2016年4月2016届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学卷(正式考试版)

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【学易大联考】2016年第三次全国大联考【江苏版】
数学试卷
考试时间：理150分钟，文120分钟
第Ⅰ卷 必做题部分
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在
答题卡相应的位置．．．．．．．．
上． 1．设,a b R ∈，i i
bi
a 231-=++，其中i 是虚数单位，则a
b += ．
2．已知集合{}P x x a =≤，{
}
42
12
≤<=-x x Q ，
若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 3. 如图所示的流程图的运行结果是 ．
4．春风商店对某类商品销售数量(单位：个)进行
统计，统计时间是9月1日至9月30日，每5天一组分组统计，绘制了如图的销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的此类商品数(单位：个)为 ．
5. 已知实数]10,0[∈a ，则函数3
)4()(--=x a x f 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为____．
6. 已知)9
ln()(a x
x x f -+=，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取
值范围是 ． 7. 已知]4,4[π
πθ-
∈，且314cos -=θ，则=--+)4
(sin )4(sin 44π
θπθ ． 8．已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 . 9．已知公比q 不为1的等比数列}{n a 的首项11
2
a =，前n 项和为n S ，且223344,,a S a S a S +++成等差数列，则=+n n S a ．
10.过平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥++≤+-020202y y x y x 内一点P 作圆O:12
2=+y x 的两条切线，切点分别记为A 、B,当
APB ∠的度数为最小时，点P 坐标是 .
11. 已知Rt △ABC 的面积为2，︒=∠90C ，点P 是Rt △ABC 所在平面的一点，满足
CA CB CP 94PB PA ⋅的最大值是 .
12.已知函数1234)(22--+-=a a ax x x f ，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空 集，则实数a 的取值范围为 ．
13.若对于任意实数v u ,，不等式)0()()25(2
2
22
>≥-+-+t t v u v u 恒成立，则t 的最小值为 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有991-+=+k ka a n n ,其中k 为不等于0与 1的常数，若{}2016,216,32,9,84,684---∈i a ，5,4,3,2=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为 .
二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋
转
2
π
后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.
(1)求函数()f α的值域；(2)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .
16．（本小题满分14分）
如图所示,在直四棱柱1111-ABCD A B C D /中,=DB BC , ⊥DB AC /, 点M 是棱1BB /上一点.
(1)求证：11//B D 面1A BD /；(2)求证：⊥MD AC ；
(3)试确定点M /的位置,使得平面1DMC ⊥/平面11CC D D .
17．（本题满分14分）
某型汽车的刹车距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是
(第4题图)
0,1
s n ←←第3题图
M
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.）
（1）某人在高速行驶途中发现前方大约10米处有一辆汽车突然抛锚停止，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？
（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围． 18．（本小题满分16分） 已知椭圆
)1(12
222>>=+b a b y a x 与双曲线12
2
2
=-y x 有相同的焦点，且点A （2，1）在椭圆上
（1）试求椭圆方程；
（2）若点B 、C 是椭圆上的两点，直线AB 、AC 的斜率1k 、2k 满足等式2
121-
=k k ， ①试证B 、C 两点关于原点对称；
②若椭圆左顶点为P ，直线PB 、PC 与y 轴分别交于点M 、N ，试证以MN 为直径的圆D 必过两定点.
19．（本小题满分16分）
已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．
（1）若曲线()y f x =在点()()
00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （2）当1m ≥时，证明：()3
()f x g x x >-.
20．（本小题满分16分）
已知数列{}n c 的通项公式是n n n b a c =，前n 项和为n T ,其中{}n a 为首项11=a 的等差数列，且0>n a ，数列{}n b 为等比数列，若32)32(+⋅-=n
n n T
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *
∈N ，使得2016)1(2
1
2=-+q p b a 成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式1
211
2sin )111()111)(111(+<+-+-+-
n n n a a a a a πλ 数学Ⅱ 附加题部分【理科】
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，
求证：PDE POC ∠=∠．
B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 变换1T 是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是
21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
．求函数2
y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ
=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2
213x y +=的左焦点1F ，且
交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）．若1F C B =A ，求直线l 的倾斜角θ的值．
D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数)0(,2)(>-+-=a x a x x f ，若正实数c b ,满足1=++c b a ，且不等式
c
b c b a x f +++≥
2
22)(对任意实数x 都成立，求a 的取值范围． 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1
7。

现有甲、乙两人从袋中
轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。

若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。

每个球在每一次被取出的机会是等可能的。

用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值． (1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ．
23．（本小题满分10分）已知三位数abc ，其中c b a ,,不全相同，若将这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数（如百位数字为0，也视作三位数），两者相减得到一个新数，定义这一操作为f ，如792038830)308(=-=f ，再对新数进行第二次操作f ，依次类推，若记经过第n 次后所得新数为n f .（1）已知618=abc ，求2f ，3f ；
②求证：当6≥n 时，495=n f .。