(完整版)习题：分式方程及增根、无解(含答案)

解分式方程及增根_无解的典型问题含答案

分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母,看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方 程的增根,必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例１：解方程 214111x x x +-=-- 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根。 方法总结:１.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时,整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结:1．化为整式方程。 2．把整式方程分为两种情况讨论,整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4:若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠,由题意得不等式组:2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考:１.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少? 方程总结:1． 化为整式方程求根，但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。

分式方程的增根与无解教学文案

分式方程的增根与无解 甲：增根是什么？ 乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例1、解方程：。① 为了去分母，方程两边乘以，得② 由②解得。 甲：原方程的解是。 乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？ 乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。 甲：那为什么会出现这种情况呢？ 乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？ 乙：很简单，两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。 甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程无解。

甲：啊？！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。 甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？ 乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看： 例2、解方程， 去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。 乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看： 例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。 首先把原方程去分母，化为。③ 因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或 若增根为，代入方程③，得，； 若增根为，代入方程③，得，。 故当或时，原方程会有增根。 甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案 优博辅导中心 当堂检测 1. 解方程 1x?2?1?x2?x?3 答案：x?2是增根原方程无解。 2. 关于x的方程a1?2x?4?1?x4?x有增根，则a=-------答案：7 3. 解关于x 的方程 mx?5?1下列说法正确的是（C ） A.方程的解为x?m?5 B.当m??5时，方程的解 为正数 C.当m??5时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 x?ax?1?a无解，则a的值为-----------答案：1或-1 5. 若 分式方程 m?xx?1=1有增根，则m的值为-------------答案：-1 6.分 式方程1x?2?mx?1有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x的方程1x?2?1?kx?2有增根，则k的值为-----------答 案：1 8. 若分式方程x?aa?a无解，则a的值是----------答 案：0 9.若分式方程2m?m?x1x?1?0无解,则m的取值是------答案：-1或-2 10. 若关于x的方程 m(x?1)?52x?1?m?3无解，则m的值为-------答案：6，10 11. 若关于x的方程

x?mx?1?3x?1无解，求m的值为-------答案： 12.解方程1162-x?x?2??x3x?12答案x??627 13．解方程 2x-1?4x2?1?0 14. 解方程 2x2x?5?22x?5?1 15. 解方程x?22x2x?3?3??13x2?9 x?1m216. 关于x的方程x?3?2x?6有增根，则m的值-----答案：m=2或-2 17.当a为何值时，关于x的分式方程 x?ax?1?3x?1无解。答案:-2或1 1

关于分式方程增根问题

关于分式方程增根问题 一、选择题 1．分式方程=有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3 9．若分式方程51 56-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程113 -=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程244 21 2+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= . 12．已知关于x 的分式方程a 1 =1x 2-+有增根，则a= .

13．方程133m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程22 21+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程 244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程 8128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程 113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程 x-3x －2=x-3 m 时有增根，则m 的值为 ______． 25．如果关于x 的分式方程0111=----x x x m 有增根，则m 的值为 ． 三、解答题 26．已知关于x 的分式方程2 233 x m x x -=--没有解，则m 可以取什么值 27．已知关于x 的方程x a x x x x x =---+2)2(42无解，求a 的值

分式方程及其增根问题

分式方程及其增根问题 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .

解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.

习题：分式方程及增根、无解(含答案)

1 当堂检测 11- x 1. 解方程 1=1-x - 3答案： x = 2是增根原方程无解。 x -22-x a 1- 2x 2. 关于x 的方程 a +1=1-2x 有增根，则a = ------------------ 答案：7 x -44-x m 3. 解关于 x 的方程 m =1下列说法正确的是（C ） x -5 A.方程的解为x = m + 5 B.当m -5时，方程的解为正数 C.当m -5时，方程的解为负数 D.无法确定 x +a 4. ----------------------------------------------------------------- 若分式方程x +a =a 无解，则a 的值为 -------------------------------------- 答案：1或-1 x - 1 m +x 5. 若分式方程m + x =1有增根，则m 的值为 --------- 答案：-1 x - 1 1m 6. ----------------------------------------------------------------- 分式方程 1 = m 有增根，则增根为 -------------------------------------- 答案：2 或-1 x -2x +1 1k 7. 关于x 的方程 1 +1= k 有增根，则 k 的值为 ------------- 答案：1 x -2x -2 x +a 8. 若分式方程x + a =a 无解，则a 的值是 --------- 答案：0 a m + x 1 9.若分式方程2m + m + x = 0无解,则m 的取值是 ------- 答案：-1或- 1 x - 1 2 10. 若关于x 的方程 = m - 3无解，则 m 的值为 ---- 答案：6，10 2x +1 x -m 3 11. 若关于x 的方程x -m -3 = 1无解，求m 的值为 ---------- 答案： x - 1 x 12.解方程 1 =1 -6- x 答案x =-6 2-x x -2 3x 2 -12 7 24 13．解方程 2-4=0 x-1 x 2 -1 2x 2 14. 解方程 2x -2 =1 2 x -5 2x +5 x -2 15. 解方程x -2 x +3 x -1 m 2 16. 关于 x 的方程 = 有增根，则 m 的值 答案：m=2 或-2 x -3 2 x -6 x -a 3 2x 2 -13 x 2-9

分式方程——增根与无解

分式方程中的增根与无解 考点1解分式方程 (1)=＋1 （２）+= 考点２增根 1．若关于ｘ的方程有增根,试求k的值． 2．若关于x的方程+=2有增根，求增根和ｍ的值？ 3.解关于x的分式方程时不会产生增根，则m的取值是( ) A．ｍ≠１?B．ｍ≠﹣１C．m≠０? D.ｍ≠±１ 4.已知关于ｘ的方程﹣=0的增根是１，则字母a的取值为（) A．２B．﹣２?C．1 D.﹣1

1.当a＝时，关于ｘ的方程ax=1无解；当ｍ= 时,关于ｘ的方程（m-1)ｘ=5无解；当时，关于x的二元一次方程ax2+bx+c=0无解。 2．若关于x的方程=６+无解,求m的值? ３.当a为何值时,关于x的方程﹣=１无解? 考点4有解 1．当ａ= 时，关于x的方程ax＝1有解，解为;当ｍ=时，关于ｘ的方程(m－１)x=５有解，解为；当时,关于ｘ的二元一次方程ax２＋bx+c＝0有解,解为。 1.已知x=３是分式方程﹣＝2的解，那么实数ｋ的值为(） A．﹣1 Ｂ．0 C.１?Ｄ．2 2．已知关于ｘ的方程有正根，则实数a的取值范围是（） Ａ.a＜０且a≠﹣３? B.a＞０?C．a<﹣3 D．a＜3且a≠﹣3 3．若关于ｘ的分式方程+=１有非负数解,求m的取值范围.

1．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是(） A．ａ≤﹣1 B．a<﹣1?C．﹣2≤a＜﹣１ D.﹣2＜ａ≤﹣1 2.已知关于ｘ的不等式组有且只有１个整数解,则a的取值范围是() A.a>0 B.０≤ａ＜1 C．0＜a≤１ D.a≤1 ３.已知，关于x的分式方程有增根，且关于x的不等式组只有4个整数解,那么b的取值范围是(） A．﹣10恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）

分式方程增根与无解专题

分式方程的增根和无解专题讲义 题型一：解分式方程，解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为 0,所以解分 式方程必须检验. x 1 4 x 1 x 2 1 专练一、解分式方程 （每题5分共50 分） 题型二：关于增根：将分式方程变形为整式方程 ，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式 ，并越去分母，有 时可能产生不适合原分式方程的根，这种根通常称为增根? …、 1 x 4 例2、若方程」 7 有增根，则增根为 . x 3 3 x 有增根，则增根是多少？产生增根的m 值又是多少？ (1) X 2 3 4x x 2 3 (2) 1200 1200 x 2 x 30 (4) 空 5 =1 ⑸ 2x 5 5x 2 1 2 4 x 1 x 1 x 2 1 7 4 6 x 2 x x 2 x x 2 1 (7) (8) x 2x 5 5 5 2x (9) 1 1 x 2 5x 6 x 2 x 6 例1.解方程⑴ 例3 ?若关于x 的方程 m x 2 9

x 3 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是:

(1) (2) (3) 专练习二: 将所给方程化为整式方程； 由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） 将增根代入变形后的整式方程，求出 字母系数的值。 3 —有增根，则增根为 3 1、已知关于x 的方程-―m m 无解，求m 的值. 1.若方程 2、 使关于x 的方程 a 2 2x 4 产生增根的a 的值是（ 2 x A. 2 B. C. 2 D.与a 无关 2x 3、若解分式方程二 x 1 A. — 1 或一2 B. m ~~2 x 产生增根，则m 的值是（ C. 1 或 2 D. 1 或一2 4.当m 为何值时，解方程 m -会产生增根？ 1 5、关于x 的方程 k 2 ——会产生增根，求k 的值。 x 3 6、当k 为何值时，解关于 x 的方程: k 1 x 2 只有增根X =1。 x 1 7、当a 取何值时，解关于 x 的方程: 2x 2 ax x 2 x 1 无增根? 题型三：分式方程无解 ①转化成整式方程来解 ,产生了增根；②转化的整式方程无解 例4、 无解，求m 的值. 2 x

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

（ 分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程 214111 x x x +-=-- ） 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 — 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 . 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠-

分式方程的增根与无解的区别及联系

分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，分式方程无解和分式方程有增根决不是一回事。 （一）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． （二）原方程化去分母后的整式方程无解 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． （三）原分式方程无解，去分母后的整式方程的解就等于增跟 例3（2007湖北荆门）若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -．

方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解． 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例． （四）分式方程在什么情况下会产生增根？产生无解？ 例4当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根． 把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6． 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值． 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即： 当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原方程无解，则有两种情形： （1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

分式方程的增根及无解

分式方程的增根与无解 甲:增根是什么? 乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．比如 例1、解方程:。① 为了去分母，方程两边乘以，得② 由②解得。 甲:原方程的解是。 乙:可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？ 乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢? 乙:因为原来方程①中未知数ｘ的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲:如此说来,从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢? 乙:很简单,两个字:检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。 甲：那么,这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢? 乙:原方程无解。

甲:啊?！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论ｘ取何值,都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。 甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢? 乙:不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看： 例2、解方程， 去分母后化为,解得或,此时，是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。 乙:增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看： 例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。 首先把原方程去分母,化为。③ 因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或 若增根为,代入方程③,得，； 若增根为，代入方程③,得,。 故当或时，原方程会有增根。 甲:虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事？

分式方程中的增根问题

2.4-2 分式方程中的增根问题 【学习目标】 1.知道分式方程的增根及产生增根的原因. 2.已知增根会求待定系数的值. 【核心知识】分式方程产生增根的原因；知识核心：已知增根会求待定系数的值.学习过程 一、知识链接 1.什么是分式方程?解分式方程的关键是什么？应该注意哪些问题 2.解方程: （1） 105 2 2112 x x += --（2）2 2 1 2 2 2 + - = + + x x x 二、新课学习 探究一分式方程产生增根的原因 1.看书39页议一议，思考问题： (1)产生增根的原因是什么？ （2）什么是原方程的增根？（在书上画出、小组讨论） （3）如何检验？ 点拨:（1）产生增根的原因：我们在方程两边乘以一个不为零的整式，扩大了值域. （2）解分式方程去分母时，方程两边都乘以各分母的最简公分母，检验时可代入最简公分母看是否为零. 2.课本例2，（学生尝试在练习本上做，不会可参考课本上的过程） 3.练习：做课本40页的随堂练习（找学生板演，其他学生做课堂练习本上） 探究二已知增根求待定系数的值. 1．若方程 x x－3 －2＝ k x－3 有增根，试求k的值. （学生先独立做，讨论解题思路） 点拨:解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程（2）令最简公分母为0，求出求出x的值（3）把x的值代入整式方程，求出字母系数的值. 2.练习：若方程 2 2 2 2 = - + + -x m x x有增根，试求m的值。

三、课堂达标 1.若方程 的解是非正数，求a 的取值范围. 2.若方程x x －3 －2＝k x －3 有增根，试求k 的值. 四、课堂小结，回顾思考 1.解分式方程的解的两种情况： 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根 2.原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 3.产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了一个不为零的整式，扩大了值域. 4.验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根. 5.解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程. （2）令公分母为0，求出求出x 的值. （3）把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值. 课外训练 【基础达标】 1.当m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 2.如果分式方程11(2)a x x x -=-有增根x=0.求a 的值. 3.若方程有 918332-=--+x x x x x 增根，求增根x.

分式方程的增根与无解[1]

例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．

习题：分式方程及增根、无解(含答案)

1 当堂检测 1. 解方程1 1322x x x -=---答案：2x =是增根原方程无解。 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a =-------答案：7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是（C ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程1x a a x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-1 5. 若分式方程=11m x x +-有增根，则m 的值为-------------答案：-1 6.分式方程121m x x =-+有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x 的方程1 122k x x +=--有增根，则k 的值为-----------答案：1 8. 若分式方程x a a a +=无解，则a 的值是----------答案：0 9.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1 -2 10. 若关于x 的方程(1)5 321m x m x +-=-+无解，则m 的值为-------答案：6，10 11. 若关于x 的方程3 11x m x x --=-无解，求m 的值为-------答案： 12.解方程2116 2-x 2312x x x -=---答案6 7x =- 13．解方程224 0x-11x -=- 14. 解方程22 12525x x x -=-+ 15. 解方程2 22213 339x x x x --=-+- 16. 关于x 的方程2 1326x m x x -=--有增根，则m 的值-----答案：m=2或-2 17.当a 为何值时，关于x 的分式方程3 11x a x x --=-无解。答案:-2或1

八下分式方程的增根与无解

八下分式方程的增根与 无解 Hessen was revised in January 2021

八年级数学下---分式方程的增根与无解专项练习 分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；（注意是分母为0的x值不一定都是增根） 分式方程无解：是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 练习1：1、当k为何值时，方程x x k x - - = - 1 33 会出现增根 2、已知分式方程33 1 2 x ax x + + + =有增根，求a的值。 3、分式方程 x x m x x x - + - = + 111 有增根x=1，则m的值为多少 4、a为何值时，关于x的方程 4 1 2 1 x x x a x x - += + - () 有解 5、求使分式方程 x x m x - -= - 3 2 3 2 产生增根的m的值。

6、已知关于x 的方程2x x k 2x 21x 12-+=++-有增根，求k 的值。 7、当m 为何值时，关于x 的方程 2111 2x x m x x x ---=+-无实根。 练习2：1、若方程4412212--=--+x x x k x 会产生增根，则（ ） A 、2±=k B 、k=2 C 、k=－2 D 、k 为任何实数 2、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 3、若方程)1)(1(6-+x x -1 -x m =1有增根，则它的增根是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1或-1 4、若方程 有增根，则a ＝（ ）. 5、已知 有增根，则k ＝（ ）． 6、若分式方程 1x ?2+3=3?x a +x 有增根，则a 的值是 （ ） 7、关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a =（ ） 8、 若分式方程=11 m x x +-有增根，则m 的值为（ ）

分式方程及其增根问题

分式方程及其增根问题 文章来源：现代教育报·思维训练作者：都卫华点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .

解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.

分式方程增根与无解专题说课讲解

分式方程增根与无解 专题

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 分式方程的增根和无解专题讲义 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一、解分式方程 （每题5分共50分） （1） 223433x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ； （3）30120021200=--x x （4）255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- (9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程 x x x --=+-34731有增根,则增根为 .

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 例3．若关于x 的方程 3 13292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少? 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 专练习二： 1.若方程3 323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x 22 24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关 3、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 4.当m 为何值时,解方程 115122-=-++x m x x 会产生增根? 5、关于x 的方程 x x k x -=+-323 会产生增根，求k 的值。 6、当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。

分式方程解法和增根

分式方程（一） 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 例题1 下列方程中，哪些是分式方程？ ①5（x+1）+x=10 例题2 解下列分式方程 （1 （2 （3 （4 （5 （6 （7 （8 （9） （10 （11 例题3：解分式方程： （1 （ 2 （3 （4 并求当x=1时,该代数式的值 （5）若关于x x=4, 则a的值是多少？ （6） 例4： 1． 2． 值。 例5． 1.若关于x x=-1,求a

2、关于x x=-2， 则k= . 家庭作业 1.解方程： （1 （2 1 （3 （4 （5 （6 2. . 3 m的 值是（） D. 4. m为何值时，关于x 增根？ 5. m? 6.若m等于它的倒数， 7.m 为何值时，关于x x=1, 求a的值 分式方程（二） 例1 . 1 解为非负数. 2.当k为何值时，关于x 解是正数？ 例2 .m为何值时，关于x 1.m为何值时，关于x 2.关于x m的值 例3:已知x2+4y2-4x+4y+5=0 2的值. 2: 值.

例题4: . 1． . 2． . 3、 4. 于 ． 5. 求（1 （2值. 自我检测: 1. 2、 若实 最大值 是 ． 3的值是 4= 5 6 = . 7．已知，则x 2= ． 8 ） A 、-2 B 、-3 C 、-4 D 、-5 9、已知关于x m 的取值 范围为 . 10m 的值是 （ ） A. —2 B. 2 C. 3 D. —3 11.已知关于x a 的取值范围为 12. .

分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解．

分式方程的增根与无解详解

分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解 例1解方程— 24x 3 ? ① x 2 x 4 x 2 解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2. 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根. 所以原方程无解. 例2解方程x 1 3 x 2 . x 2 2 x 解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ). 整理得0x = 8. 因为此方程无解，所以原分式方程无解. 例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ . x 2 2 x 解：原方程可化为x 3二—m . x 2 x 2 方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m 解这个方程，得x=3— m 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2， 所以2=3— m 解得m=1.

故当m=1时，原方程无解.

ax 例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根? 解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2) 整理得(a—1) x = —10 若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根. 把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即: 2 ax 3 当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解? 此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下: 解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2) 整理得(a—1) x = —10 若原方程无解，则有两种情形: （1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解?原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6. 综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）