中考数学黄金知识点系列专题图形的相似6

1
为位似中心，相似比为 3，把△ ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是 (
)
A ．（― 1，2）
B．（― 9， 18）
C．（― 9， 18）或（ 9，― 18）
D ．（― 1， 2）或（ 1，― 2）
【答案】 D.
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设 BO =y BF=z
y
z
3
z
y
4
3
4
即 4z=9＋ 3y， 4y=12＋ 3z
27
解得 z=
7
25
y=
7
∴ AB= 27 ＋ 4= 100
7
7
考点：圆的综合题 .
考点典例四、相似多边形与位似图形
【例 4】（ 2016 辽宁营口第 15 题） 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△
∴ MP?
P0C＝
1 2
P0 C2
( 3) 2 (1 x)2 2
AP0 ?BP＝ x（ 3 － 1＋ x），
解得 x＝ 7 3
∴ BP＝ 3 － 1＋ 7 3 ＝ 7 1 ．
考点典例三、相似三角形综合问题 【例 3】 （ 2016 湖北十堰第 24 题） 如图 1， AB 为半圆 O 的直径， D 为 BA 的延长线上一点， DC 为半圆 O 的切线，切点为 C． （ 1）求证：∠ ACD= ∠B； （ 2）如图 2，∠ BDC 的平分线分别交 AC， BC 于点 E ，F； ①求 tan∠ CFE 的值； ②若 AC=3 ，BC=4 ，求 CE 的长．
12
【答案】（1）详见解析； （ 2） .
7
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（ 2）解：①∵∠ CEF= ∠ ECD+ ∠CDE ，∠ CFE= ∠ B+ ∠ FDB ，
∵∠ CDE= ∠ FDB ，∠ ECD= ∠ B，
∴∠ CEF= ∠CFE ，∵∠ ECF=90 °，
DF EF
D．
BF FC
【解析】
AD
试题分析： ∵ DE ∥ BC，∴
AB
AE
（平行线分线段成比 例） .故选 A.
AC
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考点：平行线分线段成比例 .
2. （ 2016 山东东营第 8 题） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（― 3， 6）、 B（― 9，一 3），以原点 O
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专题 46 图形的相似
聚焦考点☆温习理解
1、比和比例的有关概念：
（ 1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例
.
ac
（ 2）第四比例项：若
或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、 b、c 的第四比例项 .
bd
ab
（ 3）比例中项：若
【举一反三】
（ 2016 湖北鄂州第 22 题）（本题满分 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90o，AO 是△ ABC 的角平分
线。以 O 为圆心， OC 为半径作⊙ O。
（ 1）（ 3 分 ）求证： AB 是⊙ O 的切线。
（ 2）（ 3 分）已知
AO 交⊙ O 于点
E，延长
AO 交⊙ O 于点
∴∠ CEF= ∠CFE=45 °，
∴ tan∠ CFE=tan45 ° =1 ．
②在 RT△ ABC 中，∵ AC=3 ， BC=4 ，
由勾股定理得 AB=5 ，
∵∠ CDA= ∠ BDC ，∠ DCA= ∠ B，
∴△ DCA ∽△ DBC ，
DC AC DA
∴
DB BC CD
∵ CD 2=DA ?DB ，
3
，设 DC=3k ，DB=4k ，
4
∴ 9k2= （ 4k﹣ 5）？4k，
20
∴ k= ，
7
60
80
∴ CD= ， DB= ，
7
7
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考点：切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理
.
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线 )相交，所截得的三角形与原三角形相似；
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(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点
O 为位似中心，画△ A1B1C1，使它与△ ABC 的相似
比为 2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是
．
【答案】（4，2）或（﹣ 4，﹣ 2）．
考点：作图 -位似变换．
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AE
明△ ACE ∽△ ADC 可得
CE = tanD ＝ 1 ；（ 3）先由勾股定理求得
AC CD
2
BF BO OF
得
，设 BO=y ，BF=z ，列二元一次方程组即可解决问题
BC BA AC
AE 的长， 再证明△ B0F ∽△ BAC， .
D，
tanD＝ 1 ，求
AE
的值。
2
AC
（ 3）（ 4 分）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长。
【答案】 (1)详见解析；（ 2） 1 ；（ 3） 100 .
2
7
【解析】
试题分析：（ 1）过 O 作 OF ⊥AB 于 F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（ 2）连接 CE，证
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【答案】（1）详见解析； （ 2）① BP＝ 5 ；② 7 1 .
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∵∠ BPM ＝∠ CP0A ，∠ BMP＝∠ CAP0，
∴△ AP0C∽△ MPB ，∴ AP0 P0C ， MP BP
2
分割点有两个 .
2.比例的基本性质及定理
a
（ 1）
b
a
（ 2）
b
a
（ 3）
b
c ad bc
d c ab c d
d
b
d
cL
m (b
dL
Hale Waihona Puke dn3.平行线分线段成比例定理
n 0)
a cL m a bdL n b
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
.
(2)平行于三角形一边截其他两边 (或两边的延长线 )，所得的对应线段成比例；
确的是（
）
AD AE
A ． DE= BC B．
C．△ ADE ∽△ ABC D ． S△ ADE ： S△ ABC =1 ： 2
AB AC
【答案】 D.
考点：相似三角形的判定及性质 .
6. （ 2016 湖北随州第 7 题） 如图， D 、 E 分别是△ ABC 的边 AB 、 BC 上的点，且 DE ∥ AC，AE 、 CD 相交
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似
图形．这个点
叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
考点：位似变换．
课时作业☆能力提升
1. （2016 黑龙江哈尔滨第 9 题） 如图，在△ ABC 中， D 、E 分别为 AB、AC 边上的点， DE ∥ BC，BE 与 CD
相交于点 F，则下列结论一定正确的是（
）
A ． AD
AE
DF
B．
AE
AB AC
FC EC
【答案】 A.
AD DE
C．
DB BC
120
14400
【答案】（1）详见解析； （ 2）正方形 EFGH 的边长为 7 cm，面积为 49 cm2．
【解析】
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考点：相似三角形的判定与性质． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 【举一反三】 （ 2016 湖北武汉第 23 题）（本题 10 分）在△ ABC 中， P为边 AB 上一点． (1) 如图 1，若∠ ACP＝∠ B，求证： AC2＝ AP· AB； (2) 若 M 为 CP 的中点， AC＝ 2， ① 如图 2，若∠ PBM＝∠ ACP， AB＝ 3，求 BP 的长； ② 如图 3，若∠ ABC＝45°，∠ A＝∠ BMP＝ 60°，直接写出 BP 的长．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、比例的基本性质、黄金分割
b5
ab
【例 1】已知