高中数学正余弦定理
正弦定理和余弦定理
一：基础知识理解 1．正弦定理
(1)S ＝1
2ah (h 表示边a 上的高)；
(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2ab sin C ；
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
二：基础知识应用演练
1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3
D.3
2
2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．75°
3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )
A ．无解
B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π
6，c ＝23，
则b ＝________.
5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．
解析：1选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323
2
×22＝2 3.
2选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝1
2
，又∵0° 3 选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝22 3.又∵a 4 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23× 3 2 ＝4，所以b ＝2.答案：2 5、解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°，整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3. 因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534. 答案：1534 小结：(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B . (2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A a ≥ b a >b 解的个 数 一解 两解 一解 一解 （1）利用正弦、余弦定理解三角形 [例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解析：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3 . (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3. 思考一下： 在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 方法小结： 1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷． 2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 试题变式演练1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a ； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理得， sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝ 2sin A ，所以b a ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2， 故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝1 2， 又cos B >0，故cos B ＝ 2 2 ，所以B ＝45°. （2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 [例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－1 2