图形的相似专题复习卷(基础版)

合集下载

【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习图形的相似

图形的相似一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣54．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．67．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．14．已知, 则＝．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．2023年中考数学专题复习--图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用位似图形的性质, 进而得出＝, 求出答案即可．【解答】解：∵以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD,∴△BOA∽△DOC,∴＝,∵OA＝2, AC＝3,∴＝．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换, 正确得出相似三角形是解题关键．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．【解答】解：∵ab＝cd,∴＝,故选：C．【点评】本题考查比例线段, 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题, 属于中考基础题．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣5【分析】根据已知条件得出a＝5b, 再代入要求的式子进行计算, 即可得出答案．【解答】解：∵＝,∴3a﹣3b＝2a+2b,∴a＝5b,∴＝＝5．故选：C．【点评】此题考查了比例的性质, 熟练掌握两内项之积等于两外项之积．4．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）【分析】根据位似变换的性质计算, 即可解答．【解答】解：以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的得到△CDO, 点A的坐标为（﹣4, 2）,则点A的对应点C的坐标为（﹣4×, 2×）或（4×, ﹣2×）, 即（﹣2, 1）或（2, ﹣1）,故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质, 解题关键是在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式, 把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥FC, AB＝4, AC＝9,∴＝＝＝,故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．6【分析】过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N, 根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C, 再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC, 从而得出△ABD∽△DCE, 根据相似三角形的性质求出EN, 即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N,∵AB＝AC＝6,∴∠B＝∠C,∵∠ADE＝∠B, ∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE,∴∠BAD＝∠CDE,∴△ABD∽△DCE．∴,∵△ABD的面积等于9,∴AB•DM＝×6×DM＝9,∴DM＝3,∴,∴EN＝2．∴△CDE的面积为CD•EN＝×4×2＝4,故选：A．【点评】本题考查等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB, 然后把AB＝2代入计算即可．【解答】解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC）, 且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC）, 叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB, 并且线段AB的黄金分割点有两个．8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立；B、由＝得, 3x＝2y, 故本选项比例式成立；C、由＝得, 2x＝3y, 故本选项比例式不成立；D、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质, 主要利用了两内项之积等于两外项之积, 熟记性质是解题的关键．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．【分析】根据成比例线段的概念, 可得a：b＝c：d, 再根据比例的基本性质, 即可求得d 的值．【解答】解：∵a：b＝c：d,∴ad＝bc,∵a＝2, b＝, c＝2,∴2d＝×2,∴d＝．故选：D．【点评】此题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式, 再根据比例的基本性质进行求解．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方, 解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC, 相似比为2：3,∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质, 相似三角形面积的比等于相似比的平方．二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝﹣．【分析】根据已知条件得出＝, 再把化成1﹣, 然后进行计算即可．【解答】解：∵＝,∴＝,∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单, 解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是①③④（把正确结论的序号都填上）．【分析】根据E是CD边的中点, 得到CE：AB＝1：2, 根据矩形的性质得到CE∥AB, 推出△CEF∽△ABF, 求得＝（）2＝, 故选①选项正确；根据相似三角形的性质得到＝, 设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a, 于是得到＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M, 根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形, 求得BM＝DE＝DC, 得到DM垂直平分AF, 根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DF, 故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到AD2＝BE•BF．故④正确．【解答】解：∵E是CD边的中点,∴CE：AB＝1：2,∵四边形ABCD是矩形,∴CE∥AB,∴△CEF∽△ABF,∴＝（）2＝, 故选①选项正确；∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∠ADC＝∠BCD＝90°,∴∠CAD＝∠BCF,∵BE⊥AC,∴∠CFB＝90°,∴∠ADC＝∠CFB,∴△ADC∽△CFB,∴＝,设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a,∴＝,即b＝a,∴＝,∴＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M,∵DE∥BM, BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM＝DE＝DC,∴BM＝AM,∴AN＝NF,∵BE⊥AC于点F, DM∥BE,∴DN⊥AF,∴DM垂直平分AF,∴AD＝DF, 故③选项正确；∵∠BCE＝90°, BE⊥AC,∴BC2＝BF•BE,∵AD＝BC,∴AD2＝BE•BF．故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质, 矩形的性质, 射影定理, 正确地作出辅助线是解题的关键．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：∵2x＝3y,∴．故答案为：．【点评】本题主要考查比例的性质, 熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．14．已知, 则＝．【分析】根据比例的性质, 由, 得5x＝2（x+y）, 即3x＝2y, 即可求出答案．【解答】解：∵,∴5x＝2（x+y）,∴3x＝2y,∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质, 熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝, 然后利用比例性质得到BD的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF,∴＝, 即＝,解得BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AE于点F, 点F即为所求；（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解．【解答】解：（1）如图, 点F即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝AB＝3,∵△ABE∽△DF A,∴＝,∴＝,∴DF＝．【点评】本题考查作图﹣相似变换, 正方形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 属于中考常考题型．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质, 可以得到BA∥CD, 然后即可得到∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF, 从而可以得到结论成立；（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据, 平行四边形的性质, 可以计算出AB的长；②根据相似三角形面积比等于相似比的平方, 可以计算出△EBC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BA∥CD,∴∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF,∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF,∴,∵AF：DF＝1：2, AE＝,∴,∴DC＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC,∴AB＝2；②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴△EAF∽△EBC,∴＝（）2,∵S△AEF＝, AB＝2, AE＝,∴EB＝EA+AB＝3,∴＝＝,∴,解得S△EBC＝6,即△EBC的面积是6．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．【分析】（1）利用同角的余角相等, 先说明∠BAF＝∠EFC, 再利用相似三角形的判定得结论；（2）先利用勾股定理求出BF, 再利用相似三角形的性质得方程, 求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴∠D＝∠AFE＝90°．∵∠BAF+∠AFB＝180°, ∠AFB+∠EFC＝90°,∴∠BAF＝∠EFC．又∵∠B＝∠C,∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD＝3．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴AD＝AF＝6, DE＝EF．在Rt△ABF中,BF＝＝3．设CE的长为x, 则DE＝EF＝3﹣x．∵△ABF∽△FCE,∴＝．∴CE•AF＝BF•EF,即x×6＝3×（3﹣x）．∴x＝, 即EC＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质, 掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°, 再证明△CDE∽△CAB, 得＝, 则CE＝＝；（2）由DE垂直平分BC, 得BE＝CE, 则∠DEF＝∠DEC, 由△CDE∽△CAB, 得∠DEC ＝∠ABC, 由AD＝BD＝BC, 得∠ABC＝∠BAF, 则∠BAF＝∠DEF, 而∠AFB＝∠EFD, 即可证明△AFB∽△EFD；（3）作DI⊥AC于点I, 先由△DIC∽△BAC, 求得ID：IC：DC＝3：4：5, 再分四种情况分别求出DC的长, 并且求出相应的ID和AI的长, 即可由tan∠CAD＝, 求出∠CAD的正切值, 一是△ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6, 作AH⊥BC于点H, 由×10AH＝×6×8＝S△ABC, 求得AH＝, 再由勾股定理求得GH＝BH＝, 则CD＝；二是△ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6, 则CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG 是等腰三角形, 且BG＝AG, 则CG＝AG＝BG＝BC＝5, 所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, DC＝×（10+6）＝8．【解答】（1）解：∵AB＝6, AC＝8, BC＝10,∴AB2+AC2＝BC2＝100,∴△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°,由翻折得DG＝DC,∵DE⊥BC,∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°,∴点G在射线CB上,如图2, 点G和点B重合, 则DB＝DC＝BC＝5,∵∠CDE＝∠CAB＝90°, ∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAB,∴＝,∴CE＝＝＝,∴CE的长是．（2）证明：如图2,∵DE垂直平分BC,∴BE＝CE,∴∠DEF＝∠DEC,∵△CDE∽△CAB,∴∠DEC＝∠ABC,∴AD＝BD＝BC,∴∠ABC＝∠BAF,∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF,∵∠AFB＝∠EFD,∴△AFB∽△EFD．（3）解：存在,作DI⊥AC于点I, 则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°, ∵∠C＝∠C,∴△DIC∽△BAC,∴＝＝,∴＝＝＝, ＝＝＝,∴ID：IC：DC＝3：4：5,如图3, △ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6,作AH⊥BC于点H, 则∠AHB＝90°,∵×10AH＝×6×8＝S△ABC,∴AH＝,∴GH＝BH＝＝,∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝,∴ID＝DC＝×＝, IC＝DC＝×＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图4, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6,∴CD＝×（10﹣6）＝2,∴ID＝×2＝, IC＝×2＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图5, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AG, 则∠GAB＝∠B, ∵∠GAC+∠GAB＝90°, ∠C+∠B＝90°,∴∠GAC＝∠C,∴CG＝AG＝BG＝BC＝5,∴CD＝CG＝,∴ID＝×＝, IC＝×＝2,∴AI＝8﹣2＝6,∴tan∠CAD＝＝＝；如图6, △ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, ∴DC＝×（10+6）＝8,∴ID＝×8＝, IC＝×8＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝3,综上所述, ∠CAD的正切值为或或或3．【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法, 此题综合性强, 难度较大, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．【分析】（1）根据定义画出图形即可；（2）当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大, 判定出△M'BN'是等边三角形, 在Rt △CM'Q'中求出BM'的长, 再求菱形的面积即可；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO, 先求出OF＝OC, OG＝BO, 连接OM, 通过证明△MOF≌△MOC（SAS）, 得∠FOM＝∠COM, △AGO≌△ABO（SAS）, 得∠FOA＝∠BOA, 证明出A、M、O三点共线, 即GF、BC、AM的延长线交于一点O, 再由平行线的性质得到＝＝, 即可证明△ABG与△MCF位似．【解答】解：（1）如图：（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内,∴当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大,∵四边形PQMN是菱形, 四边形P'Q'M'N'是菱形,∴Q'M'∥AB, M'N'∥PQ,∵∠APQ＝120°,∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°,∵∠CAB＝30°, ∠ACB＝90°,∴∠B＝60°,∴△BM'N'是等边三角形,∴M'B＝M'N'＝Q'M',∵AB＝6cm,∴BC＝3cm,∴CM'＝3﹣BM',在Rt△CM'Q'中, ∠CQ'M'＝30°,∴Q'M'＝2CM',∴BM'＝2（3﹣BM'）,解得BM'＝2,在△BM'N'中, 过点M'作M'E⊥BN'交于点E, ∵BM'＝2, ∠B＝60°,∴M'E＝,∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO,∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, ∴AG＝AB, ∠AGF＝∠ABC,∴∠OGB＝∠OBG,∴OG＝BO,∵GF＝BC,∴OF＝OC,∴＝,连接OM,∵∠GFE＝∠BCD,∴∠MFO＝∠MCO,∵∠OFC＝∠FCO,∴∠MCF＝∠FCM,∴CM＝FM,∴△MOF≌△MOC（SAS）,∴∠FOM＝∠COM,∵AG＝AB, ∠AGO＝∠ABO, GO＝BO,∴△AGO≌△ABO（SAS）,∴∠FOA＝∠BOA,∴MO与AO重合,∴A、M、O三点共线,∴GF、BC、AM的延长线交于一点O,∴MF∥AG,∴＝,∵CM∥AB,∴＝,∴＝＝,∴△ABG与△MCF位似．【点评】本题考查相似的综合应用, 掌握位似图形的定义, 平行线的定义, 菱形的性质, 直角三角形的性质, 等边三角形的性质是解题的关键．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式, 把已知数据代入比例式计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3,∴,即,∴BC＝14,∴AC＝AB+BC＝7+14＝21．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．。

初中数学中考模拟数学图形的相似基础及能力提升考试卷及答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:相似图形的有关概念相似图形①相同的图形称为相似图形.相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别②，边③，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似比相似多边形对应④的比叫做相似比.相似三角形两个三角形的三个角分别⑤，三条边⑥，则这两个三角形相似.当相似比等于1时，这两个三角形⑦ .试题2:平行线分线段成比例基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑧ .推论⑨.试题3:相似三角形的判定判定1 ⑩于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 判定2 三边⑪的两个三角形相似.判定3 两边⑫且夹角⑬的两个三角形相似.判定4 两角分别⑭的两个三角形相似.判定5 满足斜边和一条直角边⑮的两个直角三角形相似.评卷人得分试题4:相似三角形的性质性质1相似三角形的对应角⑯，对应边 .性质2相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于 . 性质3相似三角形面积的比等于相似比的.试题5:位似定义如果两个图形不仅是图形，而且对应顶点的连线相交于，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似，这时的相似比又称为比.性质 1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比).2.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于.试题6:如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.试题7:如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是( )试题8:如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.=D.=试题9:如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条试题10:如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为 .试题11:如图，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为( ) A.a B. a C. a D. a试题12:如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.4试题13:如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为( )A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶试题14:如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为( )A. B. C.2 D.3试题15:如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于 .试题16:某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示.其中BA=CD，BC=20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD 的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)试题17:如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A 离地面的高度AC为( )A.25 cmB.50 cmC.75 cmD.100 cm试题18:如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中的图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为 cm.试题19:如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( )A.(-2，3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2，3)D.(-2，3)或(2，-3)试题20:如图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A.点MB.点NC.点OD.点P试题21:如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD∶OD1= .试题22:如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，=，则EC的长是( )A.4.5B.8C.10.5D.14试题23:在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：(1)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；(4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个试题24:如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E 的坐标不可能是( )A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)试题25:如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为( )A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.∶试题26:下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确命题的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②③④试题27:如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m试题28:如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= .试题29:如图，添加一个条件：，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)试题30:如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 .试题31:如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝ BC，若AB＝10，则EF 的长是 .试题32:如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE 与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m.试题33:如图，在△ABC中，DE∥BC，=,△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 .试题34:如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.(1)求证：AB=AF；(2)当AB=3，BC=5时，求的值.试题35:如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明三角形△ABC为直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似.试题36:如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB=2，AC=，求AE的长.试题37:如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是( )A. B. C. D.试题38:如图，等腰直角三角形ABC顶点A、C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB、BC 交于点D、E.连接DE.当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 .试题39:如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC？试题1答案:①形状②相等③成比例④边⑤相等⑥成比例⑦全等试题2答案:⑧成比例⑨平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例试题3答案:⑩平行⑪成比例⑫成比例⑬相等⑭相等⑮成比例试题4答案:⑯相等成比例相似比平方试题5答案:相似一点中心位似k或-k试题6答案:在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.试题7答案:.B试题8答案:C试题9答案:C试题10答案:10试题11答案:CB试题13答案:D试题14答案:B试题15答案:1∶2试题16答案:过点C作CM∥AB，交EF,AD于N,M，作CP⊥AD，交EF,AD于Q,P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN=AM=BC=20 cm.∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).由题意知CP=40 cm，PQ=8 cm，∴CQ=32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴=，即=.解得NF=24.∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).答：横梁EF应为44 cm.D试题18答案: 18试题19答案: D试题20答案: D试题21答案: 1∶2试题22答案: B试题23答案: B试题24答案: B试题25答案: C试题26答案: A试题27答案: B试题28答案:试题30答案:7试题31答案:5试题32答案:5.5试题33答案:18试题34答案:(1)证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC.∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠FBC.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.(2)∵∠AEF=∠CEB，∠AFB=∠FBC，∴△AEF∽△CEB.∴==.∴=.试题35答案:(1)根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，显然有AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形；(2)△ABC和△DEF相似.根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2.∵===，∴△ABC∽△DEF.(3)如图，△P2P4P5.试题36答案:(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°.又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，即∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAD.∵∠ABD=∠BDO=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE.又∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD.(2)在Rt△OAC中，∠OAC=90°，∴OA2+AC2=OC2，即12+(2)2=OC2，∴OC=3，∴CD=2.又由△CDE∽△CAD，得=，即=，∴CE=. ∴AE=AC-CE=2-=.试题37答案:B试题38答案:提示：设E(a,）,D(b,),过D作DF⊥BE于F，则F(a,).由等腰直角三角形的性质得a-b=-=-,所以a=,b=(a、b>0).故E（,）.试题39答案:(1)∵ABCD为矩形，∴AB∥CD，CD=AB=20，AD=BC=10，∠ADC=∠ABC=90°.∴∠APQ=∠CDQ，∠PAQ=∠DCQ，AC==10.∴△APQ∽△CDQ.(2)当t=5时，DP⊥AC.∵∠ADC=90°，∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°.又∵∠DAQ=∠CAD，∴△ADQ∽△ACD.∴=，则AQ===2.∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，∴△AQP∽△ABC.∴=，则=，解得t=5.即当t=5时，DP⊥AC.。

中考总复习：图形的相似--巩固练习(基础)

B①②D④O③中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2011 ft东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x 轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1，那么点B′的坐标是（）．4A．（3，2）B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）2.如图，△ABC中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。

其中正确的有（）．A.0 个B.1 个C. 2 个D. 3 个3.如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )．A.①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似AC4.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．45．（2015•锦州）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 和D 的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）6.如图，在平行四边形 ABCD 中（AB≠BC），直线 EF 经过其对角线的交点 O，且分别交 AD、BC 于点M、N，交BA、DC 的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△ CNO，其中正确的是（）．A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题7.如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．第7 题第9 题8.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长，面积．9.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于．10.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是．11.（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1 与l2 之间距离是1，l2 与l3 之间距离是2，且l1，l2，l3 分别经过点A，B，C，则边AC 的长为．12.如图，不等长的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，且将四边形 ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若AO=BO=1，则甲、乙、丙、丁这4 个三角形中，一定相似的有．OC OD 2三、解答题13.已知线段OA⊥OB，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连 AC、BD 交于P 点．AP（1）如图 1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PC的值；AD（2）如图 2，当OA=OB，AOAPP 3 1= 时，求 tan∠BPC； 4ADD B C O B C O图 2图 1 14.（2016•静安区一模）已知：如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 BC 、AB 上，BD=AD=AC ，AD 与 CE相交于点 F ，AE 2=EF•EC．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD=AB•EF．15. 如图,已知在等腰△ABC 中,∠A =∠B =30°,过点 C 作 CD ⊥AC 交 AB 于点 D .(1) 尺规作图：过 A ，D ，C 三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2) 求证：BC 是过 A ，D ，C 三点的圆的切线；(3) 若过 A ，D ，C 三点的圆的半径为 ,则线段 BC 上是否存在一点 P ，使得以 P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由.CA B16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点 P 在 AD 上滑动时（点 P 与 A ，D 不重合），一直角边经过点 C ，另一直角边交 AB 于点 E ．我们知道，结论“Rt △AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD=30°时，求 AE 的长；（2）是否存在这样的点 P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的 2 倍？若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一．选择题1. 【答案】D ． 2. 【答案】D ． 3. 【答案】B ；【解析】由 OA ：OC=0B ：OD ，利用对顶角相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求． 4．【答案】A ．5. 【答案】C ；【解析】∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A （4，4），B （6，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD ，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选：C ．6. 【答案】B ；【解析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得 AO≠BO，即可求得①错误；②易证△AOE≌△COF，即可求得 EO=FO ；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．二．填空题3 17. 【答案】． 28．【答案】90，270．9. 【答案】１:3; 【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF ：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．24 10. 【答案】4，．7BF CF 【解析】根据折叠得到 BF=B′F，根据相似三角形的性质得到可求出 x 的长，得到 BF 的长=，设 BF=x，则CF=8-x，即AB BC1.【答案】．【解析】如图，过点B 作EF⊥l2，交l1 于E，交l3 于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC= = ．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴== ．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC= == ．在Rt△ABC 中，sin∠BAC==，AC= = = ．故答案为．12.【答案】甲和丙相似．AO BO 1【解析】∵==，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD．OC OD 2故必有甲和丙相似．三.综合题13.【解析】1 1（1）过C 作CE∥OA交BD 于E，则△BCE∽△BOD得CE=2OD=2AD；AP 再由△ECP∽△DAP 得PCAD CE2 ；（2）过C 作CE∥OA交BD 于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，1由△BCE∽△BOD 得 CE=23OD= x，2再由△ECP∽△DAP得PDAD PE C E 52 ；3PD 2由勾股定理可知 BD=5x，DE=2x，则= DE -PDCO 1CP 2P 1O D3 3333 3，可得 PD=AD=x，3则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A==。

第三章《图形的相似》(基础卷)(解析版)

第三章图形的相似（基础卷）一、选择题（每小题4分，共40分）1、若a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a ＝5cm ，b ＝2.5cm ，c ＝10cm ，则线段d 的长为（）A.2cmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】C【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad ＝cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．【解答】已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad ＝cb ，代入a ＝5cm ，b ＝2.5cm ，c ＝10cm ，解得：d ＝5．2、如果x y=35，那么x x y =( )A.35B.38C.25D.58【答案】B【解析】根据已知条件可得yx=53，然后利用合比性质即可求出x y x 的值，进一步可得x x y 的值.【解答】解：∵x y=35，∴ y x=53.∴ x yx=353=83.∴ x xy =38.3、如图，△ABC 中，DE // BC ，AD ＝2，BD ＝3，则AE :AC 的值为（）A.2:3B.1:2C.3:5D.2:5【答案】D【解析】由DE // BC ，根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】∵ DE // BC ，∴ AE :EC ＝AD :BD ＝2:3，∴ AE :AC ＝2:5．4、下列各组图形中，一定相似的是（）A.任意两个圆B.任意两个等腰三角形C.任意两个菱形D.任意两个矩形【答案】A【解析】根据我们把形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．【解答】A、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；B、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；C、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；D、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；5、若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2:5，则周长之比和面积比分别是（）A.2:5，4:5B.2:5，4:25C.4:25，4:25D.4:25，2:5【答案】B【解析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】∵△ABC与△A1B1C1相似，且对应中线之比为2:5，∴其相似比为2:5，∴△ABC与△A1B1C1周长之比为2:5，△ABC与△A1B1C1面积比为4:25，6、点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD)，若AB=2，则BD=( )―1 D.3―【答案】D【解析】根据黄金分割点的定义，根据AP>BP情况，AP=叫做黄金比进行计算，代入数据即可得出PB的长．【解答】解：当AD>BD时，AD=2=―1，BD=2――1)=3―7、已知△ABC与△DEF相似，且它们的相似比为2:3，若S△ABC=40，则△DEF的面积为()A.60B.70C.80D.90【答案】D【解析】直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两三角形面积比，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∼△DEF，且相似比为2:3，∴△ABC与△DEF的面积比为4:9.∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90.8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形，可求出三边的长，即可得出．2A中三角形的边长为：1B3；==C中三角形的边长为：1D中三角形的边长为：29、如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4:9，则OB′:OB为( )A.2:3B.3:2C.4:5D.4:9【答案】A【解析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′ // AB，A′C′ // AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A′B′C′与△ABC的面积的比4:9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2:3，∴OB′OB =23.10、如图，已知△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是( )mmA.48B.80C.20D.46【答案】A【解析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设正方形的边长为xmm，则AE=AD―x=80―x，∵PQMN是正方形，∴PN // QM，∴△APN∼△ABC，∴PNBC =AEAD，即x120=80x80，解得x=48.二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11. 若两个相似三角形的周长比为2:3，则它们的面积比是________．【答案】4:9【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2:3，∴这两个相似三角形的相似比为2:3，∴它们的面积比是4:9．12. 如果ab =23，那么a2bb=________.【答案】83【解析】解：∵ab =23，∴设a=2k，b=3k，∴a2bb=2k6k3k=83.13. 在比例尺1:10000的地图上，量得A，B两地的距离是3cm，则A，B两地的实际距离是________米.【答案】300【解析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设实际距离为xcm，则1:10000=3:x，解得x=30000．30000cm=300m．14. 已知线段AB的长度为2，点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长度为________．―1【解答】∵C为线段AB上的黄金分割点，AC>BC，∴AC==―1，15.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(―1, 0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是________．【答案】―2a―3【解析】设点B′的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．设点B′的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为―1―a，B′、C间的横坐标的长度为x+1．∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2(―1―a)＝x+1，解得：x=―2a―3．16. 如图，在钝角△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C 点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是________.【答案】3秒或245秒【解析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．【解答】解：根据题意得：设当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∼△ABC，则AD:AB=AE:AC，即x:6=(12―2x):12，解得：x=3；②若△ADE∼△ACB，则AD:AC=AE:AB，即x:12=(12―2x):6，解得：x=245；所以当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或245秒．三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计86分）17、如图，在△ABC中，ADAB =AEAC=23.(1)求证：△ADE∼△ABC；(2)若DE=6，求BC的长.(1)证明：由题可知：ADAB =23，AEAC=11.5=23，∴ADAB =AEAC．又∵∠A=∠A，∴△ADE∼△ABC．(2)解：∵△ADE∼△ABC，∴DEBC =ADAB=23，∴6BC =23，∴BC=9．18、已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为(1,0)，(4,―1)，(3,2).△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．(1)请画出点P的位置，并写出点P的坐标________；(2)以点O为位似中心，请你在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2的相似比为12．若M(a,b)为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为________.解：(1)P(0,―2)，如图，点P即为所求.(2)如图所示：△A2B2C2即为所求.∵ △ABC 与△A 2B 2C 2以原点O 为位似中心，点M 在△A 2B 2C 2内的对应点的坐标为(―a ,―b ).19、如图，AF ，AG 分别是△ABC 和△ADE 的高，∠BAF =∠DAG ．(1)求证： △ABC ∼△ADE ；(2)若DE =3，ADAB =25，求BC 的长．(1)证明：∵AF ，AG 分别是△ABC 和△ADE 的高，∴∠AFB =∠AGD =90∘，∴∠BAF +∠ABF =90∘，∠DAG +∠ADE =90∘.∵∠BAF =∠DAG ，∴∠ABF =∠ADE .∵∠BAC =∠DAE ，∴△ABC ∼△ADE ．(2)解：∵△ABC ∼△ADE ，∴ADAB =DEBC .∵ADAB =25，DE =3，∴3BC =25，∴BC=152．20、如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE // BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，连接AF．(1)如果ADAB =23，DE=6，求边BC的长；(2)如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．解：(1)∵DE // BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∼△ABC，∴ADAB =DEBC=23.∵DE=6，∴BC=9.(2)∵DE // BC，∴∠B=∠ADE.∵∠B=∠FAE，∴∠FAE=∠ADE.∵∠F=∠F，∴△AEF∼△DAF，∴AFDF =FEAF.∵FA=6，FE=4，∴DF=9．21、如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC 与AD相交于点F．(1)试说明△ABC∼△FCD；(2)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．解：(1)∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90∘，∴△BDE≅△EDC，∴∠B=∠DCE.∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，∴△ABC∼△FCD；(2)过A作AM⊥BC于点M，∵△ABC∼△FCD，BC=2CD，∴S△ABC=4.S△FCD∵S△FCD=5，∴S△ABC=20.又BC=10，∴AM=4.∵AM⊥BC，AD=AC，∴M是CD的中点，∴DM=1CD=2.5，2∵DE//AM，∴△BDE∼△BMA，∴ DE AM = 2.55 2.5=23 ，∴ DE =23AM =83．22、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B ．(1)求证：△ADF ∼△DEC ；(2)若AB =8，AD =AF =ED 的长．(1)证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB // CD ，AD // BC ，∴ ∠C +∠B =180∘，∠ADF =∠DEC ．∵ ∠AFD +∠AFE =180∘，∠AFE =∠B ，∴ ∠AFD =∠C ．在△ADF 与△DEC 中，∠AFD =∠C ,∠ADF =∠DEC ,∴ △ADF ∼△DEC ．(2)解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ CD =AB =8．由(1)知△ADF ∼△DEC ，∴ AD DE =AF CD ，∴ DE =AD⋅CD AF ==12．23、如图，在△ABC 中，∠C =90∘，AC =8cm ，BC =6cm ．点P 从点A 出发，沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t (s ).(1)当PQ //AC 时，求t 的值；(2)当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.E解：(1)在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =8cm ，BC =6cm ，AB ===10cm .由题意得，BQ =tcm ,AP =2tcm ，则BP =(10―2t )cm .∵ PQ //AC ，∴ △PBQ ∼△ABC ，∴ BP BA =BQ BC ，即102t 10=t 6，解得t =3011.(2)如图，过点Q 作QE ⊥AB 于E ，则∠QEB =∠C =90∘．∵ ∠B =∠B ，∴ △BQE ∼△BAC ，∴ BQ BA =QE AC ，即t 10=QE 8，解得QE =4t 5，∴ S △PBQ =12BP ⋅QE =245，即12⋅(10―2t)⋅45t=245.整理，得t2―5t+6=0，解得t1=2,t2=3．∵0<t<5，∴当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于245cm2.24、如图1，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件EGHF，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)求证：△AEF∼△ABC；(2)如图1，求这个正方形零件的边长；(3)如图2，如果把它加工成矩形零件EGHF，问这个矩形的最大面积是多少？解：(1)在正方形EFGH中，∵EF//BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴△AEF∼△ABC.(2)设EG=EF=x，AD与EF相交于K，∵△AEF∼△ABC，∴EFBC =AKAD，∴x120=80x80，解得x=48，∴正方形零件的边长为48mm.(3)设EG=a，∵矩形EGHF，∴EF//BC，∴△AEF∼△ABC，∴EFBC =AKAD，∴EF120=80a80，∴EF=120―32a，∴矩形面积S=a120―32a=―32a2+120a=―32(a―40)2+2400，当a=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2，即：当EG=40mm时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2.。

图形的相似(压轴专练)(十大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)

图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在ABC V 中，AB AC =，点D 在线段CB 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE BC ^交线段AD 于点,2120E BED BAC Ð+Ð=°．(1)如图1，求CAD Ð的度数．(2)如图2，若32DE AE =，求BD BC的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接,EC EC 交线段AB 于点F ，若BD =AF 的长．2．如图1，在ABC V 中，90BAC AB AC BD CD Ð=°=^,,于点D ，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE BD =，连接AE ．(1)直接判断AE 与AD 的位置关系(2)如图2，延长AD ，CB 交于点F ，过点E 作EG AF ∥交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若2AE =，CE =EG 的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，且AF CE =，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于Q ，连接DE DF 、．(1)求证：EQ FQ =；(2)连接BQ ，如图2，①若AQ DP ×=BQ 的长；②若FP FD =，则PE PQ = ．4．综合与实践已知：矩形ABCD ，M 是AD 边上一点．【基本图形】（1）如图1，AM MD =，BM 交AC 于F 点，BM 的延长线与CD 的延长线交于点E ，连AE ，求证：MF EM BF EB=；【类比探究】（2）如图2，AM MD =，过点D 任意作直线与BM ，BC 的延长线分别交于点E ，点P ，连AE ，求证：EAD PAD ÐÐ=；【扩展延伸】（3）如图3，E 是CD 延长线上一点，P 是BC 延长线上一点，AP 交CD 于Q 点，BE 交AD 于M 点，延长AD 交EP 于N 点，若M 是AN 的中点，且3AB =，4BC =，求AEP △的面积．题型3：翻折问题5．菱形ABCD 中，5AB =，点F 是AD 边上的点，点Q 是AB 边上的点．(1)如图1，若点F 是AD 的中点，CQ AB ^，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ，连接QF ，①求证：PAF CDF △≌△；②判定FCQ V 的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为20，将菱形ABCD 沿CQ 翻折，点B 的对应点为点E ．①如图2，当点E 落在BA 边的延长线上时，连接BD ，交CQ 于R ，交EC 于点M ，求DR BM 的值；②如图3，当CE AD ^，垂足为点F ，交AD 于点N ，求四边形CFNQ 的面积．6．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点E 在BC 上，连接AE ，把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，直线EF 与直线CD 交于点G ，连接DF ．(1)当DFG GEC Ð=Ð时，求BE 的长．小星看到把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道BE FE =，AB AF =，90ABE AFE Ð=Ð=°，根据DFG GEC Ð=Ð，他延长EG 与AD 的延长线相交于点H ，可证AD DF DH ==，AH EH =，再通过勾股定理即可求出BE 的长．请用小星的方法或自己的方法求BE 的长；(2)当G 是CD 的中点时，求BE 的长；(3)如图2，已知等边ABC V 的边长为6，点D 在边BC 上，连接AD ，把ABD △沿直线AD 翻折得到AED △，直线DE 与直线AC 交于点F ，若12CF =，求BD 的长．7．（1）发现：如图1，正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，将ADE V 沿AE 对折得到AFE △，延长EF 交BC 边于点G ，连接AG ．证明：BG DE EG +=．（2）探究：如图2，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC AD 、于点M 、N ，四边形AMNE 是四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，若CDN △的面积与CMN V 的面积比为1:3，求MN DN的值．（3）拓展：如图3，在菱形ABCD 中，6AB =，E 为CD 边上的三等分点，60D Ð=°，将ADE V 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点P ，求PC 的长．题型4：旋转问题8．如图，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，连接BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD V V ≌；②BP CD ^；(2)如图2，把ADE V 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连接BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若BC =3AD =．①求证：BDP CDA △∽△，②PDE △的面积是．9．问题背景：如图（1），在ABC V 和ADE V 中，AB AC AD AE ==，，BAC DAE Ð=Ð，求证：ABD ACE △△≌；尝试应用：如图（2），在ABC V 和ADE V 中，90ABC ADE Ð=Ð=°，30ACB AED Ð=Ð=°，连接CE ，点F 是CE 的中点．判定以B ，D ，F 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在ABC V 中，AC BC ＝AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，连接BD CD ，．若点E 是CD 的中点，连接BE ，直接写出BE 的最大值．10．如图，在V 锐角ABC 中，AB =3BC =，45ACB Ð=°，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转得到11A BC V ．(1)如图①，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A Ð的度数；(2)如图②，连接1AA ，1CC ，若1ABA △的面积为2，求1CBC △的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，求线段1EP 长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点D 为AC 一点，连接BD ．(1)如图1，若CD =，15ABD Ð=°，求AD 的长；(2)如图2，过点A 作AE BD ^于点E ，交BC 于点M ，AG BC ^于点G ，交BD 于点N ，求证：BM CM =；(3)如图3，将ABD △沿BD 翻折至BDE V 处，在AC 上取点F ，连接BF ，过点E 作EH BF ^交AC 于点G ，GE 交BF 于点H ，连接AH ，若:2GE BF =，AB =AH 的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形ABCD 中1582AB BC ==，，252CD =，6DA ＝，90A Ð=°，点M 在AD边上，且2DM =．点P 从点A 沿折线AB BC -上运动到点C ，将APM △沿MP 翻折，点A 的对应点为点A ¢，设点P 的运动路径长为x (0)x >．(1)如图1，连接BD ，①求CBD Ð的度数；②求证：AB CD ∥．(2)如图2，当点A ¢落到四边形ABCD 内部时，求x 的取值范围．(3)①当点A ¢落在AD 的延长线上时，请直接写出x 的值．②设点A ¢到边BC 所在直线的距离为h ，请直接写出h 的最小值．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长；(2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将ADC △沿着CD 翻折，得到A CD ¢△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M ¢最短时，请直接写出DF BE 的值．题型6：比值问题14．如图1，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点F 、P 、G分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接FP ，PG ．(1)图1中，求证：PF PG =；(2)当ADE V 绕点A 旋转到如图2所示的位置时，①PF PG =是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若:1:(1)AD AB n n =>，PDF △和PGC V 的面积分别是1S ，2S ，ABC V 的面积为3S ，求123S S S +的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 的延长线上，连接PD ，过点D 作DM PD ^，交BC 的延长线于点M ．求证：DP DM =．【变式求异】（2）如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，点D 在边AB 上，过点D 作DQ AB ^，交AC 于点Q ，点P 在边AB 的延长线上，连接PQ ，过点Q 作QM PQ ^，交射线BC 于点M ．已知8BC =，10AC =，AD =2DB ，求PQ QM的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，点P 在边AB 的延长线上，点Q 在边AC 上（不与点A ，C 重合），连接PQ ，以Q 为顶点作PQM PBC Ð=Ð，PQM Ð的边QM 交射线BC 于点M ．若AC mAB =，CQ nAC =（m ，n 是常数），直接写出PQ QM的值（用含m ，n 的代数式表示）．题型7：“手拉手”模型16．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是BC 边上一动点，过点C 作CE AD ^交AB 于点E ．(1)如图1，若AC AE =，求ADB Ð的度数；(2)如图2，点F 是BD 上一点，连接EF 并延长交AD 的延长线于点G ．若点P 为AD 的中点，CP DG =，2G CAD Ð=Ð，求证：2CE EF FG +=；(3)点F 是BC 边上一点，射线EF 与射线AD 交于点G ，BFE ADC Ð=Ð，点H 是AC 上一点，且14CH AC =，连接HF ，H G ，点M 是射线AD 上一动点，连接MH ，MF ．在点D 的运动过程中，当GH 取得最小值m 时，在平面内将HFM △沿直线HM 翻折得到HNM V ，连接EN ．在点M 的运动过程中，若EN 的最大值为n ，直接写出n m的值．17．如图所示，在ABC V 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE BC ∥，如图1，然后将ADE V 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是；②在图3中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，并证明你的猜想；(2)若·1AB k AC k =（＞），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题18．如图1，在ABCD Y 中，60A Ð=°，4=AD ，8AB =．Y的面积；(1)请计算ABCD△沿着AC翻折，D点的对应点为D¢，线段CD¢交AB于点M，请计算AM的长度；(2)如图2，将ADC^交AD¢的延(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段CM上一动点，过点P作PN AC^于点N，PG AD¢长线于点G．在点P PG+的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在ABC V 中，AB AC =，P 为边BC 上的任一点，过点P 作,PD AB PE AC ^^，垂足分别为D ，E ，过点C 作CF AB ^，垂足为F ．求证：PD PE CF +=．小明的证明思路是：如图①，连接AP ，由ABP V 与APC △面积之和等于ABC V 的面积可以证得：PD PE CF +=．小颖的证明思路是：如图②，过点P 作PG CF ^，垂足为G ，可以证得：,PD GF PE CG ==，则PD PE CF +=．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在BC 延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则PD PE CF 、、之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C ¢处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点Р作,PG BE PH BF ^^，垂足分别为G ，H ，若18,5AD CF ==，求PG PH +的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，,ED AD EC CB ^^，垂足分别为D ，C ，且,3cm,AD CE DE BC AB AD BD ====××，M 、N 分别为AE BE ，的中点，连接DM CN ，，请直接写出DEM △与CEN V 的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B (0,3)，与直线OC 交于点8,13C æöç÷èø．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)过点C 作CD x ^轴于点D ，将ACD V 沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D ¢¢¢△，点A ，C ，D 的对应点分别为A ¢，C ¢，D ¢，若A C D ¢¢¢△与BOC V 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m ¢=，当点A ¢与点B 重合时停止运动，当925S =时，求m 的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，AOB V 是等腰直角三角形，AO BO =，点A 的坐标为()0,6．点C 是边OB 上一点，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)当AB 平分CAD Ð时，OAC Ð＝________°；(2)若13CO BO =，求BD 的长；(3)如图2，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，CE ，DE ．设BDE V 的面积S =，CO m =，求S 关于m 的函数表达式．。

专题27 图形的相似(46题)(解析版)--2024年中考数学真题分类汇编

专题27图形的相似（46题）一、单选题1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D ．2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，若123OB BB =::，则111A B C △的面积是（）A ．290cmB ．2135cmC ．2150cmD ．2375cm 【答案】D【详解】解：∵一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，123OB BB =::，∴125OB OB =，∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，∵三角形硬纸板的面积为260cm ，∴111224525ABC A B C S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴111A B C △的面积为2375cm ．故选：D ．3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，AF 与DC 交于点H ，若6AB =，2CE =，则DH 的长为（）A ．2B ．3C ．52D ．834．（2024·湖南·中考真题）如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（）A ．DE BC ∥B ．ADE ABC △△∽C ．2BC DE=D ．12ADE ABC S S =【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S =，故D 错误；故选：D ．5．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A ．甲和乙B ．乙和丁C ．甲和丙D ．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D ．6．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 与A B C ''' 是位似图形，位似中心为点O ．若点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，则点(2,4)B -的对应点B '的坐标为（）A ．(4,8)-B ．(8,4)-C ．(8,4)-D ．(4,8)-【答案】A【分析】本题考查了位似变换，根据点'A A 、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．【详解】解：∵ABC 与A B C ''' 是位似图形，点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，∴A B C ''' 与ABC 的位似比为2，∴点(2,4)B -的对应点B '的坐标为()22,42-⨯⨯，即()4,8-，故选：A ．7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形OABC 各顶点的坐标分别为()0,0O ，()3,0A ，()3,2B ，()0,2C ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是（）A ．()9,4B ．()4,9C ．31,2⎛⎫ ⎪D ．21,3⎛⎫ ⎪8．（2024·四川成都·中考真题）如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（）A ．ABE CBE ∠=∠B ．5BC =C ．DE DF =D ．53BE EF =【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF 为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分，∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AD BC AB CD AD BC == ，∵AD BC∥∴AEB CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△，∴BE AB AEEF DF ED ==，∴332BE EF DF ==，∴32BE EF =，2DF =，故D 错误；∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．9．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明EOF DOC ∽△△，求得45OFE ∠=︒，证明ABE GDE ∽，证得12DG CD CG ==，推出()SAS DEG CFG ≌，得到GE GF =，据此求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴OD OC =，45ODC OCD ∠=∠=︒，DE CF =，∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OFOD OC=，∴EOF DOC ∽△△，∴45OFE OCD ∠=∠=︒，∵点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴12DE BE =，∵正方形ABCD ，∴AB CD ∥，∴ABE GDE ∽，∴12DG DE AB BE ==，∴12DG CD CG ==，∴()SAS DEG CFG ≌，∴GE GF =，∴()111809022GEF AGF α∠=︒-∠=︒-，∴1190904545222FAG GEF AFE ααα∠=︒-︒--︒=︒-=∠-∠=，故选：B ．10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A 为反比例函数()0y x x=-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x =>的图象交于点B ，则AOBO的值为（）A ．12B ．14C ．33D ．13【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，证明AOC OBD △∽△，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，∴11122ACO S =⨯-= ，1422BDO S =⨯= ，90ACO ODB ∠=∠=︒，∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD ∠=∠=︒-∠，∴AOC OBD △∽△，∴2ACO BDO S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即2122OA OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12OA OB =（负值舍去），故选：A ．11．（2024·山东威海·中考真题）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，连接AE ，AF ，EF ，EF 交AC 于点G ．下列结论错误的是（）A ．若CE ADCF AB=，则EF BD ∥B ．若AE BC ⊥，AF CD ⊥，AE AF =，则EF BD ∥C ．若EF BD ∥，CE CF =，则EAC FAC ∠=∠D ．若AB AD =，AE AF =，则EF BD ∥∴AC BD⊥在Rt ,Rt ACE AFC 中，AE AF AC AC=⎧⎨=⎩∴Rt Rt ACE AFC ≌∴CE CF =又∵AE AF =∴AC EF⊥∴EF BD ∥，故B 选项正确，C.∵CE CF =，∴CFE CEF ∠=∠∵EF BD ∥，∴,CBD CEF CDB CFE ∠=∠∠=∠∴CBD CDB ∠=∠∴CB CD=∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又∵EF BD ∥∴AC EF ⊥，∵CE CF =，∴AC 垂直平分EF ，∴AE AF=∴EAC FAC ∠=∠，故C 选项正确；D.若AB AD =，则四边形ABCD 是菱形，由AE AF =，且BE DF =时，可得AC 垂直平分EF ，∵AC BD⊥∴EF BD ∥，故D 选项不正确故选：D ．12．（2024·河南·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（）A ．12B ．1C ．43D ．213．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E 作EH AC ⊥于点H ，由勾股定理求出AC ，根据等面积法求出BD ，先证明ABC ADB ∽，由相似三角形的性质可得出AB AC AD AB =，即可求出AD ，再证明AED BFD ∽，由相似三角形的性质可得出2AED BFD S AD S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得出4AED BFD S S = ，根据()ABC AED BDC BDF DEBF S S S S S =--- 四边形，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．【详解】解：过点E 作EH AC ⊥于点H ，如下图：∵90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，∴2225AC AB BC =+=，∵BD 是边AC 上的高．∴1122AB BC AC BD ⋅=⋅，∴455BD =，∵BAC CAB ∠=∠，90ABC ADB ∠=∠=︒，∴ABC ADB ∽△△，∴AB AC AD AB=，解得：855AD =，∴85252555DC AC AD =-=-=，∵90BDF BDE BDE EDA ∠+∠=∠+∠=︒，90CBD DBA DBA A ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBC A ∠=∠，BDF EDA ∠=∠，∴AED BFD ∽，14．（2024·山东·中考真题）如图，点E 为ABCD Y 的对角线AC 上一点，5AC =，1CE =，连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =，连接BF ，则BF 为（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．作辅助线如图，由平行正相似先证DEC GAE ∽，再证BGF AGE ∽，即可求得结果．【详解】解：延长DF 和AB ，交于G 点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥，DC AB =即DC AG ∥，∴DEC GAE∽∴CE DE DC AE GE AG==，∵5AC =，1CE =，∴514AE AC CE =-=-=，∴14CE DE DC AE GE AG ===，又∵EF DE =，14DE DE GE EF FG ==+，∴13EF FG =，∵14DC DC AG AB BG ==+，DC AB =，∴13DC BG =，∴13EF DC FG BG ==，∴34BG FG AG EG ==∴AE BF ∥，∴BGF AGE ∽，∴34BF FG AE EG ==∵4AE =，∴3BF =．故选：B ．二、填空题15．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为12∶，则它们的周长的比为．【答案】12∶/12【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为12∶，∴它们的周长的比为12∶，故答案为：12∶．16．（2024·云南·中考真题）如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD =．17．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36cm AB =，24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ，则小孔O 到A B ''的距离为cm ．【答案】20【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得AB A B ''∥，AOB A OB ''∽△△，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，利用已知得出''AOB A OB △∽△，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【详解】由题意得：AB A B ''∥，∴AOB A OB ''∽△△，如图，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，∴OC A B '''⊥，30cm OC =，∴A B OC AB OC '''=，即243630OC '=，∴20OC '=（cm ），即小孔O 到A B ''的距离为20cm ，故答案为：20．18．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．【答案】12【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．10AB = ，25BD =，()22102545AD ∴=-=，DAC CBD ∠=∠ ，又∵BAD DAE ∠=∠，∴BAD CBD ∠=∠，90ADB BCE ∠=∠=︒ ，ABD BEC ∴ ∽，BE BC AB AD∴=，451045BC ∴=，8BC ∴=，故答案为：8．20．（2024·湖北·中考真题）DEF 为等边三角形，分别延长FD DE EF ，，，到点A B C ，，，使DA EB FC ==，连接AB AC ，，BC ，连接BF 并延长交AC 于点G ．若2AD DF ==，则DBF ∠=，FG =．【答案】30︒/30度435/435【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合EB EF =可求得30DBF ∠=︒；作CH BG ⊥交BG 的延长线于点H ，利用直角三角形的性质求得1CH =，3FH =，证明AGF CGH ∽，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵DEF 为等边三角形，DA EB FC ==，∴112CH CF ==，FH =∵90AFB H ∠=∠=︒，∴AF CH ∥，∴AGF CGH ∽，21．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，连结AE 分别交BD ，CD 于点F ，G ，则FG 的长为．【详解】解：菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，6AD BC CD ∴===，AD BC ∥，120BCD ∠=︒，60DCE ∴∠=︒，DE BC ⊥ ，90DEC ∴∠=︒，在Rt DCE V 中，9030CDE DCE ∠=-︒∠=︒ ，132CE CD ∴==，2233DE CD CE ∴=-=，9BE BC CE ∴=+=，AD BE ，18090ADE DEC ︒︒∴∠=-∠=，在Rt ADE △中，()222233637AE DE AD =+=+=，AD BE ，AFD EFB ∴ ∽，6293AF AD FE BE ∴===，226737555AF AE ∴==⨯=，AD CE ∥，AGD EGC ∴△∽△，623AG AD EG CE ∴===，22372733AG AE ∴==⨯=，67472755FG AG AF ∴=-=-=．故答案为：475．22．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOC S S =△△．【答案】19【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．设AD BC ，的距离为d ，则112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，证明AOD COB ∽，则2AOD BOC S AD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，计算求解即可．【详解】解：设AD BC ，的距离为d ，∴112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，∵AD BC ∥，∴ADO CBO ∠=∠，DAO BCO ∠=∠，∴AOD COB ∽，∴221139AOD BOC S S AD BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ，故答案为：19．23．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，在平行四边形ABCO 中，它的对角线OB 与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于点D ，且:1:4OD OB =，则k =．【答案】15-【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，根据平行四边形的性质得出()2410B -，，证明ODE OBF △∽△得出6OE =，2.5DE =，进而可得()6,2.5D -，即可求解．【详解】如图所示，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，∵四边形AOCB 是平行四边形，点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，∴7OA BC ==，∴24x =-，即()2410B -，，则24OF =，10BF =∵DE x ⊥轴，BF x ⊥轴，∴DE BF∥∴ODE OBF△∽△∴14OE OD DE OF OB BF ===∴6OE =， 2.5DE =∴()6,2.5D -∴6 2.515k =-⨯=-故答案为：15-．24．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =．【答案】1712+【分析】连接CE ，过E 作EF CD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC BEC ∠=∠=∠，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，证明CBE CED ∽，利用相似三角形的性质和勾股定理得到232m x =+；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明CAB FBE ∽∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =∴112CF DF CD ===，EAC ∠25．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，5AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD =．【答案】103/133【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．设AD x =，5AE x =，根据折叠性质得DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，证明AHE ACB ∽得到EH AH AE BC AC AB==，进而得到EH x =，2AH x =，证明Rt EHD 是等腰直角三角形得到45HDE HED ∠=∠=︒，可得90FDM ∠=︒，证明()AAS FDM EHM ≌得到12DM MH x ==，则3102CM AC AD DM x =--=-，根据三角形的面积公式结合已知可得()31022552x x x ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，然后解一元二次方程求解x 值即可．【详解】解：∵5AE AD =，∴设AD x =，5AE x =，∵ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，∴DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，则90AHE ACB ︒∠=∠=，又A A ∠=∠，三、解答题26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)62【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．（1）连接OA ，根据圆周角定理得到90BAE ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ABC BAO ∠=∠，求得90OAC ∠=︒，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到16BC =，求得12BE BC CE =-=，连接BD ，根据角平分线的定义得到BAD EAD ∠=∠，求得 BDDE =，得到BD DE =，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OA ，BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，90BAO OAE ∴∠+∠=︒，OA OB = ，ABC BAO ∴∠=∠，EAC ABC ∠=∠ ，CAE BAO ∴∠=∠，90CAE OAE ∴∠+∠=︒，90OAC ∴∠=︒，OA 是O 的半径，27．（2024·四川凉山·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，AD 平分BAC ∠交O 于点D ，过点D 的直线DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)连接EO 并延长，分别交O 于,M N 两点，交AD 于点G ，若O 的半径为230F ∠=，，求GM GN ⋅的值．【答案】(1)见详解(2)7225【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD AC ∥，根据平行线的性质得90ODF ∠=︒即可证明；（2）连接,MD AN ，先解Rt ODF △，求得4OF =，23DF =，则6AF =，3AE =，可证明23AD DF ==，由DGO AGE ∽，得23DG OD AG AE ==，故23,55DG AD AG AD ==，证明MGD AGN △∽△，即可得到7225GM GN GD GA ⋅=⋅=．【详解】（1）解：连接OD ，∵OA OD =，∴23∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴12∠=∠，∴13∠=∠，∴OD AC ∥，∴ODF AED∠=∠∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒，∴90ODF ∠=︒，即OD EF ⊥，∵OD 是O 的半径∴EF 是O 的切线；∵30F ∠=︒，∴在Rt ODF △中，24OF OD ==，由勾股定理得：22DF OF OD =-∴246AF =+=，∵在Rt AEF 中，30F ∠=︒，∴132AE AF ==，【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．28．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，过点C 作O 的切线l ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ，连接AC BC 、．(1)求证：ABC ACD △△∽；(2)若5AC =，4CD =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)256【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）连接OC ，根据题意得90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，利用等量代换确定ACD ABC ∠∠=，再由相似三角形的判定即可证明；（2）先由勾股定理确定3AD =，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵CD 是O 的切线，点C 在以AB 为直径的O 上，∴90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，∴ACD OCB ∠∠=，∵OC OB =，∴OBC OCB ∠∠=，∴ACD ABC ∠∠=，∵AD l ⊥，29．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l 与O 相切于点A ，AB 是O 的直径，点C ，D 在l 上，且位于点A 两侧，连接BC BD ，，分别与O 交于点E ，F ，连接EF AF ，．(1)求证：BAF CDB ∠=∠；(2)若O 的半径6r =，9AD =，12AC =，求EF 的长．∴90BAF ABD ∠+∠=︒，∴BAF CDB ∠=∠；（2）解：∵6r =，∴212AB r AC ===，222212915BD AB AD =+=+=，∵直线l 与O 相切于点A ，∴90BAC ∠=︒，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90BEA ∠=︒，∴ABE 也是等腰直角三角形，∴cos 4562AE BE AB ==⋅︒=，∵ BFBF =，∴BEF BAF ∠=∠，∵BAF CDB ∠=∠，∴BEF BDC ∠=∠，∴BEF BDC ∽，∴BE EF BD CD =，即6215129EF =+，∴4225EF =．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．30．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC =⋅；(2)F 为线段AE 延长线上一点，且满足12EF CF BD ==，求证：CE AD =．∠在矩形ABCD中，ADE ⊥，AE BD∴90∠+∠=︒DAE ADBADB AED∴∠=∠，FEC AED∠=∠，在矩形ABCD 中，12OA OD BD ==， 12EF CF BD ==，OA OD EF CF ∴===，ADO OAD ∴∠=∠，FEC FCE ∠=∠，ADO FEC ∠=∠，FEC E AD F O OAD C ∴∠∠=∠∠==，在ODA V 和FEC 中，ODA FEC OAD FCE OD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ODA FEC ∴ ≌，CE AD ∴=．【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键．31．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若42BM =，1tan 2BCD ∠=，求OM 的长．【答案】(1)见解析(2)5OM =【分析】（1）连接OE ，延长EO ，交O 于点P ，连接,,PD BD 根据直径所对的圆周角是直角求出45DBE ∠=︒得45DPE ∠=︒，90DOE ∠=︒，由EF CD ∥可得90FED DOE ∠=∠=︒，从而可证明EF 是O 的切线；（2）由1tan 2BCD ∠=得12DB BC =，即12DB AC =，证明DBM ACM ∽ ，得12BM DM DB AM CM AC ===，由42BM =∵,AB BC ACB =∠∴ABC 是等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=︒∵CD 是O 的直径，∴8242122AB AM BM =+=+=，在等腰直角三角形ABC 中，222AC BC AB +=,∴()2222122AC AC AB +==，解得，12AC =，∴12AC BC ==，∴16,2DB BC ==在t R BDC 中，222212665,CD BC DB =+=+=∴35CO DO ==，又12DM CM =，∴2,CM DM =∴265,DM DM CD +==∴25DM =∴35255OM OD DM =-=-=【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．32．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，连接BD ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，CE 交BD 于点F ，1ABC ∠=∠．(1)求证：23∠∠=；(2)若445∠=︒．①请判断线段BC ，BD 的数量关系，并证明你的结论；②若13BC =，5AD =，求EF 的长．【答案】(1)见解析∴EF BE AD AB =，∴5512EF =，2512EF ∴=．33．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：AD AF =；(2)探究DF DE与AD DC 的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DF DE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DF DE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；(3)拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出AP AD的值（用含m ，n 的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①73DF DE =②2DF DE m n =，证明见解析(3)2AP n AD m=【分析】（1）等边对等角，得到B C ∠=∠，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到F ADF ∠=∠，即可得出结论；∵DE BC ⊥，∴AG CE ∥，∴AGD CED ∽△△，∵AD m DC n =，∴GD AD m ==，由（1）知AD AF =，又AG EF ⊥，∴DG FG =，即2DF DG =，∴22GD m DE nDF DE ==；（3）2AP n AD m =，理由如下：过点D 作DG CF ⊥，∵ACF ACB ∠=∠，DE CE ⊥，∴DG DE =，由（2）知，当AD m DC n =时，2DF DE m n=，∴2DE n DF m =，∴2DG n DF m =，∵PF AC ⊥，∴90ACF CFP ∠+∠=︒，∵FE BC ⊥，∴90B AFD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴ACB B =∠∠，∴B ACF ∠=∠，∴AFD CFP ∠=∠，∴AFD PFD CFP PFD ∠-∠=∠-∠，∴AFP DFG ∠=∠，∴sin sin AFP DFG ∠=∠，∴2AP DG n AF DF m==，由（1）知AD AF =，34．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交 AD 于点F ．(1)求OE AE的值；(2)求证：AEB BEC △∽△；(3)求证：AD 与EF 互相平分．∴在Rt AOC 中，tan 2AC AOC AO∠==．AE OC ⊥ ，∴在Rt AOE △中，tan AE AOC OE∠=．2AE OE ∴=，12OE AE ∴=；（2）过点B 作BM AE ∥，交EO 延长线于点M ．,90BAE ABM AEO BMO ∴∠=∠∠=∠=︒．AO BO = ，AOE BOM ∴△≌△，,AE BM OE OM ∴==．12OE AE = ，2BM OE EM ∴==，45MEB MBE ∴∠=∠=︒，135AEB AEO MEB ∴∠=∠+∠=︒，180135BEC MEB ∠=︒-∠=︒，AEB BEC ∴∠=∠．,90AB AC BAC =∠=︒ ，45ABC ∴∠=︒，ABM CBE ∴∠=∠，BAE CBE ∴∠=∠，AEB BEC ∴△∽△．（3）如图，连接,DE DF ．90ADB AFB ∴∠=∠=,90AB AC BAC ∠== 2,BC BD DAB ∴=∠=由（2）知，AEB △∽△22AE AB AO BE BC BD ∴===35．（2024·北京·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，OD 平分AOC ∠.(1)求证：OD BC ∥；(2)延长DO 交O 于点E ，连接CE 交OB 于点F ，过点B 作O 的切线交DE 的延长线于点P .若56OF BF =，1PE =，求O 半径的长.【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，结合OB OC =，得到B C ∠=∠，继而得到2AOC B ∠=∠，根据OD 平分AOC ∠，得到2AOC AOD ∠=∠，继而得到B AOD ∠=∠，可证OD BC ∥；（2）不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，求得111OP OE PE x =+=+，证明OFE BFC ∽，OBM POB ∠=∠，求得665x BC =，取BC 的中点M ，连接OM ，则335x BM =，求得3cos 5OBM ∠=，3cos 5POB ∠=，结合切线性质，得到3cos 51OB OB OB POB OP OE PE OB ∠====++，解答即可.【详解】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，∵OB OC =，∴B C ∠=∠，∴2AOC B ∠=∠，∵OD 平分AOC ∠，∴2AOC AOD ∠=∠，∴B AOD ∠=∠，∴OD BC ∥；（2）∵56OF BF =，1PE =，不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，∴111OP OE PE x =+=+，∵OD BC ∥，2【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键36．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在ABC 中，点D 为边AB 上一点，连接CD ．(1)初步探究如图2，若ACD B ∠=∠，求证：2AC AD AB =⋅；(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D 为AB 中点，4BC =，求CD 的长；(3)创新提升如图4，点E 为CD 中点，连接BE ，若30CDB CBD ∠=∠=︒，ACD EBD ∠=∠，27AC =BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)22CD =(3)21【分析】（1）根据题意，由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，利用两个三角形相似的判定定理即可得到ACD ABC △△∽，再由相似性质即可得证；（2）设AD BD m ==，由（1）中相似，代值求解得到2AC m =，从而根据ACD 与ABC 的相似比为12AD AC =求解即可得到答案；（3）过点C 作EB 的平行线交AB 的延长线于点H ，如图1所示，设CE DE a ==，过点B 作BF EC ⊥于点F ，如图2所示，利用含30︒的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到21277AD AC CD a AC AH CH a ====，代值求解即可得到答案．【详解】（1）证明：∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，∵点E 为CD 中点，∴设CE DE a ==，∵30CDB CBD ∠=∠=︒，∴2CB CD a ==，120DCB ∠=︒，∴60FCB ∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴12CF BC =，∴CF a =，3BF a =，∴2EF a =，∴7BE a =，∵CH BE ∥，点E 为CD 中点，∴227CH BE a ==，243DH DB a ==，EBD H ∠=∠，又∵ACD EBD ∠=∠，∴ACD H ∠=∠，ACD AHC ∽△△，∴21277AD AC CD a AC AH CH a ====，又∵27AC =，∴2AD =，14AH =，∴12DH =，即4312a =，∴3a =，∴721BE a ==．【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30︒的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．37．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求AC BD 的值．∴OHF OAD ∠=∠，∴HF AD∥（ⅱ）∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OE OF =，60EHF ∠=︒，∴30EHO FHO ∠=∠=︒，∴3OH OE =，∵AM BC ∥．2MD AM =，∴AHM CHB ∽，∴13AH AM HC BC ==，即3HC AH =，∴()3OA AH OA OH +=-，∴2OA OH =，∵BN AD ∥，2MD AM =，AM CN =，∴BNE DAE ∽，∴23BE BN ED AD ==，即32BE ED =，∴()()32OB OE OB OE -=+∴5OB OE =，故22323555AC OA OH OE BD OB OE OE ⨯====．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．38．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．(1)如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；(2)如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)①见解析；②::2:1:3AG GH HC =(2)3AM AN =，理由见解析【分析】（1）①根据ABE DCE S S = ，得出E 为AD 的中点，证明出AHE CHF ≌即可；②先证明出AGB HGE ∽得到2AB AG EH GH==，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；（2）连接BD 交CN 于点F ，证明()AAS AEB DEM ≌，进一步证明出四边形ABDM 为平行四边形，得出DF 为CMN 的中位线，得到12DF MN =，再证明出AEN DEF ≌得到DF AN =，再通过等量代换即可求解．【详解】（1）解：①ABE DCE S S = ，E ∴为AD 的中点，AE DE ∴=，F 是边BC 的中点，BF CF ∴=，AE CF ∴=，在ABCD Y 中，AD BC∴EAH FCH ∠=∠，又∵AHE CHF ∠=∠，()AAS AHE CHF ∴ ≌，。

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

27.1图形的相似(基础练习)

巩固练习第27章图形的相似27.1 图形的相似（1）1、在下面的图形中，形状相似的一组是( )2、下列图形一定是相似图形的是( )A ．任意两个菱形B ．任意两个正三角形C ．两个等腰三角形D ．两个矩形3、要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4、下列说法正确的是( )A .人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像相似.B .人们从平面镜里看到的像与人的关系是相似图形,但不是全等图形.C .拍照时,镜头的取景与照片上的画面是相似的D .放幻灯片时投在屏幕上的画面与幻灯片上的图形是全等的5、在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？27.1图形的相似（2）巩固练习:1．△ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（）．A ．32B ．23C ．52D ．942．下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3. 图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们对应边之间存在怎样的关系？对应角之间又有什么关系？4.如图,四边形EFGH相似于四边形ABCD，求∠A、∠C、∠H以及x、y、z的值.5．如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x、y的长度。

6.如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EF AB相似，求EF的长．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图形的相似专题复习卷（基础版）
一．相似的图形
1、相同，不一定相同的图形叫相似图形。

2、下列各种图形相似的是（）
A 、（1）、（3）
B 、（3）、（4）
C 、（1）、（2）
D 、（1）、（4） 3、下列说法正确的是（）
A 、所有的等腰梯形都相似
B 、所有的平行四边形都相似
C 、有一个角是300的等腰三角形相似
D 、所有的等边三角形都相似 4、⑴用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形； ⑵用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形； ⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；
以上说法你认为哪些是正确的，哪些是错误的？
9、把下列各题图中左边的图形，加以放大1倍后画出与它们相似的图形
.
（1）
（2）
二．相似图形的性质
（1）成比例线段。

1．若ab=cd ，则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= .
2．若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= . 3．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式.
①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm ②a=7cm,b=4cm, c=d=27cm ③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm 4.若x ∶（x+1）=7∶9，则x= ；若
b
b a +=38，则b a = .；若5a=3b ，则b a
= ，b
a b
a +-3= 。

5.已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是；若在此地图册上量得 A,C 两地间距离是16cm ，则A,C 两地间实际距离是 . 6．已知
b a =43，
c b =5
3
，则a ∶b ∶c 等于（）
A. 3∶4∶5
B.4∶3∶5
C.9∶12∶20
D. 9∶15∶20
7．如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= .
(1)(2)(3)(4)╮2
3a c
β1550 950 1150 12
5
7αb
╭╮
╯650
1150
第7题
8. 已知a b a -=32，求b
a b
a +-34的值.
9. 已知a,b,c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60cm,
3a =4b =5
c
, 求a,b,c 的长.
10．已知三条长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请你再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
11.如图，在一块长和宽分别为a 和b 的长方形黑板的四周镶上宽为x 的木条，得到一个新的长方形.请你判断原来的长方形与新的长方形是否相似？（说明理由）
三．相似三角形
（1）相似三角形
1．已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 2．若两个三角形的形似比为1，则这两个三角形
3． △ABC 的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是，周长
是。

4.已知△ABC ∽△DEF 且AB=3，AC=4，DE=2，求（1）△ABC 与△DEF 的相似比k 。

（2）AF 的长.
（2）相似三角形的判定
1.下列图形不一定相似的是（）
A 两个等边三角形
B 各有一个角是110°的两个等腰三角形
C 两个等腰直角三角形
D 各有一个角是45°的两个等腰三角形 2、如图①：AD ⊥BC ，∠BAC=90°，那么△ABC ∽ ∽
3、如图②，BE 、CD 相交于点O ，CB 、ED 的延长线相交于点A ，且∠C=∠E ，图中相似三角形有对，它们是
4、如图③，AC ⊥BC ，∠ADC=90°，∠1=∠B ，若AC=5，AB=6，则AD= 。

5、如图④，∠ABD=∠C ，AB=5，AD=3.5，则AC=（） A
750 B 50
7
C 203
D 320
x x x
x D C B A ① B D O E C A ② B
A D C ③
B A D
C ④
6.如图,若∠ADE= 或∠C= 时,△ADE ∽△ABC;若=AB
AD 时,
△ADE ∽△ABC,理由是 . 7.下列条件中,判断△ABC 与△A ´B ´C ´是否相似？并说明理由.
⑴∠C=∠C ´=90°,∠B=∠B ´=50°.( )理由 . ⑵AB=AC,A ´B ´=A ´C ´,∠B=∠B ´. ( )理由 . ⑶∠B=∠B ´,'
'''C
B B
C B
A A
B =. ( )理由 .
⑷∠A=∠A ´,'
'''C
B B
C B
A A
B =. ( )理由 . 8.如图，要使△AEF∽△ACB，已具备的条件是，还需补充的条件是
或或 .
9.如图,B 、C 在△ADE 的边AD 、AE 上，且AC=6,AB=5,EC=4,DB=7,则BC:DE= .
10、如图①，在△ABC 中，DE ∥BC,且S △ABC ：S 四边形BCED =1：2，BC=62，则DE 的长为 .
第6 题第8题第9题第10题
11、△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB=8cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ′B ′=6cm ，B ′C ′=4.5cm ，C ′A ′=3.75cm ，则△ABC 和△A ′B ′C ′相似吗？，理由是 .
12、如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的周长比是( )，高之比是（），面积比是（） A 、 1:2
B 、2:4
C 、1:4
D 、2:1
13、如图：已知△ABC 与△ADE 的边BC 、AD 相交于点O ，且∠1=∠2=∠3。

求证：（1）△ABO ∽△CDO ；（2）△ABC ∽△ADE
14.如图,AD 、BC 交于点O,BA 、DC 的延长线交于点P, PA ·PB=PC ·PD. 试说明：①△PBC ∽△PDA;②△AOB ∽△COD.
15.如图，D 、E 分别为AB 、AC 边上两点，且AD=5,BD=3,AE=4,CE=6. 试说明：①△ADE ∽△ACB
16.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，对应高AD 和A ′D ′的长分别为3cm 和4cm ，S △ABC +S △A ′B ′C ′=75cm 2，
求S △ABC 和S △A ′B ′C ′
E D C B A 1
2
3
O
B D C
E
A D
C
B
A P O
D B
A
E C
F
E C B A
A B C D E
A B C
D
O
H
C
G E F
17、如图，在△ABC 中，AB ＝8c m ，AC ＝16c m ，点P 从点A 开始沿AB 边向
B 点以2c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿B
C 边向点C 以4c m/s 的
速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与
△ABC 相似？
(3)中位线 1、DE 、EF 、FD 是 △ABC 的三条中位线,若AB=2cm ，BC=4cm ，CA=6cm ，则DE= cm ，EF= cm ，FD= cm 。

2.三角形周长为64，则它的三条中位线组成的三角形周长是 cm 。

3.已知图中AC ∥EF ∥GH ．AB 、CD 交于O ，AO=OF=FH =AC=2.5cm ，则HG= ．4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是它的中位线。

（1）若AD=3，BC=5，则MN= ______；
（2）若AD=a ，MN=7，则BC= ______；
（3）若BC=12，MN=b ，则AD= _______；第4题
5.梯形中位线长是24cm ，上、下底之比是1：3，那么梯形上下底之差为。

6、已知梯形的面积是12cm 2，底边上的高线长是4cm ，则该梯形中位线长是_____cm.
7. 已知三角形三边之比为3:4:5，且周长为60cm ，连结三边中点，求所得三角形各边长。

8.求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

9.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点．求证：四边形ADEF 是菱形。

四、画相似图形
将△ABC 作下列变化，请画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化。

（1）向上平移4个单位；
（2）关于y 轴对称（画图后写出每一个对应点的坐标）；（3）以A 点为位似中心，相似比为2。

A Q
P
B
A
M N D 第3题。