数学建模《数学模型》

Hamilton方法的不公平性
2. N不变, pi 比pj的增长率大, 会使 ni减少 nj增加(下例).
pi ni pi 增长率 ni
i=1 103 10 114 10.6% 11
i=2 63 6 63
6
i=3 34 4 38 11.7% 3
总和 200 20 215
20
“公平”分配方 法 人数 席位
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用 (对角线与 x 轴的夹角)表示椅子位置
B´ B
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数
C O
A´
A
x
四个距离 (四只脚)
正方形 对称性
两个距离
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f () B,D 两脚与地面距离之和 ~ g ()
C ´ D D´
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
背
Hamilton (比例加惯例) 方法------
景 1792年美国国会用于分配各州众议员名额
已知: m方人数分别为 p1, p2,…, pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N.
记 qi=Npi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, …,m)
m
• 各方先分配qi的整数部分[qi], 总余额为N N [qi ] i 1
• 记ri =qi-[qi], 则第i 方的分配名额ni为
ni

[[qqii
] 1, ri最大的N ], 其他
个
Hamilton方法的不公平性
你碰到过的数学模型——“行程问题”
A、B两地相距960米，甲乙两人分别从A、B 两地同时出发。若相向行走，6分钟相遇；若同向 行走，80分钟甲追上乙。问甲、乙速度各为多少?
解：设甲、乙速度分别为 x、y ，列出方程组：
(x y) 6 960
(x y) 80 960
求解
x =86 y =74
答：甲速为86米/分，乙速为74米/分.
行程问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（甲、乙速度为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示甲速和乙速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程组）； • 求解得到数学解答（x=86, y=74）； • 回答原问题（甲速为86米/分，乙速为74米/分）。
因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席?
若代表会议增加1席，如何分配21席?
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
2.2.1 数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构建
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
2.2.2 数学建模方法
根据对客观事物特性的认识，找出反映
•机理分析 内部机理的数量规律
将对象看作“黑箱”，通过对测量数据的
•测试分析 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
用机理分析建立模型结构，用测试分析确
•综合分析 定模型参数
证明：存在0，使 f (0) = g (0) = 0.
模型求解
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的零点定理,
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
2.3 数学建模示例
2.3.1 方桌问题
把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地， 放不稳。然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同 时着地，就放稳了。为什么？
模 • 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连 型 线呈正方形; 假 设 • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续面;
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
1. p1, p2,…,pm不变, N的增加会使某个ni减少 (上例).
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配 人数 （%） 比例 结果 比例 结果
甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
地面为连续曲面
椅子在任意位置 至少三只脚着地
f( ) , g ( )是连续函数
对任意, f ( ), g ( )
至少一个为0
数学 问题
已知： f ( ) , g ( )是连续函数 ; 对任意， f ( ) • g ( )=0 ;
且 g (0)=0， f (0) > 0.
数学模型 (Mathematical Model)
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其 内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具， 得到的一个数学结构。
数学建模（Mathematical Modeling)
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
2.2 数学建模的步骤与方法
必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子？
2.3.2 席位的公平分配
问 三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会 题 议共20席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席.
第二章 数学建模初步
2.1 数学模型与数学建模 2.2 数学建模的步骤和方法 2.3 数学建模实例分析 2.4 数学模型的特点和分类 2.5 数学建模的学习方法
与数学建模竞赛简介
2.1 数学模型与数学建模
我们常见的模型 玩具、照片、飞机模型… … ~ 直观模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征