2004年全国高考数学试题汇编三角向量(二)
2004年全国高考数学试题汇编——立体几何(二)
两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=。
若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为A. 104B. 38C. 134D. 164． 5． ①m α⎬⊂⎭ ② //m β⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个6．（2004年重庆高考·理工第8题）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB==则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．（2004年重庆高考·文史第12题）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 （ ） A ．258 B．234 C ．222 D ．2108．（2004年重庆高考·理工第12题）若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（ ）（C ） （D ）9．（2004年重庆高考·文史第16题）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。
又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里. 10．（2004年湖南高考·理工第4题，文史第5题）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°11．（2004年湖南高考·理工第10题，文史第10题）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ） A ．56 B ．52 C ．48 D ．4012. （2004年天津高考理工第19题，本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
04年高考题(三角函数部分)答案
04高考三角汇总答案一）选择题1. （2004.江苏）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( B) (A)2π(B)π (C)π2 (D)π4 2．(2004.全国理)为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ B ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度3、（2004.上海理）三角方程2sin(2π-x)=1的解集为( C ) (A){x│x=2k π+3π,k∈Z}. (B) {x│x=2k π+35π,k∈Z}.(C) {x│x=2k π±3π,k∈Z}. (D) {x│x=k π+(-1)K,k∈Z}.4．（2004.湖北理）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=5．（2004. 福建理）tan15°+cot15°的值是 （ C ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 6．（2004. 重庆理）sin163sin 223sin 253sin313+=（ B ）A ．12-B ．12 C ．2-D ．27．（2004. 辽宁卷）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是DA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2004. 辽宁卷）已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是BA ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数9．（2004. 辽宁卷）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（C ） A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 10、（2004. 人教版理科）函数2sinxy =的最小正周期是（ ） A 、2πB 、 πC 、π2D 、π4 11、（2004. 人教版理科）在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A 、223 B 、233 C 、23D 、33 12、(2004. 四川理）已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，则φ的值可以是( A )A -6π B 6π C 12π- D 12π13、(2004. 四川理）函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（ B ） A (23,2ππ) B (π,2π) C (25,23ππ) D (2π,3π)14、(2004. 四川理）函数y=sin 4x+cos 2x 的最小正周期为（ B ） A 4π B 2π C π D 2π15. (2004. 天津卷)函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是(C )(A)]3,0[π(B)]127,`12[ππ (C)]65,3[ππ (D)],65[ππ`16．（04.上海春季高考）下列函数中，周期为1的奇函数是（ D ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =二）填空题17．（04. 上海春季高考）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
2004年高考试题全国卷2理科数学及答案(必修+选修Ⅱ四川吉林黑龙江云南等地区)
2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2（C ）ω1-（D ）21ω （4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1（C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe，其中λ＝（A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；(Ⅱ)设FB＝AFλ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(2ba+)＜(b－a)ln2．2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan =设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为18．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率72482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率2481533482523=+C C C C C C19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n ,211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{n S n }是首项为1，公比为2的等比数列 （II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-•=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ，∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3，又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM (II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=2123223)21()23(222121221=••-+=•-+FGG B F B FG G B 即所求二面角的大小为π33 解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1),=DM (0,21,-21),,0,01=•=•DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=•G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，A'C'cos .33||||11-=•=G B CD G B CD θ所以所求二面角的大小为π21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA •=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+•+=•x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413||||-=•OB OA 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1……………………………………(3) 联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0.∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ4≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21ln(2ln -->-+-=+,bb a b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2lnln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。
2004全国各省市高考模拟数学试题汇编——三角解答题
1．(2004年“天津耀华、东北育才、大连育明、哈尔滨三中”四校联考数学第17题，本题满分12分)已知定义在R 上的函数)0,0,0(cos sin )(>>>+=b a x b x a x f ωωω周期为.3)4(,2)(,=≤ππf x f（1）写出f (x )的表达式；（2）写出函数f (x )的单调递增区间；（3）说明f (x )的图象如何由函数y=2sin x 的图象经过变换得到.2．(2004年江苏省盐城市高三第三次调研考试数学第17题，本题满分12分)已知55,8,,011AC AB AD DB CD AB ===⋅=．（1）求AB AC -；（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)= 4/5，4x ππ-<<-，求sinx ．3．(2004年山东省潍坊市高三统一考试数学第17题，本题满分12分)已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||=求角α的值；（II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.4．（北京西城区2004年4月抽样测试——高三数学第16题，本题满分14分） 在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34cos cos ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.5．（北京东城区2004年4月高三年级综合练习数学第16题，本题满分13分）在△ABC 中，若.sin sin )cos (cos sin B A B A C +=+（Ⅰ）求∠C 的度数；（Ⅱ）在△ABC 中，若角C 所对的边c=1，试求内切圆半径r 的取值范围.6．(2004年黄冈市高三模拟第18题)（本小题满分12分）已知△ABC 中， 三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2－c 2，求tanC 的值。
2004高考平面向量
2004高考平面向量1．(2004.全国理)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= （）A．B．C．D．42．（2004.湖北理）已知a、b、c为非零的平面向量. 甲：ab=ac,乙：b=c,则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2004. 福建理）已知a、b是非零向量且满足(a-2b) ⊥a，(b-2a) ⊥b，则a与b的夹角是（）A． B. C．D．4．（2004. 重庆理）若向量a与b的夹角为，|b|=4，（a+2b）(a-3b)=-72,则向量a的模为（）A．2 B．4 C．6 D．125、(2004. 四川理）已知平面上直线l的方向向量e=(-)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为和>，则λe，其中λ=（）A B C 2 D -2 6．（04. 上海春季高考）在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.上述命题正确的是（）（A）①②（B）①④（C）②③（D）②③④7.(2004. 天津卷)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是，且|b|=,则b= ( )(A) (B) (C) (D)8.平面向量a,b中，已知a= (4，-3)，|b|=1，且ab=5，则向量b=______.9．（2004.湖南理）已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是10.（2004.上海理）已知A(1,-2)，若向量与a={2,3}同向,=2,则>点B的坐标为 ..11．（2004.湖北理）（本小题满分12分）在Rt△ABC中，，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.12. （04. 上海春季高考）（本题满分12分）在直角坐标系中，已知点和点，其中. 若向量与垂直，求的值.2005高考平面向量1．（全国卷Ⅱ）已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有其中等于（）A．2 B． C．－3 D．2．（全国卷Ⅱ）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（）A．（－2，4） B．（－30，25）C．（10，－5）D．（5，－10）3．（浙江卷）已知向量a≠e，|e| =1，对任意t∈R，恒有|a-t e|≥|a-e|，则（）(A) a⊥e (B) a⊥(a-e) (C) e⊥(a-e) (D) (a+e)⊥(a-e)4. （全国I）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点5.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6.（北京卷）若，且，则向量与的夹角为( )（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°7.（福建卷）在△ABC中，∠C=90°，则k的值是（）A．5 B．－5 C． D．考试题分类解析（平面向量).files/image113.gif" >8.（江西卷）已知向量（）A．30°B．60°C．120°D．150°9.（全国卷Ⅰ）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =10. （全国卷III）已知向量，且A、B、C 三点共线，则k=11.（上海卷）直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是____。
2004全国高考数学试题汇编--解析几何2
04高考解析几何一）选择题1. （2004.江苏）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为( A )(A)2 (B)22 (C) 4 (D)242．(2004.全国理)椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ C ）A ．23 B ．3C ．27 D ．43．(2004.全国理)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ C ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]4．（2004.湖北理）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ D ） A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x5．（2004.湖北理）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ D ）A ．59 B ．3 C ．779D ．496．（2004. 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（ A ）A ．3332 B ．32 C ．22 D ．237．（2004. 福建理）如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流 的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离 比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运 货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公 路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ B ） A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元8．（2004. 重庆理）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为 （ D ）A ．2B ．2C ．1 D9．（2004. 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为： （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．739．（2004. 辽宁卷）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是DA ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．（2004. 辽宁卷）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时， 点P 到坐标原点的距离是AA ．26 B ．23 C ．3 D ．211．（2004.湖南理）如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（ A ）A ．513 B ．13 C ．5 D ．13512、(2004. 四川理）已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称，则圆C 的方程为( C ) A (x+1)2+y 2=1 B x 2+y 2=1 C x 2+(y+1)2=1 D x 2+(y-1)2=113、(2004. 四川理）在坐标平面内，与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( B )A 1条B 2条C 3条D 4条14．(7) (2004. 天津卷)若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是(A) (A)03=--y x (B)032=-+y x(C)01=-+y x (D)052=--y x15、（2004. 人教版理科）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x16、（2004. 人教版理科）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A 、5B 、 5C 、25 D 、45 17） (2004. 天津卷)设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
04-汇编3(8套)—三角、向量
2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(三)1．（2004年湖北高考数学·理工第4题，文史第7题）已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅ （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2004年江苏高考数学第16题）平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 3．(2004年浙江高考数学·文史第4题)已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且∥，则αtan = (A)43(B)43-(C)34 (D)34-4．（2004年福建高考数学·理工第8题，文史第8题）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 5．（2004年浙江高考数学·理工第14题）6．（2004年浙江高考数学·文史第14题）7．（2004年湖北高考数学文史第13题）tan2010°的值为 . 8．（2004年福建高考数学·理工第2题，文史第2题）tan15°+cot15°的值是 （ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．3349．（2004年辽宁高考数学第1题）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．（2004年江苏高考数学第2题）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π411． (2004年浙江高考数学·文史第8题)“21sin =A ”“A=30º”的 （ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 12．（2004年浙江高考数学·理工第8题）在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 （ ）(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件13．（2004年辽宁高考数学第7题）已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数14．（2004年辽宁高考数学第11题）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==15．（2004年湖北高考数学·理工第12题，文史第12题）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=16．（2004年福建高考数学·文史第11题）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x)= x －2，则 （ ）A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin3π)>f (cos 3π)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f (sin 23)>f (cos 23)17．（2004年福建高考数学·理工第11题）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ） A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π)D ．f (cos2)>f (sin2)18．（2004年江苏高考数学第17题）已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.19．（2004年湖北高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.20．（2004年浙江高考数学·理工第17题，文史第18题，本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin 2++的值； ▲（Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（此问高二和高三学生做）21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题，本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.22．（2004年福建高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.23．（2004年辽宁高考数学第18题，本小题满分12分）设全集U=R（1）解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合}0)3cos(3)3sin(|{=-+-=ππππx x x B ，若（ ∪A ）∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围.参考答案1．B 2．)53,54(- 3．A 4．B 5．25- 6．– 4 7．33 8．C 9．D 10．B 11．B 12．B 13．B 14．C 15．A 16．C 17．D 18．（2004年江苏高考数学第17题）本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot2tan===+αααα得..53sin 1cos ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 19．（2004年湖北高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα20． (2004年浙江高考数学·理工第17题，本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49.21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题）本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一 .cos 2121)(222222θa a BCPQ a a a a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当a a CQ BP a by cx abycx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ 22．（2004年福建高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π). 由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－23. ∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π， 即x =-4π.（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.23．（2004年辽宁高考数学第18题，本小题满分12分）本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满分12分.解：（1）由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得 当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或……………………3分 （2）当1>a 时，（ ∪A ）=φ；当1≤a 时， ∪A=}.2|{a x a x -≤≤……………………5分 因)3cos(3)3sin(ππππ-+-x x .sin 2]3sin )3cos(3cos)3[sin(2x x x πππππππ=-+-=由.,),(,0sin Z B Z k x Z k k x x =∈=∈==所以即得πππ…………8分当（ ∪A ）∩B 怡有3个元素时，a 就满足⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<-≤<.01,322,1a a a 解得.01≤<-a …12分※ 此专题汇编到此结束，祝广大高一学子期末考试顺利！！！试题整理者：陈斌E-mail：cqsbcqsb@注：（1）平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004年全国高考数学试题汇编——解析几何”中；（2）2004年全国高考数学试卷共计27套——全国卷8套（四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理2套，山东、山西、河南、河北、江西、安徽等地区文理2套，陕西、广西、海南、西藏、内蒙古等地区文理2套，甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理2套）；单独命题的11个省市的高考数学试卷共计19套（北京文理2套，天津文理2套，上海文理2套，重庆文理2套，湖南文理2套，湖北文理2套，浙江文理2套，福建文理2套，江苏1套，广东1套，辽宁1套）。
2004年全国高考文科数学试题(1、2、3、4卷)
2004年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修I ）（全国Ⅰ卷）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,5}B =，则()u A C B =A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ．{1，3}2．已知函数1()lg 1x f x x -=+，若1()2f a =，则()f a -=A ．21B ．－21C ．2D ．－23．已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3|b a +=A ．7B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y 5．73)12(xx -的展开式中常数项是A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则 )4cos(2πα+=A ．57B ．51C ．27D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF =A ．23 B ．3 C ．27 D ．4 8．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为,,,E F G H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于A ．91B ．94C ．41D ．3111．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A ．95 B ．94 C ．2111 D ．211012．已知22221,2a b b c +=+=，22c a + 2=，则ab bc ca ++的最小值为A ．213-B ．321-C ．321-- D ．321+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式03≥+x x 的解集是 . 14．已知等比数列{}n a 中，33a = ，10384a =，则该数列的通项n a = .15．由动点P 向圆122=+y x 引两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，=60APB ∠︒，DCB A P 则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S .已知102030,50a a ==.（Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若242=n S ，求n . 18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值. 19．（本小题满分12分） 已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°. （I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面PAB 与面PBC 所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：2221(0)x y a a-=>与直线l ：1x y +=相交于两个不同的点,A B .（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值.2004年普通高等学校招生全国统一考试(四川、吉林、黑龙江、云南等地)文科数学（全国Ⅱ卷） 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则M N =A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点(1,1)-处的切线方程为 A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为 A ．22(1)1x y ++= B ．221x y += C ．22(1)1x y ++= D ．22(1)1x y +-= 5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 7．函数xe y -=的图象A ．与xe y =的图象关于y 轴对称 B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称 C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称 D ．与x ey -=的图象关于坐标原点对称8．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x 9．已知向量a ，b 满足：1||=a ，2||=b ，2||=-b a ，则=+||b aA ．1B ．2C ．5D ．6 10．已知球O 的半径为1，,,A B C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为A ．31B ．33C ．32D ．3611．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知a 为实数，10)(a x +展开式中7x 的系数是－15，则=a .14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心的原点的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该DC 1B 1A 1M CBA四棱柱为直四棱柱.其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a ，259,21a a ==. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n an b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设3=AB ，求AB 边上的高. 19．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为,A B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）,A B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中， ∠ACB =90°，1,AC BC ==11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交点为D ，11B C 的中点为M .（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ； （Ⅱ）求面1B BD 与面BCD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间(1,4)内为减函数，在区间),6(+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围.22．（本小题满分14分）给定抛物线C ：x y 42=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小；（Ⅱ）设AF FB λ=，若λ∈[4,9]，求l 在y 轴上截距的变化范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试 (内蒙古、海南、西藏、陕西、广西等地)数学 (文史类) （全国Ⅲ卷） 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 1.设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合N M 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2．函数sin2xy =的最小正周期是 A ．2πB ． πC ．π2D ．π43．记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =A ．2B ．2-C ．3D ．1-4．等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为A ．81B ．120C ．168D ．192 5．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 A ．023=-+y x B ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x6．61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为 A ．15 B ．15- C ．20 D ．20-7．设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =A ．i 322--B ．i 232--C ．i 32+D ．i 232+8．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =A ．5 B．549．不等式113x <+<的解集为 A ．()0,2 B ．()()2,02,4-C ．()4,0-D ．()()4,20,2--10．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为ABC．3 D11．在△ABC中，3,AB BC ==，4AC =，则边AC 上的高为 A ．223 B ．233 C ．23 D ．3312．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有 A ．12种 B ．24种 C 36种 D ．48种第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 13．函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .14．用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 . 15．函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 .16．设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解方程242120xx +--=. 18．（本小题满分12分） 已知α为锐角，且21tan =α，求 ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.C B A P 19．（本上题满分12分）设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，nS 是数列}{n a 的前n 项和，且2129S S =，424S S =，求数列}{n a 的通项公式.20．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？ 21．（本小题满分12分）三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，3PA PB PC ===. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）设AB BC ==，求侧面PBC 与侧面PAC 所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0(),0,(2>c c F ，且椭圆上存在一点P ，使得直线1PF 与2PF 垂直. （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设L 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与L 相交于点Q ，若3222-=PF QF ，求直线2PF 的方程.2004年普通高等学校招生全国统一考试 (甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地) 文科数学（必修+选修Ⅰ）（全国Ⅳ卷）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2,3,4,5}U =，集合{0,3,5}M =，{1,4,5}N =，则()U MC N =A ．{5}B ．{0,3}C ．{0,2,3,5}D ．{0,1,3,4,5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为 A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为A ．26 B ．6 C ．66 D ．36 4．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 A ．1 B ．2C ．3D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．220 7．已知函数14log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则kA ．41-B ．41C ．21- D ．218．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y x C ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840种 10．函数2sin()cos()36y x x ππ=--+ ()x ∈R 的最小值等于A ．－3B ．－2C ．－1D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有,,A B C 三点.如果AB AC BC ===则球心到平ABC 的距离为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 12．△ABC 中，,,a b c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果,,a b c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么=bA ．231+B ．31+C ．232+ D ．32+第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．8(x 展开式中5x 的系数为 . 14．已知函数)0(sin21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A = .15．向量a ，b 满足4)2()(-=+⋅-b a b a ，且2||=a ，4||=b ，则a 与b 夹角的余弦值等于 .16．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知α为第二象限角，且415sin =α,求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 为等比数列，256,a a ==162.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，证明2211n n n S S S ++⋅≤. 19．（本小题满分12分）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点 （1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥. （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积. 20．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为矩形，8,3AB AD ==侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为 60°.（Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD . 22．（本小题满分14分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点(,0)a 和(0,)b ，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l的距离之和45S c ≥，求双曲线的离心率e的取值范围.。
2004高考试题分类汇编---解析几何(三)
2004年全国高考数学试题汇编——解析几何(三)1．（2004年湖北高考·文史类第2题）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为（ ）A ．23-B ．32-C ．41 D ．42．（2004年湖北高考·文史类第4题）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．（2004年湖北高考·理工类第1题）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x4．（2004年湖北高考·理工类第6题）已知椭圆191622=+yx的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．59 B ．3 C ．779D ．495．（2004年浙江高考·文史类第2题）直线y=2与直线x+y —2=0的夹角是 （ ）(A)4π (B)3π (C)2π(D)43π6．（2004年浙江高考·理工类第2题，文史类第5题）点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ） (A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21-- (D) ()21,23-7．（2004年浙江高考·理工类第4题，文史类第6题）曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是 （ ）(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y8．（2004年浙江高考·理工类第5题）设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 （ ）(A) 1(B) –1 (C) 3 (D) –39．（2004年浙江高考·文史类第11题）椭圆)0(12222〉〉=+b a by ax 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b ，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ） (A)1716 (B)17174 (C)54 (D)55210．（2004年浙江高考·理工类第9题）若椭圆)0(12222〉〉=+b a by ax 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ） (A)1716 （B ）17174 （C ）54 （D ）55211．(2004年福建高考·理工类第4题，文史类第4题)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33 B ．32 C ．22 D ．2312．(2004年福建高考·文史类第12题)13．(2004年福建高考·理工类第12题)如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的 北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算， 从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元14．(2004年福建高考·理工类第13题，文史类第13题)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 15．（2004年广东高考第8题）若双曲线2220)x yk k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）A ． 6B ． 8C ． 1D ． 416．（2004年广东高考第10题）变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )17．（2004年广东高考第12题）如右下图,定圆半径为a 、圆心为 ( b ,c ),则直线ax+by+c=0与直线 x –y+1=0的交点在 ( ) A ． 第四象限 B ． 第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限18．（2004年江苏高考第5题）若双曲线18222=-by x的一条准线与抛物线xy82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ． 4D ．2419．（2004年江苏高考第11题）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6520．（2004年江苏高考第14题）以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. 21．（2004年辽宁高考第6题）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线22．（2004年辽宁高考第9题）x已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是A ．26 B ．23 C ．3 D ．223．（2004年辽宁高考第13题）若经过点P （－1，0）的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上 的截距是 . 24．（2004年湖北高考·理工类第20题，文史类第20题，本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 25．（2004年浙江高考·理工类第21题，满分12分；文史类第22题，满分14分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.26．（2004年浙江高考·理工类第22题，本题满分14分）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a（Ⅰ）求321,,a a a 及n a ;（Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.27．（2004年福建高考·文史类第21题，本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q.（Ⅰ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离.28．（2004年福建高考·理工类第22题，本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST的取值范围.29． (2004年广东高考第20题，12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)30．(2004年广东高考第22题，14分)设直线 与椭圆2212516xy+=相交于A 、B 两点， 又与双曲线x 2–y 2=1相交于C 、D 两点， C 、D 三等分线段AB ． 求直线 的方程.31．（2004年江苏高考第21题）已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.32．（2004年辽宁高考第19题，本小题满分12分）设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最小值与最大值.参考答案1．D 2．B 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B13．B 14． 45 15．C 16．B 17．C 18．A 19．B 20．25)2()1(22=-+-y x 21．D 22．A 23．124．（2004年湖北高考·理工类第20题，文史类第20题）本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k……③把②式及26=c 代入③式化简得.066252=-+k k解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.25． (2004年浙江高考·理工类第21题，满分12分；文史类第22题，满分14分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1, ∵,112=+-k k mk即221111kkkm +=+=-.∵],3,33[∈k∴,21332≤-≤m解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332.∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--(Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-by x 得，32122++=b所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-yx即.1)122(22=--y x26．（2004年浙江高考·理工类第22题，满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y∴321121++++++=n n n n y y y a=221121++++++n n n n y y y y=,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n y y y∴.414n n y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+ ,41n b -=又∵,041431≠-=-=y y b∴{}n b 是公比为41-的等比数列.27．（2004年福建高考·文史类第21题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）把x =2代入221x y =，得y=2， ∴点P 坐标为（2，2）.由 221x y =， ① 得x y ='， ∴过点P 的切线的斜率k 切=2，直线l 的斜率k l =－切k 1=,21-∴直线l 的方程为y －2=－21(x －2)，即 x +2y －6=0.（Ⅱ）设.21),,(20000x y y x P =则∵ 过点P 的切线斜率k 初=x 0，当x 0=0时不合题意，.00≠x ∴ 直线l 的斜率k l =－切k 1=01x -，直线l 的方程为 ).(1210020x x x x y --=-②方法一：联立①②消去y ，得x 2+02x x －x 02－2=0. 设Q ).,(),,(11y x M y x∵M 是PQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+---=-=+=.12121)1(1,122020********x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y=x 2+1212+x(x ≠0)就是所求的轨迹方程.由x ≠0知.121212121,022222+=+⋅≥++=∴>xx xx y x上式等号仅当21,21422±==x xx 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+方法二：设Q ).,(),,(11y x M y x 则由y 0=21x 02，y 1=21x 12，x =,210x x +∴ y 0－y 1=21x 02－21x 12=21(x 0+x 1)(x 0－x 1)=x (x 0－x 1)，∴,101010x k x x y y x l -==--=∴,10xx -=将上式代入②并整理，得 y=x 2+1212+x(x ≠0)就是所求的轨迹方程.由x ≠0知.121212121,022222+=+⋅≥++=∴>xx xx y x上式等号仅当21,21422±==x xx 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+28. （2004年福建高考·理工类第22题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ①得y ＇=x .∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ，∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0.∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ，∴ y 0=21x 12－11x (x 0－x 1).消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二： 由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－1x ，将上式代入②并整理，得 y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l :y=k x +b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b). 分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则 =+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b=2.∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法二： ∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k+.当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b22)(2bb k+=b b k)(22+=bk 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b22)(2bb k+=bb k-+)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0， 于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2.∵当b>0时，bk 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x b y -.则x 1y 2－b x 1=x 2y 1－b x 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2.∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x ≥2.∵||12x x 可取一切不等于1的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.29．(2004年广东高考第20题，12分) 解：如图，y xoABC P以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by ax上，依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴yxac b故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.30．(2004年广东高考第22题，14分)解：首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况，设直线l 的方程为 y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x Ayxol ABC D依题意有CD AB DB AC 3,==，由)2...(0)1(2)1(1251650)1...(0)40025(2)2516(116252222222122222=+---⎩⎨⎧=-+=+-=+∴=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=++=b bkx x k y x b kx y kbk x x b bkx x k yx b kx y 得由得若1±=k ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1±≠k 24312kbk x x -=+∴由43214213x x x x x x x x DB AC +=+⇒-=-⇒=13161616410),(331)2(,1645)1(,0)(0001225165022341224,322,122±=⇒+=--=-⇒=+±=-±====⇒=⇒-=+-⇒b b bx x x x CD AB b x b x k i b k bk kbk kbk 即由得由得由时当或故l 的方程为1316±=y(ii)当b=0时，由(1)得24,322,111)2(,251620kx kx -±=+±=得由由251616251640)(33223412±=⇒-=+-=-⇒=k kkx x x x CD AB 即由故l 的方程为x y 2516±=再讨论l 与x 轴垂直的情况.设直线l 的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 2412412524124125162558||3||||3||1,255422341224,322,1±=±=⇒-=--=-⇒=-±=-±=x l c c cy y y y CD AB c y c y 的方程为故即由 综上所述，故l 的方程为1316±=y 、x y 2516±=和24124125±=x31．（2004年江苏高考第21题）本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by ax由已知，得 ,21,==ac m c 所以m b m a 3,2==.故所求的椭圆方程是1342222=+mymx（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mmk m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点km km y m m x QF MQ Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当.于是.0,134422222==+k mm k mm 解得 故直线l 的斜率是0，62±.32．（2004年辽宁高考第19题）本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. （1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x 于是 ).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=…………6分设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方 程为.0422=-+y y x ………………8分解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x① ②当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧ 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x………………8分（2）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP ……10分故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||NP 取得最大值，最大值为.621……………………12分。
高考题(2004-2012年全国卷解三角形)
高考题全国卷解三角形1．（2005年全国卷Ⅱ理7）锐角三角形的内角A 、B 满足B AA tan 2sin 1tan =-， 则有（ ）A ．0cos 2sin =-B A ； B ．0cos 2sin =+B A ；C ．0sin 2sin =-B A ；D ．0sin 2sin =+B A2．（2005年全国卷Ⅰ文理11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，下列四个 论断中正确的是（ ）① 1cot tan =⋅B A ② B A sin sin 0+<≤2 ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+A ．①③ ；B ． ②④ ；C ． ①④ ；D ． ②③3．（2004年全国卷Ⅲ文理10）在ABC ∆中，3=AB ，13=BC ，4=AC ，则边AC 上的高为（ ）A ．223 ；B ．323 ；C ．23 ； D ．334．（2004年全国卷Ⅳ文10）函数)6cos()3sin(2x x y +--=ππ（R x ∈）的最小值等于（ ）A ．3- ；B ．2- ；C ．1- ；D ．5-5．（2004年全国卷Ⅳ理11）ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．如果a 、b 、c 成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，那们b 等于（ ）A ．231+ ； B ．31+ ； C ．232+ ； D ．32+6．（2010年课标卷文16）在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，BD BC 3=，2=AD ， 135=∠ADB ，若AB AC 2=，则=BD6．（2011年课标卷理16）在ABC ∆中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 7．（2011年课标卷文15）ABC ∆中， 120=B ，7=AC ，5=AB ，则ABC ∆的面积为8．（2012年课标卷理17）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b ，c ． 9．（2012年课标卷文17）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，A c C a c cos sin 3-=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b ，c ． 9．（2012年大纲卷文17）ABC ∆中，内角A ，B ，C 成等差数列，其对边满足ac b 322=，求A ．10．（2012年大纲卷理17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos )cos(=+-B C A ，c a 2=，求C ． 10．（2011年大纲卷理17）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知 90=-C A ，b c a 2=+，求C ．11．（2011年大纲卷文18）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知B bC a C c A a sin sin 2sin sin =-+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若 75=A ，2=b ，求a 、c ．12．（2010年大纲卷Ⅰ文18理17）已知ABC ∆的内角A 、B 及其对边a 、b 满足B b A a b a cot cot +=+，求内角C ．13．（2010年大纲卷Ⅱ文理17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，135sin =B ，53cos =∠ADC ，求AD ．17．（2008年课标卷文17）如图，ACD ∆是等边三角形，ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，BD 交AC 于E ，2=AB ． （Ⅰ）求CBE ∠的值； （Ⅱ）求AE ． 14．（2009年全国卷Ⅰ理17文18）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =，求b ． 15．（2009年全国卷Ⅱ理17文18）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ，ac b =2，求B ．16．（2008年全国卷Ⅰ文17）ABC DE设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos =B a ，4sin =A b ．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积10=S ，求ABC ∆的周长l ． 17．（2008年全国卷Ⅰ理17）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且c A b B a 53cos cos =-．（Ⅰ）求B A cot tan 的值； （Ⅱ）若)tan(B A -的最大值．18．（2008年全国卷Ⅱ文17）在ABC ∆中，135cos -=A ，53cos =B ． （Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）设5=BC ，求ABC ∆的面积．19．（2008年全国卷Ⅱ理17）在ABC ∆中，135cos -=B ，54cos =C ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）设ABC ∆的面积233=∆ABC S ，求BC 的长．20．（2007年全国卷Ⅰ文理17）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A b a sin 2=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）（理）求C A sin cos +的取值范围． （文）若33=a ， 5=c ，求b ．21．（2007年全国卷Ⅱ理17文18）在AB C ∆中，已知内角3π=A ，边32=BC ．设内角x B =，周长为y ．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值．22．（2006年全国卷Ⅰ理17文18）ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos CB A ++取得最大值，并求出这个最大值．23．（2006年全国卷Ⅱ文17）已知ABC ∆中， 45=∠B ，10=AC ，552cos =C ． （Ⅰ）求BC 边的长；（Ⅱ）记AB 的的中点为D ，求中线CD 的长． 24．（2005年全国卷Ⅲ理19）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且43cos =B ．（1）求C A cot cot +的值；（2）设23=⋅，求c a +的值．25．（2004年全国卷Ⅱ理17）已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ，51)sin(=-B A（Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设3=AB ，求AB 边上的高．。
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2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)1．(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x=（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2. （2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则= A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-3. （2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若k 2-与垂直，则实数k 等于 。
4．(2004年上海高考·文史第6题)已知点A(-1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 . 5．(2004年上海高考·理工第6题)已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 6．(2004年重庆高考数学·理工第6题，文史第6题)若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．127．（2004年湖南高考数学·理工第13题）已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 . 8．（2004年湖南高考数学·文史第8题）已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，09．(2004年上海高考·理工第1题，文史第1题)若tan α=21,则tan (α+4π)= . 10．(2004年重庆高考数学·理工第5题，文史第5题)sin163sin 223sin 253sin313+= （ ）A ．12-B ．12C ．D 11．(2004年上海高考·理工第14题，文史第14题)三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（ ）A ．{x │x =2kπ+3π,k ∈Z}.B ．{x │x =2kπ+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2kπ±3π,k ∈Z}.D ．{x │x =kπ+(－1)K ,k ∈Z}.12. （2004年天津高考数学·理工第9题，文史第10题）函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ13．(2004年上海高考·理工第5题，文史第5题)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .14. （2004年天津高考数学·理工第12题，文史第12题）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21-B.21C. 23-D.23 15．(2004年广东高考数学第5题)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数16．(2004年广东高考数学第9题)当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1417．(2004年广东高考数学第11题)若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1)B ． f （0）>f(1)>f(-1)C ． 1f （）>f(0)>f(-1) D ． f （0）>f(-1)>f(1)18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。
19．（2004年重庆高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
20．（2004年湖南高考数学·理工第17题，本小题满分12分）已知1cot tan sin 2),2,4(,41)24sin()24sin(2--+∈=-⋅+αααππααπαπ求的值.21．（2004年湖南高考数学·文史第17题，本小题满分12分）.cos cos sin 21,2)4tan(2的值求已知ααααπ+=+22． (2004年广东高考数学第17题，满分12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.参考答案1．C 2．A 3．1- 4．(5,4) 5．(5,4) 6．C 7．4 8．D 9．3 10．B 11．C 12．C 13．(－2,0)∪(2,5) 14．D 15．B 16．A 17．D18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan 1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα 解得31tan -=α（2）解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα解法二：由（1），31t a n-=α，得ααcos 31sin -= ∴αα22cos 91sin = αα22c o s 91c o s 1=-∴109cos 2=α于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα19．（2004年重庆高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题12分）解：x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=)62s i n (22c o s 2s i n 32s i n 3)c o s )(s i n c o s (s i n 2222π-=-=+-+=x xx xx x x x故该函数的最小正周期是π；最小值是－2； 单增区间是[π31,0]，],65[ππ20．（2004年湖南高考数学·理工第17题，本小题满分12分）解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 .214c o s=α 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2s i n 2c o s 22c o s c o s s i n c o s s i n 2c o s 1c o t t a n s i n 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα21．（2004年湖南高考数学·文史第17题，本小题满分12分）解：由.31tan ,2tan 1tan 1)4tan(==-+=+ααααπ得于是.3213121)31(1tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 21222222=+⨯+=++=++=+ααααααααααα22． (2004年广东高考数学第17题，满分12分)解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α ∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当注：（1） 平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004年全国高考数学试题汇编——解析几何”中；2004年全国高考数学试卷共计27套——全国卷8套（四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理2套，山东、山西、河南、河北、江西、安徽等地区文理2套，陕西、广西、海南、西藏、内蒙古等地区文理2套，甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理2套）；单独命题的11个省市的高考数学试卷共计19套（北京文理2套，天津文理2套，上海文理2套，重庆文理2套，湖南文理2套，湖北文理2套，浙江文理2套，福建文理2套，江苏1套，广东1套，04年全国各地高考数学卷向量题型集锦（全国卷、四川卷9）已知平面上直线l 的方向向量e =(-53,54)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l 上的射影分别为'O 和'A ，则=''A O λe ，其中λ=（ ）A511B -511 C 2 D -2（上海理科6）已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 （天津理科3）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o180，且53||=，则=(A) )6,3(- (B) )6,3(- (C) )3,6(- (D) )3,6(-（广东理科1）已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥ ，则x =(A)3-(B)1-(C)1(D)3（江苏理科16）平面向量,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________ (湖南理科13)已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b ,则b a -2的最大值是（浙江卷14）已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC=4, |CA |=5，则AB BC BC CA CA AB ∙+∙+∙的值等于________.（福建卷8）已知a 、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a ，(b-2a) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（A ）6π （B ）3π （C ）32π （D ）65π （湖北卷19）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a,若长为2 a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP ·CQ 的值最大？并求出这个最大值。