传染病模型的研究方法总结

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2) 求关于无病平衡点 E 0 的线性近似方程 令 x ( t) = S ( t) - S 0, y ( t) = I ( t), z ( t) = R ( t) 则系统 ( 2 ) 变为 x Û ( t) = - B(x ( t) + S 0 )y ( t - S) - L ; 1 ( x ( t) + S 0 ) + b y Û ( t) = B( x ( t) + S 0 ) y ( t - S) - ( L 2 + K) y ( t); z Û ( t) = K y ( t) - L3 z( t)
等 , 与传统的统计方法相比 , 能 使我们更好地了解流行过程中的一些全局性态 。 通过对经典的依靠媒介传播且具有时滞 的 SIR 传染病模型的渐近稳定性分析 , 总结对一般传染病模型的常用研究方法 , 对 我们以后的研究工作有一定的指导作用 。 关键词 : SI R 传染病模 型 ; 时滞 ; L iapunov泛函 ; 局部 渐近稳定性 ; 全局渐近稳定性 中图分类号 : O 175. 13 文献标识码 : A 文章编号 : 1672- 4658( 2009) 02- 0096- 03
第 24 卷第 2 期 2009 年 6 月
邢台学院学报
JOURNA L OF X I N GTA IU N I V ER S I TY
Vo.l 24 . No. 2 Jun. 2009
传染病模型的研究方法总结
吕运红
( 邢台 学院数学系 , 河北邢台 摘 054001)
要 : 长久以来 , 传染病 严重影响着人类的健康 , 通过数学建模来研究传染病 的传播 、 发展规律以及预测其流行趋 势
[ 收稿日期 ] 2008- 09 - 12
1 SIR 仓室模型 所谓 SIR 仓室模型 , 就 是针对 某类 传染病 将该 地区 的 人群分成以下三类 : 易感类 数量记为 S ( t) , 表示 t 时刻未染病 但有可 能
被该类疾病传染的人数。 染病类 数量记为 I ( t) , 表示 t 时刻 已被感 染成病 人
* -Q S Q S * *
= 0
若 S = 0且 S0 < S , 则 Q= B S0 - ( L ) < 0, 则 2 + K 特征方程 ( 3) 的根均具有负实部。 若 S > 0且 S 0 < S 时, 设 ( 3 ) 有纯虚根即 Q= ? iX ( X > 0) , 即 iX + L S0 e 2 + K- B 于是分离实虚部得 :
X2 2
(S ( t) - S 0 ) + R ( t) ,
2
其中当 S 0 =
其中 X 1 > 0, ( i = 1, 2) 是有待 确定的 常数。V ( t ) 沿系 统 ( 2) 的解的方向导数为 V( Û t) = - L 1 X2 (S ( t) - S 0 ) + ( X1 - L 2 ) I ( t) - L 3R ( t) + [B S ( t) - X1 - X 2 B S ( t) ( S ( t) - S 0 ) ] I ( t- S) 我们可以选取 X1 - L , 2 < 0 B S( t) - X1 - X2 B S ( t) ( S ( t) - S 0 ) < 0 ( 4)
t t- S *
= 0或 者
=
L 2 + K 。即得到了该模型的两个平衡 位置 : B b , 0, 0 )。 L 1
*
无病平衡点 : E 0 = ( S 0, 0, 0 ) = ( 疾病平衡点 : E (
* * * *
= (S , I , R ) =
*
L K( b - L 2 + Kb- L 1S 1S ) , , )。 * * B B S L B S 3 b * > S L 1 L 2 + K = 时疾病平衡点是存在的。 B
* * *
其一次线性近似系统为 x Û ( t) = - L S y ( t - S); 1x ( t) - B y Û ( t) = ( L2 + K) y ( t) + B S y ( t - S); zÛ ( t) = K y ( t) - L 3 z ( t) 3) 求特征方程 由此我们不难得到其关于无病平衡点 E0 的特征方程为 ( Q+ L + L2 + K- B S 0 e ) ( Q+ L 。 ( 3) 1)(Q 3) = 0 4) 判定特征根的符号 该特征方程有两个负的特征根 Q , Q 1= - L 1 < 0 2 =- L 3< 0, 故我们只需考虑如下超越方程 Q+ L S0 e 2 + K- B
[ 作者简介 ]吕运红 ( 1982- ), 女, 河北省临西县人, 毕业于北京科技大学, 硕士, 主要从事生物数学的研究. E - m a i: l lvyunhong @ 163 . co m
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吕运红: 传染病模型的研究方法总结
生、 死亡、 流动等种群动力因素 。 后来又引入了 时滞 ( 时间 滞后 ) 概 念。具 有时 滞的 数 学模型所反映的基本 事实是 : t 时刻 的运动变化 规律 , 不仅 取决于 t时刻本身 , 还受到 t 时刻以 前某些 状况的 影响 , 甚 至是以前某种因素的反映。这种情况在 大千世界中是大量 存在的。例如 , 人 们在 淋浴 开始 时 , 常 会把 水调 的 时冷 时 热 , 这是因为人们所感觉 到的水 温与调 节时间 有一段时 间 滞后所致。又如 , 人群在 t 时刻生 育的 数量 , 取 决于 10 个 月前怀孕的情况 , 即取决 于 t ~ 10( 月 ) 时 的人群 和环境 状 况。所以 , 考虑时滞因素往往能更真实的反映自然。 2 模型研究的基本方法 对于具有时滞的 传染病模 型来说 , 人 们关心 的主要 问 题仍然是区分疾病 流行与 否的阈值 的表达 式 , 平衡位置 的 稳定性 , 周期解的存在性与稳定性 , 系统 的持续性以及有关 控制与预防策略等 , 特别 是时滞 的变化 对上述 各种性态 的 影响。下面仅就具有离散时滞 的依靠媒介传播的 SI R 传染 病模型平衡点的稳 定性问 题 , 总 结一些 研究模 型常用的 基 本方法。 SÛ ( t) = - B S ( t) I ( t - S) - L 1 S ( t) + b; I Û ( t) = B S ( t) I ( t - S) - L I ( t); 2 I ( t) - K R Û ( t) = K I ( t) - L 3R ( t) 其中 B > 0 为传 染率 , C > 0 为移 除率 , L , 2 , i(i = 1 3 ) , 分别表示 S、 I、 R 类人群的死 亡率。 * 特征方程法 : 一般用 于研究 模型平 衡点的 局部渐 近 稳定性。 1) 求平衡点 寻求所谓的平衡点就是求 方程的常数解。显然应该令 I ( t) S I( t - S) S I , 带入模 型 ( 2) 就得到 I S
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上面不等式组的 后一个不等式可以整理为 B S 0 X2 + 2 ( B S 0 - 2 X1 ) X2 + B < 0 如果 B S 0 - 2X1 < 0, 并且 (B S 0 - 2X1 )
而且具有传染力的人数。 移除类 出的人数。 众所周知 , 疾病的传播不 仅与传 染力、 传播 方式、 潜伏 期、 染病期、 易感性和抵抗力有关 , 而且与社会、 文化、 经济、 人口和地理因素 有密 切关系。 1927 年 K er m ack 与 M c K en drick 为了研究 1665~ 1666 年黑死 病在伦 敦的流 行规律 以 及 1906 年瘟疫在孟买的流行规律 , 建立了最早的一类传 染 病动力系统模型 , 此时不考虑种群动 力因素 , 即如下 的 SIR 仓室模型 : dS ( t) =- B S ( t) I ( t) dt dI ( t) = B S ( t) I ( t) - C I ( t) dt dR ( t) = C I( t) dt 其中 B > 0 为传染 率 , 表示 单位时 间内 一 个病 人能 传 染的易感者数目与此环境内易感者总数的比例系数 ; C > 0 为移除率 , 表示单位时间内 从染病 者类移 出的人数 与病 人 数量的比例系数。这是第一个也是最简单的由常微分方 程 所描述的传染病动力系统模型 , 它假设 : 所研究地区的人 口 总数量是常数 , 不因 时间的变化而变化 , 即不考虑人口的 出 ( 1) 数量记为 R ( t) , 表示 t 时刻已从 染病者类 移
2 -Q Sห้องสมุดไป่ตู้*
= 0, L S 0 co s( XS), 2 + K= B X= - B S 0 sin ( XS)
2 2
由上式可得 X = ( B S0 ) - ( L ) 2 + K ( 2)
< 0 。
从而与 X > 0 矛盾 , 即方程 ( 3) 不存 在纯虚根 , 所以 特 征方程 ( 3) 的根均具有负实部 , 所以 无病平衡点 E 0 是局 部 渐近稳定的。即初始值 , 也就 是开始 时染病 人数在 一定 范 围内时 , 疾 病最终将会被消除。 * 构造 L iapunov泛函法: 一般用于研究平衡点的全局稳 定性。 在常微分方程中我们讨论平衡点的全局稳定性时 常用 的方法是 构造一个无 限大正定 的 L iapunov 函数 , 使它沿 系 统轨线的全导数在所 讨论区 域内是负 定的 , 则相应 平衡 点 在所讨论区域内是全局渐近稳定的。对于时滞系统也有 类 似的结论 , 只不过所构造的一般是一个 L iapunov泛 函。 下面就用这种方法来研究系 统 ( 2) 的 无病平 衡点的 全 局渐近稳定性。也就是证明当 S 0 < S , 即 L S0 成 2 + K> B 立 , 疾病平 衡点不存在时 , E 0 是全局渐近稳定的。 此时我们可以考虑如下的 L iapunov泛函 V ( t) = I ( t) + X1 I ( u) du + Q