电磁场与电磁波4 第1章 部分习题参考解答

G G 故， E 与 B 构成的夹角为
θ EB
⎛ = arccos ⎜ ⎜ ⎝
G G ⎛ 19 /(10 2) ⎞ E⋅B ⎞ − = 153.6D G G Fra Baidu bibliotek = arccos ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 3 / 2 E B ⎝ ⎠ ⎠
1.11 已 知 标 量 函 数 u = x 2 yz ， 求 u 在 点 (2,3,1) 处 沿 指 定 方 向
G G G G G G G G G G G G G G （6） A × C ； （7） A ⋅ ( B × C ) 和 ( A × B ) ⋅ C ； （8） ( A × B) × C 和 A × ( B × C ) 。 G G G G e x + e y 2 − ez 3 A G G 1 G 2 G 3 解： （1） eA = G = = ex + ey − ez 2 2 2 14 14 14 A 1 + 2 + (−3)
G （1）求在直角坐标中点 (−3, 4, −5) 处的 E 和 Ex ； G G G G G （2）求在直角坐标中点 (−3, 4, −5) 处 E 与矢量 B = ex 2 − ey 2 + ez 构成的夹角。
解： （1）在直角坐标系中 (−3, 4, −5) 点处， r = (−3) 2 + 42 + (−5) 2 = 5 2 ，
G G 25 1 故 E = er 2 = r 2 G G G G 又在直角坐标系中 (−3, 4, −5) 点处， r = −ex 3 + e y 4 − ez 5 ，所以，
G G G G G 25 25 G −ex 3 + e y 4 − ez 5 E = er 2 = 3 r = r r 10 2
故得
G G G G G G G pA − A × P pA − A × P G G X= = A2 A⋅ A
1.8 在圆柱坐标系中，一点的位置由 (4,
中的坐标； （2）球坐标系中的坐标。 解： （1）在直角坐标系中， x = 4 cos(
2π （1）直角坐标系 ,3) 定出，求该点在： 3
2π 2π ) = −2, y = 4sin( ) = 2 3, z = 3 3 3
G ex G ey G ez
G G G G G 解： A × B = 2 3 −4 = −ex 13 + e y 22 + ez 10 −6 − 4 1
G G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C = (−ex 13 + ey 22 + ez 10) ⋅ (ex − ey + ez ) = −25 G C = 12 + (−1) 2 + 12 = 3 G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C 25 所以， A × B 在 C 上的分量为 ( A × B)C = =− = −14.43 G 3 C
∂u G 6 xyz 4 x 2 z 5 x 2 y = ∇u ⋅ el = + + ∂l 50 50 50
∂u 36 16 60 112 G = + + = 点(2,3,1)处沿 el 的方向导数值为 ∂l (2,3,1) 50 50 50 50 1.12 已知标量函数 u = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + 3x − 2 y − 6 z 。 （1）求 ∇u ； （2）在哪些点上
G ez
1.2 三角形的三个顶点为 P 1 (0,1, −2) 、 P 2 (4,1, −3) 和 P 3 (6, 2,5) 。
（1）判断 ΔP （2）求三角形的面积。 1P 2P 3 是否为一直角三角形； 解： （1）三个顶点 P 1 (0,1, −2) 、 P 2 (4,1, −3) 和 P 3 (6, 2,5) 的位置矢量分别为
G G G ex e y ez G G G G G G （8） ( A × B) × C = −10 −1 −4 = ex 2 − ey 40 + ez 5 5 0 −2
G ex G G G A × (B × C) = 1 8
G ey 2 5
G G G −3 = ex 55 − ey 44 − ez 11 20
G G ⎞ ⎛e ⋅R ⎛ 5 ⎞ D φx = arccos ⎜ x G P ' P ⎟ = arccos ⎜ ⎟ = 32.31 ⎜ RP ' P ⎟ 35 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G ⎞ ⎛e ⋅R ⎛ −3 ⎞ φ y = arccos ⎜ y G P ' P ⎟ = arccos ⎜ = 120.47D ⎟ ⎜ RP ' P ⎟ ⎝ 35 ⎠ ⎝ ⎠ G G ⎞ ⎛e ⋅R ⎛ −1 ⎞ φz = arccos ⎜ z G P ' P ⎟ = arccos ⎜ = 99.73D ⎟ ⎜ RP ' P ⎟ ⎝ 35 ⎠ ⎝ ⎠ G G G G G G G G G 求它们之间的夹角和 A 在 1.4 给定两矢量 A = ex 2 + ey 3 − ez 4 和 B = ex 4 − ey 5 + ez 6 ， G B 上的分量。
G G G G G G G G G G 1.6 证明：如果 A ⋅ B = A ⋅ C 和 A × B = A × C ，则 B = C 。 G G G G G G G G G G 证：由 A × B = A × C ，得 A × ( A × B) = A × ( A × C ) ，即
G G G G G G G G G G G G ( A ⋅ B) A − ( A ⋅ A) B = ( A ⋅ C ) A − ( A ⋅ A)C G G G G G G G G G G 由于 A ⋅ B = A ⋅ C ，于是得到 ( A ⋅ A) B = ( A ⋅ A)C
G G G G G G G G G G （2） A − B = (ex + ey 2 − ez 3) − (−ey 4 + ez ) = ex + ey 6 − ez 4 = 53 G G G G G G G （3） A ⋅ B = (ex + ey 2 − ez 3) ⋅ (−ey 4 + ez ) = −11
G G G G G G G G G G G r1 = ey − ez 2 ， r2 = ex 4 + ey − ez 3 ， r3 = ex 6 + ey 2 + ez 5 G G G G G G G G G G G 则 R12 = r2 − r1 = ex 4 − ez ， R23 = r3 − r2 = ex 2 + ey + ez 8 ， G G G G G G R31 = r1 − r3 = −ex 6 − ey − ez 7 G G G G G G G 由此可得 R12 ⋅ R23 = (ex 4 − ez ) ⋅ (ex 2 + ey + ez 8) = 0
G G G G G G G G rP ' = −ex 3 + ey + ez 4 ， rP = ex 2 − ey 2 + ez 3 G G G G G G G 则 R = RP ' P = rP − rP ' = ex 5 − e y 3 − ez
G 且 RP ' P 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为
−2 G G G −3 = −ex 10 − ey − ez 4 1 G ez
G ex 0
G G G G G G G G G 所以， A ⋅ ( B × C ) = (ex + ey 2 − ez 3) ⋅ (ex 8 + ey 5 + ez 20) = −42 G G G G G G G G ( A × B) ⋅ C = (−ex 10 − ey − ez 4) ⋅ (ex 5 − ez 2) = −42
θ AB
⎛ ⎜ arccos = ⎜ ⎝
G G A⋅ B G G A B
G G G G G G G G G G G G G G 1.5 给定两矢量 A = ex 2 + ey 3 − ez 4 和 B = −ex 6 − ey 4 + ez ，求 A × B 在 C = ex − ey + ez
上的分量。
G G 3 G 4 G 5 el = ex + ey + ez 的方向导数。 50 50 50 G ∂ G ∂ G ∂ G G G 解： ∇u = ex ( x 2 yz ) + ey ( x 2 yz ) + ez ( x 2 yz ) = ex 2 xyz + ey x 2 z + ez x 2 y ∂x ∂y ∂z G G 3 G 4 G 5 故沿指定方向 el = ex + ey + ez 的方向导数为 50 50 50
（4）由 cos θ AB
G G A⋅ B −11 11 ，得 = G G = =− 14 × 17 238 A B 11 ) = 135.5D 238
θ AB = arccos(−
G G G G G G A⋅ B 11 （5） A 在 B 上的分量 AB = A cos θ AB = G = − 17 B
所以， ΔP 1P 2P 3 为一直角三角形。
G G 1 G 1 G 1 R12 × R23 = R12 × R23 = 17 × 69 = 17.13 2 2 2 G G 1.3 求点 P '(−3,1, 4) 到点 P (2, −2,3) 的距离矢量 R 及 R 的方向。
（2）三角形的面积 S = 解：点 P '(−3,1, 4) 和点 P (2, −2,3) 的位置矢量分别为
故该点的直角坐标为 (−2, 2 3,3) 。 （2）在球坐标系中，
r = 42 + 32 = 5, θ = arctan(4 / 3) = 53.1D , φ =
故该点的球坐标为 (5,53.1D ,120D ) 。
2π rad = 120D 3
G G 25 1.9 用球坐标表示的场 E = er 2 。 r
G G 解： A = 22 + 32 + (−4) 2 = 29 ， B = 42 + 52 + 62 = 77 G G G G G G G G A ⋅ B = (ex 2 + ey 3 − ez 4) ⋅ (ex 4 − ey 5 + ez 6) = −31 G G 故 A 与 B 之间的夹角为 ⎞ −31 ⎞ ⎟ = arccos ⎛ = 131D ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 29 × 77 ⎠ ⎠ G G G B −31 G A 在 B 上的分量为 AB = A ⋅ G = = −3.532 77 B
G G G 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下：
G G G G G G G G G G A = ex + ey 2 − ez 3 ， B = −ey 4 + ez ， C = ex 5 − ez 2 ， G G G G G G G 求： （1） eA ； （2） A − B ； （3） A ⋅ B ； （4） θ AB ； （5） A 在 B 上的分量；
G G （6） A × C = 1 5 G ex G ey 2 0 G ex G G G −3 = −ex 4 − ey 13 − ez 10 −2 G ey −4 0 G ey 2 −4 G ez G G G 1 = ex 8 + e y 5 + ez 20 ， G ez
G G （7）因为 B × C = 0 5 G G A× B = 1
3 2 −3 G G 故 Ex = ex ⋅ E = =− 20 10 2 G （2） B = 22 + (−2) 2 + 12 = 3
在直角坐标中 (−3, 4, −5) 点处
G G G G G −ex 3 + ey 4 − ez 5 G 19 G G E⋅B = ⋅ ( ex 2 − e y 2 + ez ) = − 10 2 10 2
G G 所以， B = C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未 G G G G G G G G 知矢量。设 A 为一已知矢量， p = A ⋅ X 而 P = A × X ， p 和 P 已知，试求 X 。 G G G G G G G G G G G G G G G G G G 解：由 P = A × X ，有 A × P = A × ( A × X ) = ( A ⋅ X ) A − ( A ⋅ A) X = pA − ( A ⋅ A) X