统计计算方法复习考试题

一、填空题：

1、若随机变量X 的概率密度为01(),,x f x ce x =<<,则X 的方差为 。

2、若X 服从二项分布B(5000,0.001),则由泊松定理知1()P X ≤≈ 。

3、若X 服从均值为5的指数分布，则83(|)P X X >>= 。

4、设)(t N 服从参数为2的泊松过程,则20(())P N == 。

5、设X 的概率密度为10()10,0x f x e x -=>,则其分布函数的逆函数为 。

二、选择题：

6、能产生等可能取值为5,4,3,2,1中一个数的MATLAB 程序是（ ） (A) ceil(5*rand) (B) floor(5*rand) (C)floor(6*rand) (D)randperm(5)

7、在MATLAB 中,表示二项分布的分布函数的是（ ）

(A) binopdf (B) binocdf (C) nbinpdf (D) nbincdf 8、能产生均值为5的指数随机数的MATLAB 程序是（ ）

(A) -5*ln(rand) (B) -log(rand)/5 (C) -5*log(rand) (D) 5*log(rand) 9、在MATLAB 中,表示正态分布的分位数的是（ ）

(A) normcdf (B) norminv (C) normpdf (D) normrnd 10、01~(,)Z N , 则||Z 的方差为（ ） (A) 1 (B)

2

π

(C) 2

1π

-

(D) 2

1π

+

三、计算题：

11、设01~(,)U U ，X 的分布函数为10(),.x

F x e x -=->证明：log()U -的分布函数也是().F x

12、积分2

x I e dx ∞

--∞

=

⎰

，(1) 利用数值方法给出积分的计算结果；

(2) 利用Monte Carlo 方法编程计算积分。 13、设X 的概率分布为

103205302().,().,().P X P X P X ======

写出利用舍选抽样法产生随机数的算法步骤和MA TLAB 程序。 14、设X 的概率分布函数为

0),exp(1)(>--=x x x F βα

写出逆变换法产生随机数的算法步骤和MATLAB 程序。

15、某工厂近5年来发生了63次事故，按星期几分类如下

问：事故的发生是否与星期几有关？(注意不用编程，显著性水平)

（附表：其中)(2

y n χ表示自由度为n 的2χ随机变量在点y 的分布函数值，2

51666701069(.).,χ=0.0523)6667.1(26

=χ） 16、某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算

机的运行状态，收集了24个小时的数(共作97次观察)，用1表示正常状态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：

1110010011111110011110111111001111111110001101101111011011010111101110111101111110011011111100111

设Xn 为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链，从上数据序列中得到：96次状态转移情况是： 0→0：8次； 0→1：18次； 1→0：18次； 1→1：52次。求 (1)一步转移概率矩阵；

(2)已知计算机在某一时段(15分钟)的状态为0，问在此条件下，从此时段起，该计算机能连续正常工作45分钟(3个时段)的条件概率.

17、设{})0,≥n X n 是具有三个状态0，1，2的时齐马氏链，一步转移矩阵为：

⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=4/14/304/12/14/104/14/3P ，初始分布为2,1,0,31

)(0===i i X P

求：)1,1,0()1(420===X X X P ；)0|1,1()2(042===X X X P ；

)0|0,0,0,0()3(04321==≠≠≠X X X X X P .

答案：

一、填空题：

1、U 22

31(1)e e e --- 2、56e - 3、1e - 4、4

e - 5、

1ln(1),0110y y --<< 二、选择题：

6、A

7、B

8、C

9、B 10、C

三、计算题：

11、解：注意到U 与1U -同分布， 从而log()U -与1U --log()同分布， 设1U --log()的分布为1F u ()，于是

111u F u P U u P U e -=--≤=≥-()(log())()

显然当0u ≤时，有1

0F u =(), 当0u >时，有1

11u u F u P U e e --=≥-=-()() 从而log()U -的分布函数也是1x F x e -=-().

12、(1)

解：令x =

2

22

2

y y I e

dy dy ∞

-

∞

-

-∞

-∞

=

=

=⎰

(2) 令11y x =

+，则2

2

1dx dy y dx x -==-+()

，于是 2

1

2

2

11221x I e dx dy y y

∞

-==--⎰

⎰

exp(()) MATLAB 程序如下：

N=5000; y=rand(N,1);（或y=unifrnd(0,1,N,1)） for i=1:N

Int(i)=2*exp(-(1/y(i)-1)^2)/y(i)^2; end

I=mean(Int);

13、解：令Y 为取值为1、2、3的离散均匀分布，则概率分布为

1

1233

P Y k k ==

=(),,,.则c =0.5/(1/3)=1.5 X 的随机数产生的舍选抽样法算法步骤如下：

STEP1：产生Y 的随机数和均匀随机数U ；

STEP2：若U 5.0/)(Y X P =≤，则令X Y =；否则返回STEP1。

MATLAB 程序如下: p=(0.3,0.5,0.2);

Y=floor(3*rand+1); U=rand; while (U>p(Y)/0.5)

Y= floor(3*rand+1); U=rand;

end