2020年春数学中考一轮复习8.重庆数学 第8讲一元二次方程
中考数学第一轮思维方法复习讲义：第8讲 二次函数图象的应用
意林数学思维方法讲义之八 年级： 九年级§第8讲 二次函数图象的应用（一）【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数c bx ax y ++=2中a,b,c 的作用）：⑴a 决定__________。
①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x ﹥-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。
②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x ﹥-ab2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。
③当|a |越大，图象开口越_____。
（2）a 和b 共同决定________。
①b=0时，对称轴为______；②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧。
简记为 。
（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置。
当___ 时，图象与y 轴正半轴相交；当___ 时，图象与y 轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。
（4）当__ _时，图象与x 轴有两个交点；当_ 时，图象与x 轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x 轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a+c ）2＜b 2；⑤a ＞1．其中正确的项是 （填番号）●变式练习：如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用 【例2】已知，二次函数的解析式y 1=－x 2+2x +3． （1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ （4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？（5）若直线y 2=ax +b （a ≠0）的图象与该二次图象交于A （12-，m ），B （2，n ）两点，结合图象直接写出当x 取何值时y 1＞y 2？●变式练习：对于二次函数322--=mx x y ，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ；④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等，则当2012=x 时的函数值为3-． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上） 【例3】 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A .-3B .3C .-5D .9●变式练习：如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当=0．下列判断：①当大于2的=1的x 值是或．其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｏ x yA OB y x 【例4】如图，若抛物线y =-＜n . （1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x 取何值时，抛物线的图像在直线BC 的上方？（3）点P 在线段OC 上，作PE ⊥x 轴与抛物线交与点E ，若直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分，求点P 的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点． ⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D .（1）求抛物线的解析式；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △∽ABC △？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋b 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值； (3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在， 求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34。
(中考数学复习)第8讲 一元二次方程 课件 解析
(1)证明：∵一元二次方程为x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，
Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，∴此方程有两个不相等的
实数根．
(2)解：∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数
根，由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且
△ABC是等腰三角形，
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖
＝2 014.
3．(2013·日照)已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，
则下面对x1的估计正确的是
( A )
A．－2<x1<－1
B．－3<x1<－2
C．2<x1<3
D．－1<x1<0
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
题组三 利用根的判别式解决问题
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考 10
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
1．(2013·温州)方程x2－2x－1＝0的根是____________． 2．(2013·聊城)若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个
根，则方程的另一个根x2＝___5__．
6
A．x－6＝－4 C．x＋6＝4
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
＝x1·(x1＋2 013)＋2 013x2＋x2－2 013 ＝(x1＋2 013)＋2 013x1＋2 013x2＋x2－2 013 ＝x1＋x2＋2 013(x1＋x2)＋2 013－2 013 ＝1＋2 013
中考数学一轮复习《一元二次方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。
其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
(2)配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。
(4)因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式。
3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.
中考第一轮复习第8讲《一元二次方程及应用》专题训练
第8讲 一元二次方程考纲要求命题趋势1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.知识梳理一、一元二次方程的概念1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________． 二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. 4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________． 三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．自主测试1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根2．如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－43．某商品原价200元，连续两次降价a %后售价为148元，下列所列方程正确的是( ) A ．200(1＋a %)2＝148 B ．200(1－a %)2＝148 C ．200(1－2a %)＝148 D ．200(1－a 2%)＝1484．已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________. 5．解方程：x 2＋3＝3(x ＋1)．考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0解析：由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0；选项D中含有两个未知数．故选C.答案：C方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1 已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是() A．－2 B．2 C．5 D．6考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程x2－4x＋1＝0.分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．解：解法一：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，由此可得x－2＝±3，x1＝2＋3，x2＝2－ 3.解法二：a＝1，b＝－4，c＝1.b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x＝4±122＝2± 3.方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．触类旁通2 解方程：x2＋3x＋1＝0.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4± 2 D．0或8解析：b2－4ac＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，解得m1＝0，m2＝8.故选D.答案：D方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．触类旁通3 已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是()A．n2－4mk＜0 B．n2－4mk＝0C．n2－4mk＞0 D．n2－4mk≥0考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．解：(1)依题意，得b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤1 2.(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.∵k≤12，∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.综合①②可知k＝－3.解法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1)．由(1)可知k≤12，∴2(k－1)＜0，即x1＋x2＜0.∴－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.方法总结解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a≠0，②b2－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．触类旁通4 若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是()A．4 B．3 C．－4 D．－3考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从开始五年内保持不变，则该品牌汽车的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意，得 6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25.∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：的年产量为12.5万辆．方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100元？1．(河北)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是()A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝52．(江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是()A．1 B．－1 C．14 D．－143．(湖南株洲)已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为()A．b＝－1，c＝2 B．b＝1，c＝－2C．b＝1，c＝2 D．b＝－1，c＝－24．(四川成都)一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是()A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝1215．(贵州铜仁)一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．6．(浙江绍兴)把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是()A．m≠2 B．m≠±2C．m≠ 2 D．m≠± 22．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a＜2 B．a＞2C．a＜2且a≠1 D．a＜－24．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则()A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜05．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是__________．8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．参考答案导学必备知识自主测试1．B因为根的判别式b2－4ac＝4＋4＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．2．C把x＝2代入方程，得c＝4.3．B降价a%一次售价为200(1－a%)元，降价a%两次售价为200(1－a%)(1－a%)元，即200(1－a%)2元．4．32因为a＝2，b＝－3，所以x1＋x2＝－ba＝32.5．解：原方程可化为x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3.探究考点方法触类旁通1．B把3代入原方程得c＝6，解原方程得另一个根是2. 触类旁通2．解：∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0.∴x＝－3±52.∴x1＝－3＋52，x2＝－3－52.触类旁通3．D因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式n2－4mk≥0.触类旁通4．B因为a＝1，c＝3，所以x1x2＝ca＝3.触类旁通5．解：(1)2x50－x(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．品鉴经典考题1．A原方程变为x2＋4x＋4－4＋1＝0，所以(x＋2)2＝3.2．B因为方程有两个相等的实数根，则22－4(－a)＝0，所以a＝－1.3．D b＝x1＋x2＝1－2＝－1，c＝x1x2＝－2.4．C因为每次提价的百分率都是x，则两次提价后价格是原价的(1＋x)2，所以列方程为100(1＋x)2＝121.5．3或－1解方程：x2－2x＋1＝4，∴(x－1)2＝4，x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1.6．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，则(40－2x)2＝484，即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，即y＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，y最大＝800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，从而有2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm.此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.研习预测试题1．D由题意知，m2－2≠0，得m≠± 2.2．C因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.3．C因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式(－2)2－4(a－1)＞0，且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.4．A因为方程两根为负，所以两根之和为负，即－p＜0，所以p＞0；两根之积为正，即q＞0.5．±7因为把x＝2代入原方程得a2＝7，所以a＝±7.6．2因为a＝1，ca＝x1x2＝2，所以c＝2.7．－65因为a＋b＝6，ab＝－5，所以1a ＋1b＝a＋bab＝6－5＝－65.8．解：提取公因式，得(x－2)(x＋1)＝0，解得x1＝2，x2＝－1. 9．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2.解方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．∵14 400＜15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．。
2020届中考数学一轮复习一元二次方程及其应用教案分式方程及其应用知识点
第7讲一元二次方程及其应用一、复习目标1.了解一元二次方程的定义及一般形式．2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．3．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．4．了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．二、课时安排1课时三、复习重难点1．熟练配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．四、教学过程（一）、知识梳理一元二次方程的概念及一般形式1.－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．一元二次方程的四种解法1．一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．(2)配方法的步骤：移项，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．(3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________．一元二次方程的根的判别式1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．(1)当△>0时，方程有两个_______的实数根．(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．(3)当△<0时，方程没有实数根．全套资料联系QQ/微信：14032256582．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1•x2＝________．一元二次方程的应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价（二）题型、方法归纳考点1一元二次方程的概念及一般形式技巧归纳：运用1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念，解决此问题。
中考第一轮一元二次方程复习教案
课题----- 中考第一轮复习《一元二次方程》一、【教学目标】（一）知识与技能了解一元二次方程及其相关概念，掌握一元二次方程的一般形式，在经历具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力，会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数）.（二）过程与方法1、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型.2、通过解一元二次方程和列一元二次方程解应用题的过程中体会转化等数学思想方法的运用.（三）情感态度价值观培养学生交流意识和探索精神，培养学生数学感知，让学生体会知识的内在联系价值二、【教学重难点】1、重点：一元二次方程的解法以及应用2、难点：用一元二次方程的知识解实际问题三、教学过程：（一）整体感知（知识结构）：（二）考点知识精讲1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．③公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) ④因式分解法：因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．4．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．5．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．6．一元二次方程的判别式：运用一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式：a ac b b x 242-±-= )04(2≥-ac b 时，要先计算ac b 42-的值。
数学中考一轮复习专题08一元二次方程课件
【例12】（3分）（202X•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了
一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，
x2=5．请你写出正确的一元二次方程
．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般情势
【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可． 【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b， 解得b=-6，c=6， 所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0． 故答案为x2-6x+6=0．
则x-1=0或x-3=0，
解得x1=1，x2=3． 故选：B．
知识点3 ：一元二次方程的根的判别式
知识点梳理
1．一元二次方程根的判别式： b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的
判别式．常用字母“ ”表示．
2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：
（1）当 =b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即
些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
①增长率＝
增长量 基础量
×100%；
②设a为本来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当
m为平均降落率，n为降落次数，b为降落后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值
为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x) 2；
知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m2+m当成一个整体，利用了整体的 思想．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝ 50( 户 ) 参 与 活 动 一 ； 6 月 份 50 平 方 米 住 宅 每 户 所 交 物 管 费 为 100(1- 130 a%) 元 ， 有
200(1+2a%)
户
参
与
活
动
二
；
80
平
方
米
住
宅
每
户
所
交
物
管
费
为
160(1-
1 4
a%)
元
，
有
50(1+6a%)户参与活动二.根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们
考点2 一元二次方程的解(根)与解法：会用
1.“是解就满足方程，满足方程就是解”. 2.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：用于当b＝0时，类型：ax2＋c＝0；a(mx＋n)2＋c＝0.注意取 “±”号. (2)配方法：化二次项系数为1并移项后得到x2＋bax＝－ca形式，两边同时加上一 次项系数一半的平方，得到(x＋2ba)2＝b24−a42ac，此时用直接开平方法.
按原方式共缴纳的物管费将减少158a%，列出方程求解即可.
［解答］解：(1)设该小区有x套80平方米住宅， 则50平方米住宅有2x套，由题意，得 2(50×2x+80x)＝90000， 解得 x＝250. 答：该小区共有250套80平方米的住宅.
(2)参与活动一： 50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200（户）参与活动一. 80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50（户）参与活动一. 参与活动二：
5.涨价问题：进价为每件a元的商品，按每件b元销售，可卖出c件，现如 果每件涨价m元，则少卖出n件.求利润为p元时的卖价. 解法：设每件涨x元，则新卖价为每件_(_b_＋__x_)_元.
公式：(原卖价＋x－进价)(原卖数量－每涨x 数×少卖数)＝利润. 即(b+x-a)(c-mx ·n)=p.
6.降价问题：进价为a元的商品，按b元每件销售，可卖出c件，现如果每 件降价m元，则多卖出n件.求利润为p元时的卖价. 解法：设每件降x元，则新卖价每件为(b－x)元.
∴t1＝0(舍去)，t2=12， ∴a＝50.
变式训练
7.(2018·重庆A)宽改造. (1)原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其 中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年 1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？
解：(1)设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是(50-x)千米. 根据题意，得 x≥4(50-x)， 解得x≥40. 答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米.
(2)设2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数 分别为2x千米、x千米， 根据题意，得2x+x=45， 解得x=15，∴2x=30. 设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y元、2y元，根据题意，得 30y+15×2y=780， 解得y=13，∴2y=26.
(2)到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路 硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村 级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的 经费之比为1∶2，且里程数之比为2∶1．为加快美丽乡村建设，政府决定加 大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础 上增加10a%(a＞0)，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、 道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和 道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
第二章 方程(组)与不等式(组)
第8讲 一元二次方程
01 考点 ·梳理知识点
考标点击
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次 方程. 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
8.阳春三月，春暧花开，重庆各地的草莓也开始成熟，草莓营养价值很高， 含有多种维生素和微量元素，被誉为“果中皇后”，“开春第一果”，3 月份，某水果批发商购进一批香草莓和巧克力草莓共1000公斤，进价均 为每公斤40元，然后以巧克力草莓每公斤75元、香草莓每公斤60元的价 格售完，共获利29000元. (1)求该水果批发商分别购进香草莓和巧克力草莓各多少公斤；
则a的值为-1.
变式训练
1.(2019·怀化)一元二次方程x2+2x+1＝0的解是( C )
A.x1＝1，x2＝-1 B.x1＝x2＝1 C.x1＝x2＝-1 D.x1＝-1，x2＝2
2.解方程： (1)2(x-3)=3x(x-3)； 解：移项，得2(x-3)-3x(x-3)=0. 整理，得(x-3)(2-3x)=0. 则x-3=0或2-3x=0.
焦点2 根的判别式和根与系数的关系
样题2 当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx-c＝0的根的情况为( A )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定
［解析］∵b+c＝5， ∴c＝5-b. ∴Δ＝b2-4×3×(-c)＝b2+12c＝b2-12b+60＝(b-6)2+24. ∵(b-6)2≥0， ∴(b-6)2+24＞0， ∴Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程3x2+bx-c＝0有两个不相等的实数根. 故选A.
样题3 (2019·重庆A)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅， 50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2 元收取当月物管费，该小区全部住宅都有人住且每户均按时全额缴纳物 管费. (1)该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住 宅？
考点4 列一元二次方程解决实际问题：会运用模型
1.增长率问题：公式“原量×(1＋增长率)n＝增长后量”(其中n是增长的 期数即增长次数). 2.降低率问题：公式“原量×(1－降低率)n＝减少后量”(其中n是降低的 期数即降低次数). 注意：0＜降低率＜1，增长率不为负，如果为负则为“降低”.
3.面积问题 (1)直接利用相应图形的面积公式列方程； (2)将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列 方程. 4.盒子类问题：盒子底面长＝原长－2x，盒子底面宽＝原宽－2x.
5. （ 2019·遵 义 ） 一 元 二 次 方 程 x2-3x+1=0 的 两 个 根 为 x1 ， x2 ， 则
D x12+3x2+x1x2-2的值是( )
A.10
B.9
C.8
D.7
2
6.已知方程3x2-x-1=0的两根分别是x1和x2，则3x12-2x1-x2的值是__3___.
焦点3 列一元二次方程解决实际问题
角线问题等.
x(x−1)
公式：设共有x个队(x人，x条边……)，则场数=___2____.
9.双循环：每两个队之间比赛两场，如足球赛的主、客场比赛、同学互
相赠送礼物等.
公式：设共有x个队(x人……)，则场数=_x_(_x_－__1_).
10.分叉问题和传染问题.
02 考法 ·聚焦重难点
焦点1 一元二次方程的解与解方程
变式训练
3.（2019·铜仁）一元二次方程4x2-2x-1＝0的根的情况为( B)
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
4.(2019·荆州)若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程
x2+kx+b＝0的根的情况是( A)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定
由题意，得 13(1+a%)·40(1+5a%)+26(1+5a%)·10(1+8a%)=780(1+10a%). 设a%=m，则 520(1+m)(1+5m)+260(1+5m)(1+8m)=780(1+10m)， 整理，得10m2-m=0，
解得m1=110，m2=0(舍去)， ∴a%=110,∴a=10.
130a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 6a%，每户物管费将会减少14a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们 按原方式共缴纳的物管费将减少158a%，求a的值.
［ 分 析 ］ (1) 设 该 小 区 有 x 套 80 平 方 米 住 宅 ， 则 50 平 方 米 住 宅 有 2x 套 ， 根 据 物 管 费 90000元，可列方程求解出x=250. (2)5月份50平方米住宅有500×40%＝200(户)参与活动一，80平方米住宅有250×20%
解得x1=3，x2=23.
(2)2x2-4x-30=0； 解：∵2x2-4x-30=0， ∴x2-2x-15=0， ∴(x-5)(x+3)=0， ∴x1=5，x2=-3.
(3)x(x-2)=3. 解：去括号，移项，得x2-2x-3=0. 因式分解，得(x-3)(x+1)=0. ∴x-3=0或x+1=0， ∴x1=3，x2=-1.
样题1 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1＝0有一个根为x＝0，则
a的值为( D )
A.0
B.±1
C.1
D.-1
［解析］直接把x＝0代入原方程，再结合a-1≠0，进而得出答案.
∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1＝0有一个根为x＝0，