事件的独立性教案

事件的相互独立性

数学与统计学学院芮丽娟2009212085

一、教学目标：

1、知识与技能：

（1）了解独立性的定义（即事件A的发生对事件B的发生没有影响）；

（2）掌握相互独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)

2、过程与方法：

通过对现实生活中不同事件问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力

3、情感态度与价值观:

通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.

二、重点与难点：

正确理解独立性的定义与互斥事件的差别，掌握并运用独立事件概率公式

三、教学设想：

1、创设情境：通过回顾上节课学习的条件概率，引入本节课独立性的定义

例：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。则问事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？若条件改为有放回，这时又是什么情况？

解：显然无放回时，A的发生影响着B，即是条件概率。而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。于是P(B|A)=P(B)，代入条件概率公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)

2、基本概念：

独立性定义：设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B 相互独立。

例1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？

分析：理解相互独立的定义，即是一事件的发生对另一事件的发生与否没有影响，由于A事件抛掷第一枚硬币为正面，对B事件第二枚硬币为正面没有影响，故A与B独立，而

C 事件要求抛掷的两次结果相同，当第一枚为正面时此时第二枚也必须为正，显然有影响，故不独立。

小结：若事件,,A B C 相互独立，试用符号语言表示下列事件

（1）,,A B C 同时发生的概率 ()p ABC

（2）,,A B C 都不发生的概率 ()p ABC

（3）,,A B C 恰有一个发生的概率 ()p ABC ABC ABC ++

（4）,,A B C 至少有一个发生的概率 1—()p ABC

（5）,,A B C 至多有一个发生的概率 ()p ABC +()p ABC ABC ABC ++

四、例题分析：

例2.一个口袋内装有2个白球和2个黑球。求

（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？

（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？

分析：（1）先摸出一白球不放回这件事对再摸出一个白球的概率产生了影响，再摸时只有一个白球，两个黑球，则概率为13

（2）先摸出一白球后放回这件事对再摸出一个白球的概率没有影响，还是从两个白球两个黑球中摸，则概率为12

例3.天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3。假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：

（1）甲乙两地都降雨的概率

（2）甲乙两地都不降雨的概率

3A B A B A B A ()()()()()()()()[1()]()()B P AB P B AB P B P AB P B P A P B P B P A P B P A ΩΦ=-=-=-=-=、独立事件性质：

(1)必然事件和不可能事件与任何事件相互独立（2）可以证明事件与独立，那么与，与，与也都相互独立

（例如A A A A A A n n 1212

n P A A A P A P A P A n n 1212••••••=•••（3）一般地，若，，。。。，相互独立，则事件“。。。”的概率等于这个事件分别发生的概率之积，即

（。。。

）（）（）。。。（）（可用数学归纳法证明）

分析：“甲地降雨”为时间A ，“乙地降雨”为事件B 。

（1）“甲乙两地都不下雨”表示时间A,B 同时发生，且甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件A 与事件B 相互独立。所以 ()()()p AB P A P B ==0.2*0.3=0.06

（2）“甲乙两地都不降雨”即事件A 与B 同时发生。利用独立事件的性质2可知，事件A 与B 相互独立。所以()()()p AB P A p B ==(1—0.2)*（1—0.3）=0.56

（3）“至少一个地方降雨”用字母表示应为

()()()()()()()()()()p AB AB AB p AB p AB p AB p A p B p A p B p A p B ++=++=++=0.2*0.7+0.8*0.3+0.2*0.3=0.44

例3：俗话说“三个臭皮匠，顶上一个诸葛亮”，从数学角度解释这句话的含义

分析：三个臭皮匠不妨命名为A,B,C 。假设三人解决某一问题的概率为0.5，且相互独立。诸葛亮解决该问题的概率为0.8。那么这三个臭皮匠至少有一人解决问题的概率为。1—()p ABC =1—0.5*0.5*0.5=0.875﹥0.8。

从数学角度解释名言，更能引起同学们的兴趣。激发他们上课的热情和积极性。

例4：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：

（1）都抽到某一指定号码

（2）恰有一次抽到某一指定号码

（3）至少有一次抽到某一指定号码

分析：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB 。

（1） 由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立。于是由独立性可得，两次抽奖抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0025.005.005.0=⨯。

（2） “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用)()(A B A B ⋃表示。由于事件B A B A 与互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为095.005.0)05.01()05.01(05.0)()()()()()(=⨯-+-⨯=+=+B P A P B P A P B A P B A P

（3） “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用表示)()()(B A B A AB ⋃⋃。由