误差理论第五章最小二乘法
第五章 最小二乘法辨识
服从正态分
❖ 4）有效性
❖ 定理4：假设 (k) 是均值为零，方差为 2I 的正态
白噪声，则最小二乘参数估计量
^
是有效估计
量，即参数估计误差的协方差达到Cramer-Rao不
等式的下界
E (^
^
)(
)T
2E
(
T N
N
) 1
M 1
❖ 其中M为Fisher信息矩阵。
4、适应算法
❖ 随着更多观测数据的处理，递推最小二乘法对线性 定常系统的参数估计并非越来越精确，有时会发现
❖ 现举例说明最小二乘法的估计精度 ❖ 例5.1：设单输入－单输出系统的差分方程为
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) b1u(k 1) b2u(k 2) (k)
❖ 设 u(k)是幅值为1的伪随机二位式序列，噪声 (k)是 一个方差 2可调的正态分布 N(0, 2 )随机序列。
❖ 为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的 办法来修正算法。而对于时变系统，估计k时刻的 参数最好用k时刻附近的数据估计较准确。否则新 数据所带来的信息将被就数据所淹没。
❖ 几种算法：渐消记忆法，限定记忆法与振荡记忆法
❖ 矩阵求逆引理：设A为 n n 矩阵，B和C为 n m 矩阵，
并且A， A和 BCT I CT都A是1B 非奇异矩阵，则有矩
阵恒等式
A BCT 1 A1 A1B(I CT A1B)1CT A1
❖
令
A
PN1
，B
N 1
，C
T N 1
，根据引理有
PN1
T N 1 N 1
1
❖ 算法中，^ N 为2n+1个存贮单元（ai ,bi ,i 1,2, , n）， 而 PN 是 (2n 1) (2n 1)维矩阵，显然，将 N 换成 PN 后，存贮量大为减少（因为n为模型的阶数，一般 远远小于N）
误差理论第五章最小二乘法
12
2 1
22
2 2
L
2 n
2 n
最小
由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件又可
表示为：
v12 v22 L vn2 最小
2 1
22
n2
引入权的符号p，上式又可表示为：
n
p1v12 p2v22 L pnvn2 pivi2 最小
5
i 1
因此，等精度测量的最小二乘原理表示为：
解得：
y0 c 1999.97mm
d / y0 0.0000183/0 C
例5.2、由测量方程：3x y 2.9, x 2y 0.9, 2x 3y 1.9,试求x、y的最小二乘法处理。
见笔记P56
17
二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
不等精度测量时线性参数的误差方程仍如等精度，只 在进行最小二乘法处理时，要按加权残余误差平方和 为最小，即：
④求残余误差；
⑤计算直接测量量的精度（标准差）；
⑥求各估计量的标准差。
11
一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
线性参数的误差方程为：
v1 l1 a11x1 a12x2 a1t xt
v2
l2
a21x1 a22x2
a2t
xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
y1 a11x1 a12 x2 L a1t xt
y2
a21x1 a22 x2 L M
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 L ant xt
其误差方程式为：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 L a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 L M
最小二乘法原理
最小二乘法原理
最小二乘法是一种用于拟合实验数据的统计算法，它通过最小化实际观测值与理论曲线之间的残差平方和来确定拟合曲线的最佳参数值。
该方法常应用于曲线拟合、回归分析和数据降维等领域。
最小二乘法的基本原理是基于线性回归模型：假设数据之间存在线性关系，并且实验误差服从正态分布。
为了找到最佳拟合曲线，首先假设拟合曲线的表达式，通常是一个线性方程。
然后利用实际观测值与拟合曲线之间的残差，通过最小化残差平方和来确定最佳的参数估计。
残差即为实际观测值与拟合曲线预测值之间的差异。
最小二乘法的优点在于它能够提供最优的参数估计，并且结果易于解释和理解。
通过将实际观测值与理论曲线进行比较，我们可以评估拟合的好坏程度，并对数据的线性关系进行量化分析。
此外，最小二乘法可以通过引入惩罚项来应对过拟合问题，增加模型的泛化能力。
最小二乘法在实际应用中具有广泛的应用，例如金融学中的资产定价模型、经济学中的需求曲线估计、物理学中的运动学拟合等。
尽管最小二乘法在某些情况下可能存在局限性，但它仍然是一种简单而强大的统计方法，能够提供有关数据关系的重要信息。
误差理论与数据处理课第六版后答案5
例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g
最小二乘法在误差分析中的应用
最小二乘法在误差分析中的应用最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数学优化方法，其在误差分析中有广泛的应用。
最小二乘法的核心思想是通过找到最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和来确定模型的参数值。
在误差分析领域，最小二乘法可以用于拟合数据、估计测量误差、确定模型的准确性等方面。
一、数据拟合最小二乘法在数据拟合中起到了很重要的作用。
在实际测量中，我们经常需要通过一组数据来拟合一个函数模型。
然而，由于观测数据通常存在一定的误差，因此完全匹配所有数据点是不可能的。
最小二乘法通过最小化残差平方和，找到了一个最佳拟合曲线，使得拟合曲线与数据点的残差最小。
二、测量误差估计在许多实际问题中，我们需要估计测量误差的大小，以便评估实验数据的可靠性。
最小二乘法可以通过计算残差的标准差来估计测量误差。
具体方法是将观测数据代入拟合曲线，计算其残差，并根据残差的平方和和自由度计算均方根误差或标准差。
通过对残差的分析，我们可以估计测量系统的精度、稳定性以及实验数据的可靠性。
三、参数估计在许多科学和工程问题中，我们经常需要估计模型的未知参数。
最小二乘法提供了一种有效的方法来估计参数的值。
通过最小化残差平方和，最小二乘法可以用于确定参数的最佳估计。
例如，在线性回归问题中，最小二乘法可以用来估计线性方程的斜率和截距。
此外，最小二乘法还可以用于非线性模型的参数估计，如指数衰减模型和多项式曲线拟合等。
四、模型评估最小二乘法在误差分析中还可以用于评估模型的准确性。
一般来说，通过最小二乘法拟合得到的模型并不一定就是真实的模型。
因此，我们需要对拟合曲线的质量进行评估。
最小二乘法提供了一种有效的评估方法，即通过残差分析、F检验、相关系数等指标来评估模型的拟合程度和统计显著性。
这样可以帮助我们判断模型是否具有较好的可用性，以及是否需要对模型进行改进。
五、加权最小二乘法在一些情况下，观测数据的误差方差可能是不均匀的，即不同数据点的测量精度可能不同。
最小二乘法原理
最小二乘法（也称为最小二乘法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差平方和来找到数据的最佳函数匹配。
使用最小二乘法，可以容易地获得未知数据，并且可以最小化这些获得的数据与实际数据之间的误差平方和。
最小二乘法也可以用于曲线拟合。
其他优化问题也可以通过最小二乘法通过最小化能量或最大化熵来表达。
801年，意大利天文学家Giuseppe Piazi发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观察，皮亚齐失去了谷神星的位置，因为谷神星移到了太阳后面。
此后，全世界的科学家开始使用Piazi的观测数据来搜索Ceres，但是根据大多数人的计算结果，搜索Ceres并没有结果。
高斯，然后24，也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·阿尔伯斯（Heinrich Albers）根据高斯计算出的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘方法发表于1809年的《天体运动理论》一书中。
法国科学家让·德（Jean de）于1806年独立发明了“最小二乘法”，但它尚不为人所知，因为它是全世界所不知道的。
勒让德（Legendre）与高斯（Gauss）有争议，他是谁首先提出了最小二乘法原理。
1829年，高斯证明最小二乘法的优化效果优于其他方法，因此被称为高斯-马尔可夫定理。
最小二乘法由最简单的一维线性模型解释。
什么是线性模型？在监督学习中，如果预测变量是离散的，则称其为分类（例如决策树，支持向量机等），如果预测变量是连续的，则称其为Return。
在收益分析中，如果仅包含一个自变量和一个因变量，并且它们之间的关系可以近似地由一条直线表示，则该收益分析称为一维线性收益分析。
如果收益分析包括两个或多个自变量，并且因变量和自变量之间存在线性关系，则称为多元线性收益分析。
对于二维空间，线性是一条直线；对于三维空间线性度是一个平面，对于多维空间线性度是一个超平面。
[误差理论与数据处理][第05章][最小二乘法]
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最可信赖值满足
i
2 w 1 权因子 i i
2 w 1 i 0
v i2 M in 2 i 2 w M i n iv i
2 2 v ( xx ) M i n i i
虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上， 按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成 一种准则。
v1 L1 x1 v2 L2 x2 v3 L3 x3 v 4 L 4 x1 x 2 v5 L5 x2
x3
v 6 L 6 x1 x 2 x 3
1 0 0 A 1 0 1
0 1 0 1 1 1
s
残差
i
v i2
nt
s
i
w i v i2
nt
（加权）
未知量个数 方程个数
2、待求量的标准差估计
xj d jj
误差传播系数
T 1
A wA 对角元素
直接测量量的标准差
3、待求量的相关系数
ij
d ij
A wA 元素
T 1
d ii d jj
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5-19
误差理论与数据处理
nt
s
i
w i v i2
nt
（加权）
未知量个数 方程个数
2、待求量的标准差估计
xj d jj
误差传播系数
A A
T T
1
对角元素
3、待求量与的相关系数
ij
d ij d ii d jj
直接测量量的标准差
A A
1
元素
5-10
实验数据分析方法_误差理论与最小二乘法
实验数据分析方法_误差理论与最小二乘法在实际实验中，由于各种原因，测量结果会存在各种误差，如人为误差、仪器误差等。
误差理论的目的就是通过建立误差模型来分析和描述这些误差，并以此为基础进行数据处理和结果分析。
误差理论的基本思想是将测量结果看作是真实值与误差的和，即：测量结果=真实值+误差误差一般包括系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验设计、仪器校准不准确等原因引起的误差，其大小和方向是固定的，可以通过校正或其他方法减小；随机误差是由于无法完全控制的因素引起的误差，其大小和方向是随机的，可以通过多次实验取平均等方法减小。
误差理论中的重要概念包括误差的平均值、方差、标准差等。
平均值是一组数据的加权平均，方差是各个数据偏离平均值的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
这些概念可以用来评估实验数据的精确度和可靠度。
误差理论中还提出了误差传递规则，即当一组测量结果通过其中一种数学运算得到另一组结果时，两组结果的误差之间的关系。
常用的误差传递规则有加减法规则、乘除法规则和函数求导法则等。
最小二乘法是一种常用的数据处理方法，它的基本思想是通过最小化实验测量结果和理论模型之间的差异来估计真实值。
最小二乘法的核心问题是构建最小二乘函数，并通过最小化该函数来求解。
在实际应用中，最小二乘法可以用来处理线性回归问题和非线性回归问题。
线性回归是指实验数据能够用线性函数描述的情况，非线性回归是指实验数据无法用线性函数描述的情况。
最小二乘法的基本步骤包括建立数学模型、确定误差函数、求解最小二乘问题和对结果进行验证。
建立数学模型时，需要确定自变量和因变量之间的关系，可以采用线性模型、指数模型、对数模型等。
确定误差函数时，常用的误差函数有平方误差和绝对误差等。
求解最小二乘问题时，可以采用解析解法、迭代法、优化算法等。
对结果进行验证时，可以通过检验拟合优度、残差分析等指标来评估拟合效果。
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a2t
xt
)
vn ln (an1x1 an2 x2 L ant xt )
7
三、矩阵最小二乘法
设列向量分别为：
l1
L
l2
M
ln
x1
Xˆ
x2
M
xt
v1
V
v2
M
vn
a11 a12 L a1t
A a21 a22 L
a2t
M
an1 an2 L ant
对应Y的n 个直接测 量结果
t个待求 X的估计
量
为直接测 量量结果 的残差
为（n×t) 系数矩阵
则残差方程的矩阵表达式为： V L AXˆ
等精度测量最小二乘原理的矩阵形式为：
V TV 最小 或 （L AXˆ）（T L AXˆ） 最小
8
四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理
思路一：
Pnn
p1 0 0 0 p2 0
Pnn
0 0
0 9 0 0
0
0
9
0
0 0 0 0 9
解矩阵得：
Xˆ
x1
x2
( AT PA)1 AT PL
4.186 2.227
22
三、非线性参数最小二乘处理的正规方程
针对非线性函数 yi fi (x1, x2,L , xt ) (i 1, 2,L , n)其测量 误差方程为：
v1 l1 f1(x1, x2 ,L , xt )
用，可以有效减少随机误差的影响，因而所得结果具有
最可信赖值。
6
二、等精度测量的线性参数最小二乘原理
线性参数的测量方程一般形式为： 相应的估计量为：
Y1 a11X1 a12 X 2 L a1t X t
Y2 a21X1 a22 X 2 L M
a2t
X
t
Yn an1X1 an2 X 2 L ant X t
Y2
f2(X1, X 2,
,
X
t
)
ln Yn fn ( X1, X 2 , , X t )
当n t时，该方程有唯一确定解，直接求出x1, x2,L , xt。 为减少随机误差的影响，一般取测量次数较大，即n t，
方程组有冗余，不可直接求解。 2
最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。
n
pivi
2 ＝最小
i 1
( n pivi2 )
i1
0
x1
n
(
pivi2 )
i 1
xn
0
18
由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：
p1a11v1 p2a21v2 L pnan1vn 0
p1a12v1 p2a22v2 L
M
M
pnan2vn M
0
p1a1tv1 p2a2tv2 L pnantvn 0
④求残余误差；
⑤计算直接测量量的精度（标准差）；
⑥求各估计量的标准差。
11
一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
线性参数的误差方程为：
v1 l1 a11x1 a12x2 a1t xt
v2
l2
a21x1 a22x2
a2t
xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
要使
n
vi2 v12 v22 L vn2 最小
i 1
(
n
vi2 )
i1
0
x1
n
(
vi2 )
i 1
xn
0
12
将极值方程整理得：
n
ai1li
n
ai1ai1x1
n
ai1ai2 x2
n
ai1ait xt
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
i 1
ai 2li
0 0
pn
0 0
2
2 1
0
2 22
0
0
0
2 n2
不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V T PV 最小 或 （L AXˆ）T P（L AXˆ） 最小
权矩 阵
9
思路二：将不等精度等精度化
v1 p1 l1 p1 a11 p1 x1 a12 p1 x2 L a1t p1 xt
v1 l1 f1(x1, x2 ,L , xt )
v2
l2
f2 (x1, x2 ,L M
,
xt
)
误差方程 式（残差 方程式）
vn ln fn (x1, x2 ,L , xt )
3
若l1,l2,L ,ln之间不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，
标准差分别为1, 2,L , n，则l1,l2,L , ln出现在相应真值附近
ti /0 C
10
20
30
40
50
60
li / mm 2000.36 2000.72 2000.8 2001.07 2001.48 2000.60
解：1）列出误差方程
vi li ( y0 ay0ti ) 令 y0 c, ay0 d 为两个待估参量，则误差方程为：
15
vi li (c tid)
n
v12 v22 L vn2 vi2 最小 i 1
不等精度测量的最小二乘原理为：
n
p1v12 p2v22 L pnvn2 pivi2 最小 i 1
最小二乘原理（其他分布也适用）：
测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残 余误差平方和）为最小的条件下求出。
按最小二乘条件给出最终结果能充分利用误差的抵偿作
1
§5-1 最小二乘法原理
一、经典最小二乘法
为求出t个不可直接测量的未知量X1, X 2,L
,
X
的估计
t
值x1, x2,L , xt ,可对与该t个未知量有函数关系的直接测
量量Y进行n次测量，得到测量数据为l1,l2,L ,ln。即：
l1 Y1 f1( X1, X 2 , , X t )
l2
i 1
ai2ai1x1
i 1
ai2ai2 x2
i 1
ai
2
ait
xt
n
n
n
n
aitli aitai1x1 aitai2 x2 aitait xt
i 1
i 1
i 1
i 1
此即为等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程。
当系数行列式不为零时，有唯一解。
特点：
1、主对角线分布着平方项系数，正数；
2、相对于主对角线对称分布的各系数两两相等。
13
若用残差表示，则正规方程可写成：
a11v1 a21v2 an1vn 0
a12v1 a22v2
an2vn
0
a1tv1 a2tv2 antvn 0
ATV 0
正规方 程的矩 阵形式
将 V L AXˆ 代入到 ATV 0 中，得： AT AXˆ AT L
第五章 线性参数的最小二乘法处理
• §5-1 最小二乘法原理 • §5-2 正规方程 • §5-3 精度估计 • §5-4 组合测量的最小二乘法处理
最小二乘法原理是一种在多学科领域中广泛应用的数据处理方法， 可解决如参数的最可信赖值估计、组合测量的数据处理、根据实验 数据拟和经验公式、回归分析问题等。本章重点阐述最小二乘法原 理在线性参数和非线性参数估计中的应用
23
fi (x1, x2 ,L , xt ) fi (x10, x20,L , xt0 )
(
fi x1
) 0 1
(
fi x2
)02
L
(
fi xi
)0
t
(i 1, 2L , n)
将上式代入误差方程中，令：
li ' li fi (x10 , x20 ,L , xt0 )
ai1
(
fi x1
)0
,
ai
10
§5-2 正规方程
由于n>t，因此不能直接通过求解方程得到未知参数，而 最小二乘法则将误差方程转化为确定解的代数方程组，从 而可求出这些未知参数，这个有确定解的代数方程组称为 最小二乘法估计的正规方程（或称法方程）。
线性参数的最小二乘法解的步骤：
①先列误差方程；
②利用求极值的方法列正规方程；
③求解正规方程；
y1 a11x1 a12 x2 L a1t xt
y2
a21x1 a22 x2 L M
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 L ant xt
其误差方程式为：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 L a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 L M
v2
l2
f2 (x1,
x2 ,L M
,
xt
)
vn ln fn (x1, x2 ,L , xt )
思路：先将非线性函数转化为线性函数，再按线性参数
的最小二乘法进行处理。
令：x1 x10 1, x2 x20 2 , L , xt xt0 t。现将函数
在x10, x20,L , xt0 处泰勒级数展开，取一次项，则有：
v2
p2 l2
p2 a21
p2 x1 a22
p2 x2 L a2t
p2
xt
M
vn
pn ln
pn an1
pn x1 an2
pn x2 L ant
pn
xt
vi '
li '
ai1 '