初三数学图形的相似

求证：OE=OF 证明：∵AD∥EF∥BC
∴OE=OF
从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：
这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何 两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。 3、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
分析：观察AE、AF、AC、AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形 相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特 点，可设法寻求中间量进行代
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等 于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么 这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或 相似系数）
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相 似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应 相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比 例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应 成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形 相似
图形的相似
相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目 标是：
1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念 和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段 成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
(1)求证：△COM∽△CBA；
(2)求线段OM的长度．
（1）∠COM=∠B=90°，
图X6－4－3
∠ACB为公共角，△COM∽△CBA
（2）OC=5
.
11、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE， F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.①求证：△ADF∽△DEC②若AB＝4,AD ＝3,AE＝3,求AF的长.
当C在线段AB外靠近B一侧时，AC：BC=3 1、 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：__D__
分析： 故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁
是截线、谁是被截 。 2、若，则k=_________。 ，a=b=c, 所以k=
3、如图，△ABC中，AD为BC上的中线，F为AC上的点， BF交AD于E，且AF:FC=3:5，则AE:ED=__6:5__。 作FM//BC交AD于点M，AM:MD=3:5，ME：ED=MF：BD=MF：CD=3:8 AE:ED== 三、简答题 1、 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且 ∠APD=60°，
考点二、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得 的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边 与原三角形的三边对应成比例。
C A D B.
C E D B A
三角形相似及比例式或等积式。 4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常 用处理办法是设“公比”为k。 典型例题
1、 下列命题中，正确的个数是（B） ①等边三角形都相似 ②直角三角形都相似 ③等腰三角形都相似
∴BF2=AF·FC ∴AG2=AF·FC 5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H， BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题 转化为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA、CD交于点P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC
考点一、比例线段
1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就 说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n
在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这 四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题
本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分 线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角 形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边 形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答 或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索 型试题；有利于培养学生的综合素质。
考点三、相似三角形
1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符 号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成 的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下： ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则 △ABC∽△A’’B’’C’’。 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相 交，所构成的三角形与原三角形相似
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的 项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a， b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫 做线段a，c的比例中项。
2、比例的性质 （1）基本性质 ①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项）
9、 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点 C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G， AE·AD=16，AB，
（1）求证：CE=EF
（2）求EG的长
（1）∵AD平分∠CAB ∴∠CAE=∠FAE 又∵AE⊥CF ∴∠CEA=∠FEA=90° 又∵AE=AE ∴△ACE≌△AFE（ASA）
解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠C=∠B=60° 又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60° ∠APB=∠1+∠C=∠1+60° ∴∠PDC=∠APB ∴△PDC∽△APB
设PC=x，则AB=BC=1+x
∴AB=1+x=3。 ∴△ABC的边长为3。
2、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且 和两底平行，交AB于E，交CD于F
①AD//BC
∠ADE=∠DEC ∠AFD+∠B=180°，∠C+∠B=180° 所以∠AFD=∠C，△ADF∽△DEC
②
， AF=2 7、 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°， ∠CDB=60°，
求证：△ABC∽△CBD。 解：过点B作BE⊥CD于点E，
∵∠CDB=60°，∠CBD=75° ∴∠DBE=30°， ∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45° ∴△CBE是等腰直角三角形。 ∵AB=3AD，设AD=k，则AB=3k，BD=2k ∴DE=k，BE ∴ ∴， ∴ ∴△ABC∽△CBD
④锐角三角形都相似 ⑤等腰三角形都全等 ⑥有一个角相等的等 腰三角形相似⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似 ⑧全等三 角形相似
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2、已知点C在直线AB上，且线段AB=2BC，则AC:BC=（ D ）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 1或3
当C在线段AB上时，AC：BC=1
证明：在△ABD和△ADE中， ∵∠ADB=∠AED=90° ∠BAD=∠DAE ∴△ABD∽△ADE
∴AD2=AE·AB 同理：△ACD∽△ADF 可得：AD2=AF·AC ∴AE·AB=AF·AC
4、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE 于G，
求证：AG2=AF·FC 证明：在矩形ABCD中，AD=BC， ∠ADC=∠BCE=90° 又∵E是CD的中点，∴DE=CE ∴Rt△ADE≌Rt△BCE ∴∠EAD=∠EBC ∵FG∥AB ∠GAB=∠FBA ∴AG=BF 在Rt△ABC中，BF⊥AC于F ∴Rt△BFC∽Rt△AFB
∴CE=EF
（2）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，∠CAE=∠DAC ∴△CAE∽△DAC ∴ ∴ 在Rt△ACB中
∴ 又∵CE=EF，EG∥BC ∴FG=GB ∴EG是△FBC的中位线 ∴
10、9．(2012年湖南株洲)如图X6－4－3，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN 交AC于点O.
13、(2011年湖南怀化)如图，△ABC是一张锐角三角形的 硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这 张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的 一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交 点为M.