第56讲 矩估计法(2)
矩法估计PPT课件
点 估 计 问 题 就 是 要 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量
ˆ(1,2,L,n),用 它 的 观 察 值 ˆ(x1,x2,L,xn) 来 估 计 未 知 参 数 .
ˆ(1 ,2 ,L ,n )称 为 的 估 计 量 . 通 称 估 计 ,
ˆ ( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) 称 为 的 估 计 值 . 简 记 为 ˆ.
.
5
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
.
6
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
.
19
例 6 .设 X 在 [ 0 ， ] 上 均 匀 分 布 ， 求 的 矩 法 估 计 量 并 确 定
是 否 为 无 偏 估 计 量 ？
1
解 ： f(x,)
0x, 0
（ 列 1） 方矩 程法 ：２ 估 ＝0计 X ： E X 0 x 1 其 dx 它 2 解 方 程 ： ˆ ＝ ２ X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
112X312X7
2 13X232X5
都是EX的无偏估计，并问哪一个比较有效？
解 E 1 E （ 1 2 X 3 1 2 X 7 ） 1 2 E X 3 1 2 E X 7 E X
E 2 E （ 1 3 X 2 2 3 X 5 ） 1 3 E X 3 2 3 E X 5 E X
矩估计法的公式范文
矩估计法的公式范文矩估计法（Method of Moments）是一种参数估计方法，通过将理论矩与样本矩进行匹配来得到参数估计值。
在统计学和经济学中，矩估计法广泛应用于各种概率分布的参数估计，如正态分布、伽马分布、负二项分布等。
一般而言，假设我们有一个包含n个观测样本的数据集X={x₁,x₂,...,xn}，我们想要对该数据集的总体分布进行参数估计。
设总体的概率密度函数为f(x;θ)，其中θ是待估计参数。
我们可以通过矩估计法来获得对参数θ的估计值。
首先，我们需要计算出数据的前几个矩的估计值，然后通过与理论矩进行匹配来得到参数估计。
具体来说，我们需要计算出前k个样本矩的估计值μ₁,μ₂,...,μₖ。
对于离散型随机变量，n个观测样本的矩估计可以通过如下公式得到：μ₁=(∑xᵢ)/nμ₂=(∑(xᵢ-μ₁)²)/nμ₃=(∑(xᵢ-μ₁)³)/n......μₖ=(∑(xᵢ-μ₁)ᵏ)/n对于连续型随机变量，n个观测样本的矩估计可以通过以下公式得到：μ₁ = ∫xf(x;θ)dxμ₂ = ∫(x-μ₁)²f(x;θ)dxμ₃ = ∫(x-μ₁)³f(x;θ)dx......μₖ = ∫(x-μ₁)ᵏf(x;θ)dx在得到样本矩的估计值之后，我们需要对其进行求解，得到参数θ的估计值。
以正态分布N(μ,σ²)为例，我们可以通过矩估计法来估计μ和σ²。
对于正态分布，它的理论矩可以通过其概率密度函数来计算：μ₁=μμ₂=σ²+μ₁²通过将样本矩的估计值与理论矩进行匹配，我们可以得到如下方程：μ₁=(∑xᵢ)/n=μμ₂=(∑(xᵢ-μ₁)²)/n=σ²+μ₁²从中可以解出μ和σ²的估计值。
具体来说，我们可以通过求解方程组解得到参数的估计值：μₖ=(∑xᵢ)/nσₖ²=(∑(xᵢ-μₖ)²)/n这就是正态分布的矩估计法的公式。
矩估计
P X 0 e
0
0!
e e E X
ˆ X 0 e X . P
例2
求 θ θ 0 的矩估计量.
设 X ~ R θ, θ , X 1 ,
, X n 为取自该总体的样本,
2 θ 解 因E X 0, 而 E X 2 D X , 3 2 2 2 所以可由此解出 θ 3E X , θ 3E X ,
2 量, S n 是 2 的矩估计量, Sn是 的矩估计量.
例4 设总体
2x 0 xθ 2 X ~ f x, θ θ 其余 0 其中 θ 0 未知, 求 θ 的矩估计量.
解
由已知条件可求得
EX
3 故, θ E ( X ). 2
所以
例1
设总体 X
~ P ,
其中 未知,
X1 , X 2 ,
, Xn
为取自该总体的一个样本. 试求:
⑴ 的矩估计量;
⑵ P X 0 的矩估计量. 解⑴
ˆ X. 因为 E X , 故 的矩估计量可定义为
例1 （续）⑵求 P X 0 的矩估计.
n n 2 2 1 1 2 2 2 ˆ X i X X i X Sn . n i 1 n i 1
关于矩估计量有下列结论:来自定理 X1 , X 2 ,
设总体 X 的均值E X , 方差 D X 2
, X n 为取自该总体的样本, 则 X 是 的矩估计
点估计
~ f x, θ , θ 为总体分布中的未知参数, X1 , , X n 是取自总体的一个样本, 用样本来构造 θ 的 估计, 称 g X1 , X 2 , , X n 为 θ 的一个点估计, 记作 ˆ g X , , X . θ
矩估计ppt课件
(2)求 p p 的矩估计量.
q 1 p
解 pˆ 1 X 是p 的矩估计量.
m
g( p) p 1 p
g( pˆ )
pˆ 1 pˆ
1X m 1 1 X
X m X
是 p 的矩估计量.
m
q
6
例
已知总体X
有密度函数
X ~ f (x)
随机变量的矩 1.原点矩
设X是随机变量，对于自然数 k, 如果 E X k 存在，则称 EX k 为随机变量 X 的 k 阶原点矩. 当 k 1时,1阶原点矩就是 EX 当 k 2时,2阶原点矩是 EX 2
1
2.中心矩 EX k 也存在.
称 E( X EX )k 为随机变量 X 的 k 阶中心矩. 当 k 2时,2阶中心矩 E( X EX )2 DX
2
设总体X，X1, X2,..., Xn 是来自 X的一个样本.
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k 1,2,...
A1
1 n
n i 1
X
解 总体一阶原点矩 EX 1 EX 1
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
A1
X
1 n
n i 1
Xi
1
ˆ
解得
ˆ
1 X
1 n
1
n
i 1
Xi
是λ的矩估计量.
10
例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，即
ex ,
X ~ f (x) 0,
x0 x0
矩法估计
矩法估计1.什么是矩法估计对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。
由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛到相应的母体原点矩Eξr,r= 1,2,Λ。
这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（今后称之为替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。
用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。
它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。
２.矩法估计的理论依据由辛钦大数定律知：即对，有或矩法估计的具体步骤设母体ξ的概率函数为f(x,θ1,Λ,θk),其中是k个未知参,Λ,ξn是取自这一母体的一个子样。
设ξ的k阶矩v k = Eξk存在，则数，ξ1v,j < k都存在，并且是θ1,Λ,θk的函数v j(θ1,Λ,θk)，又子样ξ1,Λ,θk j的j阶矩为。
我们设(1),Λ,θk的k个方程，解由这k个方程联这样我们就得到含k个未知参数θ1列所构成的方程组就可以得到theta1,Λ,θk的一组解：(2)用(2)中的解来估计参数θi就是矩法估计。
一般我们考察的情形。
在数理统计学中，我们一般用表示θ的估计量。
下面我们举一个与实际问题有关的多参数的矩法估计问题。
例:已知大学生英语四级考试成绩ξ~N(μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知，ξ1,Λ,ξn为取自母体ξ的一个子样，(x1,Λ,x n)是子样的一组观测值,求μ与σ2的矩法估计。
解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照(1)式得方程组解这一方程组得μ与σ的矩法估计量从而μ与σ2的矩法估计值分别为。
分析：注意到我们这里求出μ与σ2的矩法估计并未用到母体ξ的分布。
这样对μ,σ2作出了估计，也就对整个母体分布作出了推断，进而对大学生英语四级考试成绩ξ相关的其它数字特征如标准分、标准差、偏态系数等作出了估计。
３.矩法估计的优缺点矩法估计原理简单、使用方便，使用时可以不知母体的分布，而且具有一定的优良性质（如矩估计为Eξ的一致最小方差无偏估计），因此在实际问题，特别是在教育统计问题中被广泛使用。
矩估计原理及方法介绍精品PPT课件
1
矩估计法(The Method of Moments)， 是基于一种简单的“替换”思想建立起 来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.Pearson最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩法估计的理论基础是：辛钦大数定律 .
2
记总体 k 阶原点矩为 k E( X k )
样本 k 阶原点矩为
比较：
的最大似然估计量为
ˆ
max
1 i n
X
i
.
在本例中,如果 X 表示乘客的候车时间,随机抽样
得到的5位乘客的候车时间为 0.5, 1, 2, 3.5, 8, 则其矩
估计值为 6, 而其最大似然估计值为 8.
5
例2 设总体 X 服从正态分布 N (, 2 ) ，( X1,, X n ) 是 取自 X 的样本，则 , 2 的矩法估计量分别为
解 (1) 矩估计法：
X 服从几何分布， E( X ) 1 p
所以 p 的矩估计量为
pˆ 1 X
Байду номын сангаас
7
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
解 (2) 最大似然估计法：
n
L( p)
n
p(1
p
)
xi
1
pn (1
xi n p) i1
,
i 1
n
ln L n ln p ( xi n) ln(1 p) ,
i 1
n
d ln L n n i1 xi
令
0，
dp p 1 p
解得 p 的最大似然估计量为
pˆ
n1
n
Xi
. X
i 1
8
矩估计 PPT
(2)设来自总体X样本得k阶矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
其中1 k l.
(3)令总体得k阶矩分别与样本得k阶矩相等,即
5
1(1,2 , 令 2 (1,2 ,
l (1,2 ,
,l ) A1, ,l ) A2 ,
,l ) Al .
n
n
L( ) f (xi ; ) xi 1
i 1
i 1
(0 xi 1)
n (x1x2 xn ) 1
取对数
n
ln L( ) n ln ( 1) ln xi i 1
25
求导并令其为0:
d ln L( ) n n
d
i 1
ln
xi
=0
从中解得
n
n
ln xi
i 1
即为θ得极大似然估计值。
而样本1、2阶矩分别为
A1
X
1 n
9 i 1
xi
1 (94 89 9
55) 75
A2
1 n
9 i 1
xi2
1 (942 9
892
552 ) 5772.33
而总体X得1、2阶矩为
1 E( X ) 2 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
13
75 2 2 5772.33
点估计就是指把总体得未知参数估计为某个确定得值或在 某个确定得点上、
【定义 7.1】设总体 X 的分布函数为 F(x; ) ，其中θ是待估计的
参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2 ,, X n ) ，构造一个统计量
ˆ ˆ(X1, X2,, Xn ) 来估计θ，我们称ˆ(X1, X 2 ,, X n ) 为θ的点估计
2016考研数学复习之矩估计
2016考研数学复习之矩估计来源：文都教育参数估计是考研数学大纲中概率论与数理统计部分第七章的内容，根据历年真题分析发现，无偏估计、矩估计和极大似然估计是每年考试的重点。
那么对于这几种估计方法，我们该如何有效、高效的学习、掌握呢？文都考研数学老师接下来为大家大致总结一下本章的第一部分内容-矩估计。
一、基本知识点 矩估计一般来说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。
含一个参数：设总体(,)X f x θ ，但是参数θ未知，需要对参数θ进行估计。
具体步骤：①取样：12,,,nX X X …；②计算样本均值11n ii X n =∑，根据大数定律1111n n Pi i i i X X EX EX n n ===−−→=∑∑；③令X EX =（在EX 的结果中包含θ），则可求出ˆθ。
含两个参数：若含有两个参数12,θθ， ①取样；②由大数定律2222111111,n n n PP i i i i i i X X EX A X EX EX n n n ====−−→==−−→=∑∑∑；③令X EX=，222211=+()n i i A X EX DX EX n ===∑（或者令211()1ni i X X DX n =-=-∑），则可求出12,θθ的估计量。
所谓矩估计法就是利用样本原点矩去替换总体矩. 矩估计法的计算步骤：（1）计算总体原点矩EX μ=，建立关于参数的有效方程；（2）用样本原点矩11ni i A X n ==∑作为总体原点矩EX μ=的估计，令A μ=即11(1,2,)ni i X EX k n ===∑ ； （3）通过求解有效方程，将未知参数用样本的统计量表示出来，再将未知参数θ用对应的估计量θ∧代替；（4） 若给定一个样本观测值12(,)n x x x ，代入θ∧可得θ的一个矩估计值二、典型例题例1 设总体X 的概率密度为,01(;)1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知参数（01θ<<）.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计. 解析：（1）1213()(1)2EX xf x dx xdx xdx θθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰， 令EX X =，得矩估计量32X θ=-. （2）似然函数()(1)Nn NL θθθ-=-，ln ()Nln (N)ln(1)L n θθθ=+--，令ln ()01d N n NL d θθθθ-=-=-，得θ的最大似然估计为N n θ= .例罐中有N 个硬币，其中有θ个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5），其余N θ-个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，然后放回，如此重复n 次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012012,,()n n n n n n n ++=.（1）求θ的矩估计 1θ，最大似然估计 2θ； （2）求 12E E θθ、； （3）求 2D θ. 解析：（1）设X 为连掷两次正面出现的次数，A ：“取出的硬币为普通硬币”，则21(0)()(0|)()(0|)()24P X P A P X A P A P X A N Nθθ===+===，1221(1)()(1|)()(1|)()22P X P A P X A P A P X A C N Nθθ===+===， 2143(2)()(2|)()(2|)()24N N P X P A P X A P A P X A N N Nθθθ--===+==+=， 则X 的分布律为X0 1 2P4Nθ2Nθ434N Nθ- 则12012432(2)(2)(2)22n n N N NEX X N X N n n NN N n nθθθθ+--=+==⇒=-=-=+ 则θ的矩估计 101(2)Nn n nθ=+. 似然函数012143(,,;)424n n n n N L X X N N Nθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 012ln (ln ln(4))(ln ln(4))(ln(43)ln(4))L n N n N n N N θθθ=-+-+--，012013ln 40()433n n n d L Nn n d N n θθθθθ=+-=⇒=+-， 则θ的最大似然估计 2014()3Nn n nθ=+. （2）01243(,),(,),(,)424N n B n n B n n B n NNNθθθ- ， 则012(43),,424n n n N En En En N N Nθθθ-=== 12(2)22N E EN X N NE X N N Nθθθ-=-=-=-⨯=， 20101444()()()33342N N N n n E E n n En En n n n N N θθθθ=+=+=+=. （3）01(1),(1)4422n n Dn En N N N Nθθθθ=-=-， 则 22201012222241616(4)(2)()()()3991641259N N N n N n N D D n n Dn Dn n n n N N N nθθθθθθθ--=+=+=+-=例总体X 的概率分布为1{},1,2,,P X k k N N=== ，其中N 是未知参数(正整数)，利用总体X 的如下样本值：1,3,2,3,2,1,2,N N -，求N 的矩估计值..【解析】由X 的概率分布知，1111(){}2==+=⋅==⋅=∑∑N Nk k N E X k P X k k N ， 样本均值()131323212824Nx N N =+++++-++=+. 令()=X E X ，得31242N N ++=，解得ˆ4N=，即N 的矩估计值是4. 以上是文都考研数学老师总结的参数估计当中的矩估计法，另外，同学们要牢记常用的参数的距估计值，这样可以节约很多时间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§7.1 点估计矩估计法(2)
百度传课两个未知参数的例题
得 μ 1 =h (θ, λ)， μ2=g (θ, λ)
然后解出 θ = φ(μ1, μ2)， λ =ψ(μ1, μ2) 最后用样本一阶矩(即样本均值) A 1和样本二 阶矩 A 2 代替 μ 1 和 μ 2 ，得 θ 和 λ 的矩估计量
百度传课 如果有两个未知参数 θ 和λ ，则需求出总体
X 的一阶矩(数学期望) μ1= E (X )
和二阶矩 μ 2 = E (X 2) =D (X )+[E (X )]2
例
4
设总体
X 的均值μ且方差σ2>0 都存课在，但它们均未知。
设X
1
, X2, …,X n 是来自总体X 的样本，
试求μ和σ 2 的矩估计量。
解总体X 的一阶和二阶矩为
课例5 设使用仪器对一批零件的尺寸进行了12
次独立的测量，测量数据（单位：mm）如下：120.50120.54120.15120.41120.31121.02 120.14121.21120.87121.01120.10120.43
试用矩估计法估计总体的均值和方差。
解总体均值和方差的矩估计值分别为
百度传课
例6 (均匀分布的参数估计)
设总体X 在区间[a, b]上服从均匀分布,
a, b 为未知参数。
X1, X2, …,X n 是来自总体X的样本，试
求a, b 的矩估计量。
课 设总体 X 在区间[a , b ]上服从均匀分布,a , b 为
未知参数。
X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样 本，试求 a , b 的矩估计量。
解 未知参数是区间端点
先求总体X 的一阶矩(数学期望)和二阶矩。
2 2 12 1 a +b = (b -a ) +( ) 2
2 = E (X ) = 1 (a +b ) = E (X 2 ) = D (X ) +[E (X )]2
解出待估参数a 和b：
四川大学徐小湛
百度传课
得 a 和 b 的矩估计量：
a ˆ = A - 3(A - A 2
) 1 2 1 1 b ˆ = A + 3( A - A 2
)
2 1
其中 1
n
i
n A 1 = X = ∑ i =1
2 1 n
2
i
X n X A = ∑ i =1
四川大学 徐小湛
最后用样本一阶矩 A 1 (样本均值)和样本二阶矩 A 2 分别代替总体一阶矩μ1 和总体二阶矩 μ2，
百度传课
若有样本观察值 x 1, x 2, …, x n ， 则 a 和 b 的矩估计值为：
i
n i =1
a ˆ = x - (x - x )2
n
3 ∑ 3 ˆ n
2 i n i =1
b = x + (x - x ) ∑ 百度传课
0.90 0.49 0.05
0.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56
ˆ 例如，容量为10的样本值： a ˆ = 0.1123
用以上公式计算，得
b = 0.8657
百度传课
0.90 0.49 0.05
0.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56
a ˆ = 0.1123
b ˆ = 0.8657
[a ˆ, b ˆ] = [0.1123, 0.8657]
并没有包含所有样本值？
若有样本观察值， 则 a 和 b 的矩估计值为
四川大学 徐小湛。