2003年甘肃省兰州市数学中考试题及答案
2003甘 肃 省
A 卷（100分）
一、选择题（本大题共12题，每题3分，满分36分）各题中的选项只有一个是正确的． 1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
（A ） ()()12132
+=+x x ； （B ）
02112
=-+
x
x
；
（C ） 02=++c bx ax ； （D ） 1222-=+x x x ；
2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，则cosA 的值是（ ）．
（A ）
5
3； （B ）
5
4； （C ）
4
3； （D ）
3
4；
3. ⊙O 1与⊙O 2的半径分别为2和5，当O 1O 2＝2．5时，两圆的位置关系是（ ）． （A ）外切 （B ）相交 （C ）内切 （D ）内含
4. 点M （3，－4）关于x 轴的对称点M ’的坐标是（ ）．
（A ）（3，4） （B ）（一3，一4） （C ）（一3，4） （D ）（一4，3） 5. 已知正六边形的外接圆的半径是a ，则正六边形的周长是（ ）． （A ）3a （B ）6a （C ）12a （D ）24a
6. 结合正比例函数y ＝4x 的图象回答：当x ＞1时，y 的取值范围是（ ）．
（A ）y ＜1 （B ）l ≤y ＜4 （C ）y ＝4 （D ）y ＞4
7. 为了判断甲、乙两个小组学生英语口语测验成绩哪一组比较整齐，通常需要知道两组成绩的（ ）．
（A ）平均数 （B ）方差 （C ）众数 （D ）频率分布 8. 已知h 关于t 的函数关系式为2
2
1gt h =
，（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（ ）．
（A ）（B ）（C ）（D ）
9. 在地表以下不太深的地方，温度y （℃）与所处的深度x （km ）之间的关系可以近似用关系式y ＝35x ＋20
表示，这个关系式符合的数学模型是（ ）．
（A ）正比例函数 （B ）反比例函数． （C ）二次函数 （D ）一次函数
10. 如图，ABCD 为圆内接四边形，E 为DA 延长线上一点，若∠C ＝45°，则∠BAE 等于（ ）．
（A ）90° （B ）30° （C ） 135° （D ） 45° 11. 已知3是关于x 的方程
0123
42
=+-a x 的一个解，则2a 的值是（ ）
（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14
12. 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝
2，⊙A 与BC 相切，则图中阴影部分的面积
为（ ）．
（A ） 2
1π
-
（B ） 3
1π
-
（C ） 4
1π
-
（D ） 5
1π
-
二、填空题（本大题共8题，每题3分，满分24分）
13. 分解因式：1452--x x ＝ ；
14. 一个函数的图象过点（1，2），且y 随x 的增大而增大，则这个函数的解析式 是 （任写一个）． 15. 关于x 的一元二次方程0122=++kx x 有两个相等的实根，则k ＝ ； 16. 用一张面积为9002cm 的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面．则这个圆柱的底面直径为
cm （用含π的式子表示）．
17. 据资料记载，位于意大利的比萨斜塔1918－1958年这41年间。
平均每年倾斜1．1毫米；1959一1969年这11年间，平均每年倾斜1．26毫米，那么1918－1969年这52年间，平均每年倾斜约 毫米（保
留两位小数）。
18. 为了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名同学的身高进行了测量．经统计，身高在148．5～151．5之间的频数为3，则这一组的频率为 ． 19. 已知抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是 ；
20. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论： （任写一
个）．
三、画图题（不题5分）
21. 某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖，为适应市场多样化需求要求在地板砖上设计的图案能够把正六
边形6等分，请你帮他们设计等分图案（至少设计两种）
四、解答题（本大题共5题，每题7分，满分35分） 22. 已知一次函数k kx y +=的图象与反比例函数x
y 8=的图象在第一象限交于B （4，n ），求k ，n 的值．
23.用换元法解方程：
()()
7
1
3
6
3
1
2
=
-
+
+
+
-
x
x
x
x
；
24. 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，当r＝2．4cm时．AB
与圆有怎样的位置关系？为什么？
25.已知一次函()()2
3
22+
+
+
+
-
=m
x
m
x
m
y的图象过点（0，5）
⑴求m的值，并写出二次函数的解析式；
⑵求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
26.右图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼的采光
的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0．lm，2≈1．41，3≈1．73）
B 卷（50 分）
五、解答题（本大题共6题，满分50分）
27. （8分）如图AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上．求证PE是⊙O
的切线．
28. （8分）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，AD＝4，E为AD的中点，F为
CD的中点，P为BC上的动点（不与B、C重合）．设BP为x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
29.（8分）现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边．互相垂直，一边有刻度，且两边长度
都长于井盖半径）．请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤（要求写出两种测量方案）．
30.（9分）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，
同时在生产过程中平均每生产一产品有1吨的废渣产生．为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：
方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0．05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元．
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理1吨废渣需付0．1万元的处理费．
问：⑴设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式（利润＝总收入一总支出）；
⑵若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算．
31. （9分）已知抛物线bx
=2经过点A（2，0），顶点为D（l，一1）
ax
y+
⑴确定抛物线的解析式；
⑵直线y＝3与抛物线相交于B、C两点（B点在C点左侧），以BC为一边，原点O为另一顶点作平行四
边形，设平行四边形的面积为S，求S的值；
⑶若以⑵小题中BC为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形，当平行四边形面积为8时，
试确定P点的坐标；
⑷当－2≤x≤4时，⑶小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有请求出，若无请说明理由．
32.（8分）阅读以下材料并填空．
平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
⑴分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6
条直线；当有5个点时，可连成10条直线；……
⑵归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数
S，发现：
n
⑶ 推理：平面上有n 个点，两点确定一条直线．取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B 有（n －l ）种取法，所以一共可连成 n （n －1）条直线，但 AB 与 BA 是同一条直线，故应除以 2，即()2
1-=n n S n 。
⑷ 结论：()2
1-=
n n S n ．
试探究以下问题：
平面上有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
⑴ 分析：当仅有3个点时，可作 个三角形；当有4个点时，可作 个三角形；当有5个点时，可作 个三角形；……
⑵ 归纳：考察点的个数n 和可作出的三角形的个数n S ，发现：
⑶ 推理： ； ⑷ 结论： ；
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兰州市中考数学试卷及答案解析版
甘肃省兰州市2014年中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分）1.（4分）（2014?兰州）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A9 B 壁 C ⑥ D e ।考点：轴对称图形.分析：根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.解答：解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意.故选A.自评：本题主要考查『轴对称图形的知识点. 确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.2.（4分）（2014?兰州）下列说法中错误的是（）A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是必然事件B. 了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式若a为实数，则|a|< 0是不可能事件甲、乙两人各进行10次射击，两人射击成绩的方差分别为S曲=2 , S % =4，则甲的射击成绩更稳定考点：随机事件；全面调查与抽样调查；方差分析：利用事件的分类、普查和抽样调查的特点以及方差的性质即可作出判断.解答：解：A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是随机事件，故本项错误；8.了解一批电视机『的使用寿命，具有破坏性，适合用抽样调查的方式，故本项正确;C.若a为实数，则|a|涮，|a|< 0是不可能事件，故本项正确；D.方差小的稳定，故本项正确.故选：A .点评：本题考查了事件的分类、普查和抽样调查的特点以及方差的性质.本题解决的关键是理解必然事件和随机事件的概念；用到的知识点为：具有破坏性的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等.3.（4分）（2014?兰州）函数y WTl石中，自变量x的取值范围是（）A . x>- 2 B. x>- 2 C. x妥 D. x<- 2考点：函数自变量的取值范围.分析：根据被开方数大于等于 0列式计算即可得解. 解答一薛：根据题意得，x+2可，解得x A 2. 故选B.点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.4. （4分）（2014?兰州）期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：我们组成绩是86分的同学最多”，小英说： 我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映处的统计量是（）A .众数和平均数 B.平均数和中位数 C.众数和方差 D.众数和中位数考点：统计量的选择 分析：根据中位数和众数的定义回答即可. 解答：解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数,故选D.本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理.分析：首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解. 解答：解：•.・在 RtAABC 中，/ C=90 °, AC=4 , BC=3,ABW&c2十BC?二山2+32二5 .cosA=—AB 耳故选：D.点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边.6. （4分）（2014?兰州）抛物线y= （x-1） 2- 3的对称轴是（ A. y 轴B.直线x=- 1C.直线x=1考点：二次函数的性质.分析：根据二次函数的顶点式 y= （x-h ） 2+k,对称轴为直线x=h,得出即可. 解答：解：抛物线y= （x —3）2—1的对称轴是直线 x=3 .排在中间位置的数是中位数,点评: 5. （4 分）（2014?兰州）如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=3 , AC=4 ,那么 cosA 的值 03-44-3 BC.D. 4）D.直线x= - 33故选：C.自评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易 忽略的地方.7. （4分）（2014?兰州）下列命题中正确的是（ 有一组邻边相等的四边形是菱形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形组对边平行的四边形是平行四边形 考点：命题与定理.分析：利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项. 解：A 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误;B 、正确；C 、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D 、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误.故选B.自评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不 大，属于基础题.8. （4分）（2014?兰州）两圆的半径分别为 2cm, 3cm,圆心距为2cm,则这两个圆的位置 关系是（ ） A.外切B.相交C.内切D.内含考点：圆与圆的位置关系分析：由两个圆的半径分别是 3cm 和2cm,圆心距为2cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R, r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.解答：解：,「两个圆的半径分别是3cm 和2cm,圆心距为2cm,又3+2=5, 3-2=1 , 1<2<5, ・•.这两个圆的位置关系是相交. 故选B.点评：此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R, r的数量关系间的联系是解此题的关键.k - 119. （4分）（2014?兰州）若反比例函数 尸 --------- 的图象位于第二、四象限，则k 的取值可以是（）A. 0B. 1C. 2 D,以上都不是考点：反比例函数的性质. 专题：计算题.反比例函数 尸上一^的图象位于第二、四象限，比例系数k-1<0,即k<1,根据kx的取值范围进行选择.解答：解：♦.•反比例函数 产卜_ 1的图象位于第二、四象限，••• k- K0,即 k< 1.A . 解答:故选A.点评：本题考查了反比例函数的性质.对于反比例函数/ （k0O）, （1） k>0,反比例函数图象在一、三象限；（2） kvO,反比例函数图象在第二、四象限内.10.（4分）（2014?兰州）一元二次方程ax2+bx+c=0 （a加）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（）A - b2- 4ac=0B - b2 - 4ao0 C. b2- 4ac< 0 D. b2-4ac可考点：根的判别式.分析：已知一元二次方程的根的情况，就可知根的判别式△=b2 - 4ac值的符号解答：解：二.一元二次方程有两个不相等的实数根，・・△=b2—4ac>0.故选B.点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△> 0?方程有两个不相等的实数根；（2）4=0?方程有两个相等的实数根；（3）△< 0?方程没有实数根.11.（4分）（2014?兰州）把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A . y= - 2 （x+1 ） 2+2 B. y= - 2 （x+1 ） 2-2 C. y=- 2 （xT）2+2 D. y= - 2 （xT） 2 —2考点：二次函数图象与几何变换分析：根据图象右移减，上移加，可得答案.解答：解：把抛物线y= - 2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y= - 2 （x- 1）2+2, 故选：C.自评：本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减.12.（4 分）（2014?兰州）如图，在^ ABC 中，/ ACB=90 °, / ABC=30 °, AB=2 ,将△ ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得4人‘B' C',则点B转过的路径长为（）A • 4 B. 6冗 C.竺D.兀~5~~考点：旋转的性质；弧长的计算.分析：利用锐角三角函数关系得出 BC 的长，进而利用旋转的性质得出/ BCB' =60。
历年甘肃省兰州市中考试题(含答案)
兰州市2016 年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。
【考点】简单组合体的三视图2.反比例函数的图像在（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。
【考点】反比例函数的系数k 与图象的关系3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。
（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。
【考点】相似三角形的性质4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
【考点】三角函数的运用5.一元二次方程的根的情况（）。
（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15- B. 15 C. 5 D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD Ð=（ ）A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC Ð=Ð，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC Ð=°，∴50BOD AOC Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a a a -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5 D. a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a a a --()55a a a -=-a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1Ð=（ ）A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360°，∴3601=458°Ð=°，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键．5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，则»=AB （ ）A. 20cmp B. 10cm p C. 5cm p D. 2cmp 【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，∴»902010180AB p p ´==，故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c -=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c D =-=∴()2221242022b c b c -+=--=-=-，故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=´年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B 、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C 、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D 、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M，的N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO Ð=°，则AOC Ð=（ ）A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°【答案】A【解析】【分析】证明35NMO MNO Ð=Ð=°，可得23570AOB Ð=´°=°，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC Ð=Ð=°．【详解】解：∵35MNO Ð=°，MO NO =，∴35NMO MNO Ð=Ð=°，∴23570AOB Ð=´°=°，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC Ð=Ð=°，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －2【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC Ð=Ð=°，∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ===，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．【答案】()()55x y x y +-【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y -=+-．故答案为：()()55x y x y +-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ^于点E ，若70C Ð=°，则BAE Ð=______°．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，由AB CD ∥，可得40ABE BDC Ð=Ð=°，结合AE BD ^，可得904050BAE Ð=°-°=°．【详解】解：∵BD CD =，70C Ð=°，∴70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC Ð=Ð=°，∵AE BD ^，∴904050BAE Ð=°-°=°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9∴OA =3OD ==即a =，3b =∴3b a -=故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．【答案】23x y-【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：()()()2234x y x y y y +---222=434x y y y --+23x y =-．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+ìï+í>-ïî．【答案】34x <<【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x ->+ìïí+>-ïî①②，由①得：32>21x x -+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ^轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+； （2）142BC =．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A -，∴144k =-´=-，∴反比例函数的表达式为4y x=-；∵一次函数2y x m =-+的图象经过点()1,4A -，∴()421m =-´-+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =-+；小问2详解】解：∵1OD =，【∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =，∵1y =时，14x=-，解得4x =-，则()41B -，，∵1y =时，122x =-+，解得12x =，则112C æöç÷èø，，∴()114422BC =--=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB Ð的平分线．请写出OE 平分AOB Ð的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE V 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB Ð的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB Ð的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE V V ≌，可得AOE BOE Ð=Ð，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN V V ≌，可得AOC BOC Ð=Ð，可得OC 是AOB Ð的角平分线；（3）先作BAC Ð的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE V V ≌，∴AOE BOE Ð=Ð，∴OE 是AOB Ð的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN V V ≌，∴AOC BOC Ð=Ð，∴OC 是AOB Ð的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC Ð=°、53BAD Ð=°，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ^．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62°»，cos380.79°»，tan 380.78°»，sin 530.80°»，cos530.60°»，tan 53 1.33°»）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC Ð=°，∴()tan 380.781814.04m BC AB =°»´=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD Ð=°，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =°»´=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m ．【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解；（2）令0y =，解方程即可求解．【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c =++，∴1210937b a c a b c ì-=ïï=íï++=ïî，解得1210a b c =-ìï=íï=î，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；【小问2详解】解：令0y =，则22100x x -++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m +．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析 （2）EG =【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD ===，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC Ð=Ð=Ð=°，1302OCF DCF OCD Ð=Ð=Ð=°，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO Ð=Ð=Ð=°，∴EOD △是等边三角形，∴CO CD EO ED ===，∴四边形OCDE 是菱形；【小问2详解】【解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF Ð=°，∴122DF CD ==，CF ==，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF V 中，9030GDF ODC Ð=°-Ð=°，∴tan 302GF DF =°==，∴EG EF GF =-=．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x £<；C ． 1520x £<；D ． 2025x £<；E ． 2530x £<；F ． 30x £）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x £<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y £< 6.87.6y £<7.68.4y £<8.49.2y £<9.2y£人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m =-----=；【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y £<这一组，∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；故②符合题意；③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；的学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；故答案为：②③【小问3详解】排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540´=（人）．【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键．26. 如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径， BCBD =，DE AC ^于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F Ð=Ð，连接BD ．（1）求证：BF 是O e 的切线；（2）判断DGB V 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）DGB V 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG =【解析】【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，根据已知得出F BAC Ð=Ð，根据DEAC ^得出90AEG Ð=°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG Ð=Ð=°，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC =，则ABD ABC Ð=Ð，证明EF BC ∥，得出AGE ABC Ð=Ð，等量代换得出FGB ABD Ð=Ð，即可得出结论；（3）根据FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【小问1详解】证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，∵2BOD F Ð=Ð，∴F BAC Ð=Ð，∵DEAC ^，∴90AEG Ð=°，∵AGE FGB Ð=Ð∴90FBG AEG Ð=Ð=°，即AB BF ^，又AB 是O e 的直径，∴BF 是O e 的切线；【小问2详解】∵ BCBD =，AB 是O e 的直径，∴ AD AC =，BC AC ^，∴ABD ABC Ð=Ð，∵DEAC ^，BC AC ^，∵EF BC ∥，∴AGE ABC Ð=Ð，又AGE FGB Ð=Ð，∴FGB ABD Ð=Ð，∴DGB V 是等腰三角形，【小问3详解】∵FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，T æççè两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ^轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，=OC 点P 是ABC V 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b -££或35b ££【解析】【分析】（1）过点P 作PQ EF ^于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO Ð=°，则24GP PQ ==，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，得出1,2C a a æöç÷èø，根据=OC（3）由正方形的边长为1，即可求出P 到EF ，从而可得P 既在正方形的边上，也在到EF的直线上，当1b £时，EF 向上平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值；当1b >时，EF 向下平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值，即可求出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图所示，过点P 作PQ EF ^于点Q ，∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P 是直线EF 的“伴随点”时，∴2PQ =，∵()1,0G -，T æççè，∴1OG TO ==，，∵tan TGO Ð==，∴30TGO Ð=°，∴24GP PQ ==，∴()3,0P ；【小问2详解】解：当P 到x 轴距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，∵ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，∴BD DC =12a =，∴1,2C a a æöç÷èø，∵=OC ∴22152a a æö+=ç÷èø，解得：2a =或2-（舍去），∴等边三角形ABC 的边长为2；【小问3详解】解：由题意知，正方形ABCD 的边长为1，所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为=即正方形ABCD 上始终存在点P ，P 到EF.则EF 向上或者向下平移2个单位长度得到直线1l ∵1l 与EF，的∴P 既在1l 上，又在正方形ABCD 的边上，∴1l 与正方形ABCD 有交点.当1b £时，1l 为2y x b =-++，当1l 过A 时，012b =-++，即1b =-,当1l 过C 时，122b =-++，即1b =;∴11b -££；当1b >时，1l 为2y x b =-+-，当1l 过A 时，012b =-+-，即3b =,当1l 过C 时，122b =-+-，即5b =;∴35b ££；综上，当11b -££或35b ££时，正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，GD DF ^，AG DG ^，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ^交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；【解析】【分析】（1）证明ADG CDF V V ≌，可得AD CD =，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，证明ADG CDF V V ≌，DG DF =，AG CF =，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF =，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC Ð=Ð=°，AC AB=，45BAC Ð=°，AHE CBE V V ∽，可得AE HE CE BE=，再证明HEB AEC V V ∽，可得HBE MCA Ð=Ð，证明AHB AMC V V ∽，可得HB AB MC AC ==【详解】解：（1）∵GD DF ^，DF CE ^，AG DG ^，∴90G DFC Ð=Ð=°，90ADG ADF Ð+Ð=°，∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF Ð=°=Ð+Ð，∴ADG CDF Ð=Ð，∵AG CF =，∴ADG CDF V V ≌，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ^，AH CE ⊥，GD DF ^，∴90DFH H GDF Ð=Ð=Ð=°，∴四边形DGHF 是矩形，∴90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，∵正方形ABCD ，∴AD CD =，∴ADG CDF V V ≌，∴DG DF =，AG CF =，∴四边形DGHF 是正方形，∴HG HF =，∴FH HG AH AG AH CF ==+=+．（3）如图，连接AC ，∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC Ð=Ð=°，ACAB =，45BAC Ð=°，∵AEH CEB Ð=Ð，∴AHE CBE V V ∽，∴AE HECE BE =，∵BEH AEC Ð=Ð，∴HEB AEC V V ∽，∴HBE MCA Ð=Ð，∵,AH CE AH HM ^=，∴45HAM BAC Ð=°=Ð，∴HAE MAC Ð=Ð，∴AHB AMC V V ∽，∴HB AB MC AC ==。
2024年甘肃省兰州市中考数学试题(含解析)
2024年兰州市初中学业水平考试数学注意事项：1.全卷共120分，考试时间120分钟．2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2024的绝对值是（）A.2024B.2024- C.12024D.12024-2.已知∠A ＝80°，则∠A 的补角是（）A.100°B.80°C.40°D.10°3.2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（）A.987.7910⨯ B.98.77910⨯ C.108.77910⨯ D.118.77910⨯4.计算：22(1)2a a a --=（）A.aB.a- C.2aD.2a-5.一次函数23y x =-的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图，小明在地图上量得12∠=∠，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（）A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角互补，两直线平行D.对顶角相等7.如图，小张想估测被池塘隔开的A ，B 两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C ，然后步测出,AC BC 的中点D ，E ，并步测出DE 的长约为18m ，由此估测A ，B 之间的距离约为（）A.18mB.24mC.36mD.54m8.七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（）A.12B.13C.14D.169.关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A.9- B.4C.1- D.110.数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x 个，苦果y 个，则可列方程组为（）A.100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B.100011499997x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C.100041199979x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D.999411100079x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩11.如图，在ABC 中，AB AC =，130BAC ∠=︒，DA AC ⊥，则ADB =∠（）A.100︒B.115︒C.130︒D.145︒12.如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，连接BD ，点M 从B 出发沿BD的速度运动至D ，同时点N 从B 出发沿BC 方向以1cm /s 的速度运动至C ，设运动时间为()s x ，BMN 的面积为()2cm y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长为（）A. B. C.4cm D.8cm二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.因式分解221x x -+=______．14.如图，四边形ABCD 为正方形，ADE V 为等边三角形，EF AB ⊥于点F ，若4=AD ，则EF =______．15.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中M ，N e 的半径分别是1cm 和10cm ，当M 顺时针转动3周时，N e 上的点P 随之旋转n ︒，则n =______．16.甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.32782．18.解不等式组：2613122x x xx +>⎧⎪⎨-<-⎪⎩19.先化简，再求值：7411a a a a++⎛⎫+÷⎪+⎝⎭，其中4a =．20.如图，反比例函数(0)ky x x=>与一次函数1y mx =+的图象交于点()2,3A ，点B 是反比例函数图象上一点，BC x ⊥轴于点C ，交一次函数的图象于点D ，连接AB ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数1y mx =+的表达式；（2）当4OC =时，求ABD △的面积．21.如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，CE AD ∥，AE AD ⊥，EFAC ⊥．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若4,3BC CE ==，求EF 的长．22.在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A 处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA 的竖直高度()m y 与离发射点O 的水平距离()m x 的几组关系数据如下：水平距离()x m 0341015202227竖直高度()y m 03.244.168987.043.24（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O 的水平距离为5m 时，水火箭距离地面的竖直高度．23.观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A 为顶点的直角，具体作法如下：①本条的两端分别记为点M ，N ，先将木条的端点M 与点A 重合，任意摆放木条后，另一个端点N 的位置记为点B ，连接AB ；②木条的端点N 固定在点B 处，将木条绕点B 顺时针旋转一定的角度，端点M 的落点记为点C （点A ，B ，C 不在同一条直线上）；③连接CB 并延长，将木条沿点C 到点B 的方向平移，使得端点M 与点B 重合，端点N 在CB 延长线上的落点记为点D ；④用另一根足够长的木条画线，连接AD ，AC ，则画出的DAC ∠是直角．操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，BA BC =，请画出以点A 为顶点的直角，记作DAC ∠；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：AB BC BD == ，ABC ∴ 与ABD △是等腰三角形．,BCA BAC BDA BAD ∴∠=∠∠=∠．（依据1______）BCA BDA BAC BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠=∠．180DAC BCA BDA ∴∠+∠+∠=︒，（依据2______）2180DAC ∴∠=︒，90DAC ∴∠=︒．依据1：______；依据2：______；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O 在直线l 上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O 为顶点的直角，记作POQ ∠，使得直角边OP （或OQ ）在直线l 上．（保留作图痕迹，不写作法）24.为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x 表示，分为四个等级，包括优秀：90100x ≤≤；良好：8090x ≤<；合格：7080x ≤<；待提高：70x <）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．分组90100x ≤≤8090x ≤<7080x ≤<70x <人数m727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m ______；（2）下列结论正确的是______；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．25.单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验探究摆球运动过程中高度的变化主题实验摆球，摆线，支架，摄像机等用具实如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开验说明始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A ，拉紧摆线将摆球拉至点B 处，BD OA ⊥，64∠=︒BOA ，20.5cm BD =；当摆球运动至点C 时，37COA ∠=︒，CE OA ⊥．（点O ，A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）实验图示解决问题：根据以上信息，求ED 的长．（结果精确到0.1cm ）参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 370.75︒≈︒≈︒≈，sin 640.90,cos 640.44,tan 64 2.05︒≈︒≈︒≈．26.如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，点D 为O 上一点，BC BD =，延长BA 至E ，使得ADE CBA ∠=∠．（1）求证：ED 是O 的切线；（2）若14,tan 2BO CBA =∠=，求ED 的长．27.综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在ABC 中，点M ，N 分别为AB ，AC 上的动点（不含端点），且AN BM =．【初步尝试】（1）如图1，当ABC 为等边三角形时，小颜发现：将MA 绕点M 逆时针旋转120︒得到MD ，连接BD ，则MN DB =，请思考并证明：【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，AE MN ⊥于点E ，交BC 于点F ，将MA 绕点M 逆时针旋转90︒得到MD ，连接DA ，DB ．试猜想四边形AFBD 的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在ABC 中，4AB AC ==，90BAC ∠=︒，连接BN ，CM ，请直接写出BN CM +的最小值．28.在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：点P 是图形W 外一点，点Q 在PO 的延长线上，使得12PO QO =，如果点Q 在图形W 上，则称点P 是图形W 的“延长2分点”，例如：如图1，3(2,4),(2,2),1,2A B P ⎛⎫--⎪⎝⎭是线段AB 外一点，()2,3Q 在PO 的延长线上，且12PO QO =，因为点Q 在线段AB 上，所以点P 是线段AB 的“延长2分点”．（1）如图1，已知图形1W ：线段AB ，()2,4A ，()2,2B ，在()()1235,1,1,1,1,22P P P ⎛⎫------ ⎪⎝⎭中，______是图形1W 的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形2W ：线段BC ，()2,2B ，()5,2C ，若直线:MN y x b =-+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”，求b 的最小值：（3）如图3，已知图形3W ：以(),1T t 为圆心，半径为1的T e ，若以(),12D --，()1,1E -，()F为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形3W的“延长2分2,1点”．请直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】A【解析】解：2024的绝对值是2024，故选：A ．2.【答案】A【解析】解：∵∠A ＝80°，∴∠A 补角为：180°﹣80°＝100°．故选A ．3.【答案】C【解析】解：数据87790000000用科学记数法表示为108.77910⨯．故选：C4.【答案】D【解析】解：22(1)2a a a --22222a a a =--2a=-故选：D ．5.【答案】B【解析】解：∵20,30k b =>=-<，∴一次函数23y x =-的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；故选：B ．6.【答案】B【解析】解：∵12∠=∠，∴福大街与平安大街互相平行，判断的依据是：内错角相等，两直线平行，故选：B ．7.【答案】C【解析】解：∵点D ，E ，分别为,AC BC 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴236m AB DE ==；故选：C ．8.【答案】D【解析】解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：16，故选：D ．9.【答案】D【解析】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．10.【答案】A【解析】解：设买了甜果x 个，苦果y 个，由题意，得：100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩；故选A ．11.【答案】B【解析】解：∵AB AC =，130BAC ∠=︒，∴180252BAC C ︒-∠∠==︒，∵DA AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴115ADB C CAD =∠+∠=︒∠．故选：B12.【答案】C【解析】解：根据题意知，()cm BN x =，()cm BM =，∵四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴30DBC ∠=︒，过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接AC 交BD 于点O ，如图，则()3sin cm 2MH BM MBH x =⨯∠=，那么，BMN 的面积为()2213cm 24y BN MH x =⨯=，设菱形ABCD 的边长为a ，∴22cos 22BD BO BC BOC a ==⨯⨯∠=⨯⨯=，∴点M 和点N 同时到达点D 和点C ，此时BMN 的面积达到最大值为∴24x =4x =，（负值舍去），∴4BC =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.【答案】()21x -【解析】解：221x x -+=（x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．14.【答案】2【解析】解：∵四边形ABCD 为正方形，ADE V 为等边三角形，EF AB ⊥，4=AD ，∴90,60,90,4FAD EAD AFE AD AE ∠=︒∠=︒∠=︒==，∴30FAE ∠=︒，∴122EF AE ==；故答案为：2．15.【答案】108【解析】解：根据题意得：点P 移动的距离为3216cm ππ⨯⨯=，∴106180n ππ︒⨯⨯=，解得：108n =．故答案为：10816.【答案】①②##②①【解析】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．故答案为：①②．三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.【解析】解：原式===18.【答案】61x -<<【解析】解：2613122x x x x +>⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②由①，得：6x >-；由②，得：1x <；∴不等式组的解集为：61x -<<．19.【答案】21a a +，85【解析】解：原式1714a a a a a +++=⋅++()2414a a a a +=⋅++21a a =+；当4a =时，原式248415⨯==+．20.【答案】（1）6y x =，1y x =+（2）72【解析】【小问1详解】解：∵反比例函数(0)k y x x =>与一次函数1y mx =+的图象交于点()2,3A ，∴32k =，321m =+，∴6k =，1m =，∴反比例函数为：6y x =，一次函数的解析式为：1y x =+．【小问2详解】∵4OC =，∴()4,0C ，∵BC x ⊥轴于点C ，交一次函数的图象于点D ，∴点B 的横坐标为4．点D 的横坐标为4．∴6342B y ==，415D y =+=∴34,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,5D ∴37522BD =-=过点B 作BE x ∥轴交一次函数1y x =+的图象交于点E ，过点A 作AF BE ⊥与点F ，∴BD BE ⊥，点E 的纵坐标为32，∴33322AF =-=，把32代入1y x =+，得312x =+，∴12x =，∴点13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴17422BE =-=，∴ABD DBE EABS S S =- 1122BD BE AF BE =⋅-⋅177137222222=⨯⨯-⨯⨯72=21.【答案】（1）证明见解析（2）61313【解析】【小问1详解】证明：∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵CE AD ∥，∴18090ECD ADC ∠=︒-∠=︒，又∵AE AD ⊥，∴90EAD ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形．【小问2详解】由（1）可知四边形ADCE 是矩形．∴AE DC =，3CE AD ==，90AEC ∠=︒，∵D 是BC 的中点，4BC =∴122DC AE BC ===，在ADC △中，90ADC ∠=︒，∴AC ===∵EFAC ⊥，∴1122EF AC AE CE ⋅=⋅即112322EF =⨯⨯，∴13EF =．22.【答案】（1）抛物线的表达式216255y x x =-+（2）水火箭距离地面的竖直高度5米【解析】【小问1详解】解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式()20y ax bx a =+≠，由表格得抛物线的顶点坐标为()15,9，则215294b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得12565a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则抛物线的表达式216255y x x =-+，【小问2详解】解：由题意知5x =，则216555255y =-⨯+⨯=，那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．23.【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解【解析】解：[操作体验]（1）[推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；[拓展探究]（3）24.【答案】（1）4（2）①③（3）18【解析】【小问1详解】解：207274m =---=，故答案为：4．【小问2详解】①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的()820100%40%÷⨯=，故①正确．②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，∴中位数位于8090x ≤<之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误．③在信息三中，点A 的美育成绩为90，体育成绩为70，点B 的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A 所代表的学生，点B 所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确，故有①③正确，故答案为①③．【小问3详解】根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人．故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有21801820⨯=人．25.【答案】ED 的长为8.2cm【解析】解：∵BD OA ⊥，64∠=︒BOA ，20.5cm BD =；∴20.510tan 64 2.05BD OD =≈=︒，1022.73cos 640.44OD OB =≈≈︒，∴22.73OB OC ==，∵37COA ∠=︒，CE OA ⊥，∴cos3722.730.818.2OE OC =⋅︒≈⨯≈，∴18.2108.2DE OE OD =-=-=；∴ED 的长为8.2cm .26.【答案】（1）见解析（2）163【解析】【小问1详解】解：连接OD ，则：OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，∴90ODB ADO ∠+∠=︒，∵AB AB BD BC ==，，∴Rt Rt ADB ACB ≌，∴ABC ABD ODB ∠=∠=∠，∵ADE CBA ∠=∠，∴ADE ODB ∠=∠，∴90ADE ADO ∠+∠=︒，即：90ODE ∠=︒，∴OD DE ⊥，∵OD 是O 的半径，∴ED 是O 的切线；【小问2详解】∵4OB =，∴28AB OB ==，由（1）知：ABD ABC ∠=∠，∴1tan tan 2AD ABD CBA BD ∠=∠==，由（1）知：EDA ABD ∠=∠，又∵DEA DEB ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，∴12ED AE AD BE DE BD ===，∴2DE AE =，2DE AE BE =⋅，∴()()22AE AE AE AB =⋅+，即：2248AE AE AE =+，解得：0AE =（舍去）或83AE =，∴1623DE AE ==27.【答案】（1）见详解，（2）四边形AFBD 为平行四边形，（3）【解析】（1）证明∵ABC 为等边三角形，∴60,A AB AC ∠=︒=，∵MA 绕点M 逆时针旋转120︒得到MD ，∴,120DM AM AMD =∠=︒，∴60DMB ∠=︒，∵AN BM =，60DMB A ∠=∠=︒，∴()SAS ANM MBD ≌，∴MN DB =；（2）解：四边形AFBD 为平行四边形，理由如下，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴=45ABC ∠︒，∵MA 绕点M 逆时针旋转90︒得到MD ，∴,45MA MD MAD MDA =∠=∠=︒，90DMA DMB ∠=∠=︒，∴45MAD ABF ∠=∠=︒，则AD BF ∥，在ANM 和MBD 中，MA DM MAN DMB AN MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ANM MBD ≌，∴AMN MDB ∠=∠，∵AE MN ⊥，∴90AMN MAE ∠+∠=︒，∵90MDB MBD ∠+∠=︒，∴DBM MAF ∠=∠，∴DB AF ∥，则四边形AFBD 为平行四边形；（3）解：如图，过点A 作45BAG ∠=︒，使AG CB =，连接GM 、GC ，BG ，延长CB ，过点G 作GO CB ⊥于点O ，∵4AB AC ==，90BAC ∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴==45GAM BCN ∠∠︒，∵AN BM =，∴AM CN =，又∵AG CB =，∴()GAM BCN SAS ≌，∴GM BN =，∴=BN CM GM CM CG ++≥，∴当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值，∵==45GAM ABC ∠∠︒，∴AG BC ∥，∴==90BAC ABG ∠∠︒，∴=180=45GBO ABG ABC ∠︒-∠-∠︒，∴=45GBO ∠︒，∴OG OB =，∴==GB ，∴OG OB ==，∴OC =，在Rt GOC 中，GC ==∴BN CM +的最小值为【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G 、M 、C 三点共线时，BN CM +的值最小，最小值为CG 的值是解题的关键．28.【答案】（1）23,P P （2）72-（3）13t ≤≤或11t -≤≤-【解析】【小问1详解】解：作线段AB 以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形A B ''，∵()2,4A ，()2,2B ，∴()1,2A '--，()1,1B '--，∵点P 是图形1W 的“延长2分点”，∴点P 在线段A B ''上，∵()()231,1,1,2P P ----在线段A B ''上，∴23,P P 是图形1W 的“延长2分点”；故答案为：23,P P ；【小问2详解】作BC 以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形B C ''，如图，∵()2,2B ，()5,2C ，∴()1,1B '--，5,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵直线:MN y x b =-+上存在点P 是图形2W 的“延长2分点”，∴直线:MN y x b =-+与B C ''有交点，∴当:MN y x b =-+过点C '时，b 值最小，把5,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y x b =-+，得：72b =-，∴b 的最小值为72-；【小问3详解】作DEF 以原点为位似中心，位似比为1:2的位似D E F '''△，∵(),12D --，()1,1E -，()2,1F ，∴()4,2D '，()2,2E '-，()4,2F '--，∵等腰直角三角形DEF 上存在点P ，使得点P 是图形3W 的“延长2分点”，∴当3W 与D E F '''△有交点时，满足题意，当T e 与D E ''相切时，如图，则：1t =或3t =，∴13t ≤≤时，满足题意；当T e 与D F ''相切时，且切点为G ，连接TG ，则：90TGE =︒∠，∵DEF 为等腰直角三角形，∴D E F '''△为等腰直角三角形，∵()()1,1,2,1E F -，()2,2E '-，()4,2F '--，∴EF E F x ''∥∥轴，∴45D F E '''∠=︒，∵以(),1T t 为圆心，半径为1的T e ，∴T 点在直线EF 上，1TG =，∴45TEG D E F '''∠=∠=︒，∴22ET TG ==∴12t =-或21t =-，∴1221t --≤≤-；综上：13t ≤≤或1221t -≤≤．【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．。
甘肃省兰州市中考数学(A卷)试题(含答案)
2 2 x 1） 3 的图象的顶点坐标是 3．二次函数 y （
A． （1，3） B． （ 1 ，3） C． （1， 3 ） D． （ 1 ， 3 ） 4．⊙O1 的半径为 1cm，⊙O2 的半径为 4cm，圆心距 O1O2=3cm，这两圆的位置关系是 A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 5．当 x 0 时，函数 y A．第四象限 C．第二象限 6．下列命题中是假命题的是 A．平行四边形的对边相等 C．矩形的对边平行且相等 B．菱形的四条边相等 D．等腰梯形的对边相等
第 13y
x
14．圆锥底面圆的半径为 3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图 ，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动 过程中速度不变， 则以点 B 为圆心， 线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t S A P
8．用配方法解方程 x 2 2 x 1 0 时，配方后所得的方程为
2 A． （x 1） 0 2 B． （x 1） 0 2 C． （x 1） 2 2 D． （x 1） 2
9．△ABC 中， a 、 b 、 c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a 2 b 2 c 2 ，那么下列结论正确 的是 A． c sinA= a B． b cosB= c C． a tanA= b D． c tanB= b 10．据调查，2011 年 5 月兰州市的房价均价为 7600 元/m2，2013 年同期将达到 8200 元/m2， 假设这两年兰州市房价的平均增长率为 x ，根据题意，所列方程为 A． 7600(1 x%) 2 8200 C． 7600(1 x) 2 8200 B． 7600(1 x%) 2 8200
甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类(含答案)
甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．平方差公式（共1小题）1．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．二．分式的混合运算（共1小题）2．（2022•兰州）计算：（1+）÷．三．分式的化简求值（共2小题）3．（2021•兰州）先化简，再求值：，其中m＝2．4．（2021•兰州）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝4．四．二次根式的混合运算（共3小题）5．（2023•兰州）计算：．6．（2021•兰州）计算：．7．（2021•兰州）计算：（+）×．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）8．（2021•兰州）解方程：x2+4x﹣1＝0．六．解一元一次不等式（共1小题）9．（2022•兰州）解不等式：2（x﹣3）＜8．七．一次函数的应用（共1小题）10．（2021•兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发 分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）11．（2022•兰州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B （3，0），过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB＝3．（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝x+b的表达式；（2）求DE的长．九．二次函数的应用（共1小题）12．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．一十．全等三角形的判定与性质（共2小题）13．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．14．（2021•兰州）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC ＝DF．一十一．矩形的性质（共1小题）15．（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE 是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；（2）当CD＝4时，求EG的长．一十二．解直角三角形的应用（共1小题）16．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）一十三．条形统计图（共1小题）17．（2021•兰州）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率年份、统计量名称20132014201520162017201820192020平均数贫困地区农村居民年人均可支配收入/元607968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%16.512.711.710.410.910.611.58.811.6全国农村居民年人均可支配收入增长率/%12.411.28.98.28.68.89.6 6.99.3请根据以上信息，解决下列问题：（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 万人．（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 元．（3）下列结论正确的是 （只填序号）．①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．一十四．折线统计图（共1小题）18．（2022•兰州）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；请根据以上信息，解答下列问题：（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 百万人．（2）下列结论正确的是 ．（只填序号）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．一十五．中位数（共1小题）19．（2023•兰州）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：分组y＜6.0 6.0≤y＜6.8 6.8≤y＜7.67.6≤y＜8.48.4≤y＜9.29.2≤y 人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7.87.8▲8.89.2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ ；（2）下列结论正确的是 ；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．平方差公式（共1小题）1．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．【答案】x2﹣3y．【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）＝x2﹣4y2﹣3y+4y2＝x2﹣3y．二．分式的混合运算（共1小题）2．（2022•兰州）计算：（1+）÷．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝．三．分式的化简求值（共2小题）3．（2021•兰州）先化简，再求值：，其中m＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝+＝＝，当m＝2时，原式＝＝2．4．（2021•兰州）先化简，再求值：÷﹣，其中m ＝4．【答案】，．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，当m ＝4时，原式＝．四．二次根式的混合运算（共3小题）5．（2023•兰州）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝3﹣2＝．6．（2021•兰州）计算：．【答案】4．【解答】解：＝+＝+＝＝3＝4．7．（2021•兰州）计算：（+）×．【答案】5．【解答】解：原式＝+＝2+3＝5．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）8．（2021•兰州）解方程：x2+4x﹣1＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0∴x2+4x＝1∴x2+4x+4＝1+4∴（x+2）2＝5∴x＝﹣2±∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．六．解一元一次不等式（共1小题）9．（2022•兰州）解不等式：2（x﹣3）＜8．【答案】x＜7．【解答】解：去括号，得：2x﹣6＜8，移项，得：2x＜8+6，合并同类项，得：2x＜14，两边同乘以，得：x＜7．故原不等式的解集是x＜7．七．一次函数的应用（共1小题）10．（2021•兰州）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发 6 分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．【答案】（1）6；（2）y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；（3）8分钟，理由见解答．【解答】解：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；故答案为：6；（2）设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，15+3000÷300＝25（min），∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x﹣4500（15≤x≤25）；（3）33﹣25＝8（min），故观光车比小军早8分钟到达观景点．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）11．（2022•兰州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B （3，0），过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB＝3．（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝x+b的表达式；（2）求DE的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为y＝x﹣；（2）DE＝．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，∴S△AOB＝|k|＝3，∴k＝6，∴反比例函数为y＝，∵一次函数y＝x+b的图象过点B（3，0），∴×3+b＝0，解得b＝﹣，∴一次函数为y＝x﹣；（2）∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图象于D点，∴当x＝5时y＝＝；y＝x﹣＝3，∴E（5，），D（5，3），∴DE＝3﹣＝．九．二次函数的应用（共1小题）12．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+10；（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去），∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．一十．全等三角形的判定与性质（共2小题）13．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【答案】∠D＝50°．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．14．（2021•兰州）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC ＝DF．【答案】见解析．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．一十一．矩形的性质（共1小题）15．（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE 是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；（2）当CD＝4时，求EG的长．【答案】（1）答案见解答过程；（2）．【解答】解：（1）四边形OCDE是菱形，理由如下：∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE，∵CE是线段OD的垂直平分线，∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，在△FDC和△FOE中，，∴△FDC≌△FOE（ASA），∴CD＝OE，又ED＝OE，CD＝CO，∴ED＝OE＝CD＝CO，∴四边形OCDE是菱形．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，∵CE是线段OD的垂直平分线，∴CD＝CO，∴CD＝CO＝DO，∴△ODC为等边三角形，∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，∴，在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，由勾股定理得：，由（1）可知：四边形OCDE是菱形，∴，∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，∴，∴，∴．一十二．解直角三角形的应用（共1小题）16．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】约为5.4米．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴1.60≈，∴BD≈32（米），在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，∴1.33≈，∴BC≈26.6（米），∴CD＝BD﹣BC≈5.4（米）．答：避雷针DC的长度约为5.4米．一十三．条形统计图（共1小题）17．（2021•兰州）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率20132014201520162017201820192020平均数年份、统计量名称607968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入/元16.512.711.710.410.910.611.58.811.6贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%12.411.28.98.28.68.89.6 6.99.3全国农村居民年人均可支配收入增长率/%请根据以上信息，解决下列问题：（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 551 万人．（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 6509 元．（3）下列结论正确的是 ①②③ （只填序号）．①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．【答案】（1）551；（2）6509；（3）①②③．【解答】解：（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；故答案为：551；（2）12588﹣6079＝6509，故答案为：6509；（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫，故①正确；②∵（16.5+12.7+11.7+10.4+10.9+10.6+11.5+8.8+11.6）÷9≈11.6，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故②正确；③2016年：1700﹣665＝1035＞1000，2017年：2220﹣865＝1355＞1000，2018年：2780﹣1065＝1715＞1000，2019年：3160﹣1265＝1895＞1000，2020年：3520﹣1465＝2055＞1000，2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确，故答案为：①②③．一十四．折线统计图（共1小题）18．（2022•兰州）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；请根据以上信息，解答下列问题：（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 40 百万人．（2）下列结论正确的是 ①② ．（只填序号）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．【答案】（1）40；（2）①②；（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．【解答】解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，故答案为：40；（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，故原结论错误，不符合题意．所以结论正确的是①②．故答案为：①②；（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．一十五．中位数（共1小题）19．（2023•兰州）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：分组y＜6.0 6.0≤y＜6.8 6.8≤y＜7.67.6≤y＜8.48.4≤y＜9.29.2≤y人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7.87.8▲8.89.2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ 11 ；（2）下列结论正确的是 ②③ ；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11；（2）②③；（3）75人．【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣9﹣6﹣2＝11，故答案为：11；（2）由条形统计图可得，排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比：≥65%，①错误．掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6，②正确．若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．理由：如果学生3的掷实心球的成绩未到达优秀，那么只有学生1、4、5、6有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，③正确．故答案为：②③；（2）∵排球垫球成绩达到22个及以上的人数：10人，∴全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：300×＝75，答：估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是有75人．。
历年甘肃中考数学试题及答案详解
历年甘肃中考数学试题及答案详解数学是中考考试中的一门重要科目，它涉及到数与代数、图形与几何、数据与统计等多个方面的知识。
为了帮助学生更好地复习备考，本文整理了历年甘肃中考数学试题，并提供了详细的答案解析，希望对同学们的复习有所帮助。
1. 第一题题目：某商品原价为120元，现在打5折，打完折的价格是多少元？解析：打5折意味着折扣是原价的50%，即$120 \times\frac{50}{100} = 60$，所以打完折的价格是60元。
2. 第二题题目：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，在3小时内能行驶多远？解析：速度等于路程除以时间，所以路程等于速度乘以时间，即60公里/小时 × 3小时 = 180公里。
所以这辆汽车在3小时内能行驶180公里。
3. 第三题题目：小明将一个数的$\frac{1}{4}$加上$6$得到$10$，这个数是多少？解析：设这个数为x，则根据题意可以得到$\frac{x}{4} + 6 = 10$。
通过移项和化简可以得到$\frac{x}{4} = 4$，进一步得到x = 16。
所以这个数是16。
4. 第四题题目：一条绳子长$1 \frac{1}{2}$米，我要剪下$\frac{2}{3}$米出来，剩下的绳子还有多长？解析：绳子原长是$1 \frac{1}{2}$米，需要剪下$\frac{2}{3}$米。
剩下的绳子长度等于原长减去剪下的长度，即$1 \frac{1}{2}$米 -$\frac{2}{3}$米。
将1米表示为$\frac{3}{3}$米，可以得到用相同分母计算的结果$\frac{3}{2}$米 - $\frac{2}{3}$米 = $\frac{9}{6}$米 -$\frac{4}{6}$米 = $\frac{5}{6}$米。
所以剩下的绳子还有$\frac{5}{6}$米长。
5. 第五题题目：如果$a = 3$，$b = 5$，$c = -2$，求$2ab - 3c$的值。
甘肃省2003年中考题.
甘肃省2003年中考题一、选择题（本题包括28小题，1～16小题每题1分；17～28小题，每题2分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1．下列变化中，属于物理变化的是（）A．燃放烟花B．食品变质C．蜡烛熔化D．煤气燃烧2．下列物质属于纯净物的是（）A．食醋B．碘酒C．可乐饲料D．冰水3．乙醇俗称酒精，它的化学式是（）A．CH3OH B．C2H5OH C．CH3COOH D．CH44．某农场的小麦茎，叶生长不茂盛，需施加氮肥。
下列物质属于氮肥的是（）A．K2SO4B．CO（NH2）2C．KCl D．Ca(H2PO4)25.人体细胞中含量最多的元素是（）A．氧B．碳C．氮D．钙6．在其他条件不变的情况下，要使硝酸钾的溶解度增大，应采取的措施是（）A．升高温度B．降低温度C．加入溶质D．加入溶剂7．下列变化与氧气化学性质有关的是（）A．碳酸钠晶体在干燥的空气里变成粉末B．铁在潮湿的空气里生锈C．常压下，氧气在约-183℃时变为淡蓝色液体D．露置在空气中的石灰水变质8．实验室制取二氧化碳时，常用（）A．木炭和氧气反应B．煅烧石灰石C．大理石跟稀盐酸反应D．大理石跟稀硫酸反应9．下列物质不属于氧化物的是（）A．H2O B．P2O5C．MnO2D．KClO310．我国的黑白山水画用的墨汁主要成分为炭黑的微粒，用这种墨汁画的国画千百年都不易褪色，这是因为墨汁中的炭（）A．具有氧化性B．具有还原性C．具有吸附性D．常温下化学性质稳定11．具有可燃性和还原性的气体单质是（）A．CO2B．C C．H2D．CO 12．下列物质不会使人中毒的是（）A．一氧化碳B．甲醇C．氯化钠D．亚硝酸钠13．下列物质中不能与碳酸钠溶液发生反应的是（）A．Ca(OH)2溶液B．稀H2SO4C．BaCl2溶液D．KNO3溶液14．下列物质按酸、碱、盐顺序排列的是（）A．Mg(OH)2、CuSO4、H2CO3B．HNO3、KOH、NaClC．CaCO3、NaOH、H3PO4D．H2SO4、KNO3、NaOH15．金刚石和石墨的性质有很大差异的原因是（）A．金刚石和石墨是由不同种元素组成的B．金刚石是单质、而石墨是化合物C．金刚石和石墨里碳原子的排列不同D．金刚石不含杂质，而石墨含杂质16．农作物收割后留下大量秸秆，下列有关秸秆的处理不合理的是（）A．作饲料B．制沼气C．造纸D．作为垃圾就地焚烧17．下列基本类型的反应中，一定有单质生成的是（）A．化合反应B．分解反应C．置换反应D．复分解反应18．下列粒子示意图中，表示－2价阴离子的是 （ ）19．1991年，我国著名化学家张青莲教授与另一位科学家合作，测定了铟（In ）元 素的相对原子质量新值。
(历年中考)甘肃省兰州市中考数学试题 含答案
兰州市2016 年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。
【考点】简单组合体的三视图2.反比例函数的图像在（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。
【考点】反比例函数的系数k 与图象的关系3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。
（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。
【考点】相似三角形的性质4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
【考点】三角函数的运用5.一元二次方程的根的情况（）。
（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。
（历年中考）甘肃省兰州市中考试题含答案
1兰州市2016 年中考试题 数学（A ）注意事项：注意事项：1.本试卷满分本试卷满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟。
分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
有一项是符合题意的。
1.如图是由如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A 。
【考点】简单组合体的三视图2.反比例函数的图像在（）。
（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限）第一、三象限（C ）第二、三象限（D ）第二、四象限）第二、四象限 【答案】B【解析】反比例函数的图象受到的影响，当 k 大于 0 时，图象位于第一、三象限，当k 小于 0 时，图象位于第二、四象限，本题中 k ＝2 大于 0，图象位于第一、三象限，所以答案选B 。
【考点】反比例函数的系数k 与图象的关系 3.已知△ABC ∽△∽△ DEF ，若，若 △ABC 与△DEF 的相似比为3／4，则△，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（）。
（A ）3／4（B ）4／3（C ）9／16（D ）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A 。
【考点】相似三角形的性质4.在Rt △ ABC 中，∠C ＝90° ，sinA ＝3／5，BC ＝6，则，则 AB ＝（）。