河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b+c）（b-c）=a（b-a），则内角C等于（）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若A：B：C=1：1：4，则ba+c等于（）A. 15B. 12C. √3−12D. 3−√323.已知a，b∈R，定义区间[a，b]的长度为b-a，若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则实数m的取值为（）A. −14B. 14C. −1D. 14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R），若{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A. A(−∞,3)B. (−∞,2)C. (−∞,1)D. (−∞,0)5.等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A. S4+S8=S12B. S82=S4⋅S12C. S4+S8−S12=S82D. S42+S82=S4(S8+S12)6.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若c=5，b=3√2，cos B=√75，则△ABC 的面积为（）A. 72B. 3√142C. 15√212D. 10√77.下列四个结论：①若a＞b＞0，且c＜0，则ca ＞cb；②√7+√10＞√3+√14；③lg9•lg11＜1；④若1≤x+y≤2，2≤x-y≤4，则4x-2y的取值范围是[6，15]．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若实数x，y满足{2x+y−2≥0x−2y+4≥03x−y−3≤0，则（x-3）2+y2的最小值为（）A. 165B. 185C. 4D. 139.在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则AB的长为（）A. 1B. √3C. √4−√3D. √4+√310.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a11=20，公差d为整数，对任意n∈N*都有S n≥S5，则使S n＞0成立的最小正整数n等于（）A. 5B. 6C. 10D. 1111.关于x的不等式x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,−3]∪[7,+∞)B. (−∞,−2]∪[6,+∞)C. [0,4]D. (−∞,0]∪[4,+∞)12.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若B是A与C的等差中项，b=√3，则a+2c的最大值为（）A. 4B. 5C. 3√3D. 2√7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，若sin A+cos A=a+b，则△ABC的形c状是______．14.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元．15.将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2018，则i+j=______．16.已知正数x，y满足x+y+2xy-4=0，则x+y的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式：ax2-（a2+1）x+a＞0，（-1＜a＜1）．18.在△ABC中，D为AC上一点，且DC=2AD，AB=√3，AD=1，∠ABD=π，∠A为锐角．6（1）求△ABC面积；（2）求BC的长．19. 设数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有√S n =a n +12．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n •2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？21. △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，AB =2，CD =√3．（1）求角C 的最大值； （2）求a +b 的取值范围． 22. 数列{a n }的首项a 1=13，且，a n a n +1-2a n +1+a n =0．（1）求证：数列{1−a n a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =2n （2a n +1-a n ），T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由（b+c）（b-c）=a（b-a）得：a2+b2-c2=ab，即=，∴cosC=，∴C=，故选：B．将已知等式变形后，用余弦定理可得cosC和C．本题考查了余弦定理．属基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，A+B+C=π，A：B：C=1：1：4，∴A=B=，C=，由正弦定理可得：===．故选：C．通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可．本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则m＜0，设方程mx2+2x+3=0的解是x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∵|x1-x2|=4，∴=4，∴-=16，解得：m=（舍）或m=-1，故选：C．根据韦达定理以及解集长度为4得到关于m的方程，解出即可．本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R）数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=（n+1）2-λ（n+1）-（n2-λn）=2n+1-λ＞0恒成立∵2n+1-λ的最小值是2×1+1-λ=3-λ＞0∴λ＜3即实数λ的取值范围是（-∞，3）．故选：A．由已知条件推导出a n+1-a n=2n+1-λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．5.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，设首相为a，公比为q，当q=1时，S4=4a，S8=8a，S12=12a，则A正确，B不正确，C不正确，D正确，当q≠1时，S4==（1-q4），S8=（1-q8），S12=（1-q12），若S4+S8=（1-q8+1-q4）=S12=（1-q12），解得q=±1，故A不一定成立，故选：D．根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵c=5，b=3，cosB=，可得：sinB==，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：18=a2+25-2×a×5×，解得：a=，∴S△ABC=acsinB==．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于①，∵a＞b＞0，c＜0，∴-=＞0，即＞，所以①正确；对于②，＞⇔17+2＞17+2⇔70＞42，所以②正确；对于③，∵lg9+lg11＞2，∴lg9•lg11＜（）2=（）2＜（）2=1，所以③正确；对于④，令x+y=a，x-y=b，则x=，y=，∴4x-2y=2a+2b=a+3b，∵1≤a≤2，2≤b≤4，∴7≤a+3b≤14，即4x-2y的取值范围是[7，14]，所以④不正确．故选：C．对每个结论逐个分析，可知①②③正确，④错误．故选C本题考查了不等式的基本性质．属基础题．8.【答案】B【解析】解：设z=（x-3）2+y2，则z的几何意义为点（x，y）得定点D（3，0）的距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知BD的距离最大，点D到直线3x-y-3=0的距离最小，此时d==，则z=d2=，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意使用数形结合．9.【答案】C【解析】解：如图所示：在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则：△BCD为直角三角形，故：CD=BC=1，利用勾股定理得：BD=．在△ADC中，由于∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，解得：∠DAC=30°．故：AD=DC=1．在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2•AD•BD•cos∠ADB，=1+2-2，=3-=4-，故：AB=．故选：C．首先利用三角形的内角和定理求出△BCD为直角三角形，将进一步求出AD=BC=1，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a7+a11=20，则2a1+16d=20，即a1=10-8d，对任意n∈N*都有S n≥S5，则有a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得：≤d≤，又由公差d为整数，则d=3，则a1=10-8d=-14，则a n=a1+（n-1）d=3n-17，若S n＞0，则有S n==×n＞0，解可得n＞或n＜0，又由n∈N*，则n≥11；即使S n＞0成立的最小正整数n的值为11；故选：D．根据题意，由等差数列的通项公式可得若a7+a11=20，则有2a1+16d=20，即a1=10-8d，又由S n≥S5，分析可得a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得d的值，进而可得首项a1的值，由等差数列的通项公式可得a n=a1+（n-1）d=3n-17，由等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出公差d的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（1）≤0，即（a+3）（7-a）≤0，解可得：a≤-3或a≥7；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；综合可得：a≤-3或a≥7；即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[7，+∞）；故选：A．根据题意，原问题可以转化为函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；分有1个零点与2个零点2种情况讨论a的取值范围，综合即可得答案．本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵2B=A+C，A+B+C=π，得B=，b=，∴由正弦定理得：==2，∴a=2sinA，c=2sinC，则a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin（-A）=2（2sinA+cosA）=2sin（A+φ），（其中tanφ=，φ∈（0，），∴当A=-φ时，a+2c的最大值是2．故选：D．先求得B，由正弦定理得出a=2sinA，c=2sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：∵sinA+cosA=，可得：csinA+ccosA=a+b，∴由正弦定理可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinB，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=sinA+sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=1+cosC，即：sinC-cosC=1，两边平方可得：1-sin2C=1，可得：sin2C=0，∵C∈（0，π），2C∈（0，2π），∴2C=π，可得C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinCsinA=sinA+sinAcosC，由于sinA≠0，可得sin2C=0，结合范围2C∈（0，2π），可求C=即可得解△ABC的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】216000【解析】【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键；设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元，由题意，得，z=2100x+900y，不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得，A（60，100），目标函数z=2100x+900y，经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元，故答案为216000．15.【答案】66【解析】解：由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n（n+1）个数，∴前63行共有×63×64=2016个数，故若a ij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66，故答案为：66．先找到数的分布规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.【答案】2【解析】解：∵x+y≥2，∴0=x+y+2xy-4≤x+y+2×（）2-4．令t=x+y，整理可得，t2+2t-8≥0，∴（t-2）（t+4）≥0∵t＞0∴t≥2，即x+y≥2，当且仅当x=y=1时，取得最小值2．故答案为：2利用x+y≥2进行代换、得出关于x+y的不等式，通过解不等式可确定最值．本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法．17.【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0，不等式的解集为{x|x＜0}；②，当a≠0时，若ax2-（a2+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，该方程有2个根，x1=1a，x2=a，当0＜a＜1时，1a ＞a，则不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当-1＜a＜0时，1a ＜a，则不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，综合可得：当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，【解析】根据题意，分a=0与a≠02种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进行分析．18.【答案】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=ABsin∠ABDAD =√3×sinπ61=√32，∠ADB为三角形的内角．∴∠ADB=π3或2π3，又∠A为锐角，∴∠ADB=2π3，∴∠A=π-π6-2π3=π6．（2）△ABC中，由余弦定理可得：BC2=(√3)2+32-2×√3×3cosπ6=3．∴BC=√3．【解析】（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=，根据∠ADB为三角形的内角，∠A为锐角，可得∠ADB，进而得出∠A．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有√S n=a n+12．则：4S n=(a n+1)2①，当n=1时，解得：a1=1，则：4S n+1=(a n+1+1)2②①-②得：（a n +1+a n ）（a n +1-a n -2）=0， 由于：数列{a n }的各项为正数， 故：a n +1-a n =2（常数），所以：数列{a n }是以a 1=1为首项，2为公差的等差数列． 故：a n =2+2（n -1）=2n -1． （2）由于a n =2n -1，所以：b n =(2n −1)⋅22n−1，所以T n =1⋅21+3⋅23+5⋅25+⋯+(2n −1)⋅22n−1①， 4T n =1⋅23+3⋅25+5⋅27+⋯+(2n −1)⋅22n+1② ①-②得：T n =(6n−59)⋅22n+1+109．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 20.【答案】解：设这种车开x 年报废比较合算，当x ≥6时，总费用为：y =95000+4000x +5000x +500[1+2+3+…+（x -5）] =95000+4000x +5000x +250（x -4）（x -5） =2500x 2+6750x +100000， 平均费用：yx=250x +10000x+6750≥2√250x ⋅100000x+6750=16750，当250x =100000x，即x =20时，取最小值．当x ≤5时，平均费用：y x ≥950005+9000＞16750．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算． 【解析】设这种车开x 年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x 2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥，由此得到这种车开20年报废比较合算．本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 21.【答案】解：（1）在△ADC 中，由余弦定理得：b 2=AD 2+CD 2-2AD •CD •cos ∠ADC =4-2√3cos ∠ADC ，在△BDC 中，由余弦定理得：a 2=BD 2+CD 2-2BD •CD cos ∠BDC =4-2√3cos ∠BDC ，∵∠ADC +∠BDC =π，∴cos ∠ADC +cos ∠BDC =0， ∴a 2+b 2=8， ∴cos C =a 2+b 2−c 22ab ≥a 2+b 2−c 2a 2+b2=8−48=12， ∵0＜C ＜π，y =cos x 在（0，π）上单调递减， 所以角C 的最大值为π3（2）∵CD ＜a ＜CD +AD ，∴√3-1＜a ＜√3+1，∴4-2√3＜a 2＜4+2√3，由（1）知a 2+b 2=8，得b =√8−a 2， ∴a +b =a +√8−a 2，（a +b ）2=8+2a √8−a 2=8+2√−(a 2−4)2+16， ∵-2√3＜a 2-4＜2√3，∴12＜（a +b ）2≤16， ∴2√3＜a +b ≤4， 【解析】（1）分别在△ADC 和△BDC 中用余弦定理，得到a 2+b 2=8，在用cosC 的余弦定理进行放缩，可得；（2）利用（1）问中a 2+b 2=8以及CD ＜a ＜CD+AD ，-1＜a ＜+1，得到a+b=a+，然后求出取值范围．本题考查了余弦定理．属中档题．22.【答案】证明：（1）数列{a n }的首项a 1=13，且a n a n +1-2a n +1+a n =0．则：a n+1=an2−a n ，故：1−a n+1a n+1=1−an2−a na n 2−a n=2⋅1−a n a n ，所以：数列{1−a n a n}是以1−a 1a 1=2为首项，2为公比的等比数列．故：1−a n a n=2⋅2n−1=2n ，整理得：a n =12n +1（首项符合通项）， 故：a n =12n +1．（2）由（1）得：b n =2n（2a n +1-a n ）=2n(2n +1)(2n+1+1)=12n +1−12n+1+1，则：T n=121+1−122+1+122+1−123+1+…+12n+1−12n+1+1=1 21+1−12n+1+1＜13，故：T n＜13．【解析】（1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
河南省洛阳市高二数学上学期期中试题
洛阳市2016——2017学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1,3,5,7,9,11,---的一个通项公式为A ．()()1121n n a n +=-+ B ．()()1121n n a n +=--C ．()()121n n a n =-+D ．()()121nn a n =--2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2,45,75a A C ===，则b 等于A．2 BC．2 D3.已知公比为正数的等比数列{}n a 中，26428,2a a a a ==，则1a =A ．8B ． 4C ．1D ．124. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos a b A <，则ABC ∆为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5.数列中，()1112,1n n naa a n N a *+-==∈+,则2014a =A ．2B ．13 C ．12- D ．3-6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,18k k S S ==，则4k S =A ．24B ． 28C ． 32D ．547. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足下列条件的有两个的是A．1,30a b A === B．2,45b c B ===C ．1,2,3a b c ===D ．3,2,60a b A ===8.给出下列结论：①在ABC ∆中，sin sin ;A B a b >⇔> ②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(],2k ∈-∞；④ABC ∆的内角A,B,C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则ABC ∆为锐角三角形.其中正确结论的个数为A ．0B ．1C ． 2D ．39.定义12n np p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1n ，则12231011111a a a a a a +++= A ．910 B ．920 C ．2021 D ．102110.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a -+< 的解集为A ．()1,2-B ．()(),12,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞11.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为A ．2B ． 4C ． 6D ．812.已知函数()121x f x x +=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2017n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2017S = A ．1008 B ． 1010 C ．20192D ．2019第Ⅱ卷（非选择题，满分90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(371)
永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<2． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．33． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣14． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对9． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．210．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣iD ．﹣1+i12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）fB （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .三、解答题19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女总计（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.63520．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域； （2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.24．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.12． 【答案】A【解析】解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点．设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y ﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x 2相切的直线方程为4x+3y ﹣=0．所以抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．3． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0，∴a=2×0+1=1．故选：B．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．9．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．10．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，∴f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．二、填空题13．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．14．【答案】{1，6，10，12}．【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．15．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为． ∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c c b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.117．【答案】2 【解析】18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．∵3.030＜3.841，∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．∴P（A）=．【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 22．【答案】【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+， ∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；（2）p=2时，y 2=4x ，若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）∴k MN =，∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），∴B 的横坐标为x=3﹣，直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0△＞0可得0＜t 2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b⋅<且,a b 不反向．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。
河南省商丘市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(理)试题 Word版含解析
2018-2019学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1.命题：地否定是 ( )A. B.C. D.【结果】A【思路】【思路】由全称命题地否定直接改写即可.【详解】因为全称命题地否定为特称命题,所以命题：地否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词地命题地否定,一般只需要改量词和结论即可,属于基础题型.2.已知,则下面不等式成立地是 ( )A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】利用不等式地基本性质即可得出结果.【详解】因为,所以,所以,故选B【点睛】本题主要考查不等式地基本性质,属于基础题型.3.在单调递增地等差数列中,若,则 ( )A. －1B.C. 0D.【结果】C【思路】【思路】先设等差数列地公差为,由题中款件列出方程组,求解即可.【详解】设等差数列地公差为,因为,所以有：,解方程组得：。
故选C【点睛】本题主要考查等差数列地性质,由题意列方程组求公差和首项即可,属于基础题型.4.△ABC地内角A,B,C地对边分别为a,b,c.已知,,,则 ( )A. B. 3 C. 2 D.【结果】B【思路】【思路】由余弦定理,列出方程,直接求解即可.【详解】因为,,,由余弦定理可得：,解得或,故,选B【点睛】本题主要考查余弦定理,熟记公式即可,属于基础题型.5.设,则“”是“”地 ( )A. 充分而不必要款件B. 既不充分也不必要款件C. 充要款件D. 必要而不充分款件【结果】D【思路】【思路】先解不等式和不等式,然后结合充要款件地定义判断即可.【详解】由得。
由得,所以由能推出。
由不能推出,故“”是“”地必要不充分款件.故选D【点睛】本题主要考查充分款件和必要款件,结合概念直接判断即可,属于基础题型.6.曲线在点（1,1）处切线地斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【结果】C【思路】试题思路：由,得,故,故切线地斜率为,故选C.考点：导数地集合意义.7.已知向量且互相垂直,则地值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【结果】A【思路】【思路】由向量垂直,可得对应向量数量积为0,从而可求出结果.【详解】因为,所以,,又互相垂直,所以,即,即,所以;故选A【点睛】本题主要考查向量地数量积地坐标运算,属于基础题型.8.若实数x,y满足约束款件则地最大值是( )A. 2B. 0C. 1D. －4【结果】C【思路】【思路】先由约束款件作出可行域,化目标函数为直线方程地斜截式,由截距地取值范围确定目标函数地最值即可.【详解】由约束款件作出可行域如图所示,目标函数可化为,所以直线在y轴截距越小,则目标函数地值越大,由图像易知,当直线过点A时,截距最小,所以目标函数最大为.故选C【点睛】本题主要考查简单地线性规划,只需依据约束款件作出可行域,化目标函数为直线地斜截式,求在y轴截距,即可求解,属于基础题型.9.已知AB是抛物线地一款焦点弦,,则AB中点C地横坐标是 ( )A. 2B.C.D.【结果】B【思路】【思路】先设两点地坐标,由抛物线地定义表示出弦长,再由题意,即可求出中点地横坐标.【详解】设,C地横坐标为,则,因为是抛物线地一款焦点弦,所以,所以,故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线地定义和抛物线地简单性质,只需熟记抛物线地焦点弦公式即可求解,属于基础题型.10.若不等式地解集为,那么不等式地解集为 ( )A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据题中所给地二次不等式地解集,结合三个二次地关系得到,由根与系数地关系求出地关系,再代入不等式,求解即可.【详解】因为不等式地解集为,所以和是方程地两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,所以,故选D【点睛】本题主要考查含参数地一圆二次不等式地解法,已知一圆二次不等式地解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.11.已知双曲线地左.右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足,则地面积为 ( )A. 1B.C.D.【结果】A【思路】【思路】由双曲线地定义可得,联立可求出地长,进而可求三角形地面积.【详解】由双曲线地定义可得,又,两式联立得：,,又,所以,即为直角三角形,所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线地简单性质,双曲线地焦点三角形问题,一般需要借助抛物线地性质,结合题中款件来处理,难度不大.12.若函数有两个零点,则实数a地取值范围为 ( )A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】先求出函数地导函数,利用导函数求出函数地最小值,再依据函数地零点和最值之间地关系即可求出参数地范围.【详解】因为函数地导函数为,令,得,所以当时,,函数单调递减。
河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中物理试卷 (有解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中物理试卷一、单选题（本大题共9小题，共27.0分）1.下列说法正确的是()A. 电源被短路时，放电电流无穷大B. 外电路断路时，路端电压最低C. 外电路电阻减小时，路端电压升高D. 不管外电路电阻怎样变化，其电源的内、外电压之和保持不变2.下列说法正确．．的是()A. 电场强度E是矢量，真空中点电荷的电场强度定义式为E=k Qr2B. 磁感应强度B是矢量，其定义式为B=FILC. 电流I是标量，其定义式为I=neSvD. 电容C是标量，平行板电容器的电容定义式为C=εS4πkd3.如图所示，图中直线①表示某电源的路端电压与电流的关系图象，图中曲线②表示该电源的输出功率与电流的关系图象，则下列说法不正确的是()A. 电源的电动势为50VΩB. 电源的内阻为253C. 电流为2.5A时，外电路的电阻为15ΩD. 输出功率为120W时，输出电压是30V4.如图所示，在x、y轴上分别放一根通电直导线(彼此绝缘)，电流大小均为I，方向如图所示．则由电流产生的磁场叠加后的磁感应强度为零的位置应在()A. 第Ⅰ、Ⅱ象限B. 第Ⅲ、Ⅳ象限C. 第Ⅰ、Ⅲ象限D. 第Ⅱ、Ⅳ象限5.如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，一个带电微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上运动，下列说法正确的是()A. 微粒可能带负电，可能带正电B. 微粒的机械能一定增加C. 微粒的电势能一定增加D. 微粒动能一定减小6.回旋加速器是加速带电粒子的装置，其主体部分是两个D形金属盒．两金属盒处在垂直于盒底的匀强磁场中，a、b分别与高频交流电源两极相连接，下列说法正确的是A. 带电粒子从磁场中获得能量B. 带电粒子的运动周期是变化的C. 带电粒子由加速器的中心附近进入加速器D. 增大金属盒的半径，带电粒子射出时的动能不变7.关于带电粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是()A. 带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动B. 带电粒子飞入匀强磁场后做匀速圆周运动时，速度一定不变C. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆运动的半径与速度无关D. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆运动的周期与速度无关8.如图，一绝缘光滑固定斜面处于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，通有电流I的金属细杆水平静止在斜面上。
2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ， 且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。
河南省洛阳市2018-2019学年高二下学期期中考试理数试题Word版含解斩
河南省洛阳市2018-2019学年下学期期中考试高二理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，复数对应的点为，则复数的共轭复数的虚部为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知,,所以,所以复数的共轭复数的虚部为；故选B.2. 曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】有题意可知，，所以，所以曲线在点处的切线方程为.3. 有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；已知函数在上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（）A. 大前提错误，结论错误B. 小前提错误，结论错误C. 推理形式错误，结论错误D. 该段演绎推理正确，结论正确【答案】A【解析】∵大前提是：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当附近的导函数值异号时，那么是函数的极值点，∴大前提错误，导致结论错误，故选A．4. 函数的图象不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于图像C，可知该函数的导函数由三个零点，又∵，可知至多2个零点，所以可知选项C错误，故选C．5. “”是“函数有极值”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B6. 由曲线，直线，所围成的平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,故选D.考点：定积分的应用. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：比较大小8. 一物体沿直线做运动，其速度和时间的关系为，在到时间段内该物体行进的路程和位移分别是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为；该物体的行进的位移为，故选A.9. 函数的图象如图所示，设是的导函数，若，下列各式成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的图象可知，在区间上单调递减，由基本不等式的性质可知，，所以，故选D.10. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】求导函数，可得，函数在定义域内是增函数，所以成立，即恒成立，所以，所以，所以时，函数在定义域内是增函数．故选B．11. 已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】令，则，∵∴，∴在上递减，∴，，∴∴，，故选C.12. 对于函数，，下列说法错误的是（）A. 函数在区间是单调函数B. 函数只有1个极值点C. 函数在区间有极大值D. 函数有最小值，而无最大值【答案】C点睛：对于①针对函数的性质，当时，由三角函数线可知，；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数在区间上的平均变化率为__________．【答案】2【解析】函数在区间上的平均变化率为：．14. 定积分__________．【答案】【解析】．15. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在平行四边形中（如图甲），有，利用类比推理，在平行六面体中（如图乙），__________．【答案】【解析】如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，因此，在平行四边形中，…①；在平行四边形中，…②；在平行四边形中，…③；②、③相加，得…④将①代入④，再结合得，．16. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数是纯虚数（）.（1）求的值；（2）若复数，求.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）因为复数是纯虚数，可得，据此解不等式组，求交集，即可求出结果；（2）由（1）知，，可得，然后再根据复数的除法公式可得，然后再根据复数的模的公式即可求出结果.试题解析：（1）因为复数是纯虚数.∴，于是，∴.（2）由（1）知，，∴.∴.18. 证明：若，，，则，，至少有一个不大于.【答案】见解析.【解析】试题分析：首先根据题意，通过反证法假设，，中没有一个不大于-2，得出，即，然后根据基本不等式，得出，相互矛盾，即可证明．19. 如图，在海岸线由抛物线和线段组成的小岛上建立一个矩形的直升机降落场，要求矩形降落场的边与小岛海岸线重合，点，在抛物线上，其中直线是抛物线的对称轴，米，海岸线米，求降落场面积最大值及此时降落场的边长.【答案】，米，米.【解析】试题分析：以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为.设，则，矩形面积，然后再利用导数即可求出最大值.试题解析：如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为.设，则，矩形面积，所以，令，解得或.当，；，；所以当时，，此时矩形边长米，米.20. 已知数列的通项公式，其前项和为.（1）求；（2）若，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】（1）;（2）见解析.（2）∵，∴，，，，于是猜想.下证明猜想：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，那么，当时，所以，时，猜想成立.由①②可知，对任意都成立.21. 已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围；【答案】（1）极小值，而无极大值;(2).试题解析：（1）若，则，函数的定义域为，，令，即：，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，在处取得极小值，而无极大值.(2)若在定义域内单调递减，则在恒成立，即对任意的恒成立.令，则，解，得，当时，，单调递减；当，，单调递减，所以，在上有最大值，于是，的取值范围为.点睛：利用导数求函数的极值的一般方法：求函数的极值的方法：（1）求导数；（2）求方程的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极大值；如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极小值.22. 已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）;（2）见解析.即证对恒成立，令，然后再根据导数在函数单调性中的应用即可求出结果.试题解析：（1）函数的定义域为，因为有两个零点，，所以函数与函数有两个不同的交点，，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，并且当，，于是的图象大致为：函数与函数有两个不同的交点时，的取值范围是.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题含解析
数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章~第二章第3节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l (0,2)，则直线l 的方程为（）A.2y =+B.2y =-C.2y =-D.2y =+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，直线l ，且经过点(0,2)，根据直线的点斜式方程，可得20)y x -=-，即2y =+.故选：D.2.已知O 是坐标原点，空间向量()1,1,2OA = ，()1,3,4OB =- ，()2,4,4OC = ，若线段AB 的中点为D ，则=CD （）A.9B.8C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算.【详解】由题意(1,1,2),(1,3,4),(2,4,4)A B C -，则()0,2,3D ，所以()2,2,1CD =---，所以3CD =，故选：C.3.已知直线l 经过点()3,2--，()1,2，则下列不在直线l 上的点是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()2,1【答案】D 【解析】【分析】由已知的两点求出直线l 的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.【详解】由直线的两点式方程，得直线l 的方程为()()()()232213y x ----=----，即10x y -+=，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点()2,1--，()1,0-，()0,1都在直线l 上，点()2,1不在直线l 上．故选：D ．4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为()6,1,4A -，()3,0,2B ，()1,4,5C -，则点D 的坐标为（）A.()2,3,7 B.()4,5,3- C.()10,5,1- D.()4,5,3--【答案】A 【解析】【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【详解】设(),,D x y z ，因为AC 与BD 的中点相同，所以613140452,,222222x y z -+-++++===，解得2,3,7x y z ===，所以()2,3,7D .故选：A.5.已知点A ，B 分别是直线1:220l x y +-=与直线24210:l x y ++=上的点，则AB 的最小值为（）A.0B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】由两平行直线间的距离定义和公式可求.【详解】由题意可知直线12//l l ，所以当1AB l ⊥，且2AB l ⊥时，AB 有最小值，其最小值为平行直线1l 与2l 的距离，直线1l 的方程可化为24240:l x y +-=，所以min 5||2AB ==故选：C.6.已知点()1,3A -，()3,1B ，过点()0,1C -的直线l 与线段AB 相交，则l 的斜率的取值范围为（）A.13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.13,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.(]2,4,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先求得直线AC 和直线BC 的斜率，再利用数形结合法求解.【详解】解：如图所示：()()311124,10303AC BC k k ----==-==---，由图象知：当l 的斜率不存在时，直线与线段AB 相交，故l 的斜率的取值范围为(]2,4,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭.故选：D.7.在四面体ABCD 中，点E 满足DE DC λ=，F 为BE 的中点，且111236AF AB AC AD =++ ，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F 为BE 的中点，得1122AF AB AE =+，又111236AF AB AC AD =++ ，所以2133AE AC AD =+ ，由DE DC λ= ，得()AE AD AC AD λ-=- ，即()1AE AC AD λλ=+- ，所以2.3λ=故选：D8.已知点(),a b 在线段()3410026x y x +-=-≤≤上，则222a b +-的取值范围是（）A.[]2,18 B.[]2,38 C.[]0,38 D.0,2⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离.【详解】由()3410026x y x +-=-≤≤的图象如下，又(),a b 是上图线段上的一点，且22a b +为原点到该线段上点距离的平方，上述线段端点分别为(2,4),(6,2)--，到原点距离的平方分别为20,40，由图知：原点到线段的距离22|10|234d =+，则24d =，综上，22[4,40]a b +∈，故222[2,38]a b +-∈.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i j k、、是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）A.对于空间中的任意一个向量m，总存在实数x y z ，，，使得m xi y j zk=++ B.若{}i j k 、、是空间的一个基底，则{}2i j j k k i - -3、+、也是空间的一个基底C.若i j ⊥ ，k j ⊥ ，则//i kD.若i j k 、、所在直线两两共面，则i j k 、、共面【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量基本定理分别判断.【详解】由空间向量基本定理.可知只有当i j k 、、不共面时.i j k 、、才能作为基底，才能得到m xi y j zk =++，故A 错误：若{}i j k 、、是空间的一个基底，则i j k 、、不共面.2i j j k k i - -3、+、也不共面，所以{}2i j j k k i --3、+、也是空间的一个基底，故B 正确；若i j ⊥ ，k j ⊥ ，则i k、不一定平行，故C 错误；若i j k 、、所在直线两两共面，则i j k 、、不一定共面，故D 错误.故选：ACD.10.已知直线123l l l ，，的倾斜角分别为123θθθ，，，斜率分别是123k k k ，，，若123θθθ<<，则123k k k ，，的大小关系可能是（）A.123k k k <<B.321k k k <<C.312k k k <<D.231k k k <<【答案】ACD 【解析】【分析】由tan k x =在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋ê ë分别单调递增，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k >；π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k <，分类讨论分析即得解.【详解】由tan k x =在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋ê ë分别单调递增，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k >；π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k <，若123π02θθθ<<<<，或123ππ2θθθ<<<<，则123k k k <<，故A 正确；若123π0π2θθθ<<<<<，则312k k k <<，故C 正确；若123π0π2θθθ<<<<<，则231k k k <<，故D 正确，无论哪种条件下，B 都不成立.故选：ACD.11.已知直线l 经过点(3,4)P -，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线l 的方程为（）A.10x y ++=B.430x y +=C.70x y --=D.43240x y --=【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程，结合待定系数法求解即得.【详解】依题意，直线l 的截距存在且不为零，设直线l 的方程为1x ya b+=，又直线l 过点(3,4)P -，于是3a +41b -=，又l 与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则||||a b =，当a b =时，341a a-+=，解得1a =-，此时直线l 的方程为10x y ++=；当a b =-时，341a a-+=-，解得7a =，此时直线l 的方程为70x y --=.所以直线l 的方程为10x y ++=或70x y --=.故选：AC12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB BB BC M N ===，，分别为棱111,A D AA 的中点，则下列结论正确的是（）A.MN //平面1ABCB.1B D ⊥平面CMNC.异面直线CN 和AB 所成角的余弦值为33D.若P 为线段11A C 上的动点，则点P 到平面CMN 的距离不是定值【答案】AD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()()11110,4,0,2,0,0,2,4,0,0,4,4,0,0,4,2,0,4,2,4,4A C D A B C D ，()()1,4,4,0,4,2M N 对于A ，因为()()11,0,22,0,42NM BC NM ===，，所以1//BC MN ，又1BC ⊂平面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，所以MN //平面1ABC ，故A 正确；对于B ：()()()12,4,41,4,42,4,2B D CM CN =-=-=- ，，，设平面CMN 的法向量为(),,m x y z = ，则0.0.m CM m CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440.2420.x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩令1z =，则32.2x y =-=-，所以平面CMN 的一个法向量为32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，因为1B D 与32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 不平行，所以1B D ⊥平面CMN 不成立，故B 错误；对于C ：()()2,4,20,4,0CN AB =-=-，，设异面直线CN 和AB 所成的角为θ，则166cos cos ,341644CN AB CN AB CN ABθ⋅-===++⨯⋅，故C 错误；对于D ，设()[]()1112,4,00,1A P A C λλλλ==-∈，所以()1122,44,4CP CA A P λλ=+=--，又平面CMN 的一个法向量为32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以点P 到平面CMN 的距离292m CP d m⋅==不是定值.故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()(3,2,,2,3,a m b =-=- ，若a b ⊥，则m =______.【答案】-【解析】【分析】由空间向量垂直的条件求解.【详解】由a b ⊥，得()()32230.-⨯-+⨯+=解得m =-故答案为：-14.若直线()310m x y -++=与直线()2230x m y --+=垂直，则实数m =______.【答案】83##223【解析】【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为直线()310m x y -++=与直线()2230x m y --+=垂直，所以()()2320m m ---=，解得83m =，故答案为：83.15.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题———“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A （2，4），军营所在位置为B （6，2），河岸线所在直线的方程为x +y -3=0，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出点B 关于直线30x y +-=的对称点B '，数形结合分析得，“将军饮马”的总路程的最小值为AB '.【详解】由题可知A ，B 在30x y +-=的同侧，设点B 关于直线30x y +-=的对称点为(),B a b '，则()6230222116a b b a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，即()1,3B '-，所以“将军饮马”的总路程的最小值为AB '=故答案为：16.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，PC PD ⊥，PC PD =，点O 是CD 的中点，则线段PB 上的动点E 到直线AO 的距离的最小值为______.【答案】【解析】【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解.【详解】解：如上图，取AB 的中点为O '.连接PO 、OO '、AE .∵PC PD =，点O 是CD 的中点，∴PO CD ⊥.又∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，∴PO ⊥平面ABCD .又∵OO '⊂平面ABCD ∴PO OO '⊥.又∵底面ABCD 是矩形，O 、O '是CD 、AB 中点，∴OO CD '⊥.∴以点O 为原点，OO '、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，由PC PD ⊥，PC PD =，26CD AB BC ===，得3PO OC OD ===，3AD BC ==.∴()3,3,0A -，()3,3,0B ，()0,0,3P ，则()3,3,0AO =- ，()3,3,3BP =-- ，设BE BP λ= ()01λ≤≤，则()33,33,3E λλλ--，()3,63,3AE λλλ=-- ，AE =，∵AO == ，∴向量AO的单位方向向量AO v AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()36330AE v λλλ⎛⋅=-⨯-+-⨯⨯= ⎝，因此点E到直线AO 的距离d ==，当23λ=时，d ，∴线段PB 上的动点E 到直线AO..【点睛】向量法求点到直线距离的步骤：1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量v .2.在直线上任取一点M （可选择特殊便于计算的点），计算点M 与直线外的点N 的方向向量点MN.3.点N 到直线的距离d =四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知三条直线134110l x y -+=：，2230l x y +-=：和()()3231230l m x m y m --+-+=：.（1）若13//l l ，求实数m 的值；（2）若三条直线相交于一点，求实数m 的值.【答案】（1）3（2）23【解析】【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可；（2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可.【小问1详解】因为134110l x y -+=：，()()3231230l m x m y m --+-+=：且13//l l .所以()()31423m m ⎡⎤⨯-+=-⨯-⎣⎦.解得3m =.经检验，3m =时，13//l l .【小问2详解】由34110230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩即1l 与2l 的交点为()1,2-，因为三条直线相交于一点，所以点()1,2-在3l 上，所以()()()23112230m m m ---+-+=.解得23m =.18.已知ABC 的三个顶点分别为()2,3A ，()0,5B ，()6,1C -.（1）求边AB 上的高CD 所在直线的方程；（2）求边AB 上的中线CE 所在直线的方程.【答案】（1）7y x =+（2）32577y x =+【解析】【分析】（1）先求得直线AB 的斜率，利用点斜式求得边AB 上的高CD 所在直线的方程.（2）先求得E 点坐标，再根据两点式求得边AB 上的中线CE 所在直线的方程.【小问1详解】53102AB k -==--，所以直线CD 的斜率为1，所以直线CD 的方程为()116,7y x y x -=⨯+=+【小问2详解】线段AB 的中点()1,4E ，所以直线CE 所在直线方程为()163325,16,4116777y x y x y x -+=-=+=+-+.19.如图，在四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，23BAD CAD π∠=∠=，2BAC π∠=，点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =.（1）用AB ，AC ，AD 表示AN ，DM ；（2）求异面直线AN ，DM 所成角的余弦值.【答案】（1）2133AN AB AC =+ ，12DM AB AD =-（2）370【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法求向量数量积及夹角.【小问1详解】因为点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =，所以12AM AB = ，13BN BC = ，所以()11213333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，12DM DA AM AB AD =+=- ；【小问2详解】因为3AB =，2AC AD ==，23BAD CAD π∠=∠=，2BAC π∠=，所以32cos 02AB AC π⋅=⨯⨯= ，232cos 33AB AD π⋅=⨯⨯=- ，222cos 23AC AD π⋅=⨯⨯=-所以2103AN ==，2DM == ，211332AN DM AB AC AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111733633AB AB AD AB AC AC AD =-⋅+⋅-⋅= ，所以173cos ,37032AN DM AN DM AN DM ⋅==⋅ ，即异面直线AN ，DM所成角的余弦值为370.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BA BC ⊥，12BA BC BB ===，D ，E ，F 分别为1AA ，11B C ，AB 的中点.（1）证明：//EF 平面11ACC A ；（2）求直线CE 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】（1）取AC 的中点G ，连接FG ，1GC ，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.【小问1详解】证明：取AC 的中点G ，连接FG ，1GC ，因为F ，G 分别为AB ，AC 的中点，所以//FG BC ，12FG BC =，又E 为11B C 的中点，11//BC B C ，11BC B C =，所以1//FG EC ，1FG EC =，所以四边形1EFGC 是平行四边形，所以1//EF GC ，又EF ⊄平面11ACC A ，1GC ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A .【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥，又BA BC ⊥，故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0C ，()2,0,1D ，()0,1,2E ，()1,0,0F ，所以()1,1,2FE =- ，()1,0,1FD = ，()0,1,2CE =- ，设平面DEF 的法向量为(),,m x y z = ，则200m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =得3y =，1z =-，所以平面DEF 的一个法向量为()1,3,1m =- ，设直线CE 与平面DEF 所成的角为θ，则sin cos ,11m CE m CE m CEθ⋅=== ，即直线CE 与平面DEF所成的角的正弦值为11.21.已知直线:20l ax y a -+-=恒过点P ，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点.（1）求点P 的坐标；（2）当点O 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程；（3）当PA PB ⋅取得最小值时，求AOB 的面积.【答案】（1）()1,2（2）250x y +-=（3）12或92【解析】【分析】（1）把直线l 的方程可化为(1)(2)0a x y ---=，联立方程组，即可求解；（2）当OP l ⊥时，点O 到直线l 的距离最大，结合1OP l k k ⋅=-，求得12l k =-，即可求得直线l 的方程；（3）分别求得2(,0)a A a-和(0,2)B a -，得到12()PA PB a a ⋅=+，结合基本不等式，得到1a =±，分类讨论，即可求得AOB 的面积.【小问1详解】解：直线l 的方程可化为(1)(2)0a x y ---=，令1020x y -=⎧⎨-=⎩，解得1,2x y ==，即点P 的坐标为()1,2.【小问2详解】解：当OP l ⊥时，点O 到直线l 的距离最大，此时直线OP 的斜率OP k 与直线l 的斜率l k 满足1OP l k k ⋅=-，因为2OP k =，所以12l k =-，即12a =-，所以直线l 的方程为15220x y +--=，即250x y +-=.【小问3详解】解：令0y =，可得2a x a -=，所以2(,0)a A a-；令0x =，可得2y a =-，所以(0,2)B a -，且0,2a a ≠≠，可得PA PB ====，所以12()24PA PB a a ⋅=+≥⨯当且仅当1a =±时，等号成立，当1a =时，直线l 的方程为10x y -+=，此时(1,0),(0,1)A B -，可得AOB 的面积为1122S OA OB ==；当1a =-时，直线l 的方程为30x y +-=，此时(3,0),(0,3)A B ，可得AOB 的面积为1922S OA OB ==，综上可得，AOB 的面积为12或9.222.如图，在三棱台111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，11124,2AB A B CC ===，侧棱1CC ⊥平面ABC ，点D 是棱AB 的中点，点E 是棱1BB 上的动点（不含端点B ）.（1）证明:平面11AA B B ⊥平面1DCC ；（2）求平面ABE 与平面ACE 的夹角的余弦值的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）17【解析】【分析】（1）先分别证明1CC AB ⊥、CD AB ⊥，由此即可证明AB ⊥平面1DCC ，从而由面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，设(]()10,1BE BB λλ=∈ ，分别求出求平面ABE 与平面ACE 的法向量12,n n （含有参数λ），由公式即可表示出121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==⋅ （它可以看成是关于λ的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解.【小问1详解】因为ABC 是等边三角形，点D 是棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥，又1= CC CD C ，1,CC CD ⊂平面1DCC ，所以AB ⊥平面1DCC ，又AB ⊂平面11AA B B ，所以平面11AA B B ⊥平面1DCC .【小问2详解】在平面ABC 中，过点C 作//CF AB ,由（1）可知1CC AB ⊥，CD AB ⊥，所以1CC CF ⊥，CD CF ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CC CD ⊥，以C 为坐标原点，1,,CD CF CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：因为ABC 是等边三角形，11124,2AB A B CC ===，所以()23,2,0A -，()3,2,0B ，()10,0,2C ，因为1112C B CB = ，所以)13,1,2.B 设(]()10,1BE BB λλ=∈ ，所以()13,,2BE BB λλλλ==- ，所以()33,2,2.E λλλ-设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z = ，又()()0,4,0,3,4,2,AB AE λλλ==- 所以1100AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()1111403420y x y z λλλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩，令12x =，得110,3y z ==，所以平面ABE 的一个法向量为(12,0,3,n = 设平面ACE 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()3,2,0,AC =- 所以2200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()2222323203420y x y z λλλ⎧-+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，令21x =，得)2323,,y z λλ-==所以平面ACE 的一个法向量为)2323,n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABE 与平面ACE 的夹角为θ，所以121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 设()32625t λλλ-=+=-，因为(]0,1λ∈，所以(],1t ∈-∞-，所以[)11,0t ∈-，所以cos 77θ==⋅设[)11,0u t=∈-，则由复合函数单调性可知()7f u =在[)1,0u ∈-时单调递增，所以当11165u t λ=-==-时，即1λ=时，cosθ取到最小值()211177f -=⨯=.。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
2018届河南省洛阳市高三(上)数学期中考试试题(文)
洛阳市2017—2018学年高中三年级期中考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}1,3A =，则集合U C A 的子集的个数为A ．16B ．8C ．7D ．42．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()1,1,2,1-，则21z z = A ．1322i + B ．1322i -+ C ．1322i - D ．1322i -- 3．设m R ∈，则"2"m =是“1,,4m 成等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()[][]2,0,1,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，若()()2f f x =，则x 取值集合为 A ．∅ B ．[]0,1 C ．{}2 D ．{}[]20,1U5．设,a b 是不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列四个命题中错误的是A ．若,,a b a b αα⊥⊥⊄，则//b αB ．若,//,a a βα⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥,,a β⊥，则//a αD ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则a β⊥6．设等差数列{}n a 满足3835a a =，且10,n a S >为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为A ．15SB ．16SC ．29SD ．30S7．等比数列{}n a 中，1102,4a a ==，函数()()()()1210f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=A ．62B ．92C ．122D ．1528．已知函数()sin 0,1y a b x b b =+>≠的图像如图所示，那么函数()log b y x a =+的图像可能是9．某几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．60B ．48C ．24D ．2010．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．将函数()f x 的图像向右平移8π个单位，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图像11．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()2,3,3,2,1,1A B C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域内（包含边界），设(),OP mAB nCA m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则2m n +的最大值为A ．－1B ．1C ．2D ．312．已知定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当[]1,x π∈时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是A ．1,ln e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．{}ln ,ln 0ππππ⎛⎤ ⎥⎝⎦U C ．[]0,ln ππ D ．{}1,ln 0eππ⎛⎤ ⎥⎝⎦U 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()()2,2,1,0a b =-=r r ，若向量c r 与a b λ+r r 共线，则λ= ．14．若函数()212xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，则实数k = ． 15．已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则2017a = ． 16．已知菱形ABCD 边长为2，60A =o 将ABD ∆沿对角线BD 翻折成四面体ABCD ，当四面体ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程．17．（本题满分10分）设函数()21cos 3sin .22f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递减区间；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值．18．（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项的和为6，且248,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值．19．（本题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()2,,cos ,cos m c b a n A C =-=u r r ，且.m n ⊥u r r（1）求角A 的大小；（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积．20．（本题满分12分）已知函数()()32,,.f x x ax bx c a b c R =+++∈ （1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．21．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，60,ADC ADP ∠=∆o 是边长为2的等边三角形，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，1,3, 6.BC CD PB ===（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥B PQM -的体积．22．（本题满分10分）已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()x f x ae =且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=（1）求,a b 的值；（2）若存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值．答案这样看来，一般来说，生活中，若如果我们听到坏消息怎么样出现了，我们就不得不考虑它出现了的事实。