电磁场与电磁波4 第1章 部分习题参考解答
电磁场与电磁波(第四版)习题解答
电磁场与电磁波(第四版）习题解答第1章习题习题1．1给定三个矢量A 、B 和C 如下:23x y z =+-A e e e ．4y z=-+B e e ，52x z =-C e e ,解:(1）22323)12(3)A x y z e e e A a e e e A+-===+-++- （2）2641x y z A B e e e -=+-==(3)(23)(4)11x y z y z A B e e e e e •=+-•-+=-（4）arccos135.5A B AB θ•===︒ (５)1711cos -=⋅=⋅⋅==B B A A B B A A A A AB Bθ(６）12341310502xy zx Y Z e e e A C e e e ⨯=-=---- (７)0418520502xy zx Y Z e e e B C e e e ⨯=-=++-()(23)(8520)42x Y Z x Y Z A B C e e e e e e •⨯=+-•++=-123104041xy zx Y Z e e e A B e e e ⨯=-=---- ()(104)(52)42x Y Z x Z A B C e e e e e ⨯•=---•-=-(8）()10142405502x y zx Y Z e e e A B C e e e ⨯⨯=---=-+-()1235544118520xy zx Y Z e e e A B C e e e ⨯⨯=-=-- 习题1．4给定两矢量 234x y z =+-A e e e 和 456x y z =-+B e e e ,求它们之间的夹角和 A 在 Ｂ上的分量。
解：29)4(32222=-++=A776)5(4222=+-+=B31)654()432(-=+-⋅-+=⋅z y x z y x e e e e e e B A则A 与B之间的夹角为131772931cos =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=ar BA B A arcis ABθ A 在B上的分量为532.37731cos -=-=⋅=⋅⋅⋅==B B A BA B A A A A AB Bθ习题1.９用球坐标表示的场225rr =E e ， (1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；(2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。
《电磁场与电磁波》(第四版)课后习题解答(全)
第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++ 【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c +=即只要满足3b+8c=1就可以使向量错误！未找到引用源。
和向量错误！未找到引用源。
垂直。
（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=-可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3）)()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ） 所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223y z A x yze xy e =+而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y x e x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。
电磁场与电磁波谢处方课后答案
电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C和()⨯AB C ；（8）()⨯⨯AB C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z+-===+e e e A a e ee A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e ee (4)y z -+=e e －11（4）由 cos AB θ=14-==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5=（5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B （6）⨯=A C 123502x y z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xyz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
电磁场与电磁波第四版课后答案
答案：① aA =
1 14
(ax
+
2ay
−
3az
)
；②
A−B =
53 ；③ A • B = −11；
④
θ AB = 135.48 ； ⑤
A× C = −(4ax +13ay +10az ) ； ⑥
A •（B × C）=（A • B）× C = −42 ； ⑦
（A× B）× C = 2ax − 40ay + 5az 和
托克斯定理求解此线积分。
∫ ∫ 答案：① A •dl = π a4 ；② (∇ × A) dS = π a4 。
l
4
l
4
1-18 试在直角坐标系下证明： − 1 ∇2 (1 R)=δ(r − r′)。 4π
∫ 1-19 若矢量 A = a（R cos2 ϕ
R3 ），1 ≤ R ≤ 2 ，求
∇• AdV 。
⎡ 2 sinhξ cosη
⎢ ⎢
cosh 2ξ − cos 2η
⎢
答案：[M ] = ⎢−
2 coshξ sinη
⎢ cosh 2ξ − cos 2η
⎢
⎢
0
⎢⎢⎣
2 coshξ sinη cosh 2ξ − cos 2η
2 sinhξ cosη cosh 2ξ − cos 2η
0
⎤ 0⎥
⎥ ⎥ 0⎥ 。 ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥⎥⎦
+ ay
y − 2x x2 + y2
。
1-22 已知 A = a a x + b a y + c a z ，写出圆柱坐标系和圆球坐标系下 A 的表达式。
答案： A = (a cosϕ + b sinϕ )ar + (b cosϕ − a sin ϕ )aϕ + caz ；
电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第一章习题解答
1 2 又在球坐标系中， r (r r ) 3 ，所以 r 2 r
S
求（1）矢量 A ex x 2 e y x 2 y 2 ez 24 x 2 y 2 z 3 的散度； （2）求 A 对中心在原点的 一个单位立方体的积分； （3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （1） A
( x 2 ) ( x 2 y 2 ) (24 x 2 y 2 z 3 ) 2 x 2 x 2 y 72 x 2 y 2 z 2 x y z
12 12
1 1 2 x ( ) 2 d x dz 2 x 2 ( ) 2 d x d z 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
12 12
12 12
1 1 1 24 x y ( )3 d x d y 24 x 2 y 2 ( )3 d x d y 2 2 24 1 2 1 2 1 2 1 2
AB 1 1 11 11 ， 得 AB c o ) 135.5 s1 ( A B 1 4 1 7 238 238 AB 11 （5） A 在 B 上的分量 AB A c o s AB B 17
（4） 由
cos AB
ex
（6） A C 1
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 设 A 为一已知矢量， p A X 而 P A X ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X ，有
A P A ( A X ) ( A X ) A ( A A) X pA ( A A) X pA A P 故得 X AA 2 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 (4, ,3) 定出，求该点在： （1）直角坐标中的坐标； 3
电磁场与电磁波(第四版)课后答案电科习题
1.1 给定三个矢量 A,B和 C如下：
A ex ey 2 ez3 B ey 4 ez C ex5 ez 2
求：（1）aA; （2）AB; （3）AB;
（4）AB; （5）A在B上的分量;
（6）AC;（7）A BC 和AB C； （8）ABC和ABC。
1.2 证明：如果
A B A C 和 A B A C ， B C 。
1.3如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和
矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 矢量，pA X 而 P A X ，p和 P 已知，试求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
验
A
证散度定理
1.21 求矢量 A e x x e y x 2 e zy 2 z沿xy平面上的一个边长为2的正 形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合 再求 A 对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理
1.25给定矢量函数 Exˆyyˆx 试求从点P1（2，1，－1）
求（2，3，1）点的方向导数值。
1.6方程
u
x2 a2
y2 b2
cz22给出一椭球族。求椭球表面上
任
意点的单位法向矢量。
1度体.1；的8 （（积1分2））；求求（矢3量）A A 求 对x ˆ 中x 2 对心 y 此ˆ 在x 2 立y 原2 方 点z ˆ 体2 的4 的x 一2 y 表个2 z 面3 单积位分的立，散方
到点P2（8，2，－1）的线积分 E dl （1）沿抛物线
x 2 y 2 ；（2）沿连接两点的直线。此矢量场是否为保守 场。
1.27三个矢量A,B,C
1)Aersincoseθcoscosesin 2)Bez2sin+e z2cos+ez2zsin
(完整版)电磁场与电磁波(第四版)课后答案详解--谢处方
电磁场 与电磁波（第四版） 课后答案第一章 习 题 解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的 分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z +-===e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由cos AB θ=14-==⨯A B AB ，得1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分 量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B （6）⨯=A C 123502x yz-=-e e e 41310x y z ---e e e（7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点 为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方之欧阳术创编
第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C。
解（1）23A x y z +-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11（4）由 cos AB θ=14==⨯A B A B ，得1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =Acos ABθ=17=-A B B （6）⨯=A C 123502xyz-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xyz-=-e e e 8520x y z ++e e e 所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ， 由此可见故123PP P ∆为一直角三角形。
电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方之欧阳治创编
欧阳治创编 2021.03.10 一章习题解答1.1给定三个矢量A 、B 和C 如下： 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A BC 。
解（1）23A x y z +-===+e e e A a e e e A（）-=A B (23)(4)xy z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11（4）由cos AB θ=14==⨯A B A B ，得1cosAB θ-=(135.5= （5A 在B 上的分量欧阳治创编 2021.03.10B A =A cos AB θ=17=-A B B （6）⨯=A C 123502xyz-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e所以()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e1.2三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。
解（1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e则12214x z=-=-R r r e e ，233228x y z =-=++R r r e e e ，欧阳治创编 2021.03.10 由此可见故123PP P ∆为一直角三角形。
电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方之欧阳美创编
第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C。
解 （1）23A x y z+-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)xy z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11（4）由 cos AB θ=14==⨯A B A B ，得1cos AB θ-=(135.5= （A在B上的分量B A =A cos AB θ=17=-A B B （6）⨯=A C 123502xyz-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xyz-=-e e e 8520x y z ++e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e则12214x z=-=-R r r e e ，233228x y z =-=++R r r e e e ， 由此可见故123PP P ∆为一直角三角形。
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G ex G G G A × (B × C) = 1 8
G ey 2 5
G G G −3 = ex 55 − ey 44 − ez 11 20
所以， ΔP 1P 2P 3 为一直角三角形。
G G 1 G 1 G 1 R12 × R23 = R12 × R23 = 17 × 69 = 17.13 2 2 2 G G 1.3 求点 P '(−3,1, 4) 到点 P (2, −2,3) 的距离矢量 R 及 R 的方向。
（2）三角形的面积 S = 解：点 P '(−3,1, 4) 和点 P (2, −2,3) 的位置矢量分别为
θ AB
⎛ ⎜ arccos = ⎜ ⎝
G G A⋅ B G G A B
G G G G G G G G G G G G G G 1.5 给定两矢量 A = ex 2 + ey 3 − ez 4 和 B = −ex 6 − ey 4 + ez ，求 A × B 在 C = ex − ey + ez
上的分量。
（4）由 cos θ AB
G G A⋅ B −11 11 ，得 = G G = =− 14 × 17 238 A B 11 ) = 135.5D 238
θ AB = arccos(−
G G G G G G A⋅ B 11 （5） A 在 B 上的分量 AB = A cos θ AB = G = − 17 B
−2 G G G −3 = −ex 10 − ey − ez 4 1 G ez
G ex 0
G G G G G G G G G 所以， A ⋅ ( B × C ) = (ex + ey 2 − ez 3) ⋅ (ex 8 + ey 5 + ez 20) = −42 G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C = (−ex 10 − ey − ez 4) ⋅ (ex 5 − ez 2) = −42
G G 故， E 与 B 构成的夹角为
θ EB
⎛ = arccos ⎜ ⎜ ⎝
G G ⎛ 19 /(10 2) ⎞ E⋅B ⎞ − = 153.6D G G ⎟ = arccos ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 3 / 2 E B ⎝ ⎠ ⎠
1.11 已 知 标 量 函 数 u = x 2 yz ， 求 u 在 点 (2,3,1) 处 沿 指 定 方 向
G G G 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下：
G G G G G G G G G G A = ex + ey 2 − ez 3 ， B = −ey 4 + ez ， C = ex 5 − ez 2 ， G G G G G G G 求： （1） eA ； （2） A − B ； （3） A ⋅ B ； （4） θ AB ； （5） A 在 B 上的分量；
故得
G G G G G G G pA − A × P pA − A × P G G X= = A2 A⋅ A
1.8 在圆柱坐标系中，一点的位置由 (4,
中的坐标； （2）球坐标系中的坐标。 解： （1）在直角坐标系中， x = 4 cos(
2π （1）直角坐标系 ,3) 定出，求该点在： 3
2π 2π ) = −2, y = 4sin( ) = 2 3, z = 3 3 3
G （1）求在直角坐标中点 (−3, 4, −5) 处的 E 和 Ex ； G G G G G （2）求在直角坐标中点 (−3, 4, −5) 处 E 与矢量 B = ex 2 − ey 2 + ez 构成的夹角。
解： （1）在直角坐标系中 (−3, 4, −5) 点处， r = (−3) 2 + 42 + (−5) 2 = G G G r1 = ey − ez 2 ， r2 = ex 4 + ey − ez 3 ， r3 = ex 6 + ey 2 + ez 5 G G G G G G G G G G G 则 R12 = r2 − r1 = ex 4 − ez ， R23 = r3 − r2 = ex 2 + ey + ez 8 ， G G G G G G R31 = r1 − r3 = −ex 6 − ey − ez 7 G G G G G G G 由此可得 R12 ⋅ R23 = (ex 4 − ez ) ⋅ (ex 2 + ey + ez 8) = 0
3 2 −3 G G 故 Ex = ex ⋅ E = =− 20 10 2 G （2） B = 22 + (−2) 2 + 12 = 3
在直角坐标中 (−3, 4, −5) 点处
G G G G G −ex 3 + ey 4 − ez 5 G 19 G G E⋅B = ⋅ ( ex 2 − e y 2 + ez ) = − 10 2 10 2
G G ⎞ ⎛e ⋅R ⎛ 5 ⎞ D φx = arccos ⎜ x G P ' P ⎟ = arccos ⎜ ⎟ = 32.31 ⎜ RP ' P ⎟ 35 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G ⎞ ⎛e ⋅R ⎛ −3 ⎞ φ y = arccos ⎜ y G P ' P ⎟ = arccos ⎜ = 120.47D ⎟ ⎜ RP ' P ⎟ ⎝ 35 ⎠ ⎝ ⎠ G G ⎞ ⎛e ⋅R ⎛ −1 ⎞ φz = arccos ⎜ z G P ' P ⎟ = arccos ⎜ = 99.73D ⎟ ⎜ RP ' P ⎟ ⎝ 35 ⎠ ⎝ ⎠ G G G G G G G G G 求它们之间的夹角和 A 在 1.4 给定两矢量 A = ex 2 + ey 3 − ez 4 和 B = ex 4 − ey 5 + ez 6 ， G B 上的分量。
G G 所以， B = C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未 G G G G G G G G 知矢量。设 A 为一已知矢量， p = A ⋅ X 而 P = A × X ， p 和 P 已知，试求 X 。 G G G G G G G G G G G G G G G G G G 解：由 P = A × X ，有 A × P = A × ( A × X ) = ( A ⋅ X ) A − ( A ⋅ A) X = pA − ( A ⋅ A) X
∂u G 6 xyz 4 x 2 z 5 x 2 y = ∇u ⋅ el = + + ∂l 50 50 50
∂u 36 16 60 112 G = + + = 点(2,3,1)处沿 el 的方向导数值为 ∂l (2,3,1) 50 50 50 50 1.12 已知标量函数 u = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + 3x − 2 y − 6 z 。 （1）求 ∇u ； （2）在哪些点上
G G G G G G G G G G G G G G （6） A × C ； （7） A ⋅ ( B × C ) 和 ( A × B ) ⋅ C ； （8） ( A × B) × C 和 A × ( B × C ) 。 G G G G e x + e y 2 − ez 3 A G G 1 G 2 G 3 解： （1） eA = G = = ex + ey − ez 2 2 2 14 14 14 A 1 + 2 + (−3)
故该点的直角坐标为 (−2, 2 3,3) 。 （2）在球坐标系中，
r = 42 + 32 = 5, θ = arctan(4 / 3) = 53.1D , φ =
故该点的球坐标为 (5,53.1D ,120D ) 。
2π rad = 120D 3
G G 25 1.9 用球坐标表示的场 E = er 2 。 r
G G G G G G G G G G 1.6 证明：如果 A ⋅ B = A ⋅ C 和 A × B = A × C ，则 B = C 。 G G G G G G G G G G 证：由 A × B = A × C ，得 A × ( A × B) = A × ( A × C ) ，即
G G G G G G G G G G G G ( A ⋅ B) A − ( A ⋅ A) B = ( A ⋅ C ) A − ( A ⋅ A)C G G G G G G G G G G 由于 A ⋅ B = A ⋅ C ，于是得到 ( A ⋅ A) B = ( A ⋅ A)C
G G G G G G G G G G （2） A − B = (ex + ey 2 − ez 3) − (−ey 4 + ez ) = ex + ey 6 − ez 4 = 53 G G G G G G G （3） A ⋅ B = (ex + ey 2 − ez 3) ⋅ (−ey 4 + ez ) = −11
G G （6） A × C = 1 5 G ex G ey 2 0 G ex G G G −3 = −ex 4 − ey 13 − ez 10 −2 G ey −4 0 G ey 2 −4 G ez G G G 1 = ex 8 + e y 5 + ez 20 ， G ez
G G （7）因为 B × C = 0 5 G G A× B = 1
G ex G ey G ez
G G G G G 解： A × B = 2 3 −4 = −ex 13 + e y 22 + ez 10 −6 − 4 1
G G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C = (−ex 13 + ey 22 + ez 10) ⋅ (ex − ey + ez ) = −25 G C = 12 + (−1) 2 + 12 = 3 G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C 25 所以， A × B 在 C 上的分量为 ( A × B)C = =− = −14.43 G 3 C