时间序列的小波分析.doc
小波分析程序范文
小波分析程序范文小波分析是一种将时间序列数据分解为不同频率成分的方法，它适用于各种信号处理、统计分析和模式识别问题。
以下是一个简单的小波分析程序的示例。
```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport pywt#生成示例信号n=1000x = np.linspace(0, 8 * np.pi, n)y = np.sin(4 * x) + np.sin(7 * x)#进行小波分析wavelet = 'db4'level = pywt.dwt_max_level(n, wavelet)coeffs = pywt.wavedec(y, wavelet, level=level)#绘制小波系数图plt.figure(figsize=(10, 6))for i in range(level + 1):plt.subplot(level + 1, 1, i + 1)plt.plot(coeffs[i])plt.ylabel(f'Level {i}')plt.xlabel('Sample')plt.tight_layoutplt.show```上述程序使用`numpy`生成了一个示例信号`y`，其中包含两个频率成分为4和7的正弦波。
然后使用`pywt`库进行小波分析，其中`wavelet`参数指定了小波基函数的类型，`level`参数使用`pywt.dwt_max_level(`函数动态计算出小波分解的层数。
最后，使用`matplotlib`绘制了各个小波系数的图像。
运行上述程序，可以得到小波系数的图像，其中横轴表示样本点的索引，纵轴表示小波系数的数值。
不同的子图对应不同的小波分解层级，从低频到高频依次排序。
通过观察小波系数图，可以分析信号的频率成分特征。
小波分析作为一种信号分解方法，可以帮助我们更好地理解和处理时间序列数据。
时间序列的小波分析
时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
GPS时间序列小波相干分析_曲国庆
第35卷第3期煤 炭 学 报Vol .35 No .3 2010年3月JOURNAL OF CH I N A COAL S OC I ETYMar . 2010 文章编号:0253-9993(2010)03-0463-04GPS 时间序列小波相干分析曲国庆,苏晓庆(山东理工大学建筑工程学院,山东淄博 255049)摘 要:利用小波变换的多尺度时频分析特点,将小波变换与相干分析相结合构成小波相干分析,获取信号的幅值和相位信息,研究相干性随时间变化的特征,探测Fourier 相干无法探测的特征信息,并将其应用于山东GPS 地壳运动网络数据,分析2个基准站不同方向上各频率成分的共变规律。
仿真试验和实测数据分析说明,小波相干是分析两列信号相互依赖关系,尤其是探测相干瞬时变化的有效方法。
关键词:GPS;小波相干;Fourier 相干;功率谱密度中图分类号:P22814 文献标志码:A收稿日期:2009-09-06 责任编辑:常 琛 基金项目:山东省自然科学基金资助项目(2004XZ31);国家“927”专项单项六子项(2009AA121405);山东理工大学自然科学基金资助项目(2006KJ M07) 作者简介:曲国庆(1962—),男,山东莱阳人,教授。
E -mail:qgq@sdut 1edu 1cnW avelet coherence ana lysis for GPS ti m e ser i esQU Guo 2qing,S U Xiao 2qing(School of A rchitecture Engineering,Shandong U niversity of Technology,Z ibo 255049,China )Abstract:W avelet coherence,combining wavelet transf or m ,of which t ook advantage of multires oluti on ti m e 2frequency analysis,and Fourier analysis,obtained the amp litude and phase infor mati on i m p lying in signals,and studied the fea 2ture of how the coherence changing with ti m e .So it could detect feature inf or mati on that Fourier coherence couldn ’t,that could be p r oved in the si m ulati on test .Then wavelet coherence was app lied t o Shandong GPS crustal move ment net w ork ti m e series,and covariati on rules of month 2peri od,seas on 2peri od and half 2year 2peri od components in different directi ons bet w een t w o stati ons was summarized res pectively as well .Both the si m ulati on test and measured data analy 2sis show that wavelet coherence is an effective method t o analyze the interdependence bet w een t w o ti m e series,t o de 2tect the transient changes of coherent in particular .Key words:GPS;wavelet coherence;Fourier coherence;power s pectral density 在假设随机平稳的基础上,Fourier 相干分析可以通过计算两列信号频谱的相关性,分析其线性关系,完全依赖于Fourier 变换[1-2]。
小波分析简述
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
小波分析在径流时间序列预测的应用
径 流 预 测 的 准 确 性 是 水 文 系 统 的 重 要 研 究 课 题 ， 着 我 国 国 民 经 济 的 高 速 发 展 ， 技 水 平 的 日益 提 高 ， 随 科 人 们对 径 流 的预测 精度要 求 越来越 高 ． 由于 受 降雨 、 候 、 温 、 发 、 类 活 动 等 大 量 不 确 定 性 和 复 杂 性 因 素 影 气 气 蒸 人 响 ， 川 径 流具有 高度 非线 性 、 变 、 确 定等 特性 ， 且 对参 数 极端 敏 感 ， 流预 测成 为 水 电 能源 优 化理 论 研 河 时 不 并 径 究 的 热 点 ． 流 预 测 多 采 用 多 因 子 综 合 预 测 ， 分 析 要 素 与 前 期 多 因 子 之 间 的 统 计 相 关 关 系 ， 后 用 数 理 统 径 即 然
算 ； 过小 波分 析建 立合 适 的小波模 型用 于 预报 － Ｊ 通 ． ．
本 文 针 对 径 流 时 间 序 列 数 据 的 产 生 过 程 的 随 机 性 、 较 强 的 非 线 性 等 特 点 ， 用 ｄ ｙ小 波 变 换 和 ｄ ４小 有 应 ｍｅ ｂ
波变换 将不 同的径 流时 间序列 分解 为不 同 尺度 的高频 信号 和 低频 信 号 ， 利 用 对被 分 解 的子 序 列分 别 使 用传 再
５ ５０ ； ４ ０ ５
５ ５０ ） ４ ０ １
（． １ 武汉 理工大学 信 息工程学院 ， 湖北 武汉 ４ ０ ７ ；． ３ ０ ０２ 柳州师范高等专科学校 物理与信息科学系 ， 广西 柳州
３ 柳州市水文水资源局 ， ． 广西 柳州
小波分析-经典解读
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
(完整word版)时间序列的小波分析及等值线图、小波方差制作
时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
《结合小波分析的非平稳时间序列预测方法研究》范文
《结合小波分析的非平稳时间序列预测方法研究》篇一一、引言在时间序列分析中，非平稳时间序列预测是一项重要的研究内容。
由于传统的时间序列分析方法大多基于平稳性假设，因此对于非平稳时间序列的预测效果并不理想。
近年来，随着小波分析理论的发展和应用领域的扩展，越来越多的研究者开始关注其对于非平稳时间序列的预测性能。
本文将就如何将小波分析结合到非平稳时间序列预测方法中进行探讨和研究，并提出一种基于小波变换的非平稳时间序列预测模型。
二、小波分析概述小波分析是一种信号处理技术，其核心思想是通过使用一系列小波基函数来描述和分析信号。
小波分析具有多尺度、多分辨率的特点，可以有效地捕捉到信号中的局部特征和变化趋势。
在非平稳时间序列预测中，小波分析可以通过对时间序列进行多尺度分解，提取出不同频率成分的信号特征，从而为预测提供更多的信息。
三、非平稳时间序列预测的挑战非平稳时间序列的预测相较于平稳时间序列更为复杂。
由于非平稳时间序列的统计特性会随着时间的变化而变化，传统的基于平稳性假设的时间序列预测方法难以捕捉到这种变化趋势。
此外，非平稳时间序列中的突变点、趋势和周期性等因素也增加了预测的难度。
因此，如何设计一种能够适应非平稳特性的预测模型成为了研究的关键。
四、基于小波变换的非平稳时间序列预测模型为了解决非平稳时间序列预测的问题，本文提出了一种基于小波变换的预测模型。
该模型首先对原始时间序列进行多尺度小波分解，将不同频率成分的信号分离出来。
然后，针对每个频率成分的信号，使用相应的模型进行预测。
最后，将各个频率成分的预测结果进行重构，得到最终的预测结果。
在具体实现上，我们可以选择合适的小波基函数（如Haar小波、Daubechies小波等），并确定适当的分解层数。
然后，通过小波变换将时间序列分解为多个子序列，每个子序列对应一个特定的频率范围。
接着，针对每个子序列，我们可以使用传统的预测模型（如ARIMA模型、SVM模型等）或者设计新的模型进行预测。
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时间序列的小波分析时间序列（Time Series）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20 世纪80 年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数(t) L2 (R) 且满足：( t)dt 0 （1）式中，(t) 为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：t b1/ 2a (t) a ( ) 其中，a,b R, a0 （2）,ba式中，(t)a 为子小波； a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
,b需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。
在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。
目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。
2. 小波变换，其连续小波变换2若(t)a 是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号 f (t) L (R),b（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为：t b -1/ 2W f (a, b) a f(t) ( )dt （3）Rax bW (a,b)式中，af 为小波变换系数；f(t) 为一个信号或平方可积函数； a 为伸缩尺度；b 平移参数；( )x b为( ) 的复共轭函数。
地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数f (k t) ，（k=1,2, , ,N; t a为取样间隔），则式（3）的离散小波变换形式为：Nk t - b-1/ 2W (a, b) a t f(k t) ( )f （4）ak 1由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度 a 来得到信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。
实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时频变化特征。
3. 小波方差将小波系数的平方值在 b 域上积分，就可得到小波方差，即Var(a)2W ( a,b) dbf (5)小波方差随尺度 a 的变化过程，称为小波方差图。
由式(5)可知，它能反映信号波动的能量随尺度 a 的分布。
因此，小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度，即主周期。
二、小波分析实例- 时间序列的多时间尺度分析(Multi-time scale analysis)例题河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。
所谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化，这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大尺度的变化周期之中。
也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度结构和局部变化特征。
表1 给出了某流域某水文观测站1966-2004 年的实测径流数据。
试运用小波分析理论，借助Matlab6.5 、suffer8.0 和相关软件（Excel 等），完成下述任务：⑴计算小波系数；⑵绘制小波系数图（实部、模和模方）、小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。
8m3）表1 某流域某水文观测站1966-2004 年实测径流数据（×10年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量1966 1.438 1974 2.235 1982 0.774 1990 1.806 1998 1.7091967 1.151 1975 4.374 1983 0.367 1991 0.449 1999 0.0001968 0.536 1976 4.219 1984 0.562 1992 0.120 2000 0.0001969 1.470 1977 2.590 1985 3.040 1993 0.627 2001 2.1041970 3.476 1978 3.350 1986 0.304 1994 1.658 2002 0.0091971 4.068 1979 2.540 1987 0.728 1995 1.025 2003 3.1771972 2.147 1980 0.807 1988 0.492 1996 0.955 2004 0.9211973 3.931 1981 0.573 1989 0.007 1997 1.341分析1. 选择合适的基小波函数是前提在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。
只有选择了适合具体问题的基小波函数，才能得到较为理想的结果。
目前，可选用的小波函数很多，如Mexican hat 小波、Haar 小波、Morlet 小波和Meyer 小波等。
在本例中，我们选用Morlet 连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺度特征。
原因如下：1.1 径流演变过程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来进行此项分析。
1.2 实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。
1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为π/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡，使分析结果更为准确。
2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中存在的多时间尺度。
具体步骤1. 数据格式的转化2. 边界效应的消除或减小3. 计算小波系数4. 计算复小波系数的实部5. 绘制小波系数实部等值线图6. 绘制小波系数模和模方等值线图7. 绘制小波方差图8. 绘制主周期趋势图下面，我们以上题为例，结合软件Matlab 6.5 、Suffer 8.0 和Excel，详细说明小波系数的计算和各图形的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。
1. 数据格式的转化和保存将存放在Excel 表格里的径流数据（以时间为序排为一列）转化为Matlab 6.5 识别的数据格式（.mat）并存盘。
具体操作为：在Matlab 6.5 界面下，单击“File-Import Data”，出现文件选择对话框“Import ”后，找到需要转化的数据文件（本例的文件名为runoff.xls ），单击“打开”。
等数据转化完成后，单击“Finish ”，出现图 1 显示界面；然后双击图 1 中的Runoff ，弹出“Array Editor: runoff ”对话框，选择File 文件夹下的“Save Workspace As”单击，出现图 2 所示的“Save to MAT-File: ”窗口，选择存放路径并填写文件名（runoff.mat ），单击“保存”并关闭“Save to MAT-File ”窗口。
图1 数据格式的转化图2 数据的保存2. 边界效应的消除或减小因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生“边界效用”。
为消除或减小序列开始点和结束点附近的边界效应，须对其两端数据进行延伸。
在进行完小波变换后，去掉两端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列时段内的小波系数。
本例中，我们利用Matlab 6.5 小波工具箱中的信号延伸（Signal Extension）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。
具体方法为：在Matlab 6.5 界面的“Command Window ”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”，按Enter 键弹“Wavelet Toolbox Main Menu ”（小波工具箱主菜单）界面（图３）；然后单击“Signal Extension ”，打开Signal Extension / Truncation 窗口，单击“File ”菜单下的“Load Signal ”，选择runoff.mat 文件单击“打开”，出现图 4 信号延伸界面。
Matlab 6.5 的Extension Mode 菜单下包含了 6 种基本的延伸方式（Symmetric 、Periodic 、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT ）和Direction to extend 菜单下的3 种延伸模式（Both 、Left and Right ），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。
数据延伸的具体操作过程是：在Extension Mode 下选择“Symmetric ”，Dircetion to extend 下选择“Both”，单击“Extend”按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜单下的“Save Tranformed Signal ”，将延伸后的数据结果存为erunoff.mat 文件。
从erunoff 文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸12 个单位，向后延伸13 个单位。
图3 小波工具箱主菜单图4 径流时间序列的延伸3. 计算小波系数选择Matlab 6.5 小波工具箱中的Morlet 复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat ）进行小波变换，计算小波系数并存盘。