）﹣3，求出圆心（0，﹣2）到直线y=k（x+3）﹣3的距离，由过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，利用勾股定理能求出直线l的方程．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心为（0，﹣2），半径r==5，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，联立，得或，∴直线l：x=﹣3被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）﹣3，圆心（0，﹣2）到直线y=k（x+3）﹣3的距离d==，∵过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为8，∴由勾股定理得：，即25=+16，解得k=﹣，∴直线l：，整理，得：4x+3y+21=0．综上直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=﹣3．故答案为：4x+3y+21=0或x=﹣3．15．定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数的性质等价转化所求的不等式，利用函数的单调性和定义域，列出关于m的不等式组，再求出m的取值范围．【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，所以不等式f（1﹣m）＜f（m）等价于：f（|1﹣m|）＜f （|m|），因为f（x）在[﹣2，0]上为增函数，所以，解得﹣1≤m＜，即m的取值范围是，故答案为：．16．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x+1对称，且f（﹣3）+f（﹣7）=1，则a的值为2．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】先求出函数y=f（x）的解析式，再由f（﹣3）+f（﹣7）=1，问题得以解决．【解答】解：设函数y=f（x）的任意点的坐标为（x，y），关于y=﹣x+1对称点的坐标（m，n），则（m，n）在y=2x+a的图象上，，解得m=1﹣y，n=1﹣x，代入y=2x+a可得：1﹣x=21﹣y+a，即：y=log2（1﹣x）﹣a﹣1，函数y=f（x）=log2（1﹣x）﹣a﹣1，∵f（﹣3）+f（﹣7）=1，∴log24﹣a﹣1+log28﹣a﹣1=1，解得，a=2，故答案为：2．三.解答题17．在△ABC中，B=，AC=，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，从而利用三角函数恒等变换的应用可求AB+BC=，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：∵B=，AC=，∴在△ABC中，根据==，得AB=sinC=sinC=2sinC，∴同理BC=2sinA，∴AB+BC=2sinC+2sinA，…=2sinC+2sin（π﹣C）=，…当C=，可得AB+BC的最大值为，…取最大值时，因而△ABC是等边三角形．…18．在公差为d的等差数列中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以an=﹣n+11或an=4n+6；（Ⅱ）设数列的前n项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B=AC=5，AA1=BC=13，且AB=12．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC⊥AB，A1B⊥AC，从而AC⊥平面ABB1A1，由此能证明平面ABB1A1⊥平面ACC1A1．（2）以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BB1﹣C的正切值．【解答】证明：（1）在△ABC中，∵AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，…又∵A1B⊥AC且A1B、AC是面ABB1A1内的两条相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，…又AC⊂平面ACC1A1，∴平面ABB1A1⊥平面ACC1A1．…解：（2）在△ABC中，∵，∴A1B⊥AB，又∵A1B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，∴A1B⊥面ABC，…∴以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0），A1（0，0，5），由，得B1（﹣12，0，5），…取平面ABB1A1的一个法向量=（0，1，0），设平面BCC1B1的一个法向量，由，得取x=5，则…∴cos＜＞==﹣，设A﹣BB1﹣C的大小为θ，则，．∴二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小为…20．已知点A（2，0），椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线的斜率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）设l的方程为x=my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，判别式大于0，运用三角形的面积公式，由基本不等式可得最大值，即可得到m，进而得到直线方程．【解答】解：（1）由e=，可得：，即，设F（0，c），则，，又a2﹣b2=c2=3，∴a2=4，b2=1，∴E的方程是；（2）设l的方程为x=my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（4m2+1）y2+16my+12=0，y1+y2=﹣，y1y2=，△=（16m）2﹣4×12×（4m2+1）=16（4m2﹣3）＞0，=，令，则，而当且仅当t=2，即时等号成立，此时S△OPQ≤1．∴当△OPQ的面积最大时，求l的方程为，即．21．已知函数f（x）=xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，令g（x）=lnx﹣（x ﹣1），求出g（x）的导数，可得单调区间和最值，进而得到f（x）的单调区间；（2）求出导数，对a讨论，当时，当a＞时，当0＜a＜时，结合函数的单调性，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1的导数为f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1），当时，f′（x）=lnx﹣（x﹣1），令g（x）=lnx﹣（x﹣1），则．x∈（0，1）时g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时g′（x）＜0．∴g（x）≤g（1）=0，即f′（x）≤0（只在x=1处取等号）∴f（x）的单减区间是（0，+∞）；（2）f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1），令f′（x）=0，则lnx=2a（x﹣1）且函数lnx在x=1处的切线为y=x﹣1，由（1）知，时，f（x）在[1，+∞）上单减且f（1）=0，∴f（x）≤0，合题意；当a＞时，数形结合知，f（x）在[1，+∞）上仍单减且f （1）=0，∴f（x）≤0，合题意；当0＜a＜时，数形结合知，∃x0＞1，使得f′（x0）=0．即x∈（1，x0）时f′（x）＞0，f（x）在（1，x0）上单增，f（x）＞f（1）=0，不合题意；当a≤0时，数形结合知，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．综上，若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，则a的取值范围是．四.选做题，以下三题任选一题22．已知函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】（I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间；（II）由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可．【解答】解：（I）函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x ﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+=sin（2x﹣2φ）﹣（2cos2φ﹣1）=sin（2x﹣2φ）﹣cos （2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ）函数f（x）为偶函数，则﹣2φ=kπ，k∈z∵0≤ϕ≤∴φ=∴f（x）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x∴函数的最小正周期T==π令2x∈[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z解得：﹣+kπ≤x≤+kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]k∈Z （II）由（I）知f（x）=﹣sin2x由题意知g（x）=﹣sin[2（x﹣）]=﹣sin（2x﹣）令2x﹣=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z），∴函数的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）．23．已知p：|1﹣|＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】￢p是￢q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要条件，求出p、q的范围进而求解．【解答】解：p：|1﹣|＜2即为p：﹣2＜x＜10，q：x2﹣2x+1﹣m2＜0即为（x﹣1）2＜m2，即q：1﹣|m|＜x＜1+|m|，又￢p是￢q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要，∴（两式不能同时取等）得到|m|≤3，满足题意，所以m的范围为[﹣3，3]．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m ﹣n的最大值．【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p 的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0 ∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t 取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．2016年8月19日。
2016年淮南市高中自主招生数学试题及答案
数学试题一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）1．,00,,,><∈b a R c b a 且设则下列不等式一定成立的是( ).A 22b a < .B 22bc ac > .C ba 11> .D a b a 11>- 2．抛物线2ax y =与直线1=x ，,3=x 1=y ，,2=y 围成的长方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 191≤≤a .B 291≤≤a .C 131≤≤a .D 231≤≤a 3．的值是则是正有理数，且若a a a a b b b b a b ---=+>,321( ).A 22 .B 3 .C 10 D.324．若)201611)(201511)...(411)(311)(211(22222-----=S ,则S 的值为( ) .A 20162013 .B 20162015 .C 40322015 .D 40322017二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）5．的值为有唯一实数解，则的方程若关于a x ax x 0342=-+ . 6．已知1223=++c b a ，且bc ac ab c b a ++=++222则=--c b a 23 .7． 已知函数322--=x x y ，则使m y =成立的x 值恰好有三个，则m 的值为 .8．如图,AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 的长分别是一元二次方程01582=+-x x 的两根，则=∠APC sin .三、解答题（共4题，满分48分）9．（10分）已知ABC ∆的两边,AB AC 的长是关于x 的一元二次方程065)52(22=++++-k k k x 的两个实数根，第三边长为5.（1）k 为何值时，ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，ABC ∆是等腰三角形，并求ABC ∆的周长．10．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒，且AB=2，BC=3，tan ∠ADC=3. ⑴求证：DC=BC ；⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论．11．（12分）淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展研学活动，青春旅行社现有42座和48座两种客车供选择租用，若只租用42座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过36人；已知42座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金440元． （1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．12．（14分）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点)8,0(-C ，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若a b 2=，6=AB ．求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称， 问直线BD 是否经过圆心P ？并说明理由；（3）设直线BD 交P 于另一点E ，求点E 的坐标．C MByxD E O A P数学试题答案一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分 题号 1 2 3 4 答案DBAD二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）5．340-==a a 或 6．2 7． 4=m 8．54sin =∠APC三、解答题（共4题，满分48分）9、解：（1）因为,AB AC 是方程065)52(22=++++-k k k x 的两个实数根，()()[]()[]32655222+-∙+-=++++-k x k x k k k x 3,2+=+=∴k AC k AB 不妨取……………………2分又因为ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，且5BC =所以222AB AC BC +=,所以()()253222=+++k k 所以 6,121-==k k ……………………4分当1=k 时，方程为27120x x -+=，解得成立,4,3==AC AB当6-=k 时，显然不成立,3,4-=-=AC AB所以当1=k 时，ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形。
历年高中自主招生数学考试试卷及答案
高中自主招生考试数学试卷1、试卷分试题卷和答题卷两部分。
满分为100分，考试时间为70分钟。
2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。
3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ）A ．2B ．2C ．1D ．32．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．313-B ．33C ．314-D ．123．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ）A ．N M >B ．N M =C ．N M <D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的41，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟5.二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到22x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔•盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）A ．①④⑦B ．②④⑧C ．②⑥⑧D ．②⑤⑥7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：欲购买的 商品原价（元）优惠方式一件衣服 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券 一套化妆品300付款时可以使用购物券，但不返购物券ABC DB 'D 'C '请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）A ． 500元B ． 600元C ． 700元D ． 800元 8．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）二、填空题：（每题6分，共30分）9. 若关于x 的分式方程3131+=-+x ax 在实数范围内无解，则实数=a _____. 10．三角形的两边长为4cm 和7cm ，则这个三角形面积的最大值为_____________cm 2. 11．对正实数b a ,作定义b a ab b a +-=*，若444=*x ，则x 的值是________．12．已知方程()0332=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 ．13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ．三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。
重点中学高中部自主招生数学考试试题(含答案)
2016年高中部自主招生考试试题数学（试题卷）一．选择题（共6小题，每小题6分，共36分）1．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n =（n为不小于2的整数），则a100=（）A．B．2C．﹣1 D．﹣22．已知，则的值为（）A．B．C．D．或13．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F 关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=4．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）A．B．C．D．5．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣2，0） C．（﹣4，0）或（﹣2，0）D．（﹣3，0）6．已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似D．无法确定二．填空题（共4小题，每小题6分，共24分）7．如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．8．如图，已知直线交x轴、y轴于点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t（s），半径为，则t=s时⊙P与直线AB相切．9．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B=．10．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3=．三．解答题（共5题，每题12分，共60分）11．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．试题图备用图12．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣B﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D ﹣B﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．13．在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE．（1）求证：△AGE是等腰三角形；（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．14．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．15．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH 的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016年高中部自主招生考试数学参考答案选择题1-6.ABABDB填空题7.﹣6、﹣8.或249.{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}10.1解答题11.（1）y=﹣x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0＜t＜2时，OP=（2﹣t），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，当2＜t≤4时，OP=（t﹣2），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，∴；（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，），（0，﹣2）；当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，）；一共四个点，（0，），（0，0），（0，），（0，﹣2）；（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．∵GH∥OP∴即=，解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE﹣GC==．即GE的长度不变．当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．由即=，∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），∴2tGH=t（t﹣2），解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE+GC=2﹣t+=，即GE的长度不变．综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值．12.（1）令x=0，y=4，令y=0，则﹣x+4=0，解得x=3，所以，A（0，4），B（3，0），由勾股定理得，AB==5，BD==10，过点D作DH⊥y轴于H，DH=11，AH=2，由勾股定理得，AD===，∵AB2=25，BD2=100，∴AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形；（2）设OC长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=（11﹣x）2+62，解得x=，所以，C（，0）；（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，解得t=7.5，点P在AB上时，0≤t≤5，PB=5﹣t，BQ=10﹣t，PQ===，点P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10﹣t﹣t=15﹣2t，重合后，7.5＜t≤10，PQ=t+t﹣5﹣10=2t﹣15，点Q在AB上时，10＜t≤15，PB=t﹣5，BQ=t﹣10，PQ===．13.（1）连AH，∵AH⊥EF，GE⊥EF，∴GE∥AH，∴∠GEA=∠EAH，∵AH=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB，∴△AHE≌△ABE，∴∠BAE=∠EAH，∴∠BAE=∠GEA，∴AG=EG，即△AGE是等腰三角形．（2）∵EH=EB=x，∴EC=1﹣x，CF=1﹣FD，∵FD=FH，∴EF=EH+HF=x+FD，在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2，∴（1﹣x）2+（1﹣FD）2=（x+FD）2，整理得，（1+x）FD=1﹣x，∴，∵∠B=∠C，又GE⊥EF，∴∠GEB=∠FEC，∴△GEB∽△EFC，∴，∴，∴（0＜x＜1）．（3）假设BC上存在一点E，能使GE=EF，则，∴，解得x=0或x=1，经检验x=0或x=1是原方程的解但动点E不能与B，C点重合，故x≠0且x≠1，∴BC边上符合条件的E点不存在．14.（1）∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE，又OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，又∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°；（2）∵AE=3，∠A=30°，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，∴MB=MN=，连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，∴OB==，在△COB中，∠BOC=30°，∵cos∠BOC=cos30°==，∴BO=OC，∴OC=OB=，又OC+EC=OM=R，∴R=+3，整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5，则R=5；（3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种，画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，∴FD=5，则C△EFD=5+10+5=15+5，由（2）可得C△COB=3+，∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°，∴EG=5，则C△EFG=5+10+5=15+5，∴C△EFG：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．15.（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得．∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x2+x+4．（2）①当m=0时，直线l：y=x．∵抛物线对称轴为x=1，∴CP=1．如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．∴CM=CP=1，∴OM=OC+CM=5．S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）2﹣OM•CP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，∴S△OPH=．②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）．假设存在满足条件的点P．a）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．设PE=a（0＜a≤4），则PD=3+a，PF=PD=（3+a）．过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|．在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==．若PE=PF，则：a=（3+a），解得a=3（+1）＞4，故此种情形不存在；若PF=EF，则：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；若PE=EF，则：PE=，整理得PF=PE，即（3+a）=a，解得a=3．∴P1（0，3）．b）当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE=4．若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，∵∠OGD=135°，∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，设GE=GF=t，则GK=FK=EH=t，∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，∴PE=PH+EH=t+t+t=4，解得t=4﹣4，则OE=3﹣t=7﹣4，∴P2（7﹣4，4）c）∵A（4，0），B（2，4），∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=，y=．设直线BA与直线l交于点K，则K（，）．当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示．设P（a，8﹣2a）（2≤a≤），则Q（a，a﹣3），∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PF=（11﹣3a）．与a）同理，可求得：EF=．若PE=PF，则8﹣2a=（11﹣3a），解得a=1﹣2＜0，故此种情形不存在；若PF=EF，则PF=，整理得PE=PF，即8﹣2a=•（11﹣3a），解得a=3，符合条件，此时P3（3，2）；若PE=EF，则PE=，整理得PF=PE，即（11﹣3a）=（8﹣2a），解得a=5＞，故此种情形不存在．d）当点P在线段KA上时，如答图2﹣4所示．∵PE、PF夹角为135°，∴只可能是PE=PF成立．∴点P在∠KGA的平分线上．设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=MN，由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3﹣3）．又因为G（3，0），可求得直线MG的解析式为：y=（﹣1）x+3﹣3．联立直线MG：y=（﹣1）x+3﹣3与直线AB：y=﹣2x+8，可求得：P4（1+2，6﹣4）．e）当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，3）、（3，2）、（7﹣4，4）、（1+2，6﹣4）．。
(完整word版)2016年安徽省淮南一中自主招生试题数学(无答案)
2016年淮南一中自主招生试题数 学一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）1.已知，且，，，00><∈b a R c b a 则下列不等式中一定成立的是( )A.22b a <B.22bc ac >C. b a 11>D. a b a 11>- 2.抛物线2ax y =与直线，，，，2131====y y x x 围成的长方形有公共点，则实数a 的取值范围（ ）A.191≤≤a B.291≤≤a C.131≤≤a D. 231≤≤a3.若1>b 且a 是正有理数，，32=+-a a bb 则a a b b --的值是（ ） A ．22B ．3C ．10D ．32 4.若，⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222201611...411311211S 则S 的值为（ ） A ． 20162013 B ．20162015 C ．40322015 D ． 40322017 二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）5.若关于x 的方程0342=-+x ax 有唯一实数解，则a 的值为________.6.已知，1223=++c b a 且bc ac ab c b a ++=++222则=--c b a 23_________.7.已知函数，322--=x x y 则使m y =成立的x 值恰好有三个，则m 的值为________8.如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 是一元二次方程01582=+-x x 的两根，则=∠APC sin ________.三、解答题（共4题，满分48分）9.（10分）已知ABC ∆的两边AC AB 、的长是关于x 的一元二次方程()0655222=++++-k k x k x 两个实数根，第三边长为5。
（1）当k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求出此时△ABC 的周长．10.（12分）如图，在梯形ABCD 中，DC AB //，︒=∠90BCD ，且AB=2，BC=3，3tan =∠ADC .（1）求证：DC=BC ；（2）E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且，，BF DE FBC EDC =∠=∠试判断ECF ∆的形状，并证明你的结论。
高中自主招生数学试题及答案
高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。
A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。
7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。
9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。
10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。
三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。
（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。
（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。
（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。
希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。
淮南二中自主招生试卷
淮南二中自主招生试卷一、选择题1.下列哪个选项是正确的？– A. 中国的首都是上海– B. 中国的首都是北京– C. 中国的首都是广州– D. 中国的首都是深圳正确答案：B2.在以下哪个城市可以看到埃菲尔铁塔？– A. 伦敦– B. 巴黎– C. 东京– D. 纽约正确答案：B3.以下哪个成语的意思是“小事麻烦大家”？– A. 画蛇添足– B. 杯弓蛇影– C. 大材小用– D. 人浮于事正确答案：D4.下列哪个国家不属于北美洲？– A. 美国– B. 加拿大– C. 墨西哥– D. 巴西正确答案：D5.以下哪个动物是中国特有的物种？– A. 袋鼠– B. 大熊猫– C. 长颈鹿– D. 马来熊正确答案：B二、填空题1.中国的首都是__北京__。
2.__人才__是一个国家的宝贵资源。
3.埃菲尔铁塔位于__巴黎__。
4.成语“画蛇添足”的意思是__多此一举__。
5.冰雪中森林中的熊猫叫做__雪熊__。
三、简答题1.请简要说明什么是自主招生？自主招生是高中学校为了选拔优秀学生，通过组织自己独立命题的考试和面试来确定录取名单的招生方式。
自主招生试卷通常包括选择题、填空题和简答题等不同类型的题目。
学生通过自主招生考试的成绩和面试表现，来竞争学校提供的特殊录取名额。
2.请简要介绍淮南二中的自主招生政策。
淮南二中是一所位于淮南市的重点中学，自主招生政策是学校为了选拔更多优秀学生而制定的政策。
根据学校的规定，自主招生考试包括语文、数学和英语三科的考试内容，总分为300分。
在自主招生录取时，学校综合考虑考试成绩、面试表现和学生的综合素质等因素进行评估和选拔。
3.自主招生对学生有哪些好处？自主招生为学生提供了一个特殊的机会，使他们能够通过自己的努力和实力来获得更好的教育资源和机会。
与普通的高考招生相比，自主招生更加注重学生的综合素养和能力的发展，给学生提供了更多展示自己特长和才华的机会。
同时，自主招生也可以使学生更早地进入优秀高中，为他们将来的大学录取和未来的发展打下坚实的基础。
2016年安徽自主招生数学模拟试题：n次独立重复试验
2016年安徽自主招生数学模拟试题:n次独立重复试验【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则等于（）A、B、C、D、2：某家具制造商购买的每10块板中平均有1块是不能用于做家具的，一组5块这样的板中有3块或4块可用的概率约为（）A、0.40B、0.3C、0.07D、0.23：对同一目标独立地进行四次射击，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（）A、B、C、D、4：一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次击中的概率是（）A、B、C、D、5：甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A、B、C、D、6：某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果）7：已知随机变量X～B ，则P(X＝2)＝________.8：已知随机变量X服从正态分布，且=0.7，则9：甲、乙两篮球运动员在罚球线投球的命中率分别是0.7和0.6，每人投球3次，则两人都投进2球的概率是_______10：设随机变量服从二项分布，且，则，；11：若盒中装有同一型号的灯泡共只，其中有只合格品，只次品。
（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡次，每次取一只灯泡，求次取到次品的概率；（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望。
12：某校有5名学生报名参加义务献血清治疗重症甲流患者活动, 这5人中血型为A型的2名, 血型为B型的学生1 名,血型为O型的学生2名,已知这5名学生中每人符合献血条件的概率均为（1）若从这5名学生中选出2名,求所选2人血型为O型或A型的概率（2）求这5名学生中至少有2名学生符合献血条件的概率.13：现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，求至少有两人获奖的概率.14：甲、乙两个篮球运动员相互没有影响地站在罚球线上投球，其中甲的命中率为，乙的命中率为，现在每人都投球三次，且各次投球的结果互不影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A.1
4．若S=(1-1
数学试题
一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）
1．设a,b,c∈R,a<0且b>0,则下列不等式一定成立的是(
)
A.a2<b2
B.ac2>bc2
C.11
>D.
a b
11
> a-b a
2．抛物线y=ax2与直线x=1，x=3,y=1，y=2,围成的长方形有公共点，则实数a的取值范围是（）
111
≤a≤1B.≤a≤2C.≤a≤1D.≤a≤2
9933
3．若b>1且a是正有理数，b a+b-a=23,则b a-b-a的值是()
A.22
B.3
C.10
D.23
1111
)(1-)(1-)...(1-)(1-),则S的值为()
2232422015220162
2013201520152017
A.B.C.D.
2016201640324032
二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）
5．若关于x的方程ax2+4x-3=0有唯一实数解，则a的值为.
6．已知3a+2b+c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc则a3-b2-c=.
7．已知函数y=x2-2x-3，则使y=m成立的x值恰好有三个，则m的值为.
8．如图,AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB的长分别是一元二次方程x2-8x+15=0的两根，则sin∠APC=.
三、解答题（共4题，满分48分）
9．（10分）已知∆ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+5)+k2+5k+6=0的两个实数根，第三边长为5.
（1）k为何值时，∆ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时，∆ABC是等腰三角形，并求∆ABC的周长．
（ 10．
（12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB//DC ，∠BCD= 90 ︒，且 AB=2，BC=3，tan ∠ADC=3.
⑴求证：DC=BC ；
⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论．
11．
（12 分）淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展 研学活动，青春 旅行社现有 42 座和 48 座两种客车供选择租用，若只租用 42 座客车若干辆，则正好坐满；若只租用 48 座客车， 则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过 36 人；已知 42 座客车每辆租金 400 元，48 座客车每辆租金 440 元．
（1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
12． 14
分）如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 经过 x 轴上的两点 A ( x ,0) 、B ( x ,0) 和 y 轴上的点 C (0,-8) ， 1
2
P 的圆心 P 在 y 轴上，且经过 B 、 C 两点，若 b = 2a ， AB = 6 ．
求：
（1）抛物线的解析式；
（2） D 在抛物线上，且 C 、 D 两点关于抛物线的对称轴对称，
y
问直线 BD 是否经过圆心 P ？并说明理由； （3）设直线 BD 交 P 于另一点 E ，求点 E 的坐标．
A
M
P O
B x
E
D
C
数学试题答案
一、选择题（共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分 题号 1 2
3 答案 D B A
二、填空题（共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）
4
D
5． a = 0或a = - 4 4
6．2 7． m = 4 8． sin ∠APC =
3 5
三、解答题（共 4 题，满分 48 分）
9、解：（1）因为 AB , AC 是方程 x 2 - (2k + 5) + k 2 + 5k + 6 = 0 的两个实数根，
x 2 - (2k + 5)+ k 2 + 5k + 6 = [x - (k + 2)]• [x - (k + 3)]
∴不妨取AB = k + 2, AC = k + 3 ……………………2 分
又因为 ∆ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，且 BC = 5 所以 AB 2 + AC 2 = BC 2 ,所以 (k + 2)2 + (k + 3)2 = 25 所以
k = 1, k = -6 ……………………4 分
1 2
当 k = 1 时，方程为 x 2 - 7 x + 12 = 0 ，解得 AB = 3, AC = 4, 成立
当 k = -6 时， AB = -4, AC = -3, 显然不成立
所以当 k = 1 时， ∆ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形。
……………………6 分
（2）若 ∆ABC 是等腰三角形，
则有① AB = AC ② AB = BC ③ AC = BC 三种情况。
因为 AB ≠ AC ，故第①种情况不成立。
……………………8 分
所以当 AB = BC 时 k + 2 = 5,∴ k = 3
此时等腰 ∆ABC 的三边长分别为 5、5、6，周长是 16.
当 AC = BC 时, k + 3 = 5,∴ k = 2 ，此时等腰 ∆ABC 的三边长分别为 5、5、4，周长是 14 ……………10 分 10、解：
（1）过 A 作 DC 的垂线 AM 交 DC 于 M,则 AM=BC=3.又 tan ∠ADC=3,所以 DM = 1 ……………………3 分 因为 MC=AB=2,所以 DC=DM+MC=3 即 DC=BC. ……………………6 分
(2)结论是等腰直角三角形. ……………………8 分 下面证明：
因为. DE = BF , ∠EDC = ∠FBC , DC = BC
所以，△DEC ≌△BFC ……………………10 分
⎩42x>48(x-2)+36解得：⎨由题意x应该取9
x<10
∴A(-4,0),B(2,0),又C、D两点关于直线x=-1对称x
所以，CE=CF,∠ECD=∠BCF.
所以，∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90︒
即△ECF是等腰直角三角形.……………………12分
11.解：（1）设租42座的客车x辆．依据题意得：
⎧42x<48(x-1)
⎨⎧x>8
⎩
,则研学人数为：42⨯9=378（人）．……………………6分
（2）方案一：租42座车9辆的费用：9⨯400=3600元
方案二：租48座车8辆的费用：8⨯440=3520元
方案三：因为48⨯7+42⨯1=378
租48座车7辆和42座车1辆总费用：7⨯440+1⨯400=3480元所以，方案三：租用48座车7辆和42座车1辆最省钱．……………………12分
12．解：（1）由y=ax2+bx+c过点C(0,-8)，b=2a
y=ax2+2ax-8(x+x)2-4x x=36∴a=1
1212
∴y=x2+2x-8……………………4分（2）由（1）得x2+2x-8=0时，x=-4，x=2
12
y
A
M
O B
P
∴D的坐标为(-2,-8)，过B(2,0)，(-2,-8)两点的直线y=2x-4设 P与y轴另一交点为M(0,m)，圆心为P(0,n)，则OM⋅O C=OB2
∴O M=1
2
E
D C
∴P点的坐标为(0,-15 4 )
P点的坐标不满足y=2x-4
∴直线BD不经过圆心P……………………9分（3）设BD交 P于另一点E，
过E作EF⊥y轴于F，如图
则∆OPB≅∆FPE
PF=OP=15
4
OB=EF=2
⎛15⎫
∴E点的坐标为 -2,-⎪………………14分
⎝2⎭。