二中期中试卷
2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一（上）期中数学试卷一、单选题。
（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，1，2，3），B ={x|2x−2≤1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{3}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2}D ．{﹣1，1，2，3}2．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[0，3]，则函数y ＝f （x 2﹣1）的定义域为（ ） A ．[0，3]B ．[﹣1，8]C ．[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]3．“a ＞5”是“函数f （x ）＝（a ﹣2）x 2﹣2x 在（2，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）＝ax 5+bx 3+1（a ，b ∈R ）．若f （2）＝5，则f （﹣2）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．﹣35．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且函数f （x +2）是偶函数，则（ ） A ．4a ﹣b ＝0B ．4a +b ＝0C ．a ﹣b ＝0D ．a +b ＝06．已知函数f （x ）={x 2−2ax +4，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1≤a ≤53D ．2≤a ＜37．已知函数f （x ）是定义在[1﹣2m ，m +1]上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，m +1]，当x 1≠x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＜0，则不等式f （1﹣x ）≤f （x ）的解集是（ ） A ．[﹣3，12]B ．[﹣2，3]C ．[﹣2，12]D ．（﹣∞，12]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且函数f （x ）在定义域内单调递增，若f （x 2+x ﹣3）+f （m ﹣mx ）＞0对所有的x ∈（2，3）均成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，92]B ．（﹣∞，3]C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，3）二、多选题。
2023-2024学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}2．已知命题p：∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0有解，则￢p为（）A．∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解B．∀m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解C．∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解D．∃m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．C．D．4．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx幂函数y=x ba（x＞0）图象的关系可能为（）A．B．C．D．5．若函数f（2x+1）的定义域为[−32，−1]，则y=f(1x)x+1的定义域为（）A．(−1，−23]B．[−1，−23]C．[−1，−12]D．(−1，−12]6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若b ＞a ＞0，m ＜0，则b−m a−m＞baC ．若a ＞b ，1a＞1b，则ab ＞0D ．若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则ab ＞ac7．已知定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增，且f （x ﹣2）是偶函数，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．(23，2) B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．(−∞，23)∪(2，+∞)8．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆．在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试．若f （x ）是定义在R 上的奇函数，对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，且f （﹣4）＝0，设g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925为“立冬函数”，则满足“立冬函数”g （x ）≥0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）∪[6，+∞） B ．（﹣2，0）∪（2，6] C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D ．[2，6]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列各组函数中，不能表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1B ．f （x ）＝x 2，g(x)=√x 63C ．f(x)=x 2−1x−1，g （x ）＝x ﹣1D ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)210．对任意两个实数a ，b ，定义min {a ，b }={a ，a ≤bb ，a ＞b ，若f （x ）＝2﹣x 2，g （x ）＝|x |，下列关于函数F（x ）＝min {f （x ），g （x ）}的说法正确的是（ ） A ．函数F （x ）是偶函数B ．方程F （x ）＝0有三个解C ．函数F （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增D ．函数F （x ）有4个单调区间 11．关于函数f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2性质描述，正确的是（ ）A ．f （x ）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]C ．f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称D ．f （x ）在定义域上是增函数12．已知a ≥0，b ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．若a +b ＝ab ，a +4b 的最小值为9 B ．若a +b ＝1，2a +2b +1的最小值为4 C ．若a +b ＝ab ，1a 2+2b2的最小值为23D ．若a +b ＝1，2a a+b 2+ba 2+b 的最大值为2√33+1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，若f(a)=−14，则实数a ＝ ．14．设集合A ＝{x |x +m ≥0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ，且（∁U A ）∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为 ．15．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合B ={x|x 2−5x−32−x ＜1，x ∈N ∗}，则A ∩B 的非空子集个数为 ．16．已知x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0，若不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立，则a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x+3x−1≤0}，B ＝{x |x 2﹣mx ﹣2m 2≤0，m ＞0}．（1）当m ＝2时，求A ∩B 和∁R B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，这样的实数m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．18．（12分）设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）． （1）证明f （x ）是奇函数；（2）关于x 的不等式f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ）的解集中恰有3个正整数，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知a ∈R ，f （x ）＝ax 2+2x ﹣3．（1）关于x 的方程f （x ）＝0有两个正根，求实数a 的取值范围； （2）解不等式f （x ）＞0．20．（12分）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元，当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ；当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润＝销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 21．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−32m+12是其定义域上的增函数．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=x +a ⋅√f(x)3，x ∈[1，9]，是否存在实数a 使得g （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=ax+b1+x 2为定义在R 上的奇函数． （1）求实数b 的值；（2）当a ＞0时，用单调性定义判断函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性；（3）当a ＝1时，设g （x ）＝mx 2﹣2x +2﹣m ，若对任意的x 1∈[1，3]，总存在x 2∈[0，1]，使得f(x 1)+12=g(x 2)成立，求m 的取值范围．2023-2024学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}解：集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．已知命题p：∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0有解，则￢p为（）A．∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解B．∀m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解C．∃m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解D．∃m≤0，方程mx2+x﹣2m＝0有解解：因为特称命题的否定是全称命题，所以￢p为：∀m＞0，方程mx2+x﹣2m＝0无解．故选：A．3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．C．D．解：A项，集合M中的元素2对应1和3，不符合唯一对应，不是函数；B项，集合M中的元素3在集合N中没有元素与其对应，不是函数；C项，应为从集合N到集合M的函数，不符；D项，符合函数概念，是函数．故选：D．4．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx幂函数y=x ba（x＞0）图象的关系可能为（）A．B．C．D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，二次函数y＝ax2+bx开口向上，则a＞0，其对称轴为x=−b2a＞0，幂函数y=x ba中，ba＜0，为减函数，符合题意，对于B，二次函数y＝ax2+bx开口向下，则a＜0，其对称轴为x=−b2a＞0，幂函数y=x ba中，ba＜0，为减函数，不符合题意，对于C，二次函数y＝ax2+bx开口向上，则a＞0，其对称轴为x=−b2a=−1，幂函数y=x ba中，ba=2，为增函数，且其增加越来越快，不符合题意，对于D，二次函数y＝ax2+bx开口向下，则a＜0，其对称轴为x=−b2a＞−12，幂函数y=x ba中，0＜ba＜1，为增函数，且其增加越来越慢，不符合题意，故选：A．5．若函数f（2x+1）的定义域为[−32，−1]，则y=f(1x)x+1的定义域为（）A．(−1，−23]B．[−1，−23]C．[−1，−12]D．(−1，−12]解：−32≤x≤−1，则﹣2≤x≤﹣1，则y=f(1x)√x+1，则{−2≤1x≤−1x+1＞0，解得﹣1＜x≤−12．故选：D．6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若b＞a＞0，m＜0，则b−ma−m＞baC ．若a ＞b ，1a ＞1b，则ab ＞0 D ．若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则ab ＞ac解：当c ＝0时，A 显然错误；若b ＞a ＞0，m ＜0，则b ﹣a ＞0，m （b ﹣a ）＜0，a ﹣m ＞0， 则b−m a−m−b a =(b−a)m a(a−m)＜0，即b−ma−m＜ba，B 错误；若a ＞b ，1a ＞1b ，则1a−1b=b−a ba＞0，所以ab ＜0，C 错误；若a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则a ＞0，c ＜0，b 无法确定正负， 故ac ＞bc ，D 正确． 故选：D ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增，且f （x ﹣2）是偶函数，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．(23，2) B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．(−∞，23)∪(2，+∞)解：因为f （x ﹣2）是偶函数， 故f （x ）的图象关于x ＝﹣2对称，因为定义在R 上的函数f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减， 由f （2x ）＜f （x +2）可得|2x +2|＜|x +2+2|， 解得﹣2＜x ＜2． 故选：C ．8．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆．在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试．若f （x ）是定义在R 上的奇函数，对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，且f （﹣4）＝0，设g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925为“立冬函数”，则满足“立冬函数”g （x ）≥0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）∪[6，+∞） B ．（﹣2，0）∪（2，6] C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D ．[2，6]解：对于任意给定的不等正实数x 1，x 2，不等式[f(x 1)]20232025−[f(x 2)]20232025x 1811−x 2811＜0恒成立，可得0＜x 1＜x 2，可得f （x 1）＞f （x 2），即f （x ）在（0，+∞）递减，由f （x ）为奇函数，可得f （0）＝0，f （x ）在（﹣∞，0）递减，由f （﹣4）＝﹣f （4）＝0， 可得当﹣4＜x ＜0，或x ＞4时，f （x ）＜0；当x ＜﹣4，或0＜x ＜4时，f （x ）＞0． 由g （x ）＝[f(x−2)x+2]1925≥0，即为f(x−2)x+2≥0， 等价为{x +2＞0f(x −2)≥0，或{x +2＜0f(x −2)≤0，即有{x ＞−2x −2≤−4，或0≤x −2≤4，或{x +2＜0x −2≥4，或−4≤x −2≤0，解得2≤x ≤6，或x ∈∅，综上可得，所求x 的取值范围是[2，6]． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列各组函数中，不能表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1B ．f （x ）＝x 2，g(x)=√x 63C ．f(x)=x 2−1x−1，g （x ）＝x ﹣1 D ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1}，g （x ）的定义域为{x |x ＞1或x ＜﹣1}，两个函数不是同一个函数；对于B ，f （x ）＝x 2，g （x ）=√x 63=x 2，两个函数定义域都是R ，解析式相同，是同一个函数；对于C ，f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，g （x ）的定义域为R ，两个函数不是同一个函数； 对于D ，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），两个函数不是同一个函数． 故选：ACD ．10．对任意两个实数a ，b ，定义min {a ，b }={a ，a ≤b b ，a ＞b ，若f （x ）＝2﹣x 2，g （x ）＝|x |，下列关于函数F（x ）＝min {f （x ），g （x ）}的说法正确的是（ ） A ．函数F （x ）是偶函数B ．方程F （x ）＝0有三个解C ．函数F （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增D ．函数F （x ）有4个单调区间解：令|x |﹣（2﹣x 2）＝x 2+|x |﹣2＝（|x |+2）（|x |﹣1）＜0， 解得﹣1＜x ＜1，所以当﹣1＜x ＜1时，|x |＜2﹣x 2；当x ≤﹣1或x ≥1时，|x |≥2﹣x 2；所以F （x ）＝min {f （x ），g （x ）}={2−x 2，x ≤−1−x ，−1＜x ≤0x ，0＜x ＜12−x 2，x ≥1，作出函数y ＝F （x ）的图象，如图所示：对于A ，由图象可得关于y 轴对称，所以F （x ）为偶函数，故正确；对于B ，因为y ＝F （x ）的图象与x 轴有3个交点，所以方程F （x ）＝0有三个解，故正确； 对于C ，由图象可知函数F （x ）在[﹣1，1]上不单调递增，故错误；对于D ，由图象可知函数F （x ）在（﹣∞，﹣1]和[0，1]上单调递增，在（﹣1，0）和（1，+∞）上单调递减，所以函数F （x ）有4个单调区间，故正确． 故选：ABD ． 11．关于函数f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2性质描述，正确的是（ ）A ．f （x ）的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]C ．f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称D ．f （x ）在定义域上是增函数解：由题意得4x 2﹣x 4≥0，解得﹣2≤x ≤2， 又|x ﹣2|﹣2≠0，则x ≠0且x ≠4， 故﹣2≤x ≤2且x ≠0，A 正确； 此时f(x)=√4x 2−x 4|x−2|−2=√4x 2−x 4x，当0＜x ≤2时，f （x ）=√4x 2−x 4x=√4−x 2∈[0，2），B 显然错误；因为f （x ）=√4x 2−x 4x，所以f （﹣x ）=−√4x 2−x 4x=−f （x ），即f （x ）为奇函数，图象关于（0，0）对称，所以f （x +1）+1的图象关于（﹣1，1）对称，C 正确； f （x ）=√4−x 2在[0，2）上单调递减，D 显然错误． 故选：AC ．12．已知a ≥0，b ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．若a +b ＝ab ，a +4b 的最小值为9 B ．若a +b ＝1，2a +2b +1的最小值为4 C ．若a +b ＝ab ，1a 2+2b2的最小值为23D ．若a +b ＝1，2a a+b 2+b a 2+b 的最大值为2√33+1 解：对于A ，由a +b ＝ab ，得1a+1b=1，所以a +4b ＝（a +4b ）(1a +1b )=5+4ba +ab ≥5+2√4b a ⋅ab =9，当且仅当4a b=ba，即b ＝2a 时等号成立，故A 正确；对于B ，由2a +2b+1≥2√2a+b+1=2√22=4，当且仅当a ＝b +1＝1时等号成立，这与题设矛盾，故B 错误；对于C ，由a +b ＝ab ，可得1a+1b=1，1a 2+2b 2=(1−1b )2+2b 2=3b 2−2b+1，根据0＜1b＜1，可知当1b=13时，即a =32，b =3时，3b 2−2b+1的最小值为3×(13)2−2×13+1=23，故C 正确； 对于D ，2a a+b 2+b a 2+b=2a(a+b)a(a+b)+b 2+b(a+b)a 2+b(a+b)=2a 2+3ab+b 2a 2+ab+b 2=1+a 2+2ab a 2+ab+b 2=1+1+2⋅b a1+b a +(b a)2， 设b a=t ，则2aa+b 2+b a 2+b=1+1+2t 1+t+t 2， 而1+2t 1+t+t 2=1+2t14(1+2t)2+34≤2√14×34(1+2t)=2√33，当且仅当t =√3−12，即b =√3−12a 时，取等号． 所以当b =√3−12a 时，2aa+b 2+b a 2+b取得最大值2√33+1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，若f(a)=−14，则实数a ＝ ﹣4或38．解：函数f(x)={2x −1，x ≥01x，x ＜0，当a ＜0时，1a=−14，解得a ＝﹣4，当a ≥0时，2a ﹣1=−14，解得a =38， 综上所述，实数a 的值为﹣4或38．故答案为：﹣4或38．14．设集合A ＝{x |x +m ≥0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ，且（∁U A ）∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为 （﹣∞，1） ．解：集合A ＝{x |x +m ≥0}＝{x |x ≥﹣m }，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，全集U ＝R ， ∴∁U A ＝{x |x ＜﹣m }，∵（∁U A ）∩B ≠∅，∴﹣m ＞﹣1，解得m ＜1， ∴实数m 的取值范围为（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）．15．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合B ={x|x 2−5x−32−x ＜1，x ∈N ∗}，则A ∩B 的非空子集个数为 31 ．解：依题意，根据“自恋数”的定义可得，所有的一位正整数都是自恋数， 即A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 由不等式x 2−5x−32−x＜1可得，(x+1)(x−5)x−2＞0，即（x +1）（x ﹣5）（x ﹣2）＞0， 解得﹣1＜x ＜2或x ＞5，∴B ＝{x |﹣1＜x ＜2或x ＞5，x ∈N *}， ∴A ∩B ＝{1，6，7，8，9}，∴A ∩B 的非空子集个数为25﹣1＝31．故答案为：31．16．已知x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0，若不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立，则a 的取值范围为 [223，253] ．解：因为x ＞4，y ≥4，且x +4y ﹣xy ＝0， 所以y =xx−4=1+4x−4， 又因为y ≥4，即1+4x−4≥4，解得4＜x ≤163， 所以x ﹣y +6＝x ﹣（1+4x−4）+6＝x −4x−4+5＝（x ﹣4）−4x−4+9， 令t ＝x ﹣4，则0＜t ≤43，易知y ＝t −4t +9在t ∈（0，+∞）上单调递增，所以当t =43时，y ＝t −4t +9取最大值，且最大值为：43+6=223；x +y ﹣1＝x +1+4x−4−1＝x +4x−4=（x ﹣4）+4x−4+4， 令m ＝x ﹣4，则0＜m ≤43， 由对勾函数的性质可知y ＝m +4m +4在（0，43]上单调递减， 所以当m =43时，y ＝m +4m +4取最小值，且最小值为：43+7=253； 又因为不等式x ﹣y +6≤a ≤x +y ﹣1恒成立， 所以223≤a ≤253．即a 的取值范围为[223，253]．故答案为：[223，253]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x+3x−1≤0}，B ＝{x |x 2﹣mx ﹣2m 2≤0，m ＞0}．（1）当m ＝2时，求A ∩B 和∁R B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，这样的实数m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解：（1）由x+3x−1≤0 得﹣3≤x ＜1，故集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，把m ＝2代入B 得（x +2）（x ﹣4）≤0，解得﹣2≤x ≤4，故集合B ＝{x |﹣2≤x ≤4}， 故A ∩B ＝{x |﹣2≤x ＜1}，∁R B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞4}；（2）解（x +m ）（x ﹣2m ）≤0，且m ＞0，则集合B ＝{x |﹣m ≤x ≤2m }， 因为x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件， 所以集合A 是集合B 的真子集， 则{−m ≤−32m ≥1，解得m ≥3， 故实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．18．（12分）设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）． （1）证明f （x ）是奇函数；（2）关于x 的不等式f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ）的解集中恰有3个正整数，求实数a 的取值范围．解：（1）证明：∵对于任意x ，y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）， 令x ＝y ＝0，则 f （0+0）＝f （0）+f （0），∴f （0）＝0； 再令y ＝﹣x ，则 f （x ）+f （﹣x ）＝f （x ﹣x ）＝f （0）＝0， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴函数f （x ） 是奇函数． （2）令y ＝x ，则 f （2x ）＝2f （x ），∴不等式 f （x 2）﹣2f （x ）＜f （ax ）﹣2f （a ） 可化为 f （x 2）+f （2a ）＜f （2x ）+f （ax ）， 即 f （x 2+2a ）＜f （2x +ax ），又函数f （x ）在R 上是增函数， ∴x 2﹣（a +2）x +2a ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣a ）＜0 又该不等式的解集中恰有3个正整数，∴5＜a ≤6， 故实数a 的取值范围为（5，6]．19．（12分）已知a ∈R ，f （x ）＝ax 2+2x ﹣3．（1）关于x 的方程f （x ）＝0有两个正根，求实数a 的取值范围； （2）解不等式f （x ）＞0．解：（1）∵方程f （x ）＝0有两个正根，a ≠0， 设两个正根为x 1，x 2，则{Δ≥0x 1+x 2＞0x 1⋅x 2＞0，即{ 4+12a ≥0−2a ＞0−3a ＞0，解得−13≤a ＜0，即实数a 的取值范围是[−13，0）；（2）当a ＝0时，不等式可化为2x ﹣3＞0，x ＞32； 当a ≠0时，设方程ax 2+2x ﹣3＝0的两根为x 1，x 2， 则Δ＝4+12a ，x 1=−1−√1+3a a ，x 2=−1+√1+3aa， 若a ＞0，则Δ＞0，x 1＜x 2，∴x ＜x 1或x ＞x 2， 若a ＜0，（i ）当Δ＞0，即−13＜a ＜0时，x 1＞x 2，所以x 2＜x ＜x 1， （ⅱ）当△≤0，即a ≤−13时，不等式无解． 综上所述，当a ≤−13时，不等式解集为∅； 当−13＜a ＜0时，不等式解集为{x |x 2=−1+√1+3a a ＜x ＜−1−√1+3aa}； 当a ＝0时，不等式解集为{x|x ＞32}； 当a ＞0时，不等式解集为{x|x ＜−1−√1+3a a 或x ＞−1+√1+3aa }． 20．（12分）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元，当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ；当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润＝销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 解：（1）生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本p （x ）万元， 当产量不足40万箱时，p （x ）＝x 2+100x ； 当产量不小于40万箱时，p(x)=161x +4900x−1100， 当0＜x ＜40时，y ＝160x ﹣（x 2+100x ）﹣400＝﹣x 2+60x ﹣400； 当x ≥40时，y =160x −(161x +4900x −1100)−400=700−(x +4900x)． 所以，y ={−x 2+60x −400，0＜x ＜40700−(x +4900x )，x ≥40． （2）当0＜x ＜40时，y ＝﹣x 2+60x ﹣400＝﹣（x ﹣30）2+500， 当 x ＝30时，y 取得最大值，最大值为500万元；当x ≥40时，y =700−(x +4900x )≤700−2√x ⋅4900x=560， 当且仅当 x =4900x时，即x ＝70时，y 取得最大值，最大值为560万元． 综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元． 21．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−32m+12是其定义域上的增函数．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=x +a ⋅√f(x)3，x ∈[1，9]，是否存在实数a 使得g （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知，m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝2或m ＝1， 当m ＝2时，f(x)=x 32，在（0，+∞）为增函数，符合题意， 当m ＝1时，f(x)=1x，在（0，+∞）为减函数，不符合题意，舍去， 所以f(x)=x 32；（2）g(x)=x +a √f(x)3=x +a √x ， 令t =√x ，因为x ∈[1，9]，所以t ∈[1，3]，令k （t ）＝t 2+at t ∈[1，3]，对称轴为t =−a2，①当−a 2≤1，即a ≥﹣2时，函数k （t ）在[1，3]为增函数， k （t ）min ＝k （1）＝1+a ＝0，解得a ＝﹣1． ②当1＜−a 2＜3，即﹣6＜a ＜﹣2时， k(t)min=k(−a 2)=−a 24=0，解得a ＝0，不符合题意，舍去．③当−a2≥3，即a ≤﹣6时，函数k （t ）在[1，3]为减函数， k （t ）min ＝k （3）＝9+3a ＝0， 解得a ＝﹣3，不符合题意，舍去．综上所述：存在a ＝﹣1使得g （x ）的最小值为0． 22．（12分）已知函数f(x)=ax+b1+x 2为定义在R 上的奇函数． （1）求实数b 的值；（2）当a ＞0时，用单调性定义判断函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性；（3）当a＝1时，设g（x）＝mx2﹣2x+2﹣m，若对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12= g(x2)成立，求m的取值范围．解：（1）因为函数f(x)=ax+b1+x2为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝b＝0．经检验成立，所以b＝0；（2）由（1）可得f(x)=ax1+x2，下面证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．证明：任取x2＞x1＞1，则有f（x1）﹣f（x2）=ax11+x12−ax21+x22=ax1(1+x22)−ax2(1+x12)(1+x12)(1+x22)=a(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，再根据x2＞x1＞1，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0，又a＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12=g(x2)成立，则函数y=f(x)+12在[1，3]上的值域为函数g（x）在[0，1]上的值域的子集，因为函数f（x）在[1，3]上单调递减，则当x∈[1，3]时，f(x)max=f(1)=12，f(x)min=f(3)=310，所以记函数y=f(x)+12在区间[1，3]内的值域为A=[45，1]．①当m＝0时，g（x）＝﹣2x+2在[0，1]上单调递减，则g（x）max＝g（0）＝2，g（x）min＝g（1）＝0，得g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，1]，因为A⊆B，所以对任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)+12=g(x2)成立；②当m＜0时，g（x）为开口向下的二次函数，对称轴x=1m＜0，∴g（x）在[0，1]上单调递减，g（x）max＝g（0）＝2﹣m＞2，g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，2﹣m]，因为A⊆B，所以2﹣m≥1，所以m≤1，所以m＜0；③当m＞0时，g（x）为开口向上的二次函数，对称轴x=1m＞0，令mx2﹣2x+2﹣m＝0，则有[mx+（m﹣2）]（x﹣1）＝0，解得x1＝1，x2=−m−2m，（i ）当0＜m ≤1时，1m≥1，g （x ）在[0，1]上单调递减，且2﹣m ∈[1，2），则g （x ）max ＝g （0）＝2﹣m ，g （x ）min ＝g （1）＝0，得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B ＝[0，2﹣m ]，因为A ⊆B ，所以对任意的x 1∈[1，3]，总存在x 2∈[0，1]，使得 f(x 1)+12=g(x 2)成立； （ⅱ）当1＜m ≤2时，12≤1m＜1，g （x ）在[0，1m ] 上单调递减，在 [1m ，1] 上单调递增，则g （x ）max ＝g （0）＝2﹣m ，g(x)min =g(1m)=−1m+2−m ，得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B =[−1m +2−m ，2−m]， 所以−1m +2﹣m ≤45且2﹣m ≥1，该不等式组无解； （iii ）当m ＞2时，0＜1m ＜12，g （x ）在[0，1m ] 上单调递减，在[1m ，1] 上单调递增， 则g （x ）max ＝g （1）＝0，g(x)min =g(1m)=−1m+2−m ， 得g （x ）在区间[0，1]内的值域为B =[−1m +2−m ，0]，不符合题意． 综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，1]．。
山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D.2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D.3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ）A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）A. 210种B. 420种C. 1260种D. 630种6. 已知一组样本数据的方差为9，且，则样本数据的方差为（ ）A. 9.2B. 8.2C. 9.8D. 97. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ）A B. ..{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,2,5}U T S ===()U S T = ð{2}{1,2}{2,4}{1,2,4}x |1|x a +<04x <<a 1a ≤-5a >1a <-5a ≥r ˆ20.5yx =-x ˆy 2R ,,R a b c ∈a b >ac bc>0a b >>0.40.4a b -->a b >1122a cb c++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,0a b c >>>b b c a a c+>+125,,,x x x 1324x x x x +=+123451,1,1,1,x x x x x -+-+20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A ，则（ ）A. 若，则取最大值时B. 当时，取得最小值C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项C. 有理项有3项D. 各项系数的绝对值的和为72910. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）A. B. C. D.11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：…-1012……22…且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间D. 和在该二次函数的图象上，则当实数时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数定义域是______．13. 已知集合，，若中恰有一个整数，的43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭n ,~(,)X X B n p N*,01n p ∈<<10,0.8n p ==()P X k =9k =12p =()D X 112p <<()P A n 102p <<()P A n 61x ⎛- ⎝(,)a b 111x y+=(1)(1)1a b --=-228a b +≥23a b +≥+221223a b +≥2,(,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x ym n32x =0y <0abc >1009mn >x 20ax bx c ++=12-()112,P t y +()222,P t y -12t <12y y >()ln(21)f x x =+-{}2|60M x x x =+->{}2|230,0N x x ax a =-+≤>M N ⋂则的最小值为_________.14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。
2023-2024学年广东省广州二中八年级(上)期中语文试卷
2023-2024学年广东省广州二中八年级（上）期中语文试卷第一部分积累与运用（共24分）1．（2分）下列词语中加点字每组读音都不相同的一项是（）A．要塞．/闭塞．呜咽．/咽．喉差．使/差．错遗嘱．/高瞻远瞩．B．屏．息/屏．障畸．形/崎．岖教诲．/后悔．恶．心/深恶．痛疾C．俨．然/严．肃劳碌．/俸禄．狼藉．/书籍．翘．首/翘．尾巴D．地壳．/蛋壳．荒谬．/杀戮．辍．学/点缀．肖．像/惟妙惟肖．2．（2分）下列各项字形完全正确的一项是（）A．馈退咆哮业已完成一丝不苟B．愚钝吹嘘粗制滥造震聋发聩C．篡改崎岖摧枯拉朽诚皇诚恐D．佃农国殇殚精竭虑眼花缭乱3．（2分）下列句子中加点的成语使用不恰当的一项是（）A．当敌人冲进大厅的时候，只见他正襟危坐．．．．，那处变不惊、视死如归的气节真让人敬佩！B．星期天和爸爸妈妈逛了一整天越秀公园，回家后我已筋疲力尽．．．．，实在不想再做任何事了。
C．电影《坚如磐石》预告片中的部分片段，对抑扬顿挫．．．．的故事情节进行了更为细致的描述。
D．研究现状要深入实地进行考察，分析问题要入木三分．．．．，只有这样才能在工作上取得实效。
4．（2分）下列句子中没有语病的一项是（）A．为了提高本台节目的文化特色，编导组邀请了文艺界重量级专家参与节目的策划制作。
B．郑人买履的故事之所以流传至今，是因为自古以来，犯教条主义错误的一直大有人在。
C．拙政园的“远香堂”是观莲的首选胜地，其名字体现了莲花“香远益清，亭亭净植”。
D．有关部门对殴打环卫工人，甚至无理取闹、随便辱骂环卫工人的人进行了严肃处理。
5．（8分）请结合语境，按照括号中的提示补全对话。
小元在国庆假期来到了永庆坊一带体验各种非遗文化，走到一个名为“西关打铜工艺”的摊位前驻足观望。
【摊位介绍】西关打铜工艺是广东第五批非物质文化遗产之一。
这门在西关（广州荔湾旧称）流传的传统手工技艺，有着悠久的历史。
西关打铜工艺匠人把原铜材料通过铸造与打制两种方法来制作所需要的铜器具。
2023-2024学年湖南省长沙二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√173．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．94．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝45．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π37．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．4311．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√312．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ． 14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ ．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝ ．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．18．（12分）已知函数F(x)=log a (1−x 2)(a ＞0，且a ≠1）． （1）判断函数F （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）若F(m +1)＞F(12−2m)，求m 的取值范围．19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 20．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3acosC +√3csinA =3b ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝1．点D ，E ，F 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1上，A 1D =CF =23，BE ＝1．M 为AC 中点，连接BM ． （1）证明：BM ∥平面DEF ；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}解：因为M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}＝{x |2＜x ＜6}，N ＝{x |1＜x ＜5}， 所以M ∩N ＝{x |2＜x ＜5}． 故选：A ．2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√17解：复数z =3+5i1+i =(3+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=8+2i2=4+i ，有|z|=√17． 故选：D ．3．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．9解：将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10， 因为10×70%＝7，所以第70百分位数为8+92=8.5，故选：C ．4．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝4解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0化为标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4，得圆心（2，4），半径为2， 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝4，此时直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ＝0， 圆心（2，4）到直线l 的距离为d =√k +1=√k +1，由相切得d ＝r ＝2， 所以√k 2+1=2，平方化简得k =−34，求得直线方程为3x +4y ﹣12＝0，综上，直线l 的方程为3x +4y ﹣12＝0或x ＝4． 故选：B ．5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →解：PM →=2MC →，则PM →=23PC →， 若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=BP →+PM →=BP →+23PC →=AP →−AB →+23(AC →−AP →)=13AP →+23AC →−AB → =13AP →+23(AB →+AD →)−AB →=13AP →−13AB →+23AD → =−13a →+23b →+13c →．故选：D ．6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π3解：设圆锥母线长为a ，底面半径为r ，侧面积是16π，则π•r •a ＝16π，有ar ＝16， 侧面展开图顶角为π2=2πr a，有a ＝4r ，解得r ＝2，a ＝8，则圆锥的高ℎ=√a 2−r 2=√82−22=2√15， 故V =13Sℎ=13πr 2ℎ=13⋅π⋅22⋅2√15=8√15π3． 故选：C ．7．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23解：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 直线AP 的方程为：y =√34（x +a ），由∠F 1F 2P ＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则P （2c ，√3c ）， 代入直线AP ：√3c =√34（2c +a ），整理得：a ＝2c ， ∴离心率e =ca =12． 故选：C ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1PA 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)解：对于A ，由三角函数的性质，可得f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以A 正确； 对于B ，当x =7π12时，可得f(7π12)=sin(2×7π12+2π3)=sin 11π6≠±1， 所以f （x ）的图象不关于直线x =7π12对称，所以B 错误； 对于C ，由f(x +π3)=sin[2(x +π3)+2π3]=sin(2x +4π3)，此时函数f(x +π3)为非奇非偶函数，所以C 错误； 对于D ，令π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，即函数的递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ，所以D 正确． 故选：AD ．10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．43解：因为三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形， 所以直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行， 且直线mx ﹣y ﹣1＝0不过2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点，直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行时，m ≠23，且m ≠−43， 联立{2x −3y +1=04x +3y +5=0，解得{x =−1y =−13， 即直线2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点坐标为(−1，−13)， 代入直线mx ﹣y ﹣1＝0中，得m =−23，结合题意可知m ≠−23， 对照各个选项，可知实数m 的取值可以为2或43，故选：AD ．11．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√3解：因为AB →=AO →+OC →+CB →，平方得AB →2=(AO →+OC →+CB →)2=AO →2+OC →2+CB →2+2AO →⋅OC →+2OC →⋅CB →+2CB →⋅AO →． 因为a ，b 所成的角为60°，所以〈CB →，AO →〉=60°或〈CB →，AO →〉=120°．当〈CB →，AO →〉=60°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32+2×4×3×12， 所以OC →2=12，所以|OC →|=2√3；当〈CB →，AO →〉=120°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32−2×4×3×12， 所以OC →2=36，所以|OC →|=6．综上所述，|OC →|=2√3或|OC →|=6，即OC 的长为6或2√3． 故选：AC ．12．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 解：双曲线C ：x 28−y 24=1，则a =2√2，b =2， 对于A ，C 的渐近线方程为y =±b a x =±√22x ，A 正确； 对于B ，由双曲线的渐近线方程为y =±√22x 可知， 若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|＜√22，B 错误； 对于C ，设点P （x ，y ），则x 28−y 24=1⇒x 2−2y 2=8，点P 到C 的两条渐近线的距离之积为√2y|√12+(√2)2√2y|√12+(√2)2=|x 2−2y 2|3=83，C 正确；对于D ，易得A(−2√2，0)，B(2√2，0)，设P （x ，y ），则y 2=4(x 28−1)(x ≠±2√2)， 所以直线P A ，PB 的斜率之积为x+2√2×x−2√2=y 2x 2−8=4(x 28−1)x 2−8=12，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 x +y ﹣5＝0 ． 解：因为A （1，2），B （3，4），所以线段AB 的中点为（2，3），垂直平分线的斜率k =1−k AB =−1，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0． 故答案为：x +y ﹣5＝0．14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ −35 ． 解：因为cos(π4−α)=√210，又α∈(π2，π)， 所以π4−α∈(−3π4，−π4)，所以sin(π4−α)=−√1−cos(π4−α)2=√1−150=−7√210， cosα=cos[π4−(π4−α)]=cos π4cos(π4−α)+sin π4sin(π4−α) =√22×√210+√22×(−7√210)=−35． 故答案为：−35．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝812．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，0），A 2（1，0，0），A 3（1，1，0），A 4（0，1，0），A 5（0，0，1），A 6（1，0，1），A 7（1，1，1），A 8（0，1，1）， 设向量A 1A j →=(x ，y ，z)，而A 1A 7→=(1，1，1)， 故m j =A 1A j →⋅A 1A 7→=x +y +z ，故m 1+m 2+…+m 27表示各点的坐标和的和，现各点的横坐标之和为X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为Z ， 根据对称性可得X =Y =Z =1×9+12×9+0×9=272， 故m 1+m 2+⋯+m 27=3×272=812， 故答案为：812．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 4√2−5 ． 解：如图，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点， 则|MF 1|+|MF 2|＝4，|MN |≥|ME |﹣1（当且仅当M 、N 、E 共线时取等号）， ∴|MN |﹣|MF 1|＝|MN |﹣（4﹣|MF 2|）＝|MN |+|MF 2|﹣4≥|ME |+|MF 2|﹣5≥|EF 2|﹣5， ∵F 2（1，0），E （5，4），则|EF 2|=√(5−1)2+(4−0)2=4√2， ∴|MN |﹣|MF 1|的最小值为：4√2−5． 故答案为：4√2−5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，该中位数为30+0.10.4×(40−30)=32.5；（2）由频率分布直方图可知，违章车次在（30，40]的路口有10×0.04×10＝4个，设为a，b，c，d，违章车次在（40，50]的路口有10×0.02×10＝2个，A，B，现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，共有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15个，其中抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的事件为：aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，共8个，故抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率为：815．18．（12分）已知函数F(x)=log a(1−x2)(a＞0，且a≠1）．（1）判断函数F（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若F(m+1)＞F(12−2m)，求m的取值范围．解：（1）F（x）为偶函数，理由如下：由1﹣x2＞0得﹣1＜x＜1，即函数F（x）的定义域为（﹣1，1），可知F（x）的定义域关于原点中心对称．又F(−x)=log a(1−x2)=F(x)，故F（x）为偶函数；（2）因为F（x）为偶函数，所以不等式F(m+1)＞F(12−2m)即F(|m+1|)＞F(|12−2m|)，由复合函数的单调性可知，当a＞1时，y＝log a t在（0，+∞）上单调递增，而t＝1﹣x2在（0，1）上单调递减，故F（x）在（0，1）内单调递减，则F（x）在（﹣1，0）内单调递增；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 在（0，+∞）上单调递减，而t ＝1﹣x 2在（0，1）上单调递减，故F （x ）在（0，1）内单调递增，则F （x ）在（﹣1，0）内单调递减；（i ）当a ＞1时，由已知有{−1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＜|12−2m|，解得−14＜m ＜−16；（ii ）当0＜a ＜1时，由已知有{ −1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＞|12−2m|，解得−16＜m ＜0，故当a ＞1时，m 的取值范围为(−14，−16)；当0＜a ＜1时，m 的取值范围为(−16，0)． 19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 解：（1）直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0，即a （x +y +1）+（2x +y ）＝0， 联立{x +y +1=02x +y =0，解得{x =1y =−2，所以不论a 取何值，直线l 必过定点P （1，﹣2）；（2）由C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，知圆心C （﹣1，2），半径为5．当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l 的斜率为k =−2+a1+a ，k CP =−2−21−(−1)=−2， 有−2+a1+a ⋅(−2)=−1，解得a =−53． 此时直线l 的方程是x ﹣2y ﹣5＝0．圆心C（﹣1，2）到直线x﹣2y﹣5＝0的距离为d=|−1−4−5|5=2√5，所以最短弦长是2√r2−d2=2√25−20=2√5．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3acosC+√3csinA=3b．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．解：（1）由已知和正弦定理得3sinAcosC+√3sinCsinA=3sinB，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴√3sinCsinA=3sinCcosA，又sin C≠0，∴√3sinA=3cosA，有tanA=√3，又A∈（0，π），∴A=π3；（2）∵a＝2，且A=π3，∴由正弦定理有bsinB =csinC=2sinπ3=4√33，从而b=4√33sinB，c=4√33sinC，∵sinC=sin(A+B)=sin(π3+B)，∴b+c=4√33[sinB+sin(π3+B)]=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)，又△ABC为锐角三角形，有B∈(0，π2)，且A+B=π3+B∈(π2，π)，∴B∈(π6，π2)，∴B+π6∈(π3，2π3)，有sin(B+π6)∈(√32，1]，故b+c∈(2√3，4]，从而△ABC周长的取值范围为(2+2√3，6]．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝1．点D，E，F分别在棱AA1，BB1，CC1上，A1D=CF=23，BE＝1．M为AC中点，连接BM．（1）证明：BM∥平面DEF；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．（1）证明：取DF 中点N ，连接EN ，MN ， 又M 为AC 中点，所以MN 为梯形ADFC 的中位线， 所以MN ∥AD ，MN =AD+CF2=1， 又BE ∥AD ，故MN ∥BE ，且MN ＝BE ， 故四边形BMNE 为平行四边形，则BM ∥NE ， 因为NE ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ， 故BM ∥平面DEF ；（2）解：以M 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，MN 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系M ﹣xyz ，如图所示：则D(0，−12，43)，E(√32，0，1)，F(0，12，23)，设P(√32，0，a)， 可得DE →=(√32，12，−13)，DF →=(0，1，−23)，DP →=(√32，12，a −43)， 设平面DEF的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则n 1→⊥DE →，n 1→⊥DF →，则有{n 1→⋅DE →=0n 1→⋅DF →=0，即{√32x 1+12y 1−13z 1=0y 1−23z 1=0， 取z 1＝3，则y 1＝2，x 1＝0，得n 1→=(0，2，3)， 设平面PDF的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，由n 2→⊥DP →，n 2→⊥DF →，则有{n 2→⋅DP →=0n 2→⋅DF →=0，即{√32x 2+12y 2+(a −43)z 2=0y 2−23z 2=0， 取z 2＝3，则y 2＝2，x 2=2√3−2√3a ，得n 2→=(2√3−2√3a ，2，3)，由二面角P ﹣DF ﹣E 为30°，得|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√32， 即√13⋅√12a 2−24a+25=√32，解得a =1±√136， 故|EP|=√136．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 解：（1）由题意知，a ＝2，c =√3， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1， 所以C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x ＝ty +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =ty +1x 24+y 2=1，得（t 2+4）y 2+2ty ﹣3＝0， 所以y 1+y 2=−2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4， 因为A （2，0），所以直线AM 的方程为y =y1x 1−2（x ﹣2），令x ＝4，则y E =2y 1x 1−2，即E （4，2y 1x 1−2），同理可得，F （4，2y 2x 2−2），由对称性知，若定点存在，则定点在x 轴上，设为P （x 0，0），则PE →⋅PF →=0， 所以（4﹣x 0，2y 1x 1−2）•（4﹣x 0，2y 2x 2−2）＝0，即（4﹣x 0）2+2y 1x 1−2•2y 2x 2−2=0， 因为（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（ty 1﹣1）（ty 2﹣1）＝t 2y 1y 2﹣t （y 1+y 2）+1＝t 2•（−3t 2+4）﹣t （−2t t 2+4）+1=4t 2+4， 所以（4﹣x 0）2+4⋅(−3t 2+4)4t 2+4=0，即（4﹣x 0）2＝3，所以x0＝4±√3，故以EF为直径的圆过定点，定点坐标为（4−√3，0）或（4+√3，0）．。
辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试语文试卷(含答案)
沈阳二中2023-2024学年度下学期期中考试高一（26届）语文试题说明：1.考试时长：150分钟满分：150分2.考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效。
第I卷（71分）一、现代文阅读（36分）(一）现代文阅读I(本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1-5题。
材料一：《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院，是国宝级文物。
在这幅近12米的长卷中，王希孟主要运用了石青、石绿两种矿物质颜料，以细腻的工笔勾勒出连绵起伏的群山、烟波浩渺的江海、点缀其间的村舍、江中独钓的渔翁和挺拔秀丽的松竹。
以《千里江山图》为创作蓝本的舞蹈诗剧《只此青绿》以一场视听盛宴掀起了文化自信的国潮热，引发了一轮对“青绿腰”的模仿热，影响力覆盖全民。
《只此青绿》打破了赏画的平面视角，用多维的舞蹈语言和舞台空间让《千里江山图》这幅画“活”了起来。
青绿女子刚柔并济，舞姿翩跹，曼妙的“青绿腰”将古典式的奇幻美学呈现得淋漓尽致，使观众获得了私享画作的沉浸感。
这独特的沉浸式“赏画”方式重塑了当代观众对传统中国画的审美体验，这“复活的艺术品”成为了连接古今的时空穿梭机，让观众穿越时空与画家王希孟对话，走进王希孟的心路历程，走进北宋工匠艺人们的生活。
这种赏画经验的革新，让源远流长的传统文化焕发了新的生命力。
一直以来，守正与创新都是古典题材舞蹈创作者们的共识。
“守正”体现在尊重历史文化传统上。
五千多年的中华文明，为新的文化创造提供了丰沛源泉。
而“创新”则是在表现形式、叙事手法、舞蹈技巧等舞蹈要素的“文化性”上进行的想象和开发。
《只此青绿》为优秀传统文化的创新性表达做出了一次成功探索。
思考大众对“青绿腰”动作的模仿热现象，我们不难发现这其实是一种大众对传统文化表达喜爱和认同的质朴方式。
他们通过对“险峰”动作形态的模仿，再现了自己心中对于“气韵山河”的想象和价值认同。
单从舞蹈动作层面来看，“青绿腰”并不属于舞蹈中的典型技巧动作，但它却能够成为一种符号，带着传统文化的印记进入大众的认知。
2024-2025学年广西南宁二中七年级(上)期中语文试卷
2024-2025学年广西南宁二中七年级（上）期中语文试卷一、积累。
（21分）1．（11分）大美中国，壮美广西。
让我们一起来感受壮美广西的魅力吧！（一）水果天堂ㅤㅤ广西，这片位于中国南部的神奇土地，水果种类繁多，犹如一座A（五彩斑斓无休无止）的宝库。
春天，万物蓬勃生长，草莓、杨桃、青枣等果实挂满枝头，让人垂涎欲滴；夏天，气温升高，阳光和雨水充沛，荔枝、龙眼、芒果等热带水果竞相成熟，甜蜜可口；秋天，草木虽然凋零，柚子、柿子、猕猴桃等果实却喜获丰收，果香四溢，让人口齿生津；冬天，荒凉中依旧贮蓄着希望，柑橘类水果闪亮登场，令人感到欣喜，回味无穷。
（二）美景宜人ㅤㅤ五月初，走在德保县境内的鉴河河边，你会发现波光lín lín的水面上绽放着许多美丽的小花。
花瓣洁白无瑕、晶莹剔透，包裹着鸩黄色的花蕊，在荡漾的水波中显得格外婀娜多姿。
再次看到这些娇媚的小花在水中盛开，真是让人B（喜出望外茫然无措）。
水清则花盛，水污则花败，这种花的名字为海菜花，是因为其对水质要求苛刻的原因，被视为“水质风向标”。
超美的海菜花再现鉴河，是德保县河水保护治理的丰硕成果，也是当地促进人居住环境持续向好的有力例证。
田园风光、古镇村落、绿色生态，居住于绿水青山间的人们C（鸦雀无声自得其乐）。
（三）绿城南宁ㅤㅤ广西首府南宁，有一个轻灵的别名——“中国绿城”。
南宁是绿色的天堂，倘若徜徉于大街小巷，满城的惬意，明媚在眼眸，荡漾在心湖。
凤岭木菠萝的暗绿，西乡塘小叶榕的苍绿，江南扁桃的青绿，南湖水的澄绿，构成了多层次的南宁绿。
大自然赋予了这座城市独特的生机和活力，而人文景观则展示了南宁的历史与文化底蕴。
同时，南宁也是一个快速崛起的城市。
那些高耸入云的建筑，仿佛在述说着南宁的崛起传奇，更是城市经济繁荣和发展的象征。
高楼大厦与自然风光、人文景观相得益彰，共同构成了南宁丰富多彩的面貌。
置身绿城南宁的美景之中，真可谓：“_____，高楼林立谱新章。
2023-2024学年广东省广州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分 1．直线√3x +y ﹣2＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．120°D ．60°2．（多选）从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（ ） A ．至少有1个红球与都是红球B ．恰有1个红球与恰有2个红球C ．至少有1个红球与至少有1个白球D ．至多有1个红球与恰有2个红球3．已知点A （2，1），点B 在直线x ﹣y +3＝0上，则|AB |的最小值为（ ） A ．√5B ．√26C ．2√2D ．44．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝07．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225 C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A ．表面积为3m 2的球体B ．体积为0.3m 3的正四面体C ．体积为0.4m 3的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.8m 的圆锥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 ．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 ．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[−π2，π2]上的单调减区间．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作⊙C的切线，求切线的方程；（2）若⊙C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A＝PB＝PC＝AC＝BC，AC⊥BC，N为AB的中点．（1）证明：PN⊥平面ABC；（2）若M是线段PC上的点，且平面MAB与平面P AB的夹角为45°，求AM与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，CD=√2．（1）若BC=√2，求AC的长；（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．22．（12分）已知点A，B关于原点O对称，点A在直线x+y＝0上，|AB|＝2，⊙C过点A，B且与直线x+1＝0相切，设圆心C的横坐标为a．（1）求⊙C的半径；（2）若a＜2，已知点P（0，1），点M，N在⊙C上，直线MN不经过点P，且直线PM，PN的斜率之和为﹣1，PD⊥MN，D是垂足，问：是否存在一定点Q，使得|DQ|为定值．2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分1．直线√3x+y﹣2＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．120°D．60°解：设倾斜角为α，直线√3x+y﹣2＝0的斜率为−√3，则tanα=−√3，∵0≤α＜180°，∴α＝120°，故选：C．2．从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（）A．至少有1个红球与都是红球B．恰有1个红球与恰有2个红球C．至少有1个红球与至少有1个白球D．至多有1个红球与恰有2个红球解：根据题意，依次分析选项：对于A：“至少有1个红球”与“都是红球”这两个事件，都包含有“取出3个红球”的事件，故不是互斥事件，故A错误；对于B：“恰有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有0个红球”与“恰有3个红球”两种事件，故“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故B正确；对于C：“至少有1个红球”与“至少有1个白球”都包含由事件“恰有1个红球”与“恰有2个红球”两个事件，故不是互斥事件，故C错误；对于D：“至多有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有3个红球”这一事件，故“至多有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故D正确．故选：BD．3．已知点A（2，1），点B在直线x﹣y+3＝0上，则|AB|的最小值为（）A．√5B．√26C．2√2D．4解：|AB|的最小值即为点A到直线x﹣y+3＝0的距离，即√1+1=√2=2√2．故选：C ．4．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →解：点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，则OP →=12OA →，PG →=12PQ →，BQ →=12BC →， 故OG →=OP →+PG →=OP →+12PQ →=OP →+12(OQ →−OP →)=12OP →+12OQ →=14OA →+12(OB →+BQ →)=14OA →+12(OB →+12BC →) =14OA →+12OB →+14BC →=14OA →+12OB →+14(OC →−OB →)=14OA →+14OB →+14OC →=14a →+14b →+14c →．故选：A ．5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件解：直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行，则1m=1+m 2≠−24，则m ＝1，故“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行的充要条件， 故选：D ．6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝0解：⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心M （1，1），半径r ＝2．由题意可得∠P AM ＝∠PBM ＝90°，可得四点A ，P ，M ，B 共圆，且以PM 为直径．由PM ⊥AB ，可得四边形P AMB 的面积为12|PM |•|AB |＝2S △P AM ＝|P A |•|AM |，即为|PM |•|AB |＝2|P A |•|AM |＝4|P A |＝4√|PM|2−4， 当|PM |取得最小值时，|PM |•|AB |最小．当PM ⊥l 时，|PM |取得最小值，此时直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1）， 即y =12（x +1），联立直线2x +y +2＝0，解得P （﹣1，0）， 则以PM 为直径的圆的方程为（x +1）（x ﹣1）+（y ﹣1）y ＝0，即x 2+y 2﹣y ﹣1＝0，与圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0联立，可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0． 故选：A ．7．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]解：若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根， 则√4x −x 2=−x ﹣b +3有两个不等的实根，y =√4x −x 2，即（x ﹣2）2+y 2＝4（0≤y ≤2），表示以（2，0）为圆心，半径为1的圆的上半部分， y ＝﹣x ﹣b +3表示斜率为﹣1的一组平行线，则半圆y =√4x −x 2与直线y ＝﹣x ﹣b +3有两个不同的交点， 直线与半圆相切时，√2=2，∴b ＝1±2√2，结合图形，直线y ＝﹣x ﹣b +3的纵截距﹣b +3＞0，∴b ＝1﹣2√2， 直线过点（4，0）和点（2，2）时，﹣b +3＝4，b ＝﹣1， 所以当这两个函数图象有两个交点时，根据图象， 4≤﹣b +3＜2√2+2，实数b 的取值范围为（1﹣2√2，﹣1]．故选：B ．8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010解：如图：过B 作BH 垂直OA 的延长线，垂足为H ，连接PH ，OP ，取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF ⊥OA ，垂足为F ， 因为平面OAB ⊥平面α，且平面OAB ∩平面α＝OA ， BH ⊂平面OAB ，PF ⊂α，所以BH ⊥α，PF ⊥平面OAB ， 所以OP 在平面OAB 上的射影就是直线OA ，故∠AOP 就是直线OP 与平面OAB 所成的角θ，即∠AOP ＝θ， 因为AP ⊂α，所以P A ⊥BH ，又P A ⊥PB ，PB ∩BH ＝B ， PB ⊂平面PBH ，BH ⊂平面PBH ， 所以P A ⊥平面PBH ，PH ⊂平面PBH ，则P A ⊥PH ，所以点P 的轨迹是平面α内以线段AH 为直径的圆（A 点除外），因为OA =√3，AB ＝2，∠AOB =5π6， 所以∠BAH =π6，AH =2cosπ6=√3， 所以PE =12AH =√32，当且仅当PE ⊥OP ， 即OP 是圆E 的切线时，角θ有最大值， 则sin θ的最大值为PEOE=√32√3+√32=13．故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称 解：直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），所以A 正确；圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），D ＝﹣4，E ＝﹣2，所以B 正确； 圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的圆心坐标为（2，1），圆的半径为2． 直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），圆的圆心到定点的距离为：√2， 直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√4−2=2√2≠2√3，所以C 不正确；当k ＝1时，直线方程为：x ﹣y ﹣1＝0，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确． 故选：ABD ．10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面解：对于A ，∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)， ∴OA →⋅OB →=4×(−3)=−12，故A 错误；对于B ：∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)，OA →⋅OB →=−12， ∴cos〈OA →，OB →〉=OA →⋅OB →|OA →|⋅|OB →|=12√4+3×√(−3)+4=−1225，故B 正确；对于C ：∵BO →=(3，0，−4)，BC →=(8，6，0)， ∴cos〈BO →，BC →〉=BO →⋅BC→|BO →|⋅|BC →|=24√3+(−4)×√8+6=1225，∴sin〈BO →，BC →〉=√1−cos 2〈BO →，BC →〉=√48125，∴点O 到直线BC 的距离为|BO →|sin〈BO →，BC →〉=5×√48125=√4815，故C 错误；对于D ：∵OA →=(4，3，0)，BC →=(8，6，0)， ∴BC →=2OA →，∴BC →，OA →是共线向量， ∴O ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确． 故选：BD ．11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根解：对A 选项，设∠BAC ＝θ，则θ+2θ+2θ＝180°， ∴θ＝36°，∴∠DAC ＝18°，∴cos ∠DAC =cos18°=cos(360°−18°)=cos342°=ADAC，∴A 正确； 对B 选项，∵AD CD=tan2θ=tan72°， ∴cos27°+sin27°cos27°−sin27°=1+tan27°1−tan27°=tan(27°+45°)=tan72°，∴B 正确；对C 选项，根据题意可知BC =√5−1，∴AB ＝AC ＝2，∴cos ∠BAC =22+22−(√5−1)22×2×2=√5+14， 过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，∴AB →在AC →上的投影向量为AE →=cos∠BAC ⋅AC →=√5+14AC →，∴C 错误；对D 选项，由图可知cos2θ＝cos （π﹣θ﹣2θ）， ∴2cos 2θ﹣1＝﹣cos （θ+2θ）＝﹣cos θcos2θ+sin θsin2θ＝﹣cosθ（2cos2θ﹣1）+2sin2θcosθ，设cosθ＝x，则2x2﹣1＝﹣x（2x2﹣1）+2（1﹣x2）x，整理得4x3+2x2﹣3x＝1，∴D正确．故选：ABD．12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．表面积为3m2的球体B．体积为0.3m3的正四面体C．体积为0.4m3的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.8m的圆锥解：选项A，设球半径为R，4πR2＝3得R=√34π＜12，A能够放入；选项B，设正四面体棱长为a，如图正四面体ABCD，O是面BCD中心，AO是四面体的高，OD=√33a，AO=√a2−(33)2=√63a，体积为V=13×√34a2×√63a=0.3，所以a3=52=9√25，在边长为1的正方形PQMN中，如下右图，∠NPS＝∠QPR＝15°，R，S分别在边QM，NM上，PS＝PR=1cos15°，QR＝NS＝tan15°，因此MR＝MS＝1﹣tan15°，所以，RS=√2(1−tan15°)=√2(cos15°−sin15°)cos15°=2(√22cos15°−√22sin15°)cos15°=1cos15°=PS，△PES 是等边三角形，易得，RS =46+2=√6−√2，RS 3=(√6−√2)3=12√6−20√2=√2(12√3−20)， 12√3−20−95=√432−(21+45)＜21−(21+45)＜0， 所以RS 3＜a 3，RS ＜a ，因此B 中正四面体可以放入棱长为1的正方体中；选项C ，体积为0.4m 3的圆柱体，只有当底面直径不大于1m ，高也不大小1m 可放入棱长为1的正方体中，当高大于1m ，或底面直径大于1m 时，不能放入，例如当圆柱底面半径为0.1m 时，高为120π＞√3，就不能放入；选项D ，圆锥底面直径为1.2m ，高为0.8m ，如果能放到正方体中， 根据对称性，把圆锥的轴放在正方体的对角线上， 如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，则A 1C =√3，可证明A 1C ⊥平面BDC 1（通过证明BD ⊥平面ACC 1A 得BD ⊥A 1C ，同理得BC 1⊥A 1C ，从而得证）， 因此圆锥的底面在平面BDC 1或与之平行的平面内，△BDC 1是等边三角形，边长为√2，其内切圆半径为13×√32×√2=√66≈0.408＜0.6，因此题中圆锥的底面不可能在平面BDC 1内，也不可能在平面BDC 1与点C 之间， 设平面BDC 1与A 1C 的交点为M （E 是底面正方形中心，A 1C ∩C 1E ＝M ）， 如图，M 是△BDC 1中心，由A 1C ⊥平面BDC 1可得A 1C ⊥C 1E ，cos ∠A 1CA =AC A 1C =CM CE ，因此CM =AC⋅CE A 1C =√2×√223=√33，从而A 1M =2√33≈1.155＞0.8，重新取正六边形HIJKLP ，如图，各顶点是相应棱中点，易证平面HIJ ∥平面BDC 1， 从而也有A 1C ⊥平面HIJ ，而正六边形HIJKLP 的边长为√22， 其内切圆半径为√32×√22=√64≈0.61＞0.6，KJ ∩A 1C 1＝R ，PH ∩AC ＝Q ，RQ ∩A 1C ＝S ，由A 1R ＝CQ =3√24可得S 是A 1C 中点，而A 1S =√32≈0.866＞0.8， 因此题设圆锥可能放到正方体中，D 能放入． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√32+42=1．故答案为：1．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 (x −2)2+(y −32)2=1 ．解：设AB 的中点M （x ，y ），A （x 1，y 1），又B （4，3），由中点坐标公式得：{x 1+42=x y 1+32=y ，即{x 1=2x −4y 1=2y −3，∵点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，∴x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4，整理得：(x −2)2+(y −32)2=1， 线段AB 的中点M 的轨迹为(x −2)2+(y −32)2=1． 故答案为：(x −2)2+(y −32)2=1．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 x ﹣2y +2＝0 ． 解：设对称的直线方程的点为（x ，y ），对称点为（x 1，y 1）， 直线l 1：x ﹣y +1＝0斜率为1，则有{x+x 12−y+y12+1=02x 1−y 1+1=0y−y 1x−x 1=−1，消去x 1，y 1得x ﹣2y +2＝0，故答案为：x ﹣2y +2＝0．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= 2√22 ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 10√2+4√10 ．解：根据题意，如图所示，取CC 1，CD 上的点分别为N ，M ，连接AM ，MN ，B 1N ，AB 1，使得AB 1∥MN ，所以A ，B 1，N ，M 四点共面，且四边形AB 1NM 为梯形，因为MN ⊥D 1C ，MN ⊥BC ，且D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面CD 1E ， 所以MN ⊥平面CD 1E ，又因为D 1E ⊂平面CD 1E ，所以D 1E ⊥MN ， 同理可证：AM ⊥平面DD 1E ，因为D 1E ⊂平面DD 1E ，所以D 1E ⊥AM ， 又因为MN ∩AM ＝M ，且MN ，AM ⊂平面AB 1MN ，所以D 1E ⊥平面AB 1MN ， 因为点P 在正方体的表面上移动，且B 1P ⊥D 1E ， 所以点P 的运动的轨迹为梯形AB 1MN ，由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则B 1（6，0，6），D 1（0，6，6），E （6，4，0），N （6，6，m ），可得B 1N →=(0，6，m −6)，D 1E →=(6，−2，−6)，因为B 1P ⊥D 1E ，所以B 1N →⊥D 1E →，所以B 1N →⊥D 1E →=0×6+6×(−2)+(m −6)×(−6)=0，解得m ＝4， 所以|CN |＝2|C 1N |＝4，所以当点P 在CC 1上时，可得|AP|=|AN|=√|AC|2+|CN|2=√(6√2)2+42=2√22， 又因为|MN|=4√2，|AB 1|=6√2，|AM|=|B 1N|=2√10， 所以梯形AB 1NM 为等腰梯形，所以梯形AB 1NM 的周长为l =|AB 1|+|MN|+2|AM|=6√2+4√2+2×2√10=10√2+4√10． 故答案为：2√22；10√2+4√10．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[−π2，π2]上的单调减区间．解：（1）f(x)=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3 =sin2x+√3(1−cos2x)−√3=2sin(2x−π3 )，f（x）的最小正周期T=2π2=π；（2）∵−π2≤x≤π2，∴−4π3≤2x−π3≤2π3，解−4π3≤2x−π3≤−π2，得−π2≤x≤−π12；解π2≤2x−π3≤2π3，得5π12≤x≤π2，∴f（x）在[−π2，π2]上的单调递减区间为：[−π2，−π12]，[5π12，π2]．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．解：（1）由频率分布直方图得{10a +0.65=0.7(2a +b +0.065)×10=1，解得{a =0.005b =0.025，所以每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，因为0.05+0.25+0.45＝0.75＜0.8，0.05+0.25+0.45+0.2＝0.95＞0.8， 所以第80百分位数在区间[75，85）内，设第80百分位数为x ， 可得0.75+0.02（x ﹣75）＝0.8， 解得x ＝77.5，所以第80百分位数为77.5．（2）设第二组、第三组的平均数与方差分别为x 1，x 2，s 12，s 22， 则x 1=58，x 2=72，s 12=28，s 22=140，可知第二组、第三组的频率之比为0.25：0.45＝5：9， 而成绩在[55，75）的平均数x =5×58+9×7214=67， 成绩在[55，75）的方差s 2=514[s 12+(x 1−x)2]+914[s 22+(x 2−x)2] =514[28+(58−67)2]+914[140+(72−67)2]=145， 故估计面试成绩在[55，75）的方差是145．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作⊙C 的切线，求切线的方程； （2）若⊙C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：（1）由题设，知圆心C 是直线y ＝2x ﹣4和y ＝x ﹣1的交点， 联立方程{y =2x −4y =x −1，解得{x =3y =2，即两直线的交点坐标为（3，2），所以点C 的坐标为（3，2），圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝1， 当过点A （3，0）的切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝3，不满足条件；当过点A （3，0）的切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，由题意得√k 2+1=1，解得k =±√3，所以切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0；综上所述：所求切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0． （2）因为圆心C 在直线y ＝2x ﹣4上，所以设点C 的坐标为（a ，2a ﹣4）， 圆C 的方程为（x ﹣a ）2+[y ﹣2（a ﹣2）]2＝1， 设点M （x ，y ），因为|MA |＝2|MO |， 所以√(x −3)2+y 2=2√x 2+y 2，化简得x 2+y 2+2x ﹣3＝0，即（x +1）2+y 2＝4，所以点M 在以点D （﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M （x ，y ）在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则|2﹣1|≤|CD |≤2+1，即1≤√(a +1)2+(2a −4)2≤3，解得45≤a ≤2，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[45，2]．20．（12分）已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，N 为AB 的中点． （1）证明：PN ⊥平面ABC ；（2）若M 是线段PC 上的点，且平面MAB 与平面P AB 的夹角为45°，求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明：连结PN ，CN ，因为P A ＝AC ，PB ＝BC ，AB ＝AB ，所以△P AB ≌△CAB ，所以∠APB ＝∠ACB ＝90°， 即△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以PN ＝CN =√22AC =√22PC ， 所以PN 2+CN 2＝PC 2，即PN ⊥CN ， 因为P A ＝PB ，N 为AB 的中点， 所以PN ⊥AB ，又CN ∩AB ＝N ，CN 、AB ⊂平面ABC ， 所以PN ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知，△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以NP ＝NA ＝NB ＝NC ，即点N 是球心， 连接MN ，因为P A ＝PB ，AC ＝BC ，PC ＝PC ，所以△ACP ≌△BCP ，所以MA ＝MB ， 因为点N 是AB 的中点，所以MN ⊥AB ，又PN ⊥AB ，所以∠PNM 就是平面MAB 与平面P AB 的夹角，即∠PNM ＝45°， 以N 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，√2，0），B （0，−√2，0），C （√2，0，0），P （0，0，√2），M （√22，0，√22），所以AM →=（√22，−√2，√22），BC →=（√2，√2，0），BP →=（0，√2，√2）， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC →=0n →⋅BP →=0，即{√2x +√2y =0√2y +√2z =0， 令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=（1，﹣1，1）， 设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AM →＞|=|n →⋅AM →||n →|⋅|AM →|=√22×2+√2√12+2+12=2√23，故AM 与平面PBC 所成角的正弦值为2√23． 21．（12分）在△ABC 中，AB ＝2，D 为AB 中点，CD =√2． （1）若BC =√2，求AC 的长； （2）若∠BAC ＝2∠BCD ，求AC 的长．解：（1）在△BDC 中，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC22BD⋅CD =√24，cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，在△ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD cos ∠ADC ＝4，∴AC ＝2；（2）法一：设AC ＝x ，BC ＝y ， 在△ADC ，△BDC 中，由正弦定理，可得√2sin∠BAC =x sin∠ADC ，1sin∠BCD =y sin∠BDC，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，得sin∠BAC sin∠BCD=√2yx， 在△BDC 中，由余弦定理得cos ∠BCD =y 2+2−12√2y，由∠BAC ＝2∠BCD ，有sin ∠BAC ＝sin2∠BCD ＝2sin ∠BCD cos ∠BCD ，∴√2yx =2•22√2y，整理得2y 2＝x （y 2+1）①，又由cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，22√2=−22√2，整理得x 2+y 2＝6②，联立①②得：x 3﹣2x 2﹣7x +12＝0，即（x ﹣3）（x 2+x ﹣4）＝0 又√2−1＜x ＜√2+1，故x =−1+√172， ∴AC =−1+√172． 法二：如图：构造等腰△ACE ，则∠BCD ＝∠E ， 易知△EBC ∽△CBD ，故EB CB=BC BD，即2+b a=a 1，∴a 2＝1+b ，结合a 2+b 2＝2（CD 2+AD 2）＝6， 可解得b =−1+√172．22．（12分）已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线x +y ＝0上，|AB |＝2，⊙C 过点A ，B 且与直线x +1＝0相切，设圆心C 的横坐标为a ． （1）求⊙C 的半径；（2）若a ＜2，已知点P （0，1），点M ，N 在⊙C 上，直线MN 不经过点P ，且直线PM ，PN 的斜率之和为﹣1，PD ⊥MN ，D 是垂足，问：是否存在一定点Q ，使得|DQ |为定值．解：（1）∵⊙C过点A，B，∴C在AB的中垂线上，∵点A在直线x+y＝0上，且点A，B关于原点O对称，∴C在直线x+y＝0上，则点C的坐标为（a，a），∵⊙C与直线x+1＝0相切，∴圆C的半径为|a+1|，连接AC，由已知得|AO|＝1，又CO⊥AO，∴|a+1|2＝（√2a）2+1，解得a＝0或a＝2，∴圆C的半径为r＝1或r＝3；（2）由（1）及a＜2，得a＝0，则圆C的方程为x2+y2＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN斜率存在时，设直线MN：y＝kx+m（m≠±1），代入圆的方程可得：（1+k2）x2+2kmx+m2﹣1＝0，则Δ＝（2km）2﹣4（1+k2）（m2﹣1）＝4（﹣m2+k2+1）＞0，得﹣m2+k2+1＞0，且x1+x2=−2km1+k2，x1x2=m2−11+k2，而（y1﹣1）x2+（y2﹣1）x1＝（kx1+m﹣1）x2+（kx2+m﹣1）x1＝2kx1x2（m﹣1）（x1+x2）∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=(y1−1)x2+(y2−1)x1x1x2=2k+(m−1)(x1+x2)x1x2＝2k−(m−1)⋅2kmm2−1=2k−2kmm+1，∵直线PM，PN的斜率之和为﹣1，∴2k−2kmm+1=−1，得m＝﹣2k﹣1，代入y＝kx+m，得y＝kx﹣2k﹣1＝k（x﹣2）﹣1，∴直线MN恒过定点T（2，﹣1），当直线MN斜率不存在时，x1＝x2，y2＝﹣y1，∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=−2x1，∴−2x1=−1，∴x1＝2，但﹣1＜x1＜1，且x1≠0，故不合题意，舍去，综上，直线MN恒过定点T（2，﹣1），又PD⊥MN，D是垂足，所以当Q为P，T的中点时，Q（1，0），此时|DQ|=12|PT|=√2为定值．第21页（共21页）。
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石家庄二中2014—2015学年第二学期期中考试
高一数学试题
命题人：王呈林 审题人：孟倩虹
（考试时间120分钟 满分150分）
第一部分（选题题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在没小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1、若0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ）
A.11a b b a +>+
B. 11a b a b +>+
C.11b b a a +>
+ D.11
b a b a
->-
2、在正项等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=，则5
7
a a =（ ） A .
56 B . 65 C .23 D .32
3、已知点(,)P x y 在不等式组20
10220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值
范围是（ ）
A.[]2,1--
B.[]2,1- C .[]1,2- D .[]
1,2
4、一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为
1的等腰直角三角三角形，则这个几何体的体积是
（ ）
A .12
B .1 C.3
2
D .2 5、已知实数列1,,,,2x y z --成等比数列，则xyz =（ ） A ．4- B .4± C.- D.±
6、等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10
7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51513,63S S ==，则20S =（ ） A.90 B. 100 C. 110 D. 120
8、在一个数列中，如果对任意的n N +∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且121,2a a ==，公
正视图 侧视图
1
1 俯视图
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
积为8，则1212a a a ++=（ ）
A 、24
B 、28
C 、32
D 、36 9、已知1,1x y >>，且
11
ln ,,ln 44
x y 成等比数列，则xy 有（ ） A 、最小值e B 、
C 、最大值e
D 、
10、设1m >，当实数满足不等式组21y x
y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
时，目标函数z x my =+的最大值等于2，则
m 的值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、
32 D 、52
11、设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 的连续四项在
集合{}53,23,19,37,82--中，则q 等于（ ） A 、43-
B 、3
2- C 、3223--或 D 、34
43
--或 12、
在该几何体的正视图中，
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最
大值为（ ）
A
、 B
、 C 、4 D
、
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）
13、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 表面积为 14、若2x >，则1
2
x x +
-的最小值为 15、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，
10
1221210
S S -=-，则2015S 的值为 16、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足
*130(2,)n n n a S S n n N -+⋅=≥∈，11
3
a =，则n na 的最小值为
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17、（本小题满分10分） 解关于的x 不等式 2
22,ax x ax a R -≥-∈. 18、（本小题满分12分）
设公差为(0)d d ≠等差数列{}n a 与公比为(0)q q >的等比数列{}n b 有如下关系：
111332,,5b a b a b a ====.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记{}12320,,,,A a a a a =，{}12320,,,,B b b b b =，C A B =，求集合C 中的
各元素之和. 19、（本小题满分12分）
设函数2
()1,f x mx mx m R =--∈.
（1）若存在实数x ，使得()0f x >成立，求m 的取值范围； （2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围.
20、（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，南校区某建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C 单位：万元），与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：
()(010)35
k
C x x x =
≤≤+.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热
层建造费用与20年能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层建造多厚时，总费用()f x 最小，并求出最小值. 21、（本小题满分12分）
设{}n a 是各项都为正数的等比数列；{}n b 是等差数列，且11351,13a b a b ==+=，
5321a b +=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b -的前n 项和n T . 22、（本小题满分12分）
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12
log n n b a =.
（1）求12,a a 的值；
（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）若110n n n c c b c +-==，，求23
11
1n
c c c +++
.。