夫琅禾费衍射

5.5 104 0 1.22 1.22 2.2 104 rad D 3
（2）设人离开物点的距离为s，两物点的距离为l，则两物点 对人眼的张角为 l / S 当恰能分辨时有

0 ，则
5 103 S m 22.7m 4 0 2.2 10 l
＝m， sin c＝0，极小值（Imin＝0）
(m 1 2)，次极大
半波带法
b
b
角半宽度和半宽度
b
Δθ
Δy
z

b
角半宽度 半宽度
(sin )


y z
z
1 1 [(m+ ) ] 2
2
其光强为中央主极大的 倍
式
y z
z
含义
a.
2. 光强分布
＝m， sin c＝0，极小值（Imin＝0）
1. 不存在理想平面波。 2. 增大通光孔径可减小发散角， 提高分辨本领。 3. 0，波动光学 几何光学 4.
d
h 0, p 量子力学（几率波） 经典力学（决定论）
即：
ab k k b
k 就是所缺的级次
谱线的半角宽度
主最大值的中心 到其一侧的附加最小值 之间的角距离 由下式决定
sin( ) sin ( jN 1) Nd j / d
谱线的半角宽度
sin( ) sin ( jN 1) Nd j / d
例题
比较5m孔径的光学望远镜（λ＝500nm）和孔径为21m的 射电望远镜（ λ ＝21cm）的角分辨极限。 光学望远镜：
( ) min 500nm 1.22 1.22 1.22 107 rad D 5m

射电望远镜：
( ) min 1.22

D
1.22
21cm 1.22 10 2 rad 21m
a
f
分别为衍射因子，干涉因子。
狭缝2
多缝的夫琅合费衍射（衍射光栅）
yi cos i 2
2
1. 双缝衍射
双缝干涉与单缝衍射 的合效果。
设，缝宽为b，则
1
Ii
1
y
0.5
0
15
0 2
15
d ba
设 kbsin , kd sin 2
2
z
Id
0.5
0
6
5
ki
(4 4 y ) i zi
由于 的值不大，故
sin( ) sin (sin ) cos

Nd
即 / Nd cos 结论 ~
Nd
即Nd（光栅的长度） 谱线的锐度愈好。
例题
用一块每厘米5000条刻痕的光栅，观察波长 590nm 的光谱线， 已知刻痕宽度 b 1.0 103 mm 。求
2
讨论： 1. 光场分布：
0,sin c 1,中央主极大
＝m， sin c＝0，零值
A(0)
(m 1 2)，非零值
沿θ＝0方向衍射光场相位差为0， 连成直线。而沿θ方向衍射的光 场，每一个波带均比前一个有 无限小位相差δ。
2 kb sin
A( ) 2 R sin A(0) 2 R
讨论： 1. 光场分布：
0,sin c 1,中央主极大
＝m， sin c＝0，零值
b. 0,sin c 1,中央主极大
角半宽度
(sin )

b


半宽度
y z
z
(m 1 2)，非零值
c.
(m 1 2)，次极大
半宽度
y z
z
c.
(m 1 2)，次极大
1 1 [(m+ ) ] 2
2
(m 1 2)，非零值
其光强为中央主极大的 倍
2.矩孔衍射
0 .8
η
b a
0 .6
z
y`
x`
20 40 60
0 .4
0 .2
ξ
ax by ) sin c 2 (k ) 2z 2z
硅纳米线
SiO2纳米球
SiO2纳米球
来自百度文库题
在正常亮度下，人眼瞳孔的直径约为3mm，在可见光中，对人 眼视觉最敏感的是波长为550nm的黄绿色光，问
（1）人眼的最小分辨角是多大？
（2）若两个物点相距为5mm，问人离开物点多远处恰能将其分辨？ 解：(1) D 3mm 550nm 5.5 104 mm

多缝衍射是多缝干涉 和单缝衍射的合效果。
d

o
dsin
焦距 f
光栅衍射图样的几点讨论
#主极大明条纹中心位置：
(a+b)sin =k k=0,±1, ±2, ±3 · · ·
# 缺极时衍射角同时满足：
b· sin =k'
k'=0,±1, ±2,· · · (a+b) · sin =k k=0,±1, ±2, · · ·
2. 光强分布
a.
＝m， sin c＝0，极小值（Imin＝0）
所以，
A( ) sin
即， b sin m
A(0)＝A(0)sin c

sin 2
I ( )
2
I (0) I (0)sin c 2
若狭缝上下边缘上的“两条”光 对应的光程差为波长整数倍，干 涉相消。
即， b sin m
若狭缝上下边缘上的“两条”光 对应的光程差为波长整数倍，干 涉相消。
b. 0,sin c 1,中央主极大
角半宽度
(sin )
5. 不确定关系（波粒两相性）

b


1. 光场分布：
0,sin c 1,中央主极大
＝m， sin c＝0，极小值（Imin＝0）
衍射现象
衍射现象
衍射(diffraction)
1. 单缝衍射
为求波在θ方向的合光场，把露 出的波面分成无限窄的狭长波带 (半波带) 旋转矢量法
R 2β
b
θ
Δ=b sin θ
A(θ)
A(0)
沿θ＝0方向衍射光场相位差为0， 连成直线。而沿θ方向衍射的光 场，每一个波带均比前一个有 无限小位相差δ。
2
讨论： 1. 衍射光能量大部分集中在第一暗 环以内，称为中央亮区（艾里斑）。 d 1.22 2. 中央亮区角半宽 2f D 可见D越大，d就越小，衍射现象越不显著。 二、光学仪器的分辨率
艾里斑
一般光学仪器成像，可以看成圆孔衍 射。由于衍射现象，会使图像边缘变 得模糊不清。
光学仪器的分辨率
3
ab 2 b
最多能看到3条谱线。
用波长为624nm的单色光垂直照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为 0.012mm，不透明部 分的宽度a为0.029mm，缝数N为1000条，求： (1) 单缝衍射图样的中央角宽度； (2) 单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？
(3) 谱线的半角宽度为多少？
2 kb sin
A( ) 2 R sin A(0) 2 R
为求波在θ方向的合光场，把露 出的波面分成无限窄的狭长波带 旋转矢量法
所以，
A( ) sin

sin 2
A(0)＝A(0)sin c
R 2β A(θ)
I ( )

2
I (0) I (0)sin c
平行光垂直入射时，最多能观察到第几级光谱线？实际能观察 到几条光谱线？
1102 d ab 2 106 m 5000 a b sin 2 106 1 k 3.4 6 0.59 10 故最多能观察到第3级谱线 （4条）
解：
b 1.0 10 mm
多缝的夫琅合费衍射（衍射光栅）
L1 1. 双缝衍射
双缝干涉与单缝衍射 的合效果。
设，缝宽为b，则
b x1 L2 x
S
d ba
设 kbsin , kd sin 2
2
y1 d
狭缝1
P
y
y P
sin 2 I ( ) 4 I 0 I d Ii 4 I 0 co s ( ) 2 2 sin 2 d Id , I cos ( ) i 2
0 0
20
40
60
夫琅禾费衍射光强分布
I I (0) sin c 2 (k
M
0.0022
0.047
0.0022
0.047 0.0022 0.047
0.047 0.0022
3.圆孔衍射
一、光强分布
AK D 2 krD I (r ) Be sin c( ) 2s 2 s
3
2
1
0
1
2
3
4
5
sin 2 I ( ) 4 I 0 I d Ii 4 I 0 co s ( ) 2 2 sin 2 Id , I cos ( ) i 2
Ii I d
k i 4z i
4
2
0
0
50
100
分别为衍射因子，干涉因子。
理想成像，要求每个物点的艾里斑尽量 小。若艾里斑过大，会使像模糊。 S1 1.两个点光源相距较远，能分辨。 S2 2. 两艾里斑的中心相距为艾里斑的 半径时，恰可分辨－艾里判据

最小可分辨角： ( )min 0 1.22
成像系统的角分辨率：
R 1 D ( )min 1.22
D
由 公 式 可 知 ： 光 学 S1 镜 头 直 径 越 大 ， 分 S2 d/2 辨率越高。入射光 波长越短，分辨率 一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的天文望远镜在智利，直径16米，由 4片透镜 越高。
0
组成。电子显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约o.1nm，用它来观察分子结构。
3D 石墨烯
解：(1) 单缝衍射图样的中央角宽度： 2 2 6.24 105 0.104rad 3
b 1.2 10
(2) 单缝衍射的一级暗纹条件为：b×sin 光栅方程为： d × sin j j = d/b=3.42 , 所以中央亮纹内可看到第3级。 (3) 谱线的半角宽度为

Nd cos
0 cos 1


Nd
1.52 105 rad
光场分布
0,sin c 1,中央主极大
＝m， sin c＝0，极小值（Imin＝0） (m 1 2)，非零值
β/ π
光强分布
0,sin c 1,中央主极大
d 3a
150 i
200
250
缺级
多缝的夫琅合费衍射（衍射光栅）
a
2. 多缝衍射(multibeam diffraction)
I ( ) I (0)sin c ( )
2
sin 2 (
N ) 2
…...
sin 2 ( ) 2 I (0) I d I i
缝平面G 透镜L

d
观察屏 P