解三角形应用举例教案1(高二数学)MnPPnM
高二数学解三角形的应用教案
高二数学解三角形的应用教案一、教学目标：1. 理解三角形的基本概念和性质；2. 掌握解三角形相关的应用问题的方法和技巧；3. 培养解决实际问题的数学建模能力。
二、教学内容：1. 三角函数的介绍和性质；2. 解三角形的基本方法；3. 利用三角函数解决实际问题的应用；4. 实际问题的数学建模。
三、教学步骤：1. 引入课题三角形在几何学中占据了重要地位，而解三角形相关的应用问题更是在实际生活中具有广泛的应用。
本节课我们将学习解三角形的方法和技巧，并通过应用问题来巩固所学知识。
2. 三角函数的介绍和性质首先，让我们来回顾一下三角函数的基本知识。
正弦函数、余弦函数和正切函数在三角形中有着重要的应用，它们分别表示了三角形的一边与角度的关系。
3. 解三角形的基本方法解三角形的基本方法包括三角函数的运用、三边定比法以及三角形的余角关系。
我们将学习这些方法，并通过例题来加深理解。
4. 利用三角函数解决实际问题的应用在实际生活中，解三角形的知识可以帮助我们解决诸如测量高度、角度、距离等实际问题。
通过一系列的实际问题，我们将学习如何将数学知识应用到实际中，培养数学建模的能力。
5. 实际问题的数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解的过程。
我们将通过一些实际问题，引导学生将问题进行抽象和建模，并运用所学知识进行求解。
四、教学资源准备：1. 教材《数学高二上册》；2. 多媒体投影仪；3. 课堂练习题和实际应用题。
五、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对解三角形知识的掌握情况；2. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识；3. 实际应用题评价：通过实际问题的解答情况，评价学生的数学建模能力。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生对解三角形相关的应用问题有了更深入的理解。
通过应用问题的解答，学生的数学建模能力也得到了提升。
在教学中，要注重培养学生的问题解决能力，引导他们主动思考和探索。
同时，通过丰富的实例和练习，提高学生的解题能力和应用能力。
《解三角形的实际应用举例》教学设计讲课稿
《解三角形的实际应用举例》教学设计课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。
通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案教案标题：解直角三角形的应用教学目标：1. 理解直角三角形的定义和性质。
2. 掌握解决直角三角形相关问题的方法和技巧。
3. 能够应用直角三角形的知识解决实际问题。
教学重点：1. 直角三角形的定义和性质。
2. 直角三角形的解题方法。
3. 直角三角形在实际问题中的应用。
教学难点：1. 将直角三角形的知识应用于实际问题的解决。
2. 理解并运用三角函数的概念和性质。
教学准备：1. 教材：包含直角三角形相关知识的教材。
2. 教具：直尺、量角器、计算器等。
3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体设备展示一张直角三角形的图像，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。
2. 提出问题：你知道直角三角形的定义和性质吗？请简单介绍一下。
3. 学生回答问题，教师适时给予引导和补充。
二、知识讲解（15分钟）1. 通过多媒体设备展示直角三角形的定义和性质，并解释其含义。
2. 介绍三角函数的概念和性质，如正弦、余弦和正切等。
3. 通过示例演示如何利用三角函数求解直角三角形的边长和角度。
三、例题演练（20分钟）1. 提供一些直角三角形的例题，要求学生利用所学知识求解。
2. 学生独立完成例题，教师巡回指导和解答疑惑。
3. 学生互相交流解题思路和方法，加深对知识的理解。
四、应用拓展（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直角三角形的知识解决。
2. 学生独立或小组合作完成应用题，教师提供必要的指导和帮助。
3. 学生展示解题过程和结果，进行讨论和总结。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结直角三角形的相关知识和解题方法。
2. 学生回答问题并进行讨论，教师进行点评和补充。
3. 教师给出解题技巧和注意事项，并提供相关练习题进行巩固。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成。
2. 强调作业的重要性，并提供解题思路和方法。
3. 确定下节课的教学内容和要求。
解三角形应用举例教学设计
解三角形应用举例（第一课时）【教材分析】本节课选自人教A版《必修五》第一章第二节（第一课时），是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
【学情分析】本节课的教学对象是高二年级的学生。
1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。
2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。
【课型】实际应用课【教学方法】自主探究，合作探究【教学准备】多媒体设备，天宫二号成功发射视频，三封信件【教学目标】1.知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法2.过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3.情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力【教学难点】实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解【教学过程】（含时间分配）一、创设情境，明确目标（5分钟）观看视频。
提出：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—距离问题教学设计 高二数学教案
解三角形的实际应用举例—距离问题一、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学过程一、课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
二、讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
解三角形应用举例教案1
解三角形应用举例教案Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABCAC ∠sin AB = ABCACB AC ∠∠sin sin = ABCACB ∠∠sin sin 55 = )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒= ︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m)答:A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。
解三角形应用举例》 教案
教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．考点2 实际应用中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m °：(2)南偏西n °：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ，则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l的比三、例题精析【例题1】【题干】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝ 3.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝ 3 sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB＝ 5 km，所以A，B两目标之间的距离为 5 km.【题干】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．【解析】如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD ，则BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°， 则AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)．故塔高为103(3－3) m.【题干】如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10 3 t 海里，BD ＝10 t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.解得BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．【题干】(2013·广州模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 的北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 的北偏东(45°＋θ)(其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【解析】如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.因为0＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155海里/时．(2)法一：如图所示以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B ，C 的坐标分别是B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设，得x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013·cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝10 13·sin(45°－θ)＝20. 所以过点B ，C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35＜7，所以船会进入警戒水域．法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理，得AQ ＝AB ·sin ∠ABCsin 45°－∠ABC＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE ＝QE ·sin ∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．四、课堂运用【基础】1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A.3B．23C.3或2 3 D．3解析：选C如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或2 3.2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB ＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6解析：选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003m ， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m. ∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km.【巩固】4.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin 45°＝10sin 60°.∴x＝1063m.答案：1063m5．(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD ＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是5＝10海里/小时．0.5答案：10【拔高】6．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解：(1)如图所示，连接MP .依题意，有A ＝23，T 4＝3. ∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x . 当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，∴M (4,3)． 又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5km.(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，设∠PMN ＝θ，则0°＜θ＜60°.∵由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin 60°－θ， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)， 故NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)． ∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，NP ＋MN 最大，即将∠PMN 设计为30°时，才能使折线赛道MNP 最长．7．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝1 5 2 m ，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， 解得AC ＝15 m.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC， 解得BC ＝156＋22m. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3 m ，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m ，155＋ 3 m.课程小结解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．课后作业【基础】1.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析：选B 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，故AB ＝3a .2．(2013·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析：选B 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝ABsin 45°sin 30°＝3 2.3.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C ∵在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE . ∴AE ＝CM －10tan 30°m. ∵在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE， ∴AE ＝CM ＋10tan 45° m ，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3 m.【巩固】4某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________ m.解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AOsin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063 m.答案：20635.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.【拔高】6.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2∵由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302海里/时．7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.＝14海里/小时．所以渔船甲的速度为BC2(2)法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°. 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC， 即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314. 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2 α＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.。
解三角形教案1
解三角形（一）教学目标1.知识与技能：(1) 掌握正、余弦定理、重要不等式、基本不等式、函数值域等相关的知识。
(2) 掌握解决三角形问题中最值问题的常规方法：不等式法和函数法。
2.过程与方法：进一步体会函数，不等式，平面几何等知识的交汇融合；通过周长、面积最值得求解培养学生分析、归纳能力及知识迁移的能力。
3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。
(2) 培养学生数学素养和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点重点：理解并掌握正弦定理、余弦定理、重要不等式、基本不等式及平面几何知识等的应用。
难点：三角形最值问题中通法通解的形成及贯彻；数形结合思想，函数思想的培养。
（三）教学过程设计一、知识回顾、归纳总结：三角形性质：1.角的关系：A B C π++=，外角等于不相邻两个内角和。
2.边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.角与边的关系：①大角对大边，等角对等边 ②正弦定理及变形： 变形：③余项定理及变形： 2()sin sin sin a b c R R ABC A B C===∆为外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C=== sin sin sin 222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin a b c A B C =2222cos a b c bc A=+-222cos 2b c a A bc+-=ABC C a b c ∆=++4.周长与面积：重要不等式、均值不等式：重要不等式： 均值不等式： 变形：二、例题讲解、规范解答：注意：分析周长或面积取到最大值的条件。
12ABC S ∆=⨯底高111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===时取等）当且仅当b a R b a ab b a =∈≥+,,(222时取等）当且仅当b a b a abb a =>>≥+,0,0(22()2a b ab +≤cos _______ABC A B C a b c a b c B ∆的内角、、所对的边分别为、例1:(2014陕西、；若、、成等比数列求的最小值)2cos(),cos a b A C ABC A B C a b c c C C c ABC c ABC ++∆==∆=∆的内角、、所对的边分别为、、；若(1)求的大小(2)若求面积的最大值(例2:(2016吉林白山一模改编)3)若求周长的最大值12c a b =+变式：(1)求若求的最大值a b c 解：、、称等比数列2b ac ∴=222cos 2a c b B ac +-=222a c ac ac+-=22ac ac ac -≥12=a c ==当且仅当,""成立小结：小结：“知二求最值”知二：角及其所对的边，求三角形周长、面积最值，一般在等腰时候取到最值，如是“类周长面积”不一定是在等腰的时候取到最值。
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sin2A=sin2B, 2A=2B, A=B 根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180 ，A+B=90
答案：a=6,S=9 ;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1）acosA = bcosB sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1）师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a =b
c =
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
S ≈ 68 127 0.6578≈2840.38(m )
答：这个区域的面积是2840.38m 。
例3、在 ABC中，求证：
（1）
（2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
生：同理可得，S= bcsinA,S= acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它ห้องสมุดไป่ตู้夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在 ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm ）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;
课题：2.2解三角形应用举例（4）第课时总序第个教案
课型：复习课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈ ≈0.6384
应用S= acsinB，得
S ≈ 41.4 38.7 0.6384≈511.4(cm )
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm ）？
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
批注
教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
教学用具：三角板，直尺，投影
教学方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
= = = k
显然 k 0，所以
左边=
= =右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc +ca +ab )
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边
变式练习1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
教学过程：
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h =bsinC=csinBh =csinA=asinCh =asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S= ah,应用以上求出的高的公式如h =bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
= ≈0.7532
sinB= 0.6578
应用S= acsinB
（2）已知B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
(2)（解略）直角三角形
教学后记：
解：（1）应用S= acsinB，得
S= 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm )
(2)根据正弦定理，
=
c=
S = bcsinA = b
A = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5
S = 3.16 ≈4.0(cm )
(3)根据余弦定理的推论，得