最小二乘问题
最小二乘法及其应用研究
最小二乘法及其应用研究最小二乘法是一种常用的数据分析方法，它的应用非常广泛，被用于解决很多实际问题。
本文将从什么是最小二乘法到最小二乘法的应用进行详细的阐述。
一、什么是最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，它可以帮助我们找到一条曲线或者直线，在这条曲线或者直线上所有数据的误差最小。
假设我们有一些数据点，我们想要用一条直线来描述这些数据点的分布规律，那么最小二乘法就可以帮助我们找到一条直线，使得这些数据点到这条直线的距离最小。
二、最小二乘法的应用最小二乘法的应用非常广泛，下面我们将分别从几个方面来介绍：1. 拟合数据最小二乘法可以用于拟合各种类型的数据，比如直线、曲线、多项式等等。
例如，我们可以用最小二乘法来拟合一条直线，从而得到这些数据点的趋势。
2. 预测结果最小二乘法不仅可以用于拟合数据，同时还可以用于预测结果。
例如，我们可以用最小二乘法来预测一些未来的数据趋势。
3. 优化算法最小二乘法还可以用于优化算法。
例如，在机器学习中，最小二乘法可以用于优化线性回归算法，从而得到更加准确的预测结果。
4. 数据处理最小二乘法还可以用于数据处理。
例如，我们可以用最小二乘法来处理某些特殊类型的数据，从而得到更加准确的结果。
三、最小二乘法的优缺点最小二乘法虽然有很多应用，但是它也有一些缺点，下面我们将介绍一下最小二乘法的优缺点：优点：1. 算法简单，易于实现2. 可以处理大部分数据类型3. 在处理异常数据时有一定的容错能力缺点：1. 当数据量较大时，计算量也会变得很大2. 在处理异常数据时容易产生误差3. 对数据类型有一定的限制四、总结最小二乘法是一种非常有用的数据分析方法。
它的应用非常广泛，被用于解决众多实际问题。
然而，我们也不能够完全依赖最小二乘法。
我们需要根据具体情况，选择合适的数据分析方法，从而得到更加准确的结果。
最小二乘法习题
1.(2007广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量X(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y 关于X 的线性回归方程
； ⑶已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：
).
答案：⑴散点图，如图所示； X 3 4 5 6 Y 2.5 3 4 4.5
⑵；⑶(吨).
2.(2011山东理)某产品的广告费用x 与销售额y的统计数据如下表
广告费
4 2 3 5
用X(万
元)
销售额
49 26 39 54
Y(万元)
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为万元.
答案：65.5.
3.(2011广东理)某数学老师身176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
答案：185cm.。
最小二乘问题公式(一)
最小二乘问题公式(一)最小二乘问题公式1. 最小二乘问题简介最小二乘问题是一种统计学和数学中常见的优化问题。
它的目标是求解一个线性模型，使得模型中的实际观测值与模型预测值之间的残差的平方和最小。
2. 最小二乘问题公式最小二乘问题的公式可以表示为：∥Ax−b∥2minx其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
3. 相关公式下面列举一些与最小二乘问题相关的公式：正规方程最小二乘问题的解可以通过使用正规方程求解：x=(A T A)−1A T b这里，A T表示A的转置，A−1表示A的逆矩阵。
最小二乘解的闭式解对于线性模型 Ax =b ，当 A T A 是满秩矩阵时，最小二乘问题的解存在唯一的闭式解。
QR 分解法除了使用正规方程，还可以使用QR 分解法求解最小二乘问题。
使用QR 分解可以将最小二乘问题转化为一个更容易求解的等价问题。
广义逆矩阵最小二乘问题的解可以通过求解广义逆矩阵的方式得到：x =A †b这里，A † 是矩阵 A 的广义逆矩阵。
4. 示例解释假设有一组观测数据，其中 m =5 表示观测样本数量，n =2 表示模型参数数量。
我们可以将这些观测数据表示为矩阵 A 和列向量 b 。
通过求解最小二乘问题，可以得到模型的最优参数估计。
假设观测数据的矩阵表示为：A =[ 12345678910]观测数据的目标值列向量表示为：b=[3 7 11 15 19]根据最小二乘问题的公式，我们可以求解最优参数估计：x=(A T A)−1A T b带入具体数值计算后，得到最优参数估计为：x=[11]这表示线性模型的最优参数为x1=1和x2=1。
5. 总结最小二乘问题是一种常见的优化问题，用于求解线性模型的最优参数估计。
通过求解最小二乘问题的公式，可以得到模型的最优参数估计。
正规方程、闭式解、QR分解法和广义逆矩阵都是常用的求解最小二乘问题的方法。
非线性最小二乘问题
非线性最小二乘问题非线性最小二乘问题是一种解决实际应用中非线性系统求解最优化问题的有效方法，是研究遥感、机器人导航、机床控制、智能控制等领域的研究的基础。
非线性最小二乘问题具有普遍性，在很多学科和领域中都有广泛的应用。
一般来说，非线性最小二乘问题是一种优化问题，它涉及到求解满足条件的参数及其对应的函数最小值，其函数由基本函数和残差函数两部分组成。
基本函数又称作目标函数，是根据实际问题解题的依据；残差函数又称作约束函数，是根据实际约束条件而确定的。
因此，非线性最小二乘问题的求解步骤有以下几个：(1)确定基本函数和残差函数；(2)确定求解的参数及其范围；(3)对对应的函数最小值，采用梯度下降法等优化方法求解；(4)判断最小值是否满足目标要求，以达到最优化的效果。
其中，梯度下降法是一种常用的优化方法，它可以帮助求解非线性最小二乘问题，梯度下降法的基本思想是，在每次迭代中，根据目标函数对变量的梯度信息，找到该函数局部最小值，通过迭代搜索不断改进求解结果，使得每次迭代都能获得更优的结果。
另外，针对不同问题，还可以采用其他有效的优化方法，如模拟退火算法、粒子群算法等，它们都可以有效解决非线性最小二乘问题。
模拟退火算法是一种迭代算法，它可以有效地控制步长，从而有效改善求解结果；粒子群算法是一种仿生算法，它可以通过考虑各个粒子之间的信息交互，自动学习出有效的优化参数，从而有效求解非线性最小二乘问题。
总之，非线性最小二乘问题是一种常见的优化问题，其解题的基本步骤是确定基本函数和残差函数，然后采用梯度下降法、模拟退火算法、粒子群算法等有效的优化方法，从而求解满足约束条件的非线性最小二乘问题最优解。
研究非线性最小二乘问题，有利于更好地解决遥感、机器人导航、机床控制等工程实际应用中的问题，从而实现更高效的控制和决策。
最小二乘拟合算法
最小二乘拟合算法最小二乘定义一般情况下，最小二乘问题求的是使某一函数局部最小的向量 x，函数具有平方和的形式，求解可能需要满足一定的约束：信赖域反射最小二乘要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参数并返回标量。
假设您现在位于 n 维空间中的点 x 处，并且您要寻求改进，即移至函数值较低的点。
基本思路是用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。
此邻域是信赖域。
试探步 s 是通过在 N 上进行最小化（或近似最小化）来计算的。
以下是信赖域子问题如果f(x + s) < f(x)，当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，信赖域 N 缩小，算法再次计算试探步。
在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。
在标准信赖域方法中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义；邻域 N 通常是球形或椭圆形。
以数学语言表述，信赖域子问题通常写作公式2其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是 Hessian 矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ是正标量，∥ . ∥是 2-范数。
此类算法通常涉及计算 H 的所有特征值，并将牛顿法应用于以下久期方程它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间，因此，对于信赖域问题，需要采取另一种方法。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
最小二乘问题常用的那些优化方法
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
第十一章最小二乘问题
第十一章 最小二乘问题一、内容提要§11.1最小二乘问题1． 定义 给定矩阵nm RA ×∈，向量m b R ∈，求nR x ∈0，使得0||||min ||||nx Rb Ax b Ax ∈−=−, 称上述问题为线性最小二乘问题，简称为最小二乘问题；称解0x 为最小二乘解。
最小二乘问题也可以看作是线性方程组,m n Ax b A R ×=∈的最小二乘问题，相应地最小二乘解0x 称为线性方程组的最小二乘解。
2． 数学性质定理1 最小二乘问题的解恒存在；且解唯一的充分必要条件是 n A rank =)(。
定理2 最小二乘解满足方程组T T A Ax A b =，反之，若x 是上述方程组的解，则其是最小二乘解。
称上述方程为最小二乘问题的正规方程组（或法方程组或Euler 方程）。
3． QR 分解定理3 设矩阵nm R A ×∈列满秩，即n A rank =)(。
则存在列标准正交矩阵nm RQ ×∈及非奇上三角矩阵nn RR ×∈，使得QR A =，且在约定R 的对角元素0>ii r 情形下，上述分解唯一, 称之为矩阵A 的QR 分解。
所谓列标准正交矩阵 ()n q q Q L 1=，指的是列向量组标准正交，也即E Q Q T =。
利用QR 分解，可计算出最小二乘解：1） 作矩阵A 的QR 分解，QR A =； 2） 求解上三角方程组，TRx Q b =。
4． 相关概念设1(,,)m nn A a a R×=∈L ，定义矩阵A 的值域为，},|{)(n R x Ax y y A R ∈==1(,,)n L a a =L ；矩阵A 的零空间定义为. },0|{)(nR x Ax x A N ∈==，定理 4 )()(TA N A R =⊥， )()(A N A R T=⊥。
§11.2 奇异值分解1． 定义与结论 设矩阵nm RA ×∈，则A A T的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===L L ，称n i i i ,,1,L ==λσ为矩阵A 的奇异值；并称1,r σσ为A 的最大奇异值和最小奇异值。
什么是最小二乘原理
什么是最小二乘原理
最小二乘原理是一种常用的数学方法，用于求解线性最小二乘问题。
该原理的核心思想是最小化测量值与线性模型之间的误差平方和。
在最小二乘问题中，我们希望找到一条最佳拟合直线，使得该直线与实际观测数据的残差（即观测值与拟合值之间的差异）的平方和最小。
通过最小化误差平方和，我们可以得到最优的拟合解。
最小二乘原理的具体计算方法是通过最小化误差平方和的导数为零的条件来确定最优解。
这可以通过求解线性方程组或使用数值优化方法来实现。
最小二乘原理在许多领域中都有广泛的应用，包括回归分析、数据拟合、参数估计等。
它的优点是计算简单且可解析求解，可以精确地估计未知参数的最优值。
总之，最小二乘原理是一种基于误差平方和最小化的数学方法，用于求解线性最小二乘问题，广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
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1 1
例
已知A 1
1
,求A的广义逆A。
1 1
解：A是列满秩的矩阵，可以求它的左逆
A
( AT A)1 AT
14 8 -4
2 2
2 2
验算有A A
I2 , 但AA
I
。
3
10
数值分析
数值分析
4 A Rmn是行满秩矩阵（m n, r( A) m）,则
A＝A（T AAT）1,且AA Im (但一般不成立A A In );
4
数值分析
数值分析
定理1 : x Rn是矛盾方程组Ax b的最小二乘解的 充分必要条件是 : x是方程组AT Ax AT b的解.
证明: 设有x, y Rn ,且x y,则 r( y) 2 b Ay 2 (b Ax) ( Ax Ay) 2
r( x) ( Ax Ay) 2 r( x) 2 2(r( x), Ax Ay) ( Ax Ay) 2
（2）最小二乘解不唯一；
（3）x=A+b最小二乘解中欧氏范数最小的解；
（4）A列满秩时，最小二乘解唯一。
22
数值分析
数值分析
第四节 列满秩线性最小二乘问题 的数值解法
列满秩线性最小二乘问题存在唯一解x=A+b 有四种解法： 1. 直接解法方程 ATAx=ATb 2. 正交分解法 A=QR 3. 奇异值分解法 A=U∑VT 4. 迭代法
数值分析
数值分析
1 0 B 1 0,
0 1
1 0
BT
B
1 0
1 0
0 1
1 0
0 1
2 0
0 1
B
(BT B)1 BT
1 / 2
0
0 1 1 0
1 0
0 1 / 2
1
0
1/ 2 0
0 1
1 0
C
1
0
2 3
1 2
,
CC
T
1
0
2 3
1
2
2 1
3 2
1 14
13 8
8
6
1
C
如 果 存 在x Rn , 对 任 意y Rn ,使
(r( x), Ax Ay) 0 则 有 r( x) 2 r( y) 2 , y Rn
即x是 矛 盾 方 程 组Ax b的 最 小 二 乘 解.
5
数值分析
数值分析
对x Rn ,(r( x), Ax Ay) 0,y Rn ( x y)T AT r( x) 0,y Rn
数值分析
第四章 最小二乘问题
问题的提出
给定m 1个数据点xi x0 , x1 ,L , xm ,
yi y0 , y1 ,L , ym ,
及基函数
j( x)
n j0
(m n)
构造出拟合函数s( x) H span0 ( x),L ,n ( x),
m
使
( yi s( xi ))2 min (1)
AT r( x) 0 r( x) N ( AT ) AT (b Ax) 0 AT Ax AT b 即存在x Rn ,使(r( x), Ax Ay) 0,y Rn 存在x Rn ,使AT Ax AT b
证毕
AT Ax AT b称为最小二乘问题的法方程. 求x使 b Ax 2 min 求x使AT Ax AT b
A为行满秩时，称A为A的“右逆”。
例
已知A
1 1
2 2
3 1
6 2
,
求A的广义逆A。
解：A是行满秩的矩阵，可求它的右逆
1
A AT ( AAT )1 1 2
76 11
8
9
18
23
4
11
验算有AA
1 0
0 1
I2 , 但A
A
I
。
4
数值分析
数值分析
定理 2 设矩阵A Rmn有奇异值分解
A U r
i0
等价于 AT AC ATY 或 GC F
1
数值分析
数值分析
0 ( x0 ) 1( x0 ) L
其中
A
(0
,
1
,
...,
n
)
0 ( x1
L
)
1( x1 )
L
L L
0( xm ) 1( xm ) L
Y ( y0 , y1 ,L , ym )T
n( x0 )
n
(
x1
)
L
n( xm )
(0,0 )
对于列正交的矩阵Q Rmn，有Q QT。
15
数值分析
数值分析
定理 3 设A Rmn , 秩r( A) 0,则必有列
满秩矩阵B Rmr和行满秩矩阵C Rrn , 使A BC
称为矩阵A的满秩分解（简称秩分解）。
证
:
PAQ
Ir 0
0 0 ,
Ir
0
0 0
Ir 0
Ir
0
A
P
1
Ir 0
7
数值分析
数值分析
第二节 矩阵的广义逆
若A Rnn可 逆,则 存 在 逆 阵A1 ,且 有 AA1 A A, A1 AA1 A1 , ( AA1 )T AA1 , ( A1 A)T A1 A
Ax b的 解x A1b.
若A Rnn不可逆，或A Rmn， 是否有类似的性质
8
数值分析
数值分析
定义 设 A Rmn，若存 n m矩阵 X Rnm
满足以下四个条件（也称为Penrose条件）:
1 AXA A;
2 XAX X;
3（ AX）T AX; 4 ( XA)T XA
则称X 是矩阵A的广义逆，又称为Penrose-Moore
广义逆，并记为A（ 也称为加号逆，或为伪逆）。
A+的简单性质
17
数值分析
数值分析
(3)r(
A)
1,
A
a11 a21
a12 a22
a11 ba11
a12
ba12
1
b
a11
a12
-1 2 1
例:设A= -1 2 1 ,试用A的满秩分解求广义逆A+。
0 3 2
1 0
解 : r( A) 2, A 1 0
0 1
1 0
2 3
1 2 BC
18
s( L
x1 L
)
c00 ( x1 )
c11( x1 )
...
cnn ( x1 )
y1
s( xm ) c00 ( xm ) c11( xm ) ... cnn ( xm ) ym
S Y AC Y
显然这是不能成立的。只能求出C使 AC Y 2 min 2
C是矛盾方程组 AC Y 的最小二乘解。
25
数值分析
数值分析
例 用正交分解法求解矛盾方程组Ax b
1 1 2 2
2
2
2
1 1
2
2
A 2
2
2 ,
b 2
1
1
2
2 2
2
0
2
1
1 2
2
2 2
2
解：(1)对A用Householder变化换做正交分解A QR
1 1
2
2
0
1
2
1
Q
2
0
1 2
1 2
1 1 0 , R 0 1 1
B A
1 0
0 0
( AB) B A
但是,当A列满秩, B行满秩时, 有( AB) B A
13
数值分析
数值分析
例 如:
A
1 0,
B 1 1,
1 1 AB 0 0,
( AB)
1 2
1 1
0 0
B
BT (BBT
)1
1 2
1 1,
A ( AT A)1 AT 1
( AB) B A
14
0, B A
线性最小二乘问题：求矛盾方程组 AC Y 的最小二乘解。
3
数值分析
数值分析
第一节 求解线性最小二乘问题的一般原理
线性最小二乘问题 : 求矛盾方程组Ax b,使 r 2 b Ax 2 min的解. 其中A Rmn , (m n).
1 例 : 1
1
1
0
1 2
x1
x2
1 为矛盾方程组. 0
1当A Rnn是可逆阵时,A+ A-1;
2 ( A A)2 A A, ( AA )2 AA , ( A ) A;
9
数值分析
数值分析
3 A Rmn是列满秩矩阵（m n, r( A) n）,
则A＝（AT A）1 AT ,且A A In (但一般不成立AA Im ) A为列满秩时，称A为A的“左逆”；
BC
0
0
Q
1
P
1
Ir 0
Ir
0 Q 1
其中
16
B
P
1
Ir 0, C Ir Nhomakorabea0 Q 1
数值分析
数值分析
注（1）满秩分解不唯一
如矩阵A
1 1
0 0
,
秩r
(
A)
1,
显然
1 1
0 0
1 1
1，0
是A的一个满秩分解，
1 1
0
0
2
2
1 2
，0
也是A的一个满秩分解。
(2)A BC A C B CT (CCT )1(BT B)1 BT
C T (CC T )1