编译原理第一章练习和答案

例1设有文法G[S]:
S →a|（T ）| T →T,S|S （1） 试给出句子(a,a,a)的最左推导。

（2） 试给出句子(a,a,a)的分析树 （3） 试给出句子(a,a,a)的最右推导和最右推导的逆过程(即最左规约)的每一步的句柄。

【解】(1) (a,a,a)的最左推导
S=>(T) =>(T,S) =>( T,S,S) =>( S,S,S) =>(a,S,S) =>(a,a,S) =>(a,a,a) （2）(a,a,a)的分析树
S
( T ) T ， S S T ，
S a
a
(3) (a,a,a)最右推导 最左规约每一步的句柄
S=>(T) 句柄为：(T) =>(T,S) 句柄为：T,S =>(T,a) 句柄为：a =>(T,S,a) 句柄为：T,S =>(T,a,a) 句柄为：第一个a =>(S,a,a) 句柄为：S
=>(a,a,a) 句柄为：第一个a
例2已知文法G[Z]:
Z →0U|1V U →1Z|1 V →0Z|0
（1） 请写出此文法描述的只含有４个符号的全部句子。

（2） G [Z]产生的语言是什么？ （3） 该文法在Chomsky 文法分类中属于几型文法？ 【解】（1）0101，0110，1010， 1001
（2）分析G[Z]所推导出的句子的特点：由Z 开始的推导不外乎图1所示的四种情形。

图 1文法G[Z]可能的几种推导
Z
1
U Z U
Z
1
Z
1
Z
1
V
由Z 推导出10或01后就终止或进入递归，而Z 的每次递归将推导出相同的符号串：10或
01。

所以G[Z]产生的语言L(G[Z])={x|x∈(10|01)+ }
(3)该文法属于3型文法。

例3 已知文法G=({A,B,C}，{a,b,c}，P，A), P由以下产生式组成:
A→abc
A→aBbc
Bb→bB
Bc→Cbcc
bC→Cb
aC→aaB
aC→aa
此文法所表示的语言是什么？
【解】
分析文法的规则：
每使用一次Bc→Cbcc，b、c的个数各增加一个；
每使用一次aC→aaB或aC→aa, a的个数就增加一个；
产生式Bb→bB、 bC→Cb起连接转换作用。

由于A是开始符号，由产生式A→abc推导得到终结符号串abc；由产生式A→aBbc推导得到B后，每当使用产生式Bb→bB、Bc→Cbcc、bC→Cb、aC→aaB就会递归调用B一次，所产生的a、b、c的个数分别增加一个，因此推导所得的终结符号串为abc、aabbcc、aaabbbccc、…所以文法描述的语言为{ a n b n c n|n>0}.
例4 构造描述语言L(G[S])={（n）n|n≥0} 的文法。

【解】(1)找出语言的一些典型句子:
n=0 ε
n=1 ( )
n=2 (())
…
所以, L(G[S])={ ε、( ) (())、((()))、…}
(2)分析句子的特点:
只含有(和),(和)的个数相同且对称, 句子中所含的符号数可无限, 句子的个数可无限。

(3)凑规则:由 S→ε|() 得到ε|()，由 A→ (S) 得到 (())，(()) 是在（）的两边再加上一对（）得到，((()))是在(())的两边再加上一对（）得到，…所以将上述产生式合并为S→(S) |ε。

(4)得到文法 G[S]: S→(S) |ε
(5)检验:语言所有的句子均可由文法G[S]推导出来, 文法G[S]推导出来的所有终结符号串均为语言的句子.
例5 构造描述语言L(G[S])={a m b n |n>m>0} 的文法。

【解】找出语言的一些典型句子:abb、abbb、…、aabbb、aabbbb、…,语言的句子的特点是仅含有a、b, a在b的左边，b的个数大于a的个数，a的个数至少是1。

单独生成c k, k>1 可用产生式 C→c |Cc
句子中要求b的个数大于a的个数，所以得到文法：
G[S]: S →Ab |Sb
A →aAb |ab
检验:语言所有的句子均可由文法G[S]推导出来, 文法G[S]推导出来的所有终结符号串均为语言L(G[S])的句子.
例6设有文法G[S]:
S →S*S|S+S|(S)|i
该文法是否为二义文法？
【解】该文法是二义文法，因为该文法存在句子i*i+i,该句子有两棵不同的语法树如图2所示.。

S
S S S S (1)
+
S
S + S S S (2)
*
i
i
i
图2句子i*i+i 的语法树
例7写一个文法，使其语言是奇数集，且每个奇数不以0开头。

【解】解题思路
首先分析题意，本题是希望构造一个文法，由它产生的句子是奇数，并且不以0开头，也就是说它的每个句子都是以1、3、5、7、9中的某个数结尾。

如果数字只有一位，则1、3、5、7、9就满足要求，如果有多位，则要求第1位不能是0，而中间有多少位，每位是什么数字（必须是数字）则没什么要求，因此，我们可以把这个文法分3部分来完成。

分别用3个非终结符来产生句子的第1位、中间部分和最后一位。

引入几个非终结符，其中，一个用作产生句子的开头，可以是1－9之间的数，不包括0，一个用来产生句子的结尾，为奇数，另一个则用来产生以非0整数开头后面跟任意多个数字的数字串，进行分解之后，这个文法就很好写了。

解答：
G(S)：S →CD ｜D C →CB ｜A B →A ｜0
A →2｜4｜6｜8｜D D →1｜3｜5｜7｜9
例8写一个上下文无关文法CFG ，使其语言是能被5整除且不以0开头的无符号整数的集合。

（如｛5,10,15，….｝） 【解】解答：
能被5整除的数从形式上看，是以0,5结尾的数字串。

题目要求的不以0开头，并要注意0不是该语言的句子。

所求文法为：
G(S)：S →MF ｜5 F →5｜0 M →MD ｜N D →N ｜0
N→1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9
例9证明下面的文法是二义的：
S→ｉSｅS｜ｉS｜ｉ
【解】解题思路：
根据文法的二义性的定义，如果要证明该文法是二义的，必须找到一个句子，使得该句子具有两个不同的最右推导或两个不同的语法树。

我们首先分析这个文法，根据我们对程序语言的了解，不难发现，这个文法应该是用来表示if….else….结构的（用“i”代表“if”或语句集，“e”代表“else”）。

因此我们就要到if….else…结构中去找二义性。

我们知道，程序语言一般都规定else部分是和它前面离它最近的没有被匹配的的if语句进行匹配。

而上面的这个文法体现不出这种限制，因此我们可以找这样一个句子，在else前面有两个if （如句子iiiei），else和不同的if进行匹配时就会产生不同的语义。

解答：
考虑句子iiiei，存在如下两个最右推导：
S => iSeS => iSei => iiSei => iiiei
S => iS => iiSeS => iiSei => iiiei
例10某程序设计语言的表达式由运算符θ1、θ2、θ3、标识符、（、）组成，其中θ1和θ2的优先级相同，θ3的优先级低于θ1、θ2的优先级，优先级相同的运算符从右往左计算，可以用括号改变运算的顺序，则下述四种文法中哪一个可以描述上述的表达式文法？
设E为识别符号，终结符号集={θ1、θ2、θ3、（、）、I}，非终结符号集={E、T、F}。

a.E→T|Eθ1T|Eθ2T
T→F|Tθ3F
F→(E)|I
b. E→T|Tθ1E|Tθ2E
T→F|Fθ3T
F→(E)|I
c. E→T|Eθ3T
T→F|Tθ1F|Tθ2F
F→(E)|I
d. E→T|Tθ3 E
T→F|Fθ1T|Fθ2T
F→(E)|I
【解】对于一个包含运算符的语言，运算符的结合顺序、运算符的优先级在文法中反映为递归的方向和推导（或规约）的先后，左递归表明左边的运算先处理，对应的运算符左结合；右递归表明右边的运算先处理，对应的运算符右结合。

两个运算符连续出现，后推导出（或先被规约）的，表明其运算先被处理，因此优先级高；反之，先推导出（或后被规约）的，表明其运算后被处理，因此优先级低。

题意要求：θ1和θ2的优先级相同，θ3的优先级低于θ1、θ2的优先级，因此θ3比
θ1、θ2先推导出来，即应为图3所示的四种情形。

U
U
θ3 U V
V
(1)
θ1
U
U
θ3 U V
V (2)
θ1
U
U θ3 U V
V
(3)
θ2
U
U
θ3 U V
V
(4)
θ2
图3可能的文法推导顺序
因此a 和b 不成立。

又因为优先级相同的运算符从右往左计算，应采用右递归，即应为图4所示的情形。

U
U
θ1 V W
V
(1)
θ1
U
U
2 V W
V
(2
θ2
U
U
θ3 V W
V
(3)
θ3
图4可能的文法递归结构
故c 不成立,应为d 。