2019年数学中考专题复习训练：专题八 图形折叠问题

专题八 图形折叠问题类型一 折叠三角形(2018·浙江台州中考)如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E.将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E 分别交AC 于点F ，G ，连结OF ，OG ，则下列判断错误的是( )A ．△ADF≌△CGEB ．△B′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB′F 的面积是一个定值【分析】A ．根据等边三角形ABC 的外心的性质可知AO 平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得FO 平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，再根据三角形全等的性质可得△ADF≌△CGE；B ．根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF ＝GF ＝GE ，所以△ADF≌△B′GF≌△CGE，可得结论；C ．根据S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE 判断即可；D ．将S 四边形OGB′F ＝S △OAC －S △OFG ，根据S △OFG ＝12·FG·OH，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F 的面积也变化，可作判断． 【自主解答】三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段．类型二折叠平行四边形(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．【分析】要计算周长首先需要证明E，C，D共线，DE可求，问题得解．【自主解答】关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件．1．(2018·甘肃兰州中考)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E 处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )A．102° B．112° C．122° D．92°类型三折叠菱形(2018·山东烟台中考)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M ＝1，则CN的长为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【分析】连结AC ，BD ，利用菱形的性质得OC ＝12AC ＝3，OD ＝12BD ＝4，∠COD＝90°，再利用勾股定理计算出CD ＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到DN ＝BM ，然后根据折叠的性质得BM ＝B′M＝1，从而有DN ＝1，于是计算CD －DN 即可． 【自主解答】折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析．2．(2018·贵州遵义中考)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处(不与B ，D 重合)，折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则BE 的长为__________．3．如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝ 43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF⊥AD 时， BNCN 的值为____．类型四 折叠矩形(2018·浙江杭州中考)折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上．若AB ＝AD ＋2，EH ＝1，则AD ＝________．【分析】设AD ＝x ，则AB ＝x ＋2，利用折叠的性质得DF ＝AD ，EA ＝EF ，∠DFE ＝∠A＝90°，则可判断四边形AEFD 为正方形，所以AE ＝AD ＝x ，再根据折叠的性质得DH＝DC＝x＋2，则AH＝AE－HE＝x－1，然后根据勾股定理得到x2＋(x－1)2＝(x＋2)2，再解方程求出x即可．【自主解答】此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键．4．(2018·湖北宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，CB＝2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E 为线段AB 中点时，AF ＝95；③当A ，F ，C 三点共线时，AE ＝13－2133；④当A ，F ，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.类型五 折叠正方形(2018·江苏宿迁中考)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边AB ，CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ，D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE ＝x.(1)当AM ＝13时，求x 的值；(2)随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；(3)设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．【分析】(1)利用勾股定理构建方程，即可解决问题；(2)设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，MD ＝1－y ，在Rt △AEM 中，由勾股定理得出x ，y 的关系式，可证Rt △AEM∽Rt △DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP 的周长；(3)作FH⊥AB于H.则四边形BCFH是矩形．连结BM交EF于O，交FH于K.根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可．【自主解答】正方形的折叠同其他图形一样，要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识，但由于正方形的特点，所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性，解题时应关注正方形本身具有的特点．5．综合与实践问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图1)：操作1：将正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B′E的位置，得到折痕MN，B′E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点，即AP∶PB＝2∶1.解决问题(1)在图1中，若EF与MN交于点Q，连结CQ.求证：四边形EQCM是菱形；(2)请在图1中证明AP∶PB＝2∶1.发现感悟若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：(3)如图2.若DE AE ＝2.则APBP ＝________；(4)如图3，若DE AE ＝3，则APBP＝________；(5)根据问题(2)，(3)，(4)给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．类型六 折叠圆(2018·湖北武汉中考)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ︵上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D.若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是( )A ．2 3B ．3 2 C.532 D.652【分析】连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE⊥AB 于E ，OF⊥CE 于F ，利用垂径定理、勾股定理、折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及正方形的性质即可求解． 【自主解答】6．如图，将半径为 4 cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为( )A ．2 3 cmB ．4 3 cm C. 3 cm D. 2 cm参考答案类型一【例1】 A ．如图，连接OA ，OC. ∵点O 是等边三角形ABC 的外心， ∴AO 平分∠BAC，∴点O 到AB ，AC 的距离相等． 由折叠得DO 平分∠BDB′， ∴点O 到AB ，DB′的距离相等， ∴点O 到DB′，AC 的距离相等，∴FO 平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG ＝12(∠FAD＋∠ADF)．由折叠得∠BDE＝∠ODF＝12(∠DAF＋∠AFD)，∴∠OFD＋∠ODF＝12(∠FAD＋∠ADF＋∠DAF＋∠AFD)＝120°，∴∠DOF＝60°. 同理可得∠EOG＝60°， ∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG， ∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG ，OE ＝OF ，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB， ∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG ，AF ＝CE ，∴△ADF≌△CGE，故选项A 正确； B ．∵△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴DF＝GF ＝GE ，∴△ADF≌△B′GF≌△CGE，∴B′G＝AD ，∴△B′FG 的周长＝FG ＋B′F＋B′G＝FG ＋AF ＋CG ＝AC(定值)，故选项B 正确； C ．S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE ＝S △OCF ＋S △OAF ＝S △AOC ＝13(定值)，故选项C 正确；D ．S 四边形OGB′F ＝S △OFG ＋S △B′GF ＝S △OFD ＋S △ADF ＝S 四边形OFAD ＝S △OAD ＋S △OAF ＝S △OCG ＋S △OAF ＝S △OAC －S △OFG . 如图，过O 作OH⊥AC 于H ， ∴S △OFG ＝12·FG·OH，由于OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F 的面积也变化，故选项D 不一定正确．故选D.类型二【例2】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，CD ＝AB ＝2. 由折叠知∠DAC＝∠EAC.∵∠DA C ＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EAC， ∴OA＝OC.∵AE 过BC 的中点O ， ∴AO＝12BC ，∴∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝90°. 由折叠知∠ACE＝90°， ∴E，C ，D 共线，则DE ＝4， ∴△ADE 的周长为3＋3＋4＝10. 故答案为10. 变式训练 1．B 类型三【例3】 如图，连结AC ，BD. ∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点， ∴CD＝32＋42＝5.∵AB∥CD，∴∠MBO＝∠NDO. 在△OBM 和△ODN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MBO＝∠NDO，OB ＝OD ，∠BOM＝∠DON，∴△OBM≌△ODN，∴DN＝BM.∵过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕， ∴BM＝B′M＝1，∴DN＝1，∴CN＝CD －DN ＝5－1＝4.故选D.变式训练 2．2.8 3.27类型四【例4】 设AD ＝x ，则AB ＝x ＋2.∵把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处， ∴DF＝AD ，EA ＝EF ，∠DFE＝∠A＝90°， ∴四边形AEFD 为正方形， ∴AE＝AD ＝x.∵把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上， ∴DH＝DC ＝x ＋2. ∵HE＝1，∴AH＝AE －HE ＝x －1.在Rt△ADH 中，∵AD 2＋AH 2＝DH 2， ∴x 2＋(x －1)2＝(x ＋2)2，整理得x 2－6x －3＝0，解得x 1＝3＋23，x 2＝3－23(舍去)， 即AD 的长为3＋2 3. 故答案为3＋2 3. 变式训练 4．①②③ 类型五【例5】 (1)在Rt△AEM 中，AE ＝1－x ，EM ＝BE ＝x ，AM ＝13.∵AE 2＋AM 2＝EM 2，∴(1－x)2＋(13)2＝x 2，∴x＝59.(2)△PDM 的周长不变为定值2.理由如下： 设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，AE ＝1－x. 在Rt△AEM 中，由勾股定理得AE 2＋AM 2＝EM 2， (1－x)2＋y 2＝x 2，解得1＋y 2＝2x ， ∴1－y 2＝2(1－x)． ∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D， ∴Rt△AEM∽Rt△DMP， ∴AE ＋EM ＋AM DM ＋MP ＋DP ＝AEDM ， 即1－x ＋x ＋y DM ＋MP ＋DP ＝1－x 1－y ， 解得DM ＋MP ＋DP ＝1－y 21－x ＝2，∴△DMP 的周长为2.(3)如图，作FH⊥AB 于H.则四边形BCFH 是矩形．连结BM 交EF 于O ，交FH 于K.在Rt△AEM 中，AM ＝x 2－（1－x ）2＝2x －1. ∵B，M 关于EF 对称，∴BM⊥EF，∴∠KOF＝∠KHB.∵∠OKF＝∠BKH，∴∠KFO＝∠KBH. ∵AB＝BC ＝FH ，∠A＝∠FHE＝90°， ∴△ABM≌△HFE， ∴EH＝AM ＝2x －1， ∴CF＝BH ＝x －2x －1， ∴S＝12(BE ＋CF)·BC＝12(x ＋x －2x －1) ＝12[(2x －1)2－2x －1＋1] ＝12(2x －1－12)2＋38. 当2x －1＝12时，S 有最小值为38.变式训练5．解：(1)由折叠可得CM ＝EM ，∠CMQ＝∠EMQ，四边形CDEF 是矩形， ∴CD∥EF，∴∠CMQ＝∠EQM ， ∴∠EQM＝∠EMQ，∴ME＝EQ ＝MC ，又∵MC∥QE，∴四边形EQCM 是平行四边形． 又∵CM＝EM ，∴四边形EQCM 是菱形．(2)如图1，设正方形ABCD 的边长为1，CM ＝x ，则EM ＝x ，DM ＝1－x.图1在Rt△DEM 中，由勾股定理可得EM 2＝ED 2＋DM 2，即x 2＝(12)2＋(1－x)2，解得x ＝58，∴CM＝58，DM ＝38.∵∠PEM＝∠D＝90°，∴∠AEP＋∠DEM＝90°，∠DEM＋∠EMD＝90°， ∴∠AEP＝∠DME.又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AEP∽△DME， ∴AP AE ＝DE DM ，即AP 12＝1238，解得AP ＝23， ∴PB＝13，∴AP∶PB＝2∶1.(3)4 (4)6(5)根据问题(2)，(3)，(4)，可得当DE AE ＝n(n 为正整数)时，则APBP ＝2n.理由：设正方形ABCD 的边长为1，CM ＝x ，则EM ＝x ，DM ＝1－x. 在Rt△DEM 中，由勾股定理可得EM 2＝ED 2＋DM 2， 即x 2＝(n n ＋1)2＋(1－x)2，解得x ＝（n ＋1）2＋n 22（n ＋1）2，∴DM＝1－CM ＝2n ＋12（n ＋1）2， 由△AEP∽△DME 可得AP AE ＝DE DM，即AP 1n ＋1＝n n ＋12n ＋12（n ＋1）2，解得AP ＝2n2n ＋1，∴PB＝12n ＋1，∴APBP ＝2n.类型六【例6】 如图，连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE⊥AB 于E ，OF⊥CE 于F.∵D 为AB 的中点，∴OD⊥AB， ∴AD＝BD ＝12AB ＝2.在Rt△OBD 中，OD ＝（5）2－22＝1. ∵将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ， ∴AC ︵和CD ︵所在的圆为等圆， ∴AC ︵＝CD ︵，∴AC＝DC ，∴AE＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，∴OF＝EF ＝1. 在Rt△OCF 中，CF ＝（5）2－12＝2，∴CE＝CF ＋EF ＝2＋1＝3，而BE ＝BD ＋DE ＝2＋1＝3，∴BC＝3 2.故选B. 变式训练 6．B。