偏最小二乘方法
PLS偏最小二乘法
偏最小二乘法(Partial Least Square) 通过最小化误差平方来寻找数据与函数间的最佳匹配，是一种参数估计方法，一般估计步骤包括：首先将解释变量和被解释变量标准化，并提取解释变量和被解释变量的主成分，例如提取解释变量的主成分，要求与被解释变量高度相关，这个过程体现了典型相关和主成分分析的思想。
其次做解释变量和被解释变量在主成分上的回归，可以分别得到残差，这个还是OLS的思想。
最后，按以上的步骤循环下去，直到新的主成分系数不再显著。
其实PLS仍然是OLS的一种扩展，目前在解决多重共线性问题领域的研究很成熟。
一般认为比岭回归、主成分分析等方法在解决多重共线性问题上更为有效。
此外，PLS与结构方程（SEM）在应用上相得益彰，我们知道SEM是大样本理论的产物，因此其应用受到诸多限制，尤其在小样本下，该模型几乎无法应用，而PLS恰好可以弥补这方面的缺陷。
研究结论认为PLS 在非正态分布、小样本、共线性的情况下，仍然很稳定。
偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首提示来的,偏最小二乘法有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。
这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：(1) 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；(2) 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；(3) 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；(4) 偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；(5) 在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。
偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。
偏最小二乘法
偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用 于近红外 、 红外 、拉曼 、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法 〔1, 2〕 。
近年来 , 随着 PLS 方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外 、 红外和拉曼中应用 的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别 、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题 。
由于 PLS 方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果 〔3 ～ 5〕 。
本文主要介绍PLS 方法在光谱定性分析方面的原理及应用 实例 。
偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。
该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。
如美国Tripos 公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS 。
在PLS 方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。
替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS 特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。
在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。
§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS ）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。
一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。
r语言实现偏最小二乘法
r语言实现偏最小二乘法偏最小二乘法（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是一种多元统计分析方法，常用于建立预测模型。
在R语言中，我们可以使用plsr函数来实现偏最小二乘法。
在讲解具体实现之前，我们先来了解一下偏最小二乘法的原理。
偏最小二乘法是基于最小二乘法的一种改进方法，用于处理多重共线性问题。
在最小二乘法中，我们通过最小化预测值与真实值之间的平方误差来建立模型。
然而，在多重共线性存在的情况下，最小二乘法的结果可能会受到较大的误差影响。
偏最小二乘法通过将自变量和因变量进行正交变换，得到新的变量，从而消除了多重共线性的影响。
这些新的变量被称为偏最小二乘法的主成分，它们是原始变量的线性组合。
通过对主成分进行逐步回归分析，我们可以得到一个可靠的预测模型。
接下来，我们使用R语言中的plsr函数来实现偏最小二乘法。
首先，我们需要加载pls包，并读取我们的数据集。
假设我们的数据集包含了多个自变量和一个因变量。
```rlibrary(pls)data <- read.csv("data.csv")```然后，我们可以使用plsr函数来建立偏最小二乘法模型。
在plsr 函数中，我们需要指定自变量和因变量的列数，并选择主成分的数量。
```rmodel <- plsr(Y ~ X1 + X2 + X3, data = data, ncomp = 2)```在上述代码中，Y代表因变量，X1、X2、X3代表自变量。
我们选择了2个主成分。
接下来，我们可以使用summary函数来查看模型的摘要信息。
```rsummary(model)```摘要信息中会显示出模型的R方值、标准误差以及每个主成分的贡献率。
我们还可以使用plot函数来绘制模型的各个主成分的贡献率图。
```rplot(model, ncomp = 2, asp = 1)```在图中，横轴代表主成分的数量，纵轴代表贡献率。
偏最小二乘回归方法
偏最小二乘回归方法偏最小二乘回归(PLSR)方法是一种用于建立两个或多个变量之间的线性关系模型的统计技术。
这种方法是回归分析的变种，特别适用于处理高维数据集或变量之间具有高度相关性的情况。
PLSR方法的目标是找到一个最佳的投影空间，以将自变量和因变量之间的关系最大化。
PLSR方法首先将自变量和因变量进行线性组合，然后通过最小二乘法来拟合这些组合和实际观测值之间的关系。
通过迭代过程，PLSR方法会削减每个变量的权重，并选择最相关的变量组合来构建模型。
PLSR方法使用最小二乘回归来估计模型参数，并通过交叉验证来确定模型的最佳复杂度。
一般而言，PLSR方法需要满足以下几个步骤：1.数据预处理：包括数据中心化和标准化操作。
中心化是指将数据的平均值平移到原点，标准化是指将数据缩放到相同的尺度，以便比较它们的重要性。
2.建立模型：PLSR方法通过迭代过程来选择最相关的变量组合。
在每次迭代中，PLSR方法计算每个变量对自变量和因变量之间关系的贡献程度。
然后，根据这些贡献程度重新计算变量的权重，并选择最重要的变量组合。
3.确定复杂度：PLSR方法通常通过交叉验证来确定模型的最佳复杂度。
交叉验证可以将数据集划分为训练集和测试集，在训练集上建立模型，并在测试集上评估模型的性能。
根据测试集上的性能表现，选择最佳的复杂度参数。
PLSR方法的优点在于可以处理高维数据集，并能够处理变量之间的高度相关性。
它可以找到自变量与因变量之间的最佳组合，从而提高建模的准确性。
此外，PLSR方法还可以用于特征选择，帮助研究人员找到对结果变量具有重要影响的变量。
然而，PLSR方法也存在一些限制。
首先，PLSR方法假设自变量和因变量之间的关系是线性的，因此无法处理非线性模型。
其次，PLSR方法对异常值非常敏感，可能会导致模型的失真。
此外，PLSR方法也对样本大小敏感，需要足够的样本数量才能获得可靠的结果。
总的来说，偏最小二乘回归方法是一种用于建立变量之间线性关系模型的统计技术。
pls最小二乘法
偏最小二乘法
偏最小二乘法（Partial Least Squares, PLS）是一种多元统计分析方法，通常用于处理具有多个自变量（特征）和一个或多个因变量（响应变量）的数据集。
PLS的主要目标是通过线性组合自变量来建立与因变量之间的关系，同时减少自变量之间的多重共线性。
PLS的核心思想是将自变量和因变量进行分解，然后找到它们之间的最大协方差方向。
这种方法可以降低数据维度，同时保留与因变量相关性最高的信息。
PLS可以应用于回归问题和分类问题。
PLS的应用领域包括化学分析、生物信息学、工程、金融和其他领域，特别是在处理高维数据和样本较少的情况下，PLS可以帮助提高模型性能和降低过拟合的风险。
PLS方法通常包括以下步骤：
1. 数据准备：收集自变量和因变量的数据。
2. 标准化：对数据进行标准化处理，以确保不同变量的尺度一致。
3. 模型拟合：建立PLS模型，找到自变量和因变量之间的最大协方差方向。
4. 模型评估：评估模型的性能，通常使用交叉验证等方法。
5. 预测：使用训练好的PLS模型进行新数据的预测。
PLS有不同的变种，包括PLS回归（用于连续因变量），PLS-DA（用于分类问题），以及其他扩展。
这种方法在实际数据分析和建模中具有广泛的应用，可以帮助解决多变量数据分析中的问题。
偏最小二乘法算法
偏最小二乘法1.1基本原理偏最小二乘法(PLS)是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。
但它相对于主成分回归(PCR)更进了一步，两者的区别在于PLS法将浓度矩阵Y和相应的量测响应矩阵X同时进行主成分分解：X二 TP+EY=UQ+F式中T和U分别为X和Y的得分矩阵，而P和Q分别为X和Y的载荷矩阵，E和F分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X和Y时所引进的误差。
偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y中因子的同时也用于描述变量X。
为了实现这一点，数学中是以矩阵Y的列去计算矩阵X的因子。
同时，矩阵Y的因子则由矩阵X 的列去预测。
分解得到的T和U矩阵分别是除去了人部分测量误差的响应和浓度的信息。
偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T和特征浓度矩阵U进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称矢联矩阵E：B=(TT )F U因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y和矩阵X的主成分分解以及对矢联矩阵B的计算。
12主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。
他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。
同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。
新变量是一组正交的，即互不相矢的变量。
这种新变量又称为主成分。
如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。
卞面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。
假设有n个样本包含p个组分，在m个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而人小不同。
换句话说，光谱A表示在由p个波长构成的p维变量空间的一组点(n个)，而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。
这条直线其实就是纯光谱b。
因此由ni个波长描述的原始数据可以用一条直线，即一个新坐标或新变量来表示。
如果一个混合物由2个组分组成，各组分的纯光谱用bl,b2 表示，则有：<=c i{b: + Ci2bl有上式看出，不管混合物如何变化，其光谱总可以用两个新坐标轴bl,b2来表示。
偏最小二乘法路径
偏最小二乘法路径一、概述偏最小二乘法（Partial Least Squares, PLS）是一种常用的多元统计分析方法，它可以在面对高维数据和多重共线性时，有效地降低数据维度并提取主要特征。
PLS方法在许多领域都有广泛的应用，如化学、生物信息学、金融和工程等。
二、原理PLS方法通过寻找两个方向，即X和Y的潜在方向，使得它们之间的协方差最大。
具体而言，PLS首先对X和Y进行标准化处理，然后通过最小二乘法求解X和Y之间的回归系数。
随后，PLS基于回归系数的大小进行特征选择，选择其中最重要的特征。
这样，就得到了X和Y的主成分，也就是PLS路径。
三、应用1. 数据建模PLS方法在数据建模中具有重要的应用价值。
在建立预测模型时，PLS可以有效地处理高维数据和多重共线性问题。
通过提取主要特征，PLS可以减少模型的复杂度，提高模型的预测准确性。
2. 特征选择在特征选择中，PLS可以帮助我们从大量特征中选择出最相关的特征。
通过计算回归系数的大小，PLS可以确定哪些特征对目标变量具有最大的影响，从而进行特征选择。
3. 数据降维在面对高维数据时，PLS可以将数据降维到较低的维度。
通过提取主要特征，PLS可以减少数据的冗余信息，从而提高数据处理的效率。
4. 数据探索PLS方法还可以用于数据的探索性分析。
通过分析PLS路径，我们可以了解各个变量之间的关系，从而深入理解数据的内在结构。
5. 预测分析由于PLS方法能够有效处理高维数据和多重共线性问题，因此在预测分析中也有广泛的应用。
通过建立PLS模型，我们可以对未知数据进行预测，从而为决策提供参考。
四、总结偏最小二乘法路径是一种重要的多元统计分析方法，它可以在面对高维数据和多重共线性时，提取主要特征并降低数据维度。
通过特征选择、数据降维和预测分析等应用，PLS方法为数据分析和建模提供了有效的工具和方法。
希望通过本文的介绍，读者能对偏最小二乘法路径有更加深入的理解，并将其运用到实际问题中。
偏最小二乘方法
75 152 102 91
X2
63 96
132 218
82 176
36 74
69 157 124 51
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
由此得到的B矩阵为：
0.71 0.18 0.42
B2
0.42 0.24
0.19 0.20
0.20 0.03
0.12 0.03
0.01
对于此模型，Err=0.07。它比前者为小，这就意味着对于矩 阵Y，第二个数学模型比第个要更有效，这是一种假象。由 于X中引入最后一列，使得B2中上部3*3部分与前边所提B不 相等（B为真实模型）。由B2计算所得Y尽管误差要小，但其 数学模型所描述的自变量与因变量间的关系并不真实。其原 因主要为多元线性回归方法是采用整个X矩阵来建立数学模 型，而并不顾及在X中的信息与真实模型相关与否。很显然 ，若所得结果偏离了其实际数学模型，则对于未知试样的预 测也是错误的。
事实上，完全满足上述条件比较困难。当噪声较强，或干 扰较严重时，有可能导致所得数学模型失真，如下例：
75 152 102
X
63
132
82
96 218 176
69
157
124
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
运用式(6.3)则可得B矩阵：
0.71 0.55 0.48 B 0.42 0.41 0.24
为了克服多元线性回归的不足，在数学方法上引进了主 成分回归方法（PCR）。
§ 6.2 主成分回归
主成分回归可分为两步： 测定主成分数，并由主成分分 析将X矩阵降维； 对于降维的X矩阵再进行线性回归分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精选PPT
1
§ 6.1 多元线性回归（MLR）
若自变量为m个，xj (j=1,2,…,m)，因变量为y，在y与xj间， 我们可以建立一线性模型，即
y b 1 x 1 b 2 x 2 . .b .m x m e (6.1a)
m
y bj xj e j1
(6.1b)
yxbe
(6.1c)
在式中，bj为回归系数。 在式（6.1）中仅有一个试样，若有n个试样，即
0.08 0.28 0.05
所用数学模型有效性的量度可用Err：
KI
KI
Err
(yikyˆik)2
2 ik
k1 i1
k 1 i1
精选PPT
7
式中，yik 为矩阵Y中第i行第k列的矩阵元，为由矩阵B所得
的计算值，ik为前面所介绍的矩阵E的矩阵元。此例中，
Err = 0.49。
若由于噪音使得X增广一列（注意：对于试样浓度的测定， 它并不包含有用信息），即：
为了克服多元线性回归的不足，在数学方法上引进了主 成分回归方法（PCR）。
精选PPT
9
§ 6.2 主成分回归
主成分回归可分为两步： 测定主成分数，并由主成分分 析将X矩阵降维； 对于降维的X矩阵再进行线性回归分析。
主成分分析的概念在前一章已经作了介绍。所谓主成分， 它为一新的变量，而该新变量是原变量xij的线性组合。第一 个主成分所能解释原变量的方差量最大，第二个次之，第三 个再次之，等等。也就是说，主成分是一种线性组合，用它 来表征原来变量时所产生的平方误差最小。运用主成分分析， 原变量矩阵X可以表达为得分（即主成分）矩阵T，而T由X在 本征矢量P上的投影所得。主成分与矩阵X的本征矢量一一对 应，即T = XP。
精选PPT
10
设矩阵X的阶为I*J，若T的阶与J相等，则主成分回归与 多元线性回归所得结果相同，并不能显示出主成分回归的优 越之处。选取的主成分数一般应该比J 小，而删去那些不重 要的主成分，因为这些主成分所包含的信息主要是噪声，由 此所得的回归方程稳定性较好。
x22
...
x
2
n
... ... ...
Y ( y1
y2
)
y12 ...
y22
...
x
n1
xn2
...
x
nn
y1n
y2n
B (b1
b11
b2
)
b12 ...
b1m
由此得到
b21
b22
...
b2
m
e11 e21
E (e1
e2
)
e12
...
e
22
...
e1n
第六章 偏最小二乘方法
偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展 起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。该种方法，在化合 物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。如美国 Tripos公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处 理部分主要是PLS。在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础 是主成分分析。替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所 以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。在此种 情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元 回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自 变量的个数。
精选PPT
6
事实上，完全满足上述条件比较困难。当噪声较强，或干 扰较严重时，有可能导致所得数学模型失真，如下例：
75 152 102
X
63
132
82
96 218 176
69
157
124
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
运用式(6.3)则可得B矩阵：
0.71 0.55 0.48 B 0.42 0.41 0.24
8
对于此模型，Err=0.07。它比前者为小，这就意味着对于矩 阵Y，第二个数学模型比第个要更有效，这是一种假象。由 于X中引入最后一列，使得B2中上部3*3部分与前边所提B不 相等（B为真实模型）。由B2计算所得Y尽管误差要小，但其 数学模型所描述的自变量与因变量间的关系并不真实。其原 因主要为多元线性回归方法是采用整个X矩阵来建立数学模 型，而并不顾及在X中的信息与真实模型相关与否。很显然 ，若所得结果偏离了其实际数学模型，则对于未知试样的预 测也是错误的。
为yi (i=1,2,…,n)，它的列向量形式为y ，b与原来相同， 矢量xj’为矩阵X的行，则： y = Xb +，则为：
1
m1
1
y= X B+ e
n
nm n
在此情况下，n为试样数，m为自变量数。有如下三种情况：
(1) m>n，即变量数多于试样数，对于b来说，则有无穷多个解。
75 152 102 91
X2
63 96
132 218
82 176
36 74
69 157 124 51
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
由此得到的B矩阵为：
0.71 0.18 0.42
B2
0.42 0.24
0.19 0.20
0.20 0.03
0.12 0.03
0.01
精选PPT
e
2
n
Y = XB + E
精选PPT
5
对于2-P 个因变量的图形表示为： 2-p n 2-p 2-p
Y=X B+E
m 最小二乘的解为：
n
mn
B(XX)1XY
(6.3)
多元线性回归应用很广泛，因为在许多情况下该种方法具有 良好的性能。但是，此种方法也有固有的缺点。假若体系的响 应（即因变量）呈现线性，无干扰，无溶液间的相互作用，低 噪声无共线性，则多元线性回归是一种非常好的方法。
(2) m=n，变量数与试样数相等，若矩阵X满秩时，则矢量b有 唯一解。但是，在实际工作中，这种情况是极少能碰到的。 此时我们有：
e = y –Xb =0
精选PPT
3
(3)m<n，变量数小于试样数，尽管我们得不到准确解b，但 是可以使残差矢量e尽可能小而得到解，
e = y – Xb 这就是我们所熟知的最小二乘法。其解为：
b(XX)1Xy
(6.2)
x(bb)1by
在上边的叙述中，因变量为1个，而事实上可以有多个因 变量。如有两个因变量y1和y2，我们可以简单地写成两个线性 方程：
y1=Xb1+ e ; y2=Xb2+ e
精选PPT
4
若用矩阵标表示，则：
x11 x12 .. x1n
y11 y12
X
x
21
...