第3讲分式概念及分式乘除
分式的乘除法
分式的乘除法分式的乘法和除法是数学中非常重要的概念，在许多数学题目和实际应用中都会用到这两种运算。
下面我们将详细介绍分式的乘法和除法，帮助大家更好地掌握这个概念。
一、分式的乘法1. 定义两个分数的乘积是将它们的分子相乘，分母相乘得到的新的分数。
简单来说，两个分数的乘积算法是：分式 A ×分式 B = (A的分子× B的分子) / (A的分母× B的分母)例如：(3/4) × (5/6) = (3×5) / (4×6) = 15 / 24(1/3) × (4/5) = (1×4) / (3×5) = 4 / 152. 乘法的性质①乘法是可交换的：两个分式相乘的结果与两个分式交换位置后相乘的结果相同。
A ×B = B × A②乘法是可结合的：三个或更多个分式相乘的结果不受计算的顺序影响。
(A × B) × C = A × (B × C)③乘法满足分配律：一个分式与多个分式相加的结果等于每个分式与它相乘后再相加的结果。
A × (B + C) = A × B + A × C例如：2/3 × (4/5 + 1/5) = 2/3 × 5/5 = 10/152/3 × 4/5 + 2/3 ×1/5 = 8/15 + 2/15 = 10/15二、分式的除法1. 定义两个分式的除法是将它们的分子相乘，分母相乘后，将前者的结果除以后者的结果所得到的新的分数。
简单来说，分式 A ÷分式 B 算法是：分式 A ÷分式 B = (A的分子× B的分母) / (A的分母× B的分子)例如：(3/4) ÷ (5/6) = (3×6) / (4×5) = 18 / 20(1/3) ÷ (4/5) = (1×5) / (3×4) = 5 / 122. 除法的性质①除法是不可交换的：两个分式相除的结果与两个分式交换位置后相除的结果不相同。
分式的概念课件
将分数转换为小数是通过除法实现的，例如，$frac{2}{3} = 0.overline{6}$；将小数转换为分数是通 过乘以其倒数或将小数表示为两个整数的比值实现的，例如，$0.333... = frac{1}{3}$。
04
分式的应用
物理中的分式
总结词
物理中的分式主要用于描述和解决与速度、 加速度、功率等相关的物理问题。
分式的概念ppt课件
• 分式的定义 • 分式的基本性质 • 分式的简化 • 分式的应用 • 分式的注意事项
01
分式的定义
什么是分式
总结词
分式是数学中一种基本的代数式，表 示两个整式的商。
详细描述
分式由分子和分母两部分组成，分子 是整式，分母也是整式，并且分母不 为零。例如，$frac{x^2}{y}$是一个分 式，其中$x^2$是分子，$y$是分母。
通分
总结词
通分是将两个或多个分式化为同 分母的过程，以便进行加减运算 。
详细描述
通分是将分母不同的分式化为具 有相同分母的分式的过程。例如 ，将分式$frac{2}{3}$和 $frac{3}{5}$通分为 $frac{10}{15}$和$frac{9}{15}$。
分数和小数的转换
总结词
将分数转换为小数或将小数转换为分数是常见的数学操作，有助于理解和应用分式的概念。
详细描述
在物理学中，分式经常被用来表示和解决与 速度、加速度、功率等相关的物理问题。例 如，在计算物体的运动速度和加速度时，我 们通常使用分式来表示物体的位移与时间的 关系。此外，在电路分析中，分式也常被用
来表示电流与电压的关系。
数学中的分式
总结词
数学中的分式主要用于解决代数和几何问题，以及进 行函数分析。
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
分式的乘除法
分式的乘除法分式是数学中的一种表示形式，它由分子与分母组成，分子表示被分割的数量，分母表示分割成的份数。
在分式中，乘法和除法是常见的运算。
本文将介绍分式的乘法和除法的规则和运算方法。
一、分式的乘法分式的乘法是指两个或多个分式相乘的操作。
下面是分式乘法的规则：规则1：分子乘以分子，分母乘以分母。
示例1：(2/3) * (5/7) = (2 * 5) / (3 * 7) = 10/21规则2：任意常数乘以分式，可以将常数作为分子或分母的一部分。
示例2：3 * (4/5) = (3 * 4) / 5 = 12/5规则3：分子和分母都可以进行约分。
示例3：(8/12) * (3/5) = (8/3) * (3/5) = 24/15 = 8/5二、分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式的操作。
下面是分式除法的规则：规则1：除法可以等价为乘法。
示例1：(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6规则2：除法的倒数等于分子和分母交换位置后的分式。
示例2：(3/4) ÷ (2/3) = (3/4) * (3/2) = (3 * 3) / (4 * 2) = 9/8规则3：分子和分母都可以进行约分。
示例3：(4/6) ÷ (2/3) = (4/6) * (3/2) = (4 * 3) / (6 * 2) = 12/12 = 1/1 = 1三、分式乘除法的综合运算分式乘除法可以结合使用，需要按照运算的优先级和顺序进行计算。
下面是一个综合运算的示例：示例：(2/3) * (3/4) ÷ (4/5) = (2/3) * (3/4) * (5/4) = (2 * 3 * 5) / (3 * 4 * 4) =30/48 = 5/8四、小结分式的乘法和除法是分式运算中常见的操作，掌握其规则和运算方法对于数学学习和实际计算都非常重要。
第三章整理《分式》(复习)ppt课件
顺水速=静水速+水流速 逆水速=静水速-水流速
设是水流速为xkm/ h
则 水 为 20 + x)km/ h 顺 速 (
逆 速 (20 - x)km/ h 水 为
72 48 = 20 + x 20 − x
A．扩大3倍 B．扩大9倍C．扩大4倍D．不变 扩大3 扩大9 扩大4
3、 填空： x ( x − y ) = ( x − 2
y)
x + xy
x+y
例1：化简求值 ：
a−2 a −1 a−4 ( 2 − 2 )÷ a + 2a a + 4a + 4 a + 2 2 其中a满足：a + 2a − 1 = 0
1. 若分式
A、 A、x≠-1 C、x≠2 、
若有意义， 应满足（ 若有意义，则x应满足（ B ） 应满足
B、 ≠-1且 B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2 、 或
x −4 ( x + 1)( x − 2)
若值为0， 应满足（ 若值为 ，则x应满足（ B ） 应满足
A、x=2 、 C、 、
1km
中点 18km }
xkm / h
甲 A
乙 B
甲走了总共20km 甲走了总共
设 乙的速度 xkm / h 则 甲的速度( x + 0.5)km / h
20 18 = x + 0.5 x
1、一项工程，若甲队单独做，恰好在规定的日期 、一项工程，若甲队单独做， 完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成 天完成； 完成，若乙队单独做要超过规定日期 天完成；现 在先由甲、乙合做2天 在先由甲、乙合做 天，剩下的工程再由乙队单独 也刚好在规定日期完成， 做，也刚好在规定日期完成，问规定的日期是多 少天？ 少天？ 1 甲每天的工作量 x 设 天 甲x
分式的乘除与乘方
分式的乘除与乘方分式是数学中的一个重要概念，它在乘除与乘方运算中有着特殊的应用。
本文将探讨分式在乘除与乘方中的运算规则，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、分式的乘法分式的乘法可以用以下公式描述：若a/b和c/d是两个分式，其中a、b、c、d为实数，且b和d不为0，则它们的乘积为：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)通过这个公式，我们可以看出分子相乘得到新分式的分子，分母相乘得到新分式的分母。
例如，我们计算1/2乘以3/4，可以按照上述公式进行计算：(1/2) * (3/4) = (1 * 3) / (2 * 4) = 3/8二、分式的除法分式的除法可以用以下公式描述：若a/b和c/d是两个分式，其中a、b、c、d为实数，且b和c不为0，则它们的除法为：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)同样地，我们可以看出分式的分子乘以除数的倒数得到新分式的分子，分母乘以被除数的倒数得到新分式的分母。
举例来说，如果我们计算2/3除以4/5，可以按照上述公式进行计算：(2/3) / (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6三、分式的乘方分式的乘方可以用以下公式描述：若a/b是一个分式，其中a和b为实数，且b不为0，则它的n次幂为：(a/b)^n = a^n / b^n通过这个公式，我们可以看出分式的分子和分母分别取n次幂得到新分式的分子和分母。
例如，我们计算(2/3)^2，可以按照上述公式进行计算：(2/3)^2 = (2^2) / (3^2) = 4/9总结：在分式的乘除与乘方运算中，我们可以运用特定的公式进行计算，以得到正确的结果。
分式乘法中，分子相乘得到新分式的分子，分母相乘得到新分式的分母；分式除法中，分子乘以除数的倒数得到新分式的分子，分母乘以被除数的倒数得到新分式的分母；分式乘方中，分子和分母分别取指数的幂得到新分式的分子和分母。
2022年中考数学考点一遍过考点03分式与二次根式含解析202222281136
考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则 （1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算 （1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用式子表示为：a c a cb b b±±=． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=． （2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． （3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅． （4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、二次根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除 0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B均为整式；（3）分母B中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1x的取值范围是A．x≥4B．x>4 C．x≤4D．x<4 【答案】D4-x>0，解得：x<4，即x的取值范围是：x<4，故选D．【名师点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x>1考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A．扩大为原来2倍B．缩小为原来的12倍C．不变D．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为()()()2234623123 12432323x yx y x y x y xy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B．【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．下列变形正确的是A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考向三分式的约分与通分1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A．21 1x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1 C ．22xx 约分的结果是1 D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【名师点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握． 3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyxB ．222x y-C ．22x y x y +-D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 化简：2291(1)362m m m m -÷---．【解析】2291(1)362m m m m -÷--- 33m m+=．【名师点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．4．先化简，再求值：2221()211x xx x x x+÷--+-，其中x=4．考向五二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 函数yA．x>0且x≠0B．x≥0且x≠12C．x≥0D．x≠12【答案】B【解析】根据题意得，x≥010≠，∴x≥0且x≠12．故选B．【名师点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数是非负数且分母不为零．5．已知：x>4=__________．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】A=，故原选项不是最简二次根式；B=C是最简二次根式；D =4，故原选项不是最简二次根式， 故选C ．6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较． 典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式CD 、原式，错误， 故选A ．7．计算：（1（2）（–2．典例8 比较大小：__________5（填“>” “<”或“=”）． 【答案】>【解析】因为2228,525==，28>25，所以>5．故答案为：>．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a b 1，c，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c >b >a B ．a >c >b C ．b >a >cD ．a >b >c1(2)a -有意义，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≥B ．2a ≠C ．1a ≥-且2a ≠D ．a >22．若分式293x x -+的值为零，则x 值为A ．x =±3B ．x =0C ．x =-3D ．x =33．下列式子是最简二次根式的是ABCD ．4．在化简分式23311x x x-+--的过程中，开始出现错误的步骤是 A ．33(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+-+-+-B ．331(1)(1)x x x x --++-C ．22(1)(1)x x x --+-D ．21x -- 5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x -有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．计算33a a a +-的结果是 A ．6a a + B ．6a a-C ．1aD ．17a 的值为 A ．1 B ．2C ．23D ．328．化简2211x ax ÷--的结果是21x +，则a 的值是A ．1B ．-1C ．2D ．-29．已知 1x <，则化简的结果是 A ．1x - B ．1x - C ．1x --D ．1x +10．下列运算中错误的是AB ．＋C2D 11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1B ．−1C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y -=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a=，则1x x+的值为 A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15．16最接近的整数是__________．17．比较大小：>、<、或=”）18．计算（-2）（-2）的结果是__________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++_____________．20．若1112a b -=，则a b abab a b--=-__________．21．计算：（10)a ≥；（2．22．先化简，再求值：22(1)a b a b a b -÷--，其中1a =，1b =． 23．先化简：22144(1)1m m m m m-+-÷--，再从-1≤m ≤2中选取合适的整数代入求值． 24．先化简，再求值：22121(1)1121m m m m m --÷-+--+，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根． 25．先化简，再求代数式21211a aa a a -÷-+-的值，其中a =2cos30°．1．（2019•常州）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是A ．x =-1B ．x =3C ．x ≠-1D ．x ≠32．（2019x 的取值范围是 A ．x >0 B ．x ≥-1 C ．x ≥1D ．x ≤13．（2019•黄石）若式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ≥1且x ≠2B ．x ≤1C ．x >1且x ≠2D ．x <14．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是A BCD5．（2019•贵港）若分式211x x -+的值等于0，则x 的值为A ．±1B ．0C ．-1D ．16．（2019=A ．B ．4CD ．7．（2019•扬州）分式13x-可变形为 A ．13x + B ．13x -+ C ．13x -D ．13x --8．（2019•江西）计算1a ÷（21a-）的结果为 A ．a B ．-aC ．31a -D ．31a 9．（2019·天津）计算2211a a a +++的结果是 A ．2B ．22a +C ．1D ．41aa + 10．（2019•临沂）计算21a a --a -1的正确结果是A ．11a -- B ．11a - C ．211a a ---D ．211a a --11．（2019•北京）如果m +n =1，那么代数式22221()()m n m n m mn m++⋅--的值为 A ．-3B ．-1C ．1D ．312．（2019•河北）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在 A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④13．（2019·重庆A 卷）估计 A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间D ．7和8之间14．（2019有意义时，x 应满足的条件是__________．15．（2019的结果是__________．16=__________．17．（2019•吉林）计算：22yx·x y =__________．18．（2019·天津）计算1)的结果等于__________．19．（2019·南充）计算：2111x x x+=--__________．20．（2019•武汉）计算221164a a a ---的结果是__________．21．（20192）2 22．（2019•益阳）化简：2244(4)2x x x x+--÷． 23．（2019•深圳）先化简（132x -+）2144x x x -÷++，再将x =-1代入求值．24．（2019•河南）先化简，再求值：2212(1)244x x xx x x +--÷--+，其中x ． 25．（2019•烟台）先化简（x +373x --）2283x xx -÷-，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值．26．（2019•安顺）先化简2221(1)369x x x x -+÷--+，再从不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1-x =0，即x =1， 故选B ． 2．【答案】D【解析】A ．a b ≠22a b ++，故A 错误； B ．0.20.1a b b +=210a b b +，故B 错误；C ．a b -1=a b b-，故C 错误，故选D ． 3．【答案】D 【解析】A 、2xy x =yx，错误； B 、222x y -=1x y-，错误；C 、22x y x y +-=1x y-，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【解析】2221()211x x x x x x+÷--+-=2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷--=2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+=21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-．5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，必须101x x -≥⇒≥．故选B ．6．【答案】B==，=，∴ 故选B ．7．【解析】（1）原式162．（2）原式=（–4）÷2=4÷2=12． 8．【答案】D【解析】a −1），b −1，c）×−1），，∴a >b >c ．故选D ．1．【答案】C【解析】由题意得：a+1≥0，且a–2≠0，解得，1a≥-且2a≠．故选C．2．【答案】D【解析】∵分式293xx-+的值为零，∴x2-9=0且x+3≠0．解得：x=3．故选D．3．【答案】C【解析】A=B，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；CD、=故选C．4．【答案】B【解析】∵正确的解题步骤是：23311xx x-+--33(1)(1)(1)(1)(1)x xx x x x-+=-+-+-333(1)(1)x xx x---=+-，∴开始出现错误的步骤是331(1)(1)x xx x--++-．去括号是漏乘了．故选B．5．【答案】1【解析】∵x>4，∴x-4>0，∴原式=44xx--=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】33331a a a a a++--==，故选D ． 7．【答案】D【解析】1+4a a =-，解得32a =，故选D ． 8．【答案】A 【解析】22122111111x x a x x x x +=÷==--+--，∴a =1，故选A ． 9．【答案】B【解析】∵x <1，∴x -1<0x -1|=1-x ．故选：B ． 10．【答案】B【解析】A ．原式，所以A 选项的计算正确；B ．和B 选项的计算错误C ．原式=2，所以C 选项的计算正确；D ．原式=4，所以D 选项的计算正确． 故选B ． 11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ．12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 13．【答案】B【解析】()2210y -=，∴()2121022101x x y y ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩．∴13122x y +=+=．故选B ． 14．【答案】Ax +2+1x =a ²，∴x +1x=a ²−2，故选A ． 15==．16．【答案】4<<，，故答案为：4． 17．【答案】<，因为12<18，所以18．【答案】-16【解析】原式=-（）（）=-（20-4）=-16． 故答案为：-16． 19．【答案】1【解析】对待求值的代数式进行化简，得()ab a b a b +⋅+ab =，∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故答案为：1． 20．【答案】–32【解析】∵1112a b -=，∴a −b =−2ab ．∴原式=−22ab ab ab ab --=−2+12=−32． 故答案为：−32．21．【解析】（1）原式=4a 2．（2）原式． 22．【解析】22(1)a b a b a b-÷-- a b =+，当1a =，1b =时，原式11=23．【解析】原式=2-2(1)1(2)m m m m m -⋅-- =2mm -， 根据分式有意义的条件可知：m =-1， ∴原式=13． 24．【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++ =()()11m m m m --+=()11m m + =21m m+．由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=， 所以原式=13． 25．【解析】原式=2111(1)1a a a a --+÷-- =211(1)a a a a --⨯-，=1a． ∵a=2= ∴原式3=．1．【答案】D 【解析】∵代数式13x x +-有意义，∴x -3≠0，∴x ≠3．故选D ． 2．【答案】C【解析】由题意，得x -1≥0，解得x ≥1，故选C ． 3．【答案】A【解析】依题意，得x -1≥0且x -200，解得x ≥1且x ≠2．故选A ． 4．【答案】D 【解析】A 2=，故A 不符合题意； B 7=，故B 不符合题意； C =C 不符合题意；D D 符合题意．故选D ．5．【答案】D 【解析】21(1)(1)11x x x x x -+-==++x -1=0，∴x =1，经检验：x =1是原分式方程的解，故选D ． 6．【答案】B4==．故选B ．7．【答案】D 【解析】分式13x -可变形为：13x --．故选D ． 8．【答案】B 【解析】原式1a =·（-a 2）=-a ，故选B ． 9．【答案】A【解析】原式=222(1)211a a a a ++==++，故选A ． 10．【答案】B 【解析】原式()211a a a =-+-22111a a a a -=---11a =-．故选B ． 11．【答案】D【解析】原式=2()m n m n m m n ++--·（m +n ）（m -n ）=3()m m m n -·（m +n ）（m -n ）=3（m +n ）， 当m +n =1时，原式=3．故选D ．12．【答案】B 【解析】∵2222(2)1(2)111441(2)111x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++， 又∵x 为正整数，∴12≤x <1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②，故选B ． 13．【答案】C【解析】，又因为，所以，故选C ． 14．【答案】x >8有意义时，x -8>0，解得x >8．故答案为：x >8． 15．【答案】3，故答案为：3．16．【答案】【解析】原式==．故答案为：17．【答案】12x【解析】22y x ·12x y x =，故答案为：12x． 18．【答案】2【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．19．【答案】x +1 【解析】2111x x x +--=2111x x x ---211x x -=-()()111x x x +-=-1x =+，故答案为：x +1． 20．【答案】14a + 【解析】原式()()()()244444a a a a a a +=-+-+-()()2444a a a a --=+-()()444a a a -=+-14a =+． 故答案为：14a +． 21．【解析】原式63⨯=7．22．【解析】原式=2(2)2(2)(2)x x x x x -⋅+- =242x x -+． 23．【解析】原式21(2)21x x x x -+=⨯+-=x +2，将x =-1代入得：原式=x +2=1．24．【解析】原式=212(2)()22(2)x x x x x x x +---÷--- =322x x x -⋅- =3x ，当x时，原式25．【解析】（x +373x --）2283x xx -÷-=（29733x x x ----）2283x xx -÷- (4)(4)3x x x +-=-·32(4)x x x -- 42x x +=，当x =1时，原式145212+==⨯．26．【解析】原式232(3)3(1)(1)x x x x x -+-=⨯-+- =31x x -+，解不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩①②得-2<x <4， ∴其整数解为-1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x 可取0，2．∴当x =0时，原式=-3， （或当x =2时，原式=13-）．。
第3章 分式(第1—2节)
例6、如果把分式 中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（）
A.扩大2倍B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变
【思路分析】分子分母中的各项都扩大相同的倍数，实际就是将分子和分母同时乘以相同的数（不为零），分式的值不变.
解：D
方法与规律：理解分式的基本性质是解决问题的关键.
考点三：分式的乘除法
例7、计算：（1）
教师：_万老师_____学生：______时间:_____年___月___日段
课题：分式
授课目的与考点分析：1、分式的基本性质，相关概念及运算。2、正确运用分式乘除法则进行分式的乘除运算。
重、难点：1、分式的概念和分式的基本性质的理解和运用。
2、正确找出分式的分子、分母的最高公因式，用约分运算化简分式。
2、分式的基本性质：
（1） 分子、分母同时乘以c（c≠0）
分式的分子与分母都乘以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
（2） 分子、分母同时除以c（c≠0）
分式的分子与分母都除以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
最简分式：分式的分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
3、分式的乘除法：
分式的乘法运算法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母.如果分式的分子与分母都是多项式，先给它们分解因式，约分，然后相乘.
分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
解：－1
方法与规律：分式值为零的条件是分子=0，分母≠0.
分式的概念与计算
分式的概念与计算分式是数学中的基本概念之一，它在实际生活和解决问题中起着重要的作用。
本文将介绍分式的概念、表示方法以及如何进行分式的计算。
一、分式的概念分式是指形如 a/b 的数，其中 a 和 b 都是整数，且 b 不等于 0。
这里的 a 被称为分子，b 被称为分母。
分子和分母之间用一条横线隔开，表示两者之间的除法关系。
分式可以表示真数、假数和整数。
当分子小于分母时，这个分式表示一个真数；当分子大于分母时，这个分式表示一个假数；当分子等于分母时，这个分式表示一个整数。
二、分式的表示方法除了常见的分式形式 a/b，分式还可以以其他形式表示，比如带分数、百分数等。
1. 带分数带分数是指一个整数部分和一个分数部分组合在一起的数。
例如，7 1/4 就是一个带分数，整数部分是7，分数部分是1/4。
2. 百分数百分数是指以百分之一为单位的分数，通常以百分号 "%" 表示。
例如，75% 就表示 75 百分之一。
三、分式的计算分式的计算主要包括分式的加减乘除四则运算，下面将具体介绍每种运算的方法。
1. 分式的加法与减法分式的加法与减法的计算方法类似，需要先找到两个分式的公共分母，然后对分子进行相应的加减运算，最后化简得到结果。
2. 分式的乘法分式的乘法只需要将两个分式的分子和分母分别相乘即可。
如果能对结果进行约分，则需要进行约分化简。
3. 分式的除法分式的除法需要将除数的分子与被除数的分母相乘，再将除数的分母与被除数的分子相乘。
最后将相乘得到的结果作为除法的结果。
四、应用举例为了更好地理解分式的概念和计算，下面举例说明。
1. 例题1：计算 3/8 + 1/4。
解：首先找到两个分式的公共分母，即 8 和 4 的最小公倍数 8。
然后对分子进行相应的加法，得到 3/8 + 2/8 = 5/8。
2. 例题2：计算 5/6 × 2/3。
解：将两个分式的分子和分母分别相乘，得到 5/6 × 2/3 = 10/18。
分式的概念与运算知识点总结
分式的概念与运算知识点总结分式是数学中常见的一种表示方法，用于表示两个数之间的比例关系或部分关系。
本文将对分式的概念和运算相关的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和运用分式。
一、分式的基本概念1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的表达式，其中分母不能为零。
2. 分式的读法：分子通常读作“分子”，分母读作“分母”。
例如，"3/4 "读作“三分之四”。
3. 分式的意义：分式表示部分与整体的比例关系，可用于表示分数、比率、百分比等概念。
二、分式的基本形式1. 真分式：分子小于分母的分式，如：3/4。
2. 假分式：分子大于等于分母的分式，如：5/4。
3. 整式：分子恒为零的分式，如：0/6。
4. 真分数：分子绝对值小于分母的分式，如：|-2/5|。
5. 假分数：分子绝对值大于等于分母的分式，如：|7/2|。
三、分式的基本运算1. 分式的相等：若两个分式的分子、分母完全相同，则它们相等。
例如，1/2 = 2/4。
2. 分式的加减运算：将两个分式的分母取相同的公倍数，然后将分子相加或相减。
例如，1/3 + 1/4 = 7/12。
3. 分式的乘除运算：将两个分式的分子相乘，分母相除。
例如，2/3 × 4/5 = 8/15。
4. 分式的倒数：将分式的分子与分母互换位置得到的新分式称为原分式的倒数。
例如，倒数为3/4的分式为4/3。
5. 分式的化简：将分式的分子和分母约分，使它们没有公因数。
例如，8/12可以化简为2/3。
四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用：通过设置分式的比例关系来求解问题。
例如，已知一辆车以每小时60公里的速度行驶，求2小时行驶的距离。
2. 分式在百分数问题中的应用：将百分数转化为分式，进行运算。
例如，计算75%的数值为多少。
3. 分式在平均数问题中的应用：通过设置分式的平均数关系来求解问题。
例如，已知某次数学考试的平均分为80分，其中A同学的得分为90分，求B同学的得分。
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） C、 x 2且x
3 2
D、以上都不对
6、化简 x
x 1 等于（ y x
B、xy
）
A、1
C、
y x
D、
x y
x 2 2x 1 x 2 x x 1 x2 1
x 3 1 2 7 化简： 2x 3 4x 9 2x 3
n n2 m2 2 2 n m m
A．都扩大 2 倍
1 4
）
D.不改变
2.将分式
x2 中的 x , y 的值同时扩大 3 倍，则扩大后分式的值（ x y
B.缩小 3 倍； C.保持不变；
A.扩大 3 倍； 例 5.当 x _________时，分式
D.无法确定。
x3 x 3x 1 相等 和分式 x5 x 5x 1
D.
5x 5x 3y 3y
2.下列各式中，从左到右的变形正确的是( A．
x- y x y x y x y
B.
x- y x y x y x- y
） C． ）
C．
x y x y x y x y
D.
x y x y x y x y
知识点 5：分式的约分与最简分式的概念 1．下列约分正确的是（ A．
x6 x3 x2
B．
ax a bx b
x y 1( x y ) x y
D．
a2 b2 ab ab
2、下列各分式中，最简分式是（
２
A、
34x y 85x y
B、
y2 x2 x y
) C.
C、
x2 y2 x 2 y xy 2
D、
B．
a a b c b c
） C. )
C．
a b a b a b a b
D．
a b a b a b a b
1.下列各式从左到右的变形不正确的是（ A.
2 2 3y 3y
B.
y y . 6x 6x
3x 3x 4y 4y
八年级下数学讲义 第 3 讲 授课时间： 2016 年 3 月 11 日 课时：2 课时 授课时段： 学生： 授课老师： 备注
课题：分式及分式乘除 教学过程（内容） 知识点一：分式的概念
1．在
3 1 1 1 1 x2 、 、 、 ， 、 a 中分式的个数有（ x 2 m x x y
B．3 个 C．4 个
练习
1．下列判断中，正确的是（ A．分式的分子中一定含有字母 C．当 A=0 时，分式 ） B.当 B=0 时，分式 D.分数一定是分式
A 无意义 B
A 的值为 0（A、B 为整式） B
)
2. 若分式
x 无意义,则 x 的值是( x 1
B.1
A.0 3.如果分式 A. 1
C.-1 ) C.
D. 1
a a a ， 不能作为结果，必须写作 b b b
x 1 x 2 2x 1 = x2 x2 4
;
x y = x y
2、若 a b 0, a 2 b 2 6ab 0 ，则
ab 的值等于 ba
）
3、化简
16 a 2 a4 a2 ，其结果是（ 2 a 4a 4 2a 4 a 4
a c ac 如： b d bd
a b a c a d ad c b d b c bc d
a b
n
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为： ( ) =
an bn
注意：
(1)分式与分式相乘时，如果分子，分母都是多项式，先因式分解后再约分，最后再乘 （2）乘除混合运算可以统一为乘法运算；乘方与乘除混合运算同数的运算一样， 先乘方，再乘除 （3）分式运算结果必须是最简分式，如 练习： 1、化简：
a 2 a2
的值为为零,则 a 的值为( B.2
2
）
D.以上全不对
4．无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（ A．
2
2x x 3x B. C. 3 2x 1 x 1 x 1 1 5.使式子 1+ 有意义的 x 的取值范围是_____________ x 1
D.
x5 x2
１
知识点三：分式的基本性质
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第七个分式，第 n 个分式。
４
B、2 C、
A、﹣2
2 ( a 2) 2
）
D、
2 ( a 2) 2
4、已知
2x 1 ，则 m 等于（ m 2 x y x y
2
A、
2x x y
B、
x y 2x
C、
2x x y
D、
x y 2x
３
5、式子
x 1 x 2 有意义，则 x 应满足的条件是（ x 2 2x 3 3 3 A、 x 2且x B、 x 2且x 2 2
如果
5(3a 1) 5 成立,则 a 的取值范围是____________ 7(3a 1) 7
知识点四：分式的符号法则 符号变换：
a a ； b b
a a a （分子、分母同时变号，值不变） b b b
）
例 6．下列变形正确的是（ A．
a b ab c c
x y 2
x2 y2
3、下列分式中,最简分式是( A.
ab ba
B.
x y x y
2
2
x2 4 x2
D.
2a 4 4a a 2
分式的乘除
运算法则：两个分式相乘，分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 两个分式相除，把除式的分子、母颠倒位置后，再与被除式相乘
） D．5 个
A．2 个
知识点二：分式有(或没有)意义、值为零、为正（负）的条件
例 1．当 x 例 2. 当 x = 时，分式
x , 无意义；当 x x 3
时，分式
x , 有意义。 x 3
时，分式
x2 的值为零. x2
例 3．使得分式
x2 x2 有意义的 x 的取值范围是____________； 2 的值为正的 x 的取值范围是 x x
例 4．如果把分式
xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（ x y
B．扩大 2 倍； C．不变；
） D 缩小 2 倍 ）
A．扩大 4 倍； 1．把分式
2x ( x 0, y 0) 中的分子、分母的 x 、 y 同时扩大 2 倍，那么分式的值（ x y
B.都缩小 2 倍 C.改变原来的
a3 a2 2 2b b b
3
3
2
x
1 1 y x y
8、先化简，再求值：
x 2 4x 4 x 2 2x ，在 0、1、2 三个数中选一个你喜欢的数代入求值。 2x x2
x3 x5 x7 x9 9（探究题）给定下面一列分式： , 2 , 3 , 4 ,, （其中 x≠0） y y y yபைடு நூலகம்