数列压轴题

数列优质压轴题1．已知数列{}n a 和{}n b 满足1a m =，1n n a a n λ+=+，2439n n n b a =-+，{}n b 的前n 项和为n T ． ⑴．当1m =时，求证：对于任意的实数λ，{}n a 一定不是等差数列；⑵． 当12λ=-时，试判断{}n b 是否为等比数列；⑶．在⑵条件下，若21≤≤n T 对任意的*N n ∈恒成立，求实数m 的范围． 解：⑴．当1m =时，11a =，21a λ=+，23(1)22a λλλλ=++=++，假设数列{}n a 是等差数列，由1322a a a +=得，232(1)λλλ++=+，即210λλ-+=，30∆=-<，方程无实根，故对任意的实数λ，{}n a 一定不是等差数列；⑵．当12λ=-时，112n n a a n +=-+，2439n n n b a =-+，则112(1)41()392n n n n b a a n +++=-+=-+-2(1)4121241()392392392n n n n n n a a b ++=-+-=--+=-，又1242399b m m =-+=-，故当29m ≠时，{}n b 是以29m -为首项，12-为公比的等比数列，当29m =时，{}n b 不是等比数列；⑶．当29m =，0n T =，不成立，当29m ≠时，221()[1()]392n n T m =---，当n 为奇数时13[1()](1,]22n --∈，当n 为偶数13[1()][,1)24n --∈，从而求得209m =． 练习7．(08湖北)已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，124,(1)(321)3n n n n n a a n b a n +=+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数． ⑴．对任意实数λ，证明：数列{}n a 不是等比数列；⑵．试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；⑶．设0a b <<，n S 为数列{}n b 的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．⑴．证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有2213a a a =，即224(3)(4)39λλλ-=-，故224449499λλλλ-+=-，则90=矛盾．故{}n a 不是等比数列． ⑵．解：因111122(1)[3(1)21](1)(214)(1)(321)33n n n n n n n b a n a n a n ++++=---+=--+=---+= 23n b -，又1(18)b λ=-+，故当18λ=-，*0()n b n N =∈，此时{}n b 不是等比数列：当18λ≠-时，1(18)0b λ=-+≠，由上可知0n b ≠，故*12()3a nb n N b +=-∈．故当18λ≠-时，数列{}n b 是以(18)λ-+为首项，23-为公比的等比数列．⑶．由⑵知，当18λ=-，0n b =，0n S =，不满足题目要求．故18λ≠-，故12(18)()3n n b λ-=-+-，于是32(18)[1()]53n n S λ=-+--．要使n a S b <<对任意正整数n 成立，即3(18)[15a λ<-+- *2()]()3n b n N -<∈得，3(18)51()1()33n n abλ<-+<----　，令2()1()3f n =--①，当n 为正奇数时，51()3f n <≤；当n 为正偶数时，5()19f n ≤<，故2()1()3f n =--的最大值为5(1)3f =，2()1()3f n =--的最小值为5(2)9f =，于是，由①式得，933(18)555b a λ<-+<，故18b λ--<< 318a --，当3a b a <≤时，由18318b a --≥--知，不存在实数满足题目要求；当3b a >存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<，且λ的取值范围是(18,318)b a ----． (10上海)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈． ⑴．证明：{1}n a -是等比数列；⑵．求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．解析：⑴．当1n =时，114a =-；当2n ≥时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，故151(1)6n n a a --=-，又11150a -=-≠，故数列{1}n a -是等比数列；⑵．由⑴知：15115()6n n a --=-，得15115()6n n a -=-，从而1*575()90()6n n S n n N -=+-∈；解不等式1n n S S +<，得152()65n -<，5621log 14.925n >+≈，当15n ≥时，数列{}n S 单调递增；同理可得，当15n ≤时，数列{}n S 单调递减；故当15n =时，n S 取得最小值．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，114a =，且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足：11194b =-，且13(2)n n b b n n --=≥． ⑴．求{}n a 的通项公式；⑵．求证：数列{}n n b a -为等比数列；⑶．求数列{}n b 的前n 项和n S 取得最小值．(99全国)已知函数()y f x =的图象是自原点出发的一条折线．当1(0,1,2,)n y n n ≤≤+=时，该图象是斜率为n b 的线段(其中正常数1b ≠)，设数列{}n x 由()(1,2,)n f x n n ==定义，求12,x x 和n x 的表达式．解：依题意(0)0f =，又由1()1f x =，当01y ≤≤时，函数()y f x =的图象是斜率为01b =的线段，故由11()(0)10f x f x -=-得，11x =．又由2()2f x =，当12y ≤<时，函数()y f x =的图象是斜率为B 的线段，故由2121()()f x f x b x x -=-，即211x b=+．记00x =，由函数()y f x =图象中第n 段线段的斜率为1n b -，故得111()()n n n n n f x f x b x x ----=-，又()n f x n =，1()1n f x n -=-；故1n n x x --=11(),1,2,n n b -=．由此知数列1{}n n x x --为等比数列，其首项为1b ，公比为1b，因 1b ≠得，112111()111()11n nn k k n k b b x x x b b b b ---=-=-=++++=-∑，即11()1n n b b x b --=-． (08辽宁)在数列{},{}n n a b 中，112,4a b ==，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列(n ∈*N )．⑴．求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{},{}n n a b 的通项公式，并证明你的结论； ⑵．证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．解：⑴．由条件得，21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得，22334691216,a b a b a =====，，， 42025b =，．猜测：2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．用数学归纳法证明：①．当1n =时，由上可得结论成立．②．假设当n k =时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，， 那么当1n k =+时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．故当1n k =+时，结论也成立．由①②，可知(1)n a n n =+，2(1)n b n =+对一切正整数都成立． ⑵．11115612a b =<+．当2n ≥时，由⑴可知，(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故111a b ++2211111111111111()(622334(1)622334n n a b a b n n n ++<++++=+-+-++-++⨯⨯+ (11111115))()162216412n n =+-<+=++，综上，原不等式成立． (10天津)在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d ．⑴．若2k d k =，证明：22122,,k k k a a a ++成等比数列(*k N ∈)； ⑵．若对任意*k N ∈，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ． (i)．设11q ≠，证明：1{}1k q -是等差数列； (ii)．若22a =，证明：22322(2)2nk kk n n a =<-≤≥∑．【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法． 【解】⑴．证：由题设可得，*21214,k k a a k k N +--=∈．故211212121()(k k k k a a a a a ++---=-+- 2331)()44(1)412(1)k a a a k k k k -++-=+-++⨯=+，由10a =，得212(1)k a k k +=+，从而222212222,2(1)k k k a a k k a k ++=-==+．于是212222111,k k k k a a k k a k a k +++++==，故2221212k k k ka aa a +++=．故2k d k =时，对任意*k N ∈，22122,,k k k a a a ++成等比数列．⑵．法一：(i)证：由21221,,k k k a a a -+成等差数列，及22122,,k k k a a a ++成等比数列得，2212k k a a -=+ 2121212211,2k k k k k k k a a a q a a q -++-=+=+，当11q ≠时，可知*1,k q k N ≠∈，从而11111121k k q q -==--- 111k q -+-，即1111(2)11k k k q q --=≥--，故1{}1k q -是等差数列，公差为1．⑶．证：120,2a a ==，可得34a =，从而11412,121q q ===-．由⑴有1111k k k q =+-=-得，*1,kk q k N k +=∈，故22212121k k k k a a k a a k++++==，从而2*22221,k k a k k N a k ++=∈()，因此，2222k kk a a a -=⋅ 22222242222242(1)2......22(1)(2)1k k a a k k a k a a k k ---⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=--．故*21212(1),k k k a a k k k N k ++=⋅=+∈． 以下分两种情况进行讨论：(i)．当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈，若1m =，则2222nk kk n a =-=∑．若2m ≥，则22nk kk a ==∑ 22222111211111221(2)(21)44414412[]222(1)2(1)2(1)mm m m m k k k k k k k k k k k k k k m m a a k k k k k k k ---=====++++++=+=++=++++∑∑∑∑∑111111131[2()]22(1)(1)22122m k m m n k k m n -=+-=+-+-=--+∑．故223122nk k k n a n =-=+∑，从而22322,4,6,82n k kk n n a =<-<=∑…．(ii)．当n 为奇数时，设*21()n m m N =+∈．222222221(21)1(21)422(1)nm k k k km k k m m m a a a m m m ==+++=+=-+-+∑∑3113142222(1)21m n m n =+-=--++，故2231221nk k k n a n =-=++∑，从而22322,2n k k k n n a =<-<∑ 3,5,7,=,综合(i) (ii)得，对任意2n ≥，n N *∈，有223222n k kk n a =<-≤∑． 法二：(i)．证：由题设可得，212222(1)k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-．12221k k k d a a +++=-=2222(1)k k k k k k k q a q a a q q -=-，故1k k k d q d +=．232211122222211k k k k k k k k ka a d dq a a q a ++++++++===+=+ 211k k k k k d q q a q -=+，由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈．可得111111k k k k q q q q +-=---111k q -=-，故1{}1k q -是等差数列，公差为1． (ii)．证明：因120,2a a ==，故1212d a a =-=．故3214a a d =+=，从而3122a q a ==，111q =- 1．于是，由(i)可知1{}1k q -是公差为1的等差数列．由等差数列的通项公式可得，11(1k k q =+-- 1)k =，故1k k q k +=．从而11k k k d k q d k ++==．故1112k k k k k d d d d d d ---=⋅⋅⋅2112121d k k d k k -=⋅⋅⋅=-- k ，由12d =，可得2k d k =．于是，由(i)可知，212(1)k a k k +=+，2*22,k a k k N =∈．以下同证法一．(10天津文)在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k ．⑴．证明：456,,a a a 成等比数列； ⑵．求数列{}n a 的通项公式；⑶．记2222323n nn T a a a =+++，证明：322(2)2n n T n <-≤≥．【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．⑴．证：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，65618a a =+=．从而655432a a a a ==，故456,,a a a 成等比数列． ⑵．由题设可得，*21214,k k a a k k N +--=∈，故21121212123()()k k k k k a a a a a a ++----=-+-+*31()44(1)42(1),a a k k k k k N +-=+-++=+∈．由10a =得，212(1)k a k k +=+，从而222122k k a a k k +=-=．故{}n a 的通项公式为：22,21,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩奇偶为数为数或2*(1)1,24n n n a n N --=+∈．⑶．由⑵可知，212(1)k a k k +=+，222k a k =，以下分两种情况进行讨论：①．当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈，若1m =，则2222nk kk n a =-=∑，若2m ≥，则22nk kk a ==∑ 2222211112111111221(2)(21)(2)(21)4412[]222(1)2(1)2(1)mm m m m m k k k k k k k k k k k k k k m m a a k k k k k k k ----======+++++=+=++=++++∑∑∑∑∑∑1111131[2()]22(1)(1)22122m m n k k m n +-=+-+-=--+．故223122nk k k n a n =-=+∑，从而22322,4,6,8,2n k kk n n a =<-<=∑．②．当n 为奇数时，设*21()n m m N =+∈．222222221(21)31(21)1131442222(1)22(1)21nm k k k k m k k m m m m n a a a m m m m n ==+++=+=--+=+-=--+-+∑∑，故2231221nk k k n a n =-=++∑，从而22322,3,5,7,2nk kk n n a =<-<=∑，综合①和②可知，对任意2n ≥，*n N ∈有，322(2)2n n T n <-≤≥．20．已知数列{}n a 中，，12n n n a a ++=(n ∈N*)，b n ＝3a n ． ⑴．试证数列1{2}3n n a -⨯是等比数列，并求数列{b n }的通项公式． ⑵．在数列{}n b 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．⑶．①试证在数列{}n b 中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r ，s ，使得b 1，b r ，b s 成等差数列；并求出正整数r ，s 之间的关系． ②在数列{}n b 中，是否存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列？若存在，确定正整数r ，s ，t之间的关系；若不存在，说明理由．⑴．由12n n n a a ++=，得a n ＋1＝2n —a n ，∴nn n n n n n n n a a a a 2312312231231111⨯-⨯--=⨯-⨯-+++1(2)31123n n nn a a --⨯==--⨯, 故数列1{2}3n n a -⨯是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列. 故()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即1[2(1)]3n n n a =--，故2(1)n n n b =--11=a⑵．假设在数列{}n b 中，存在连续三项b k －1，b k ，b k ＋1(k ∈N*, k ≥2)成等差数列，则b k －1＋b k ＋1＝2b k ，即1111[2(1)][2(1)]2[2(1)]k k k k k k --++--+--=--，即12k -＝41(1)k --①若k 为偶数，则12k -＞0，41(1)k --＝－4＜0，故，不存在偶数k ，使得b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．②若k 为奇数，则k ≥3，故12k -≥4，而41(1)k --＝4，故，当且仅当k ＝3时，b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．综上所述，在数列{}n b 中，有且仅有连续三项b 2，b 3，b 4成等差数列． ⑶．①证：要使b 1，b r ，b s 成等差数列，只需b 1＋b s ＝2 b r ，即3＋2(1)s s --＝2[()21rr --],即122(1)2(1)3s r s r +-=----，①（ⅰ）若s ＝r ＋1，在①式中，左端122s r +-＝0，右端(1)2(1)3s r ----＝(1)2(1)33(1)3s s s -+--=--，要使①式成立，当且仅当s 为偶数时成立．又s ＞r ＞1，且s ，r 为正整数，故，当s 为不小于4的正偶数，且s ＝r ＋1时，b 1，b r ，b s 成等差数列．（ⅱ）若s ≥r ＋2时，在①式中，左端122s r +-≥2122r r ++-＝12r +，由⑵可知，r ≥3，故r ＋1≥4，故122s r +-≥16；右端(1)2(1)3s r ----≤0（当且仅当s 为偶数、r 为奇数时取“＝”），故当s ≥r ＋2时，b 1，b r ，b s 不成等差数列．综上所述，存在不小于4的正偶数s ，且s ＝r ＋1，使得b 1，b r ，b s成等差数列．全国名校高考数学优质专题、学案汇编（附详解）②假设存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列．首先找到成等差数列的3项：由第⑶小题第①问，可知，b 1，b 2n －1，b 2n (n ∈N*，且n ≥2)成等差数列，其公差d ＝b 2n －b 2n －1＝222121[2(1)][2(1)]n n n n -------＝2122n --，故b t ＝b 2n ＋d ＝()2221n n --＋2122n --＝3212n -⨯－3．又b t =()21t t --，故3212n -⨯－3＝()21t t --，即2t －3212n -⨯＝()1t -－3．② 因t ＞2n ＞2n －1，故t ≥2n ＋1，故②式的左端2t －3212n -⨯≥212n +－3212n -⨯＝212n -≥8，而②式的右端()1t -－3≤－2，故②式不成立． 综上所述，不存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列．。