九年级数学上册第22章二次函数小结课件新版新人教版
小结
3．若抛物线 y＝x2－2x＋c 与 y 轴的交点坐标为(0，－3)，则下
列说法不正确的是( C ) A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴是直线 x＝1 C．当 x＝1 时，y 的最大值为－4 D．抛物线与 x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)
小结
【解析】因为抛物线 y＝x2－2x＋c 中 a＞0，
小结
类型之三 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
12．已知二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交
点为(1，0)，则关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是( B )
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
－m－1 ∴ 2 ≤1， 解得 m≥－1.
小结
7．如图 22－X－3，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(0，－3)， 请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在(1，0)和(3， 0)之间，你所确定的 b 的值是___答__案_不__唯__一_，__如_－__12_______．
D．y 的最小值是－4
图 22－X－2
小结
【解析】y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，则该抛物线与 x 轴的两交点的横坐 标分别是－3，1.
又 y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴该抛物线的顶点坐标是(－1，－4)，对称 轴为直线 x＝－1.
由于无法确定点 A，B 离对称轴 x＝－1 的远近，故无法判断 y1 与 y2 的大小，
图 22－X－4
小结
【解析】由抛物线的开口向下可推出 a＜0，所以①正确；由图象可知：当
x＝1 时，y＞0，a＋b＋c＞0，所以②正确；因为对称轴在 y 轴右侧，对称轴为
直线
b x＝－2a＞0，所以③正确；由图象与
x
轴有两个交点可知：b2－4ac＞0，
所以④正确．综上可知，正确的结论有①②③④.
小结
小结
【解析】∵二次函数的解析式是 y＝x2－3x＋m(m 为常数)， 3
∴该抛物线的对称轴是直线 x＝2. 又∵二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)， ∴根据抛物线的对称性知，该抛物线与 x 轴的另一个交点是(2，0)， ∴关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是 x1＝1，x2＝2.
小结
类型之二 用待定系数法确定二次函数的解析式
10．设抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 A(0，2)，B(4，3)，C 三点， 其中点 C 在直线 x＝2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，
则抛物线的函数解析式为____y＝__18_x_2－__14x_＋__2_或__y_＝_－__18_x2_＋_34_x_＋__2 _____．
答：8580 元的销售利润不是最多的，当定价为每盒 110 元或 111 元时，销售 利润最大，最大利润为 9300 元．
小结
类型之五 数学活动
15．2017·金华 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线
为抛物线的一部分，如图 22－X－9，甲在点 O 正上方 1 m 的 P 处发出一 球，羽毛球飞行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满足函数解析式 y＝ a(x－4)2＋h.已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m.
所以抛物线的开口向上，故 A 项正确； 因为对称轴为直线 x＝－2ba＝－2－×21＝1，故 B 项正确；
因为抛物线 y＝x2－2x＋c 与 y 轴的交点坐标为(0，－3)，所以 c＝－3， 即抛物线的函数解析式为 y＝x2－2x－3， 当 y＝0 时，x2－2x－3＝0，解得 x1＝3，x2＝－1，
小结
13．二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象如图 22－X－7 所示，
对称轴是直线 x＝－1，与 x 轴交于点(1，0)，若 y＜0，则 x 的取值
范围是( C )
A．x＞0
B．x＞1
C．x＜－3 或 x＞1
D．－3＜x＜1
图 22－X－7
小结
【解析】设抛物线与 x 轴的另一交点坐标为(x，0)， 则x＋2 1＝－1，得 x＝－3， ∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标为(－3，0)， ∴当 y＜0 时，x 的取值范围是 x＜－3 或 x＞1.
故选项 A，B 错误； 易得 y 的最小值是－4，故选项 C 错误，选项 D 正确．
小结
6．2017·东海县校级一模 已知二次函数 y＝x2＋(m－1)x＋1， 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是_m_≥__－_1___．
【解析】抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝－m－2 1. ∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，
(2)－2ba＝3.
由方程组(1)解得ab＝ ＝18－，14.由方程组(2)解得ab＝ ＝4－ 3.18，
故答案为 y＝18x2－14x＋2 或 y＝－18x2＋34x＋2.
小结
11．2016·宁波 如图 22－X－6，已知抛物线 y＝－x2＋mx＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为(3，0)．
－2 与 x＝2 时，y＝－11.故选 D.
小结
5．2016·沈阳 在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2＋2x－3
的图象如图 22－X－2 所示，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图
象上的两点，其中－3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是( D )
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y 的最小值是－3
y … －11 －2 1 －2 －5 …
由于粗心，他算错了其中一个 y 的值，则这个错误的数值是
(D)
A．－11 B．－2
C．1
D．－5
小结
【解析】通过观察表格中的数据，发现对称轴是 y 轴，则当 x＝－2 与 x＝2 时的函数值相等，说明点(－2，－11)，(2，－5)中必有一个点的坐标是错误的．将 (－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入 y＝ax2＋bx＋c，求得 y＝－3x2＋1，当 x＝
(1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标； (2)P 是抛物线的对称轴 l 上的一个动点，当 PA＋PC 的值最小 时，求点 P 的坐标．
图 22－X－6
小结
解：(1)把 B(3，0)代入 y＝－x2＋mx＋3， 得 0＝－32＋3m＋3，解得 m＝2， ∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)． (2)如图，连接 BC 交抛物线的对称轴 l 于点 P，则此时 PA＋PC 的值最小． 设直线 BC 的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)， 由 y＝－x2＋mx＋3 可得 C(0，3)， 把 B(3，0), C(0，3)代入 y＝kx＋b，得 03＝ ＝3bk，＋b，解得kb＝ ＝－ 3，1，∴直线 BC 的函数解析式为 y＝－x＋3. 当 x＝1 时，y＝－1＋3＝2，∴当 PA＋PC 的值最小时，点 P 的坐标为(1，2)．
即可求得
h
的值；
②把 x＝5 代入 y＝a(x－4)2＋h 可求得网球的高度，与 1.55 m 比较大小，做出
12 正确的判断；(2)由题意，把点(0，1)，(7， 5 )代入
y＝a(x－4)2＋h
即可求得
a 的值．
小结
解：(1)①把(0，1)，a＝－214代入 y＝a(x－4)2＋h， 得 1＝－214×16＋h，解得 h＝53. ②把 x＝5 代入 y＝－214(x－4)2＋53，得 y＝－214(5－4)2＋35＝1.625. ∵1.625>1.55，∴此球能过网． (2)把点(0，1)，(7，152)代入 y＝a(x－4)2＋h，得196a＋ a＋h＝ h＝1521， ，解得ah＝ ＝－ 25115.，
第二十二章 二次函数
小结
小结
类型之一 二次函数的图象与性质
1．2016·毕节 一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在
同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )
图 22－X－1
小结
2．2016·山西 将抛物线 y＝x2－4x－4 先向左平移 3 个单位长
度，再向上平移 5 个单位长度，得到抛物线的函数解析式为( D )
9．已知抛物线 y＝－x2＋(m－1)x＋m 与 y 轴交于点(0，3)． (1)求出 m 的值并画出这条抛物线； (2)求抛物线与 x 轴的交点坐标和它的顶点坐标； (3)当 x 取什么值时，抛物线在 x 轴上方？ (4)当 x 取什么值时，y 的值随 x 值的增大而减小？
图 22－X－5
小结
解：(1)由抛物线 y＝－x2＋(m－1)x＋m 与 y 轴交于点(0，3)，得 m＝3，∴y＝ －x2＋2x＋3.抛物线如图所示：
即抛物线与 x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，故 D 项正确；
因为 y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，所以当 x＝1 时，y 的最小值为－4，
故 C 项错误．故选 C.
小结
4．某同学在用描点法画二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象时，列
出了下面的表格：
x … －2 －1 0 1 2 …
小结
【解析】∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 A(0，2)，∴函数解析式为 y＝ax2
＋bx＋2.∵点 C 在直线 x＝2 上且到抛物线的对称轴的距离等于 1，∴抛物线的
对称轴为直线 x＝1 或 x＝3，∴可以建立以下两个方程组：
16a＋4b＋2＝3， 16a＋4b＋2＝3，
(1)－2ba＝1；
小结
类型之四 二次函数的实际应用
14．2017·盘锦 端午节前夕，三 名同学到某超市调研一种进价为 80 元的粽子礼盒的销售情况，请根据 小梅提供的信息，解答小慧和小杰 提出的问题．(价格取正整数)
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九年级数学上册-第二十二章 二次函数 复习课件-人教版
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
【优选整合】人教版九年级上册数学 第22章小结与复习 课件1 (共26张PPT)
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
二次函数图象平移规律：左加右减自变量,上加下减常 数项 结论:以上各抛物线形状大小相同,位置不同。
5. 抛物线 y=5x2 向上平移_2__个单位,再向右平 移__3__个单位可得抛物线y=5(x-3)2+2
6.要得到二次函数 y=-(x-1)2-1 的图象,需将 y=-x2 的图象（ D ）． A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
y 5
-2 o x
4. 根据图中的抛物线，
当x ＜2 时，y随x的增大而增大， 当x ＞2 时，y随x的增大而减小， 当x ＝2 时，y有最大值。
y
-2 0
x 6
三：二次函数的平移
y = a( x – h )2 + k
左
上
右
下
平
平
移
y=
ax2
+
k
移
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
y
y
y
y
O x Ox
A
B
Ox C
Ox D
本节课我们主要复习了以下几个 方面的内容:
1. 二次函数的概念 2. 二次函数的图象和性质 3.二次函数的平移 4.二次函数中符号的问题
（1）已求知抛二物次线函开数口y方= 向—12，(x对+1称)2轴-2和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
2024(人教版)数学九年级上册 第22章 二次函数 教材解读课件
针内对容训分练析
本章学情分析：
“二次函数”这一章是在学习一次函数的基础上,具体研究的第二个函数模型，是应用研 究函数性质的一般方法去研究函数的第二次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增 强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。二次函数的学习过程充满着 观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数的思想，因此学习二 次函数是学生认识函数的又一次飞跃。
一是让学生体会生活中处处有数学，数学源于生活、又服务于生活的教学 理念，体会数学就在我们身边的道理；
二是从简单的实际问题入手，激发学生学习数学的兴趣。
针内对容训分练析
第二课时二次函数y=ax2的图象和性质内容解析 本节课类比一次函数的研究方法，先通过观察函数图象，认识函数特征，
从而得出函数的性质。对于二次函数y＝ax2的研究分别从a＞0，a＜0两种情况 入手，在具体的研究过程中，始终是从特殊到一般，例如a＞0时，a从具体的 数字1开始，再到12，2等；在每一次具体的函数研究过程中，都是从图象入 手．本节课从形状、开口方向、开口大小、对称性、顶点、增减性对二次函数y ＝ax2（a＞0）的图象特征进行研究，从而得到二次函数y＝ax2（a＞0）的性 质．此外，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研究，最终经历以上探究 过程，得出二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究， 建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问 题的关键．
通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观 点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．
针内对容训分练析
第九 十课时 实际问题与二次函数内容解析 利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
2
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
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7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
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3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
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4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版九年级数学上册第22章二次函数章末复习课件 (共68张ppt)
(4)当图像与x轴 有两个交点时, b2-4ac>0；当图像与x轴只有一个 交点时, b2-4ac=0； 当图像与x轴没有交点时, b2-4ac<0. (5)图像过点(1, a+b+c)和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可 确定式子a+b+c和a-b+c的符号.
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示, 那么下
二次函数 的图像和
性质
开口方向
a>0, 图像开口向上 a<0, 图像开口向下
对称轴
a, b同号, 对称轴在y轴左侧 a, b异号, 对称轴在y轴右侧
烦烦烦鬼鬼鬼鬼 鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼 鬼鬼鬼g鬼鬼
二次函数 的图像和
性质
a>0 增减性
a<0
最值
二次函数 的解析式
y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式) y=a(x-h)²&#(a≠0)(交点式)
【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实 际 就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图 像和性质 的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的 顶点), 从而得出 函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答.
例4 如图22-Z-3, 在平面直角坐标系 xOy中, 将抛物线y=2x2沿y轴 向上平移1个单 位长度, 再沿x轴向右平移2个单位长度, 平移 后所 得抛物线的顶点记作A, 直线x=3与平移 后的抛物线相交于点B, 与 直线OA相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点C的坐标及△ABC的面积．
例2 已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点, 且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.
九年级数学上册课件：22章二次函数复习与小结1
导学施教
6．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1），
B（2，y2），C（
，y3），则y1，y2，y3的大小
关系是（ ）
3 2
A．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3
B．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
7．x2+y=3，当-1≤x≤2时，y的最小值是（ ）
A．-1
B．2
C．4 D．3
h)2, y=a(x-h)2+k, y=ax2+bx+c的性质
a的符 号
开口方向和 开口大小
顶点 坐标
对 称 轴
a＞0
增减性及最值
a＜0
hk
查学诊断
1.前四个函数之间的图像可相互平移得到: 平移规律：左加右减，上加下减
y=ax y=ax + 2
向上（k>0）或向下（k<0）平移│k│个单位
2
h>0 │h│ຫໍສະໝຸດ 8．抛物线y=a（x-h）2+k向左平移2个单位，再向下平 移3个单位得到y=x2+1，则h、k的值是（ ） A．h=-2，k=-2 B．h=2，k=4 C．h=1，k=4 D．h=2，k=-2
导学施教
9.抛物线y=3(x+1)2+2的顶点坐标是_______，对称轴是 _________. 10.已知抛物线y=x2﹣x-1与x轴的一个交点为（a，0）， 那么代数式a2﹣a+2014的值为 _________ ． 11．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时 间t（秒）满足下面函数关系式：h=-5（t-1）2+6，则小 球距离地面的最大高度是_________ ．
h>0 │h│
九级数学上册第二十二章第2节二次函数y=ax2的图象和性质课件(共22张PPT)
3.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
4.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4 3
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象和性质
探究归纳
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
24
么关系？
－2
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
－4
－6
y 1 x2
y 2x2
2
y x 2 －8
归纳总结
y＝ax2 图象
位置开
口方向
对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
图象 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
开口方向及大小
重点关注4 个方面
对称轴 顶点坐标
增减性
课后作业
见《学练优》本课时练习
y
二次项系数互为相反数， 在对称轴的左侧, y随x的增大而
,
列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
开口相反，大小相同，它 （3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的最 值 .
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是
影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式