2019年【聚焦中考】山西省中考数学复习 考点精练 第22讲 圆的基本性质
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( B )
A ．3 cm
B ．4 cm
C ．5 cm
D ．6 cm
,第1题图) ,第2题图)
2．(2015·巴中)如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( A )
A ．25°
B ．50°
C ．60°
D ．30° 3．(2015·淮安)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A ＝70°，则∠C 的度数是( B )
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
,第3题图) ,第4题图)
4．(2015·黔南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 且相交于点E ，则下列结论中不成立的是( D )
A ．∠A ＝∠D
B .CB ︵＝BD ︵
C ．∠ACB ＝90°
D ．∠COB ＝3∠D
5．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC ︵的中点，点D 是优弧BC
︵
上一点，且∠D ＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC ＝6 3 cm ；③sin ∠AOB ＝3
2；
④四边形ABOC 是菱形．其中正确的序号是( B )
A ．①③
B ．①②③④
C ．②③④
D ．①③④
二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2015·黔西南)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已
知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为__5
2
__．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2015·六盘水)如图所示，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40__°.
8．(2014·泰安)如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，
垂足为点E ，交⊙O 于点D ，连接BE.设∠BEC ＝α，则sin α的值为__3
13
13__．
,第8题图) ,第9题图) 9．(2015·淄博)如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵
，∠DCB ＝28°，则∠ABC ＝__28__度． 10．(2015·义乌)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，P B .若PB ＝4，则PA 的长为__3或73__．
三、解答题(共40分) 11．(8分)(2014·湖州)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图)．
(1)求证：AC ＝BD ； (2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
解：(1)证明：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ，∴BE －DE ＝AE －CE ，即AC ＝BD (2)解：由(1)知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ，∵OE ＝6，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝27，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－27
12．(8分)(2015·滨州)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.
(1)求BC ︵
的长； (2)求弦BD 的长．
解：(1)连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC
中，∵cos ∠BAC ＝AC AB ＝510＝1
2
，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°，
∴BC ︵的长＝120×π×（10÷2）180＝103
π (2)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴∠
AOD ＝∠BOD ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAD ＝45°，在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×sin 45°
＝10×2
2＝5 2
13．(8分)(2015·佛山)如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，F.
(1)若∠E ＝∠F 时，求证：∠ADC ＝∠ABC ； (2)若∠E ＝∠F ＝42°时，求∠A 的度数；
(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小．
解：解：(1)∠E ＝∠F ，∵∠DCE ＝∠BCF ，∴∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF ，∴∠ADC ＝∠ABC
(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC ，∵∠EDC ＝∠ABC ，∴∠EDC ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°
(3)连结EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A ，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E ＋∠F ＝180°，∴2∠A ＋α＋β＝
180°，∴∠A ＝90°－α＋β
2
14．(8分)(2015·烟台)如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC ，BC 的
交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵
.
(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由．
(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin ∠ABD 的值．
解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由如下：连结AE ，∵DE ︵＝BE ︵
，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形
(2)∵△ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝1
2
×12＝6，在Rt △ABE 中，
∵AB ＝10，BE ＝6，∴AE ＝102－62＝8，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴12AE·BC ＝
1
2
BD·AC ，∴BD ＝8×1210＝485，在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝48
5
，∴AD ＝AB 2－BD 2＝
145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14
510＝725
15．(8分)(2015·永州)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 上的一点，使CF ∥BD.
(1)求证：BE ＝CE ；
(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； (3)若BC ＝8，AD ＝10，求CD 的长．
解：(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨
⎧AB ＝AC ，
AD ＝AD ，
∴Rt △ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE (2)四边形BFCD 是菱形．证明：∵AD 是直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∵CF ∥BD ，∴
∠FCE ＝∠DBE ，在△BED 和△CEF 中，⎩⎨⎧
∠FCE ＝∠DBE ，
BE ＝CE ，∠BED ＝∠CEF ＝90°，
∴△BED ≌△CEF ，∴
CF ＝BD ，∴四边形BFCD 是平行四边形，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD ，∴四边形BFCD
是菱形 (3)解：∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∴CE 2
＝DE·AE ，设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10，∴42＝x(10－x)，解得x ＝2或8(舍)，在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5。
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第22讲 与圆有关的位置关系
第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等。
中考数学知识点归纳：圆的基础性质
2019中考数学知识点归纳：圆的基础性质面对2019中考，考生对待数学这一科目需保持平常心态，复习数学时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最佳的解题方法，进一步提高解题能力。
下文为2019中考数学知识点归纳。
⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD 与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。
(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。
圆的知识要领不仅常考公式，又是也会直接出一些关于定理的试题。
提供的2019中考数学知识点归纳，是我们精心为大家准备的，希望大家能够合理的使用!。
2016聚焦中考数学(山西省)复习考点精练：第22讲 圆的基本性质
一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( B )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第1题图) ,第2题图)2．(2015·巴中)如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( A )A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 3．(2015·淮安)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A ＝70°，则∠C 的度数是( B )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°,第3题图) ,第4题图)4．(2015·黔南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 且相交于点E ，则下列结论中不成立的是( D )A ．∠A ＝∠DB .CB ︵＝BD ︵C ．∠ACB ＝90°D ．∠COB ＝3∠D5．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC ︵的中点，点D 是优弧BC︵上一点，且∠D ＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC ＝6 3 cm ；③sin ∠AOB ＝32；④四边形ABOC 是菱形．其中正确的序号是( B )A ．①③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2015·黔西南)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为__52__．,第6题图) ,第7题图)7．(2015·六盘水)如图所示，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40__°.8．(2014·泰安)如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，垂足为点E ，交⊙O 于点D ，连接BE.设∠BEC ＝α，则sin α的值为13．,第8题图) ,第9题图) 9．(2015·淄博)如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠DCB ＝28°，则∠ABC ＝__28__度． 10．(2015·义乌)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，P B .若PB ＝4，则PA 的长为．三、解答题(共40分) 11．(8分)(2014·湖州)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图)．(1)求证：AC ＝BD ； (2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．解：(1)证明：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ，∴BE －DE ＝AE －CE ，即AC ＝BD (2)解：由(1)知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ，∵OE ＝6，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝27，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－2712．(8分)(2015·滨州)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.(1)求BC ︵的长； (2)求弦BD 的长．解：(1)连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC中，∵cos ∠BAC ＝AC AB ＝510＝12，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°，∴BC ︵的长＝120×π×（10÷2）180＝103π (2)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴∠AOD ＝∠BOD ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAD ＝45°，在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×sin 45°＝10×22＝5 213．(8分)(2015·佛山)如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，F.(1)若∠E ＝∠F 时，求证：∠ADC ＝∠ABC ； (2)若∠E ＝∠F ＝42°时，求∠A 的度数；(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小．解：解：(1)∠E ＝∠F ，∵∠DCE ＝∠BCF ，∴∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF ，∴∠ADC ＝∠ABC(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC ，∵∠EDC ＝∠ABC ，∴∠EDC ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°(3)连结EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A ，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E ＋∠F ＝180°，∴2∠A ＋α＋β＝180°，∴∠A ＝90°－α＋β214．(8分)(2015·烟台)如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC ，BC 的交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由．(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin ∠ABD 的值．解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由如下：连结AE ，∵DE ︵＝BE ︵，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形(2)∵△ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×12＝6，在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6，∴AE ＝102－62＝8，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴12AE·BC ＝12BD·AC ，∴BD ＝8×1210＝485，在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝485，∴AD ＝AB 2－BD 2＝145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14510＝72515．(8分)(2015·永州)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 上的一点，使CF ∥BD.(1)求证：BE ＝CE ；(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； (3)若BC ＝8，AD ＝10，求CD 的长．解：(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE (2)四边形BFCD 是菱形．证明：∵AD 是直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∵CF ∥BD ，∴∠FCE ＝∠DBE ，在△BED 和△CEF 中，⎩⎨⎧∠FCE ＝∠DBE ，BE ＝CE ，∠BED ＝∠CEF ＝90°，∴△BED ≌△CEF ，∴CF ＝BD ，∴四边形BFCD 是平行四边形，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD ，∴四边形BFCD是菱形 (3)解：∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∴CE 2＝DE·AE ，设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10，∴42＝x(10－x)，解得x ＝2或8(舍)，在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5。
山西省洪洞县中考数学一轮复习第22讲圆的基础知识导学案
第22讲 圆的基础知识学习目标：1。
理解圆、弧、弦、圆周角、圆心角的概念，了解等圆、等弧的概念2。
探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论 学习重点：目标1、2 学习难点：目标2学习过程：自学指导：1. 生结合课本完成【考点梳理】5分钟2. 生结合知识点完成【洞悉考情研真题】5分钟师生归纳5分钟圆的有关性质⎪⎩⎪⎨⎧圆周角定理及其推论关系弧、弦、圆心角之间的圆的旋转不变性垂径定理圆的对称性------- 典例分析：典例2：在解决有关圆的问题时，如果遇到直径，常见的辅助线是构造“直径所对的圆周角”,因此可以得到直角三角形,从而可利用直角三角形的有关知识解决问题10分钟 当堂训练：生自主完成【实战集训夺满分】1-8题15分钟课堂小结:本节课你还有哪些疑惑?5分钟尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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2025年中考数学总复习第一部分考点梳理第22节圆的有关概念和性质
2022年版课标强调动手实践，对尺规作图有较高的要求，教学过程中要引
导学生掌握基本作图方法和作图依据，发展推理能力和几何直观.
第22节 圆的有关概念和性质
请同学们打开《滚动迁移》第180页，开始今天的学习吧！
目
录
1
中考课标导航
2
必备知识梳理
3
中考考点精讲
4
核心素养提升
第二部分 图形与几何
第七章 圆
教师专享页
素养目标
核心素养主要表现：空间观念、几何直观、推理能力、抽象能力
1. 能依据圆的对称性梳理圆的基本性质，利用数形结合进行计算
和推理，发展几何直观.
2. 了解点和圆、直线和圆的位置关系，会用切线的性质进行计算
和推理.
3. 掌握弧长扇形面积、圆内接正多边形的相关计算，会求阴影部
2. 中心：如图，圆心O是这个正六边形的中心.
3. 半径：如图，OD，OE是这个正六边形的半径.
360°
4. 中心角：如图，∠EOD是这个正六边形的中心角，EOD =
= 60°.
6
2
1
2
5. 边心距：如图，OG是这个正六边形的边心距. OG = OE −
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2011年版课标
考情
考点
1. 圆的
➢ 理解圆、弧、弦、圆心角、圆
——
周角的概念，了解等圆、等弧
有关性
质
的概念
➢ 探索圆周角与圆心角及其所对 5年5考
弧的关系，了解并证明圆周角 2024年第7题、2021年7题、2022年第 2. 圆周
定理及其推论（2022年版课标 8题、2020年第18题：利用圆周角定 角定理
2023版山西数学中考总复习第七章圆第22节-圆的有关概念和性质
一条弧所对的圆周角 同弧或等弧所对的 半圆（或直径）所 圆内接四边形的对
等于它所对的圆心角 圆周角相等 . 如 对的圆周角是直角. 角互补. ∠1 +∠2
的一半. 如下图， 1
∠A= 2 ∠O
下图，∠A=∠D， ∠B = ∠C
90°的圆周角所对 的弦是直径.如下
=
1 2
(∠3
+
∠4)
图，∠B = 90°， = 180°
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
返回目录
3.（2022宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，
若∠C = 110°，则∠OBD = （ B ）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
返回目录
4.（2022鹤岗）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为 3 cm.C 为⊙O 上一点，∠ACB = 60°，则AB的长为 3 3 cm．
所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
且平分弦所对的两条弧
圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 圆心 .
弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如
果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
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二、圆周角定理及其推论
定理
推论一
推论二
推论三
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1.圆及其相 关概念
AB
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB” 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每
弧 一条弧都叫做半圆（例如，AD )
中考数学考点：圆的性质及定理考点精讲
中考数学考点：圆的性质及定理考点精讲关于初中生来说中考确实是一个重要的转折点，那么如何样才能在中考这场战争中取得胜利呢？别担忧，看了中考数学考点：圆的性质及定理考点精讲以后你会有专门大的收成：中考数学考点：圆的性质及定理考点精讲圆的初步认识一、圆及圆的相关量的定义（28个）1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
通过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做那个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯独公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，那个唯独的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯独公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有2个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
那个扇形的半径成为圆锥的母线。
二、有关圆的字母表示方法（7个）圆--⊙半径r 弧--⌒直径d扇形弧长/圆锥母线l 周长C 面积S三、有关圆的差不多性质与定理（27个）1.点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）：P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，同时平分弦所对的弧。
山西数学中考考点汇总
山西数学中考考点汇总山西数学中考考点汇总一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角的外心就是斜边的中点。
)8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。
10、圆的切线判定。
(1)d=r时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
中考数学(山西省)复习课件：第22讲 圆的基本性质
3．相关辅助线
常见的辅助线 (1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心 距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；
(2)有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角 来进行证明或计算． (3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆 周(心)角．
命题点：圆周角定理及其推论 1．(2014·山西)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接 OA，OB，∠OBA
ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，作BM⊥AC
于点M，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝
5 2
，BM＝
BC2－CM2＝5 23，∴AM＝AC－CM＝121，∴AB＝ AM2＋BM2＝7
【例2】 (2014·龙东)直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦
数学
山西省
第六章 图形的性质(二)
第22讲 圆的基本性质
1．主要概念 (1)圆：平面上到__定__点___的距离等于__定__长___的所有点组成的图形叫 做圆．___定__点___叫圆心，__定__长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫___弧___，连接圆上任意两点的 线段叫___弦___，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的___弦____． (3)圆心角：顶点在__圆__心___，角的两边与圆相交的角叫圆心角． (4)圆周角：顶点在__圆__上___，角的两边与圆相交的角叫圆周角． (5)等弧：在_同__圆__或__等__圆_中，能够完全___重__合___的弧．
圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对 的弧_____相__等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是____直__角___；90°的圆周角所对的弦 是____直__径__． (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔_____d_＝__r__； ②点P在圆内⇔_____d_<_r___； ③点P在圆外⇔_____d_>_r___．
中考数学知识点归纳：圆的基础性质
中考数学知识点归纳：圆的基础性质
2019中考数学知识点归纳：圆的基础性质
面对2019中考，考生对待数学这一科目需保持平常心态，复习数学时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最佳的解题方法，进一步提高解题能力。
下文为2019中考数学知识点归纳。
⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理
① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)
即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是。