白矮星、中子星和黑洞


- 磁场放大机制 为什么中子星自转轴与磁轴不重合? - 可能与超新星爆发时,中微子辐射的不对 称性有关。
1 2 G M m m c 2 R S
2 G M R 2 2 . 9 6 ( M / M ) S c

天体的致密程度可以用 RS / R 示。

名称
正反粒子对
时空旅行

通过虫洞实现时空旅行,并不违反物理 定律,但是因果律面临困难。 但极难制造大虫洞。
只有基本粒子可作时空旅行?
理论与观测的比较
引力红移:按照广义相对论,在远离引力场的地方 观测引力场中的辐射源发射出来的光时,光 谱中的谱线向红端移动,波长红移的大小与 辐射源和观测者两处的引力势差成正比。
核坍缩形成中子强磁场? - 角动量守恒(质量、伸展度和旋转速度)
潮汐作用(Tidal effect)


距离越远,重力越小,因此物体不同部份 受到的引力不同 例﹕人站在地面,脚所受重力大于头 潮汐力﹕ 上下扯开,左右压缩。
潮汐力
虫洞


广义相对论解出虫洞的 产生可不依靠黑洞,但 只能维持极短的时间。 因为需要极大的张力来 抵抗重力以保持稳定。 量子理论给出极小尺度 时空充满虫洞。 需要将量子理论与广义 相对论统一才能明白。
2.白矮星基本特征 在H-R图上白矮星位于主序带的左下方
白矮星的形成
~8 1 0 M 白矮星是质量 的主序星的演化产物。在主序 星演化为红巨星之后,会将其 包层抛出,形成行星状星云, 而恒星内部辐射压力不足以抵 抗自引力,物质收缩成为一个 高密度的电子简并态的碳/氧球。
理论与观测的比较
反粒子
图片来源:Mirabel & Rodriguez 1998
银河系中心黑洞
射电波段
黑洞质量:260万倍的 太阳质量
虫洞与时空旅行
虫洞
由黑洞中心奇点延伸有虫洞,连接 黑洞与白洞。 虫洞=时空隧道,连接两时空点
黑洞、虫洞、时空旅行?

能否利用黑洞作时空旅行? 不能。因为: 10 M 黑洞潮汐力太强 (例: 黑洞的表面重 力每米相差107g)
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太阳死亡后会变成白矮星,之后变成黑矮星,但其实黑矮星极难出现

太阳死亡后会变成白矮星,之后变成黑矮星,但其实黑矮星极难出现

太阳死亡后会变成白矮星,之后变成黑矮星,但其实黑矮星极难出现当太阳死亡(主序星阶段结束)之后,就会成为一颗白矮星,那么当它的白矮星阶段结束之后呢?理论上讲,它会成为一颗黑矮星,这是一种真正的死星,它不发光不发热,看上去没有任何生机,但是只要宇宙的物理定律不发生变化,那么它就会永远存在下去。

不单是白矮星会演变成黑矮星,中子星在经过长时间的能量辐射之后也有可能变成白矮星,然后再经过长时间的辐射变成黑矮星,也有科学家认为黑洞如果不吸收物质和能量的话,通过霍金辐射的衰变也有可能变成中子星,那么如果再通过衰变变成白矮星,接着衰变下去,就成了黑矮星。

不过,不吸收物质的黑洞和中子星衰变到发生质变时间都极其漫长,单说白矮星到黑矮星的衰变演化阶段就长达至少200亿年,然而宇宙的年龄至今不过137亿年,所以宇宙中至今没有黑矮星出现。

然而宇宙中有不吸收物质的黑洞,中子星乃至白矮星吗?根本没有!因为天体引力的作用,每一种星体都在不断的吸收周围的物质和能量,因此天文观测中看到的大都是小星体通过吸收物质和能量变成了更大的星体,比如小行星通过碰撞融合变成更大的小行星,一些小行星和彗星撞击行星让行星质量变得更大,而每个恒星系统中的主恒星也都在不断的吸收物质变得更大,黑洞等就更不用说了,有的黑洞甚至能吸收一个星系的物质变成类星体。

我们单说白矮星和中子星,这两种星体都是恒星由于超新星爆发损失了大量质量而形成的,然而它们在形成白矮星和中子星之后其质量大都是在增长中的,宇宙中的白矮星和中子星大都正在变得更大,特别在一些多星系统中,中子星和白矮星可以吸收伴星的物质能量,当白矮星通过吸收物质,使自身的质量达到太阳的1.44倍以上的时候,它就会变成中子星,而当中子星吸收质量达到太阳质量的三倍的时候,它就会演化为黑洞,所以从星体的这些演化趋势来看,宇宙中的星体大都在变得更大。

虽然如今的宇宙仍然在膨胀中,但是宇宙中的物质丰度还是很高的,宇宙膨胀的规模和速度还不足以有效阻碍星体吸收物质,而如果白矮星能不断吸收物质的话,那么衰变成黑矮星的可能性就微乎其微,因此黑矮星在宇宙中的出现是十分困难的。

恒星死亡后的三种形态

恒星死亡后的三种形态

恒星死亡后的三种形态
答:白矮星、中子星、黑洞。

我们常常把恒星的主序星阶段的终结看作恒星的死亡,恒星死亡后最终会变成白矮星、中子星、黑洞等三者之一。

怎样的恒星死亡后才会变成白矮星呢?想要死亡后变成白矮星,该恒星就必须是中小型恒星,在死亡过程中形成星壳和星核两部分,星壳向外抛射出去,星核向内坍缩,如果星核质量不大于太阳质量的1.44倍,就会形成白矮星。

白矮星在高压下,原子被压碎,电子会脱离轨道变成自由电子。

一般来说,这样的恒星死亡前的质量大约在太阳质量的8~10倍以下。

根据理论推测,白矮星大概占总恒星数的10%左右。

而恒星想要变成中子星,那它的质量就必须在太阳质量的8~10倍以上,30倍以下,这样才能保证恒星在死亡时发生超新星爆炸,爆炸后内核的质量保持在1.44~3.2倍太阳质量之间,最后在高压下,不仅原子被压碎,原子核也被压碎,质子和电子结合形成中子,最后,所有的中子压缩在一起形成中子星。

中子星并不是恒星的最终状态,它还可以进一步演化。

当它的能量量消耗完以后,中子星将变成不发光的黑矮星。

白矮星其实也可以变为黑矮星,只是时间比较长,需要200亿年。

下面我们说恒星死亡后的最后一种状态,也是最神秘和未知的状态:黑洞。

想要在死亡后变成黑洞,那该恒星死亡前的质量就必须在太阳
质量的30倍以上,且爆炸后内核质量在太阳质量的3.2倍以上,这样才能形成神秘而又未知的黑洞。

黑洞到底是怎么样形成的有哪些说法

黑洞到底是怎么样形成的有哪些说法

黑洞到底是怎么样形成的有哪些说法关于黑洞的形成,科学界有着很多的说法,但却并没有一个统一的说法。

下面是小编分享的黑洞的形成原因,一起来看看吧。

黑洞的形成原因亦可以简单理解:通常恒星的最初只含氢元素,恒星内部的氢原子时刻相互碰撞,发生裂变、聚变。

由于恒星质量很大,裂变与聚变产生的能量与恒星万有引力抗衡,以维持恒星结构的稳定。

由于裂变与聚变,氢原子内部结构最终发生改变,破裂并组成新的元素——氦元素。

接着,氦原子也参与裂变与聚变,改变结构,生成锂元素。

如此类推,按照元素周期表的顺序,会依次有铍元素、硼元素、碳元素、氮元素等生成。

直至铁元素生成,该恒星便会坍塌。

这是由于铁元素相当稳定不能参与裂变或聚变,而铁元素存在于恒星内部,导致恒星内部不具有足够的能量与质量巨大的恒星的万有引力抗衡,从而引发恒星坍塌,最终形成黑洞。

跟白矮星和中子星一样,黑洞很可能也是由质量大于太阳质量20倍的恒星演化而来的。

当一颗恒星衰老时,它的热核反应已经耗尽了中心的燃料(氢),由中心产生的能量已经不多了。

这样,它再也没有足够的力量来承担起外壳巨大的重量。

所以在外壳的重压之下,核心开始坍缩,直到最后形成体积小、密度大的星体,重新有能力与压力平衡。

质量小一些的恒星主要演化成白矮星,质量比较大的恒星则有可能形成中子星。

而根据科学家的计算,中子星的总质量不能大于三倍太阳的质量。

如果超过了这个值,那么将再没有什么力能与自身重力相抗衡了,从而引发另一次大坍缩。

这次,根据科学家的猜想,物质将不可阻挡地向着中心点进军,直至成为一个体积很小、密度趋向很大。

而当它的半径一旦收缩到一定程度(一定小于史瓦西半径),正象我们上面介绍的那样,巨大的引力就使得即使光也无法向外射出,从而切断了恒星与外界的一切联系——“黑洞”诞生了。

根据科学家计算,一个物体要有每秒种7.9公里的速度,就可以不被地球的引力拉回到地面,而在空中饶着地球转圈子了.这个速度,叫第一宇宙速度.如果要想完全摆脱地球引力的束缚,到别的行星上去,至少要有11.2km/s的速度,这个速度,叫第二宇宙速度.也可以叫逃脱速度.这个结果是按照地球的质量和半径的大小算出来的.就是说,一个物体要从地面上逃脱出去,起码要有这么大的速度。

天文学中的星体分类

天文学中的星体分类

天文学中的星体分类星体分类是天文学中的基础领域之一。

它主要是为了更好地了解和研究各种天体的特征和性质,以及它们在宇宙中的角色和作用。

在天文学中,星体可以分为多种类别。

一、恒星恒星是天文学中最常见的天体类型之一。

它们是由氢、氦等元素组成的热核聚变反应的产物。

恒星的分类主要是根据它们的温度、光度和质量等方面来进行的。

它们被划分为多个类别,包括红色矮星、白矮星、脉冲星、中子星和黑洞等。

1、红色矮星红色矮星(Red dawrf)是恒星中最小和最冷的一类,其质量比太阳小至不到0.5倍。

它们的表面温度通常在4000—3000K之间,寿命很长,被认为可以存在几十亿年左右。

2、白矮星和红色矮星相比,白矮星的质量要大,通常在0.5到1.4倍太阳质量之间,而半径比太阳小得多。

它们的表面温度很高,通常在10,000-100,000K之间。

白矮星的寿命比较短,通常在10亿年以下。

3、脉冲星脉冲星(Pulsar)是一种具有极高自转速度的中子星残骸,其磁场强度非常高,可以达到10^12到10^13高斯。

它们的旋转周期通常在毫秒或秒级,由于不规则的物质吸积,它们会不时地“脉冲”,这就是脉冲星的名字来源。

4、中子星中子星(Neutron star)是通过恒星的爆炸和残骸形成的一类含有非常高密度物质的恒星。

它们的质量通常在1.4倍太阳左右,而半径只有几十千米,密度高达10^15克/立方厘米。

中子星的温度可以很高,通常在10^6到10^7K之间。

5、黑洞黑洞(Black hole)是恒星的另一种极端状态。

它们形成于恒星爆炸后,残骸的部分物质被压缩成为一个极其致密且引力极强的天体。

它们的质量可能达到数百倍于太阳,但其半径却非常小。

黑洞的质量和自转速度会控制其吸积和排放的物质量和速度,使它们成为极其活跃和强光源。

二、行星行星是太阳系中的天体,绕太阳运行且没有发光。

行星可以分为气态行星和岩石行星,每个类型均有不同的特征和属性。

1、气态行星气态行星(Gas giant)是一种质量很大、体积很大的行星,它们通常由氢、氦、甲烷、氨等气体和冰组成。

宇宙中5种神奇天体,原以为只是理论,如今可能真实存在

宇宙中5种神奇天体,原以为只是理论,如今可能真实存在

宇宙中5种神奇天体,原以为只是理论,如今可能真实存在这个宇宙中,从来不缺少令人忍不住惊呼的神奇天体。

不论是密度极大的中子星,还是引力惊人的黑洞,还是幅员辽阔的大尺度丝状结构,都让人感叹宇宙的神奇。

除了这些天体之外,宇宙中还有其他一些诡异的星球,原本只存在于理论之中,如今也接近被人类发现了。

黑矮星黑矮星是宇宙中大部分恒星的命运归宿,包括我们的太阳。

当太阳这样质量不够大的恒星进入到演化末期时,就会变成一颗白矮星。

白矮星是致密星的一种,每立方厘米的质量可以达到1吨以上。

变成白矮星之后,恒星就不会再进行核聚变了,也就失去了能量来源。

尽管有一部分白矮星周围有其他的恒星,可能让它吞噬物质并爆发为超新星,但像太阳这样孤独的恒星所形成的白矮星,就没有这样的命运了。

刚形成的白矮星确实非常热,但它会逐渐冷却降温,最终和宇宙温度达到平衡,因此也会变得非常昏暗,这就是黑矮星。

黑矮星就是白矮星最终的归宿,它的命运不会再发生其他的改变了。

不过,根据科学家的推测,白矮星完全降温的时间可能长达10000亿年。

因此,对于只有138亿年寿命的宇宙来说,目前还没有任何一颗黑矮星存在。

索恩-齐特科夫天体还是以我们的太阳为例,它的命运终点是黑矮星,黑矮星的前一阶段是白矮星,白矮星之前就是红巨星了。

进入到演化末期的太阳,外壳会向外扩散,半径甚至会达到2亿公里以上,将地球轨道包裹进去,甚至火星轨道都不能幸免。

至于行星本身,是会被吹到更远的地方,还是留在轨道上被吞噬,目前还是一个未知数。

在宇宙中,大部分恒星都会在演化末期经历这个阶段,其中有一小部分和太阳系完全不同,它们的系统内有一颗更加极端的天体——中子星。

那么,当中子星周围的恒星膨胀为红巨星,会发生什么事呢?1977年,物理学家基普·索恩(电影《星际穿越》的科学指导)和安娜·齐特科夫提出:这种特殊的情况下,就有可能形成一种诡异的结构——索恩-齐特科夫天体。

他们的计算结果表明,中子星会被红巨星的外壳包裹进去,然后绕着红巨星的内核公转。

从爱因斯坦到霍金的宇宙答案完整版

从爱因斯坦到霍金的宇宙答案完整版

白矮星、中子星与黑洞(一)已完成1加尔各答有一个地方叫黑洞。

正确答案:√我的答案:√2约翰·米歇尔提出“暗星”概念是在哪一年?()A、1769年B、1821年C、1783年D、1785年正确答案: C 我的答案:C3《宇宙体系论》和《天体力学》的作者是()。

A、约翰·米歇尔B、拉普拉斯C、爱因斯坦D、托马斯·杨正确答案: B 我的答案:B4产生暗星的条件是:()A、R=2GM/C2B、R<2GM/CC、R>2GM/C2D、R<2GM/C2正确答案: D 我的答案:D5美国“原子弹之父”是:()A、费米B、西那德C、奥本海默D、约里奥.居里正确答案: C 我的答案:C6白矮星的密度是:()A、1.4克/CM3B、1吨/CM3C、100吨/CM3D、100亿/CM3正确答案: B 我的答案:B7爱因斯坦的广义相对论预言了黑洞。

正确答案:√我的答案:√8双缝干涉实验证实了光是波。

正确答案:√我的答案:√9据《每月之星》中记载,白矮星的密度是每立方厘米()左右。

A、3吨B、2吨C、1吨D、0.5吨正确答案: C 我的答案:C10最先提出暗星概念的人是白矮星、中子星与黑洞(一)已完成1加尔各答有一个地方叫黑洞。

正确答案:√我的答案:√2约翰·米歇尔提出“暗星”概念是在哪一年?()A、1769年B、1821年C、1783年D、1785年正确答案: C 我的答案:C3《宇宙体系论》和《天体力学》的作者是()。

A、约翰·米歇尔B、拉普拉斯C、爱因斯坦D、托马斯·杨正确答案: B 我的答案:B4产生暗星的条件是:()A、R=2GM/C2B、R<2GM/CC、R>2GM/C2D、R<2GM/C2正确答案: D 我的答案:A5美国“原子弹之父”是:()A、费米B、西那德C、奥本海默D、约里奥.居里正确答案: C 我的答案:C6白矮星的密度是:()A、1.4克/CM3B、1吨/CM3C、100吨/CM3D、100亿/CM3正确答案: B 我的答案:B7爱因斯坦的广义相对论预言了黑洞。

从爱因斯坦到霍金的宇宙答案完整版

爱因斯坦和量子论与相对论的诞生〔一〕已完成1浮力定律是阿基米德提出的。

正确答案:√我的答案:√2探究式的学习方式由西方传播而来。

正确答案:×我的答案:×3下列选项中属于伽利略的成就的是:〔〕A、重述惯性定律B、用科学的语言阐述了相对性原理C、自由落体定律D、以上都是正确答案: D 我的答案:D4提出杠杆原理的学者是:〔〕A、伽利略B、阿基米德C、亚里士多德D、牛顿正确答案: B 我的答案:B5最早用到物理学这个词的人物是:〔〕A、苏格拉底B、柏拉图C、亚里士多德D、孟德斯鸠正确答案: C 我的答案:C6最早使用物理学这个词的人是A、苏格拉底B、柏拉图C、亚里士多德D、阿基米德正确答案: C 我的答案:C7相对论是关于时空和引力的基本理论。

正确答案:√我的答案:√8爱因斯坦重要的科学发现和创新都是老年时期做的。

正确答案:×我的答案:×9静力学和流体静力学的奠基人是A、苏格拉底C、亚里士多德D、阿基米德正确答案: D 我的答案:D10“吾爱吾师,吾更爱真理”是谁说的A、苏格拉底B、柏拉图C、亚里士多德D、阿基米德正确答案: C 我的答案:C11希腊三哲不包括A、苏格拉底B、柏拉图C、亚里士多德D、阿基米德正确答案: D 我的答案:D12提出了浮力定律、杠杆原理、重心概念的人是谁:A、柏拉图B、阿基米德C、苏格拉底D、爱因斯坦正确答案: B 我的答案:B13提出惯性定律、相对性原理、自由落体定律的科学家是:A、阿基米德B、牛顿C、伽利略D、哥白尼正确答案: C 我的答案:C14阿基米德的国家被罗马围攻时,他设计的抛石机运用了〔〕。

A、伽利略定律B、牛顿定律C、浮力定律D、杠杆原理正确答案: D 我的答案:D15“格物穷理”是我国哪位理学家提出:A、沈括B、毕升C、朱熹正确答案: C 我的答案:C16苏格拉底、柏拉图和亚里士多德被称为“希腊三贤”。

正确答案:√我的答案:√因斯坦和量子论与相对论的诞生〔二〕已完成1惯性定律的最早提出者是古希腊的德谟克利特。

恒星的演化

【摘要】恒星来之于星云又归之于星云,本文对恒星由星云中诞生、经过主序星红巨星阶段、逐渐步入晚期,到最后演化成白矮星、中子星、黑洞的整个过程进行了一个概述。

【关键词】恒星演化、星云、原恒星、主序星、红巨星、爆炸、超新星、中子星、白矮星、黑洞恒星的一生大致可分为四个阶段引力收缩阶段,主序星阶段,红巨星阶段和晚期阶段。

引力收缩阶段是恒星的幼年期,即由星际物质形成恒星的过程。

星际物质的成分主要是氢,质量百分比在70%,其次是氦不足37% ,还有极少量的氧、碳、氮等等,其密度极小,但体积和质量巨大。

此过程分为两个阶段:一:星云坍缩为原恒星。

此过程中引力起支配作用,表现为物质处于自由下落状态的快收缩过程。

星云的密度增大,温度升高,当核区温度升高到2 000 K 时, 氢分子开始分解成氢原子, 同时吸收大量的热量, 促使中心区域坍缩为一个体积更小、密度更大的新内核, 也就是原恒星。

二:原恒星进而坍缩为恒星的慢收缩阶段。

当所有分子氢都离解完时, 吸热机制消失,但收缩仍在持续进行, 而原恒星物质所受到的引力(向内)与辐射压力(向外)近乎势均力敌。

收缩使热量增加, 其中一部分辐射逸出原恒星外, 其余部分使原恒星物质温度进一步上升。

当温度升高到700 万度或更高时, 核区开始出现氢聚变为氦的热核反应, 这一反应所产生的热量足以与向外逸出的热量相当, 慢收缩过程结束, 而原恒星便演变为一颗真正的恒星——主序星。

主序星阶段是一个相对稳定的长时期,此过程是恒星以内部氢氦聚变为主要能源的发展阶段,是恒星的“青年时代”,也是恒星一生中最长的黄金阶段,占据了它整个寿命的90%。

这段时间,恒星相对稳定,向外膨胀和向内收缩的两种力大致平衡,恒星基本上不收缩也不膨胀,并且以几乎不变的恒定光度(所谓“光度”,就是指从恒星表面以光的形式辐射出的功率)发光发热,照亮周围的宇宙空间。

但在其内部内部进行着剧烈的氢核聚变为氦核的反应,核反应产生的热能全部用于热和电磁辐射及微粒子辐射,恒星温度不变,在主序上的位置也不变,在中心的氢耗尽时逐渐形成一个不再产能的氦核,使其温度不再改变即同温,当同温氦核质量达到恒星质量的10%—15% 时,同温氦核开始顶不住星体的自吸引氦核会猛烈坍缩,释放出巨大的引力能。

关于黑洞的知识

关于黑洞的知识一,什么是黑洞?质量比较小的恒星,到了晚年,会变成白矮星;质量比较大的,会变成中子星;质量更大的恒星,就变成黑洞。

黑洞体积很小,密度却很大,像太阳这样大的恒星,半径有七十万公里,如果变成黑洞,半径只有三公里,不过太阳还没有资格变成黑洞,因为它太小了。

黑洞的吸引力大的可怕,连每秒钟跑30万公里的光也被它的引力拉住,跑不出来,其他任何别的物体,当然更别想跑掉。

既然黑洞把光都吸了进去,所以它根本不发光,我们当然也就无法看到它了。

不过黑洞吸进物体的同时,会发出很强的X射线,天文学家根据这个特点,推断在天鹅座中就有一个黑洞。

大家知道,牛顿由苹果落地发现了万有引力。

当我们站在地面,向上抛出一个物体时,无论你使多大劲,物体上升到一定高度后,终归还是要落到地面上来,这是由于物体受到地球对它的吸引力的缘故。

但是,如果我们赋予物体的速度足够大,例如用多级火箭来加速,可以把人造卫星送到地球上空绕着地球旋转,人造卫星可以在很长时间以至数年内不落回地面。

进而,我们还可以把仪器和宇航员送到月球,甚至送到火星和其它太阳系的星球上去。

美国的宇宙飞船“旅行者号”就在太阳系中飞行了17年之久,最近到达海王星附近,它们可以永远不再回到地面上来。

根据物理学的计算,物体逃出星体的引力范围必须具有的最低速度为v2,即第二宇宙速度。

只要具有足够大的速度v,即v>v2物体就可以逃出这个星球。

然而,实际上并非所有的情况下,只要v足够大就能达到离开星球的目的。

因为物理学中还有另一条规律,那就是宇宙中任何物体的速度都有一个上限,这个上限为光在真空中的速度C=2.997924580×108m/s。

所以,当一个星球的质量很大,半径很小时,则可能有下面情况出现,即物体逃出星球的速度起码要大于C,这显然时不可能的。

于是,包括光在内,任何物体都不可能逃出这样一个质量大,半径小的星球。

现代黑洞是如此定义的:黑洞是时空中这样一个区域:任何物质一旦进入该区域,便永远不能出来。

13-致密星


An "ocean" of hydrogen forms on the white dwarf's surface. Intense pressure and heat build at the bottom of the hydrogen ocean, eventually leading to a massive explosion, which blows off the outer layers of hydrogen.
There is no energy source in terms of fusion nor gravitational contraction, yet they shine. WD stars just continue to become cooler and cooler. So they live at constant radius with ever diminishing T and L.
半相接双星 (semidetached binaries): 一颗子星充满洛希瓣,如天琴β,
相接双星 (contact binaries):两颗子 星均充满洛希瓣,如大熊W。
2013/11/26 xkong@ 21
双星中的物质传输

星风传输:不相接、半相接双星

大质量恒星在演化过程中通常有强 烈的星风。
结构: 质量M ~ 0.2-1.4 M⊙ (平均 ~ 0.6 M⊙) 半径R ~ 5×108-109 cm 密度ρ~105-107 gcm-3 自转周期 P≥10 sec
3. 简并电子气与Chandrasekhar极限
(1) 简并电子气 高温 → 原子电离 → 自由电子 高密 → 电子简并 → 简并电子压力 (Pauli不相容原理) Pe = nvp 由测不准原理,电子的动量 p ~△p ~ h/△x ~ h/(V/N)1/3 ~ ρ1/3 非相对论性情形 : Pe ~ np2 ~ρ5/3 相对论性情形 : Pe ~ ncp ~ρ4/3
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