2018年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷Word版含答案
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
第Ⅰ卷（共64分）
一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）
1.设三个复数1，i ，z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z = ．
2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =，则n = ．
3.函数()()()()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期= ．
4.设点P ，Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上，则PQ 的最小值= ．
5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率= ．
6.在边长为1的正方体1111ABCD A BC D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值= ．
7.设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ．
8.把21,2,,n 按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n .例如：
3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j = ．
第Ⅱ卷（共86分）
二、解答题 （本大题共4小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ，F 分别是线段AD ，BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ，H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称.求证：3HAB GAB ∠=∠
.
10. 设O 是坐标原点，双曲线22
22:1x y C a b
-=上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点.
（1）求证：AOB ∆的面积S 是定值；
（2）求AOB ∆的外心P 的轨迹方程.
11. （1）求证：对于任意实数x ，y ，z 都有)22223x y z xy yz zx ++≥++.
（2）是否存在实数k >x ，y ，z 下式恒成立？
()22223x y z k xy yz zx ++≥++
试证明你的结论.
12. 在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
试卷答案
一、填空题
1.43i -或34i -+
2.213
3.2π
5.
115
7.-8.()34,95
二、解答题
9.解：由E ，F 分别是AD ，BC 的中点，得//EF AB AD ⊥.
设P 是E 关于l 的对称点，则//EP AG l ⊥，故四边形AEPG 是等腰梯形.
进而PAG EGA GAB ∠=∠=∠，APG GEA ∠=∠，从而AP HG ⊥.
再由HP DE EA PG ===，得HAP PAG GAB ∠=∠=∠.
因此3HAB GAB ∠=∠.
10.解：（1）()00,M x y 处的切线方程
00221x x y y a b -=. 与渐近线方程联立，得()110000,,a b A x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，()220000,,a b B x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 从而，122112
S x y x y ab =-=是定值. （2）由（1）可设(),A a b λλ，,a b B λλ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，(),P x y ，λ为非零常数. 由PA PO PB ==，得()()
222222a b x a y b x y x y λλλλ⎛⎫⎛⎫-+-=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而有()222ax by a b λ+=+，()2212ax by a b λ
-=
+. 上述两式相乘，得P 的轨迹方程为()222222214
a x
b y a b -=+. 11.解：（
1）由均值不等式，221322x y +
≥，221322x z +
≥，221322y z +≥.
故)22223x y z xy yz zx ++≥++.
（2）
()2
22222222232322442k k k k k x y z k xy yz zx x y z y z k yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++=--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
上式0≥恒成立当且仅当2204k -≥且2
222423244k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
化简得k ≤32
6240k k -+≥.显然，2k =>.
12.设N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，i x 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有 3
2018M N C +=，()2018
120172i i
i x x M =-=∑. 当且仅当每个1008i x =或1009时，N 取得最小值32320181009
100910082C C -⨯=. 31009
2N C =是可以取到的，例如把线段()mod201812018,1504i i j i j →±≤≤≤≤染成红色，其它线段染成蓝色.。
2018年全国高中数学竞赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共24分）函数f(x)=4−x2的定义域是（）.A. [−2,2]B. (−2,2)C. [0,2]D. (0,2)下列命题中，正确的是（）.A. 若α⊂β，则α∩β=αB. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件已知tanα=21，则sin2α=（）.A. 51B. 52C. 54D. 53设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.A. 2B. −2C. 21D. −21在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.A. 815B. 16315C. 23D. 415二、填空题（每题5分，共20分）函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.A. 必有一个是直角B. 必有一个是锐角C. 必有一个是钝角D. 都是直角已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.三、解答题（共56分）（12分）求函数f(x)=x+1x2−1在x=2处的导数值.（12分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,b=3,cosC=31。
（1）求sinB的值；（2）求△ABC的面积。
2018年全国高中数学联赛真题(一试和二试)(B卷)试题(教师版)
2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷)一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设集合A ={2,0,1,8},B ={2a |a ∈A }，则AB 的所有元素之和是．解析31．易知B ={4,0,2,16}，故AB ={0,1,2,4,8,16}．A B 的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．2.已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线P Q 与底面所成角不大于45◦，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为．解析3π．圆锥顶点P 在底面上的投影即为底面中心，记之为O ．由条件知，OP OQ=tan ∠OQP 1，即OQ 1，故所求的区域面积为π·22−π·12=3π．3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f,，则abc +def 是奇数的概率为．解析110．当abc +def 为奇数时，abc,def 必为一奇一偶，若abc 为奇数，则a,b,c 为1,3,5的排列，d,e,f 为2,4,6的排列，这样有3!×3!=36种情况．由对称性可知，满足条件的情况数为36×2=72种，从而所求概率为726!=72720=110．4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，−→n =(3,1)是l 的一个法向量．已知数列{a n }满足：对任意正整数n ，点(a n +1,a n )均在l 上．若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为．解析−32．易知直线l 的方程是3x +y =0．因此对任意正整数n ，有3a n +1+a n =0，即a n +1=−13a n ，故{a n }是以−13为公比的等比数列．于是a 3=−13a 2=−2．由等比数列的性质可得，a 1a 2a 3a 4a 5=a 53=(−2)5=−32．5.设α,β满足tan α+π3 =−3,tan β−π6=5，则tan (α−β)的值为．解析−74．由两角差的正切公式可知tan (α+π3)−(β−π6) =−3−51+(−3)×5=47，即tan α−β+π2 =47，从而tan (α−β)=−cot α−β+π2 =−74．6.设抛物线C :y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ，过点B (−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切于点K ，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M,N ，则 KMN 的面积为．解析12．设直线l 与MN 的斜率为k ，则l :x =1k y −1,MN :x =1k y −12．将l 与C 联立，得方程y 2−2k y +2=0，由条件知其判别式为零，故k =±√22．将MN 与C 联立，得方程y 2−2k y +1=0，于是|y M −y N |= (y M +y N )2−4y M y N = 4k 2−4=2，结合l 与MN 平行，可知S KMN =S BMN =|S BAM −S BAN |=12·|AB |·|y M −y N |=12·12·2=12．7.设f (x )是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f (π)=1,f (2π)=0，则不等式组 0 x 10 f (x ) 1的解集为．解析[2π−6,4−π]．由f (x )为偶函数及在[1,2]上严格递减知，f (x )在[−2,−1]上严格递增，再结合f (x )以2为周期可知，[0,1]是f (x )的严格递增区间．注意到f (4−π)=f (π−4)=f (π)=1,f (2π−6)=f (2π)=0，所以0 f (x ) 1⇔f (2π−6) f (x ) f (4−π)，而0<2π−6<4−π<1，故原不等式组成立当且仅当x ∈[2π−6,4−π]．8.已知复数z 1,z 2,z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,|z 1+z 2+z 3|=r ，其中r 是给定实数，则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实数是（用含有r 的式子表示）．解析r 2−32．记w =z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1．由复数模的性质可知z 1=1z 1,z 2=1z 2,z 3=1z 3，因此w =z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1．于是r 2=(z 1+z 2+z 3)(z 1+z 2+z 3)=|z 1|2+|z 2|2+|z 3|2+w +w =3+2Re w ，解得Re w =r 2−32．二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中第9题满分16分，第10、11题满分20分.9.已知数列{a n }:a 1=7,a n +1a n=a n +2,n =1,2,3,···．求满足a n >42018的最小正整数n ．解析12．由a n +1a n=a n +2可知a n +1+1=(a n +1)2．因此a n +1=(a 1+1)2n −1=82n −1=23×2n −1，故a n =23×2n −1−1．显然{a n }单调递增．由于a 11=23072−1<24036=42018,a 12=26144−1>24036=42018，故满足题目条件的n 的最小值是12．10.已知定义在R ∗上的函数f (x )为f (x )= |log 3x −1|,0<x 94−√x,x >9设a,b,c 是三个互不相同的实数，满足f (a )=f (b )=f (c )，求abc 的取值范围．解析(81,144)．不妨假设a <b <c ，由于f (x )在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,+∞)上严格递减，且f (3)=0,f (9)=1，故结合图像可知a ∈(0,3),b ∈(3,9),c ∈(9,+∞)，并且f (a )=f (b )=f (c )∈(0,1)．由f (a )=f (b )得1−log 3a =log 3b −1，取log 3a +log 3b =2，因此ab =32=9．于是abc =9c ．又0<f (c )=4−√c <1，故c ∈(9,16)．进而abc =9c ∈(81,144)．11.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A,B 与C,D 分别是椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点与上下顶点．设P,Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ AP ，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R ．证明：线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形．解析设点P 坐标为(x 0,y 0)．由于−−→OQ −→AP ,−→AP =−−→OP −−→OA ;−−→OR −−→OM,−−→OM =12(−−→OP +−→OA )，故存在实数λ,µ，使得−−→OQ =λ(−−→OP −−→OA ),−−→OR =µ(−−→OP +−→OA )．此时点Q,R 的坐标可分别表示是(λ(x 0+a ),λy 0),(µ(x 0−a ),µy 0)．由于点Q,R 都在椭圆上，所以λ2 (x 0+a )2a 2+y 20b 2 =µ2 (x 0−a )2a 2+y 20b2 =1．结合x 20a 2+y 20b 2=1知，上式可化为λ2(2+2x 0a )=µ2(2−2x 0a )=1，解得λ2=a 2(a +x 0),µ2=a 2(a −x 0)．因此|OQ|2+|OR|2=λ2(x0+a)2+y2+µ2(x0−a)2+y20=a2(a+x0)(x0+a)2+y2+a2(a−x0)(x0−a)2+y20=a(a+x0)2+ay22(a+x0)+a(a−x0)2+ay22(a−x0)=a2+ay221a+x0+1a−x0=a2+ay22·2aa2−x20=a2+a2·b21−x2a2a2−x20=a2+b2=|BC|2.从而线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形．2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷)一、设a,b 是实数，函数f (x )=ax +b +9x．证明：存在x 0∈[1,9]，使得|f (x 0)| 2．解析证法一只需证明存在u,v ∈[1,9]，满足|f (u )−f (v )| 4，进而由绝对值不等式得|f (u )|+|f (v )| |f (u )−f (v )| 4，故|f (u )| 2与|f (v )| 2中至少有一个成立．当a ∈(−∞,12] [32,+∞)时，有|f (1)−f (9)|=|(a +b +9)−(9a +b +1)|=8|1−a | 4．当12<a <32时，有3√a ∈[1,9]．再分两种情况：若12<a 1，则|f (1)−f (3√a )|=|(a +b +9)−(6√a +b )|=(3−√a )2 4．若1<a <32，则|f (9)−f (3√a )|=|(9a +b +1)−(6√a +b )|=(3√a −1)2 4．综上可知，存在u,v ∈[1,9]，满足|f (u )−f (v )| 4，从而命题得证．证法二用反证法．假设对任意x ∈[1,9]，均有|f (x )|<2，则|f (1)|<2,|f (3)|<2,|f (9)|<2．易知f (1)=a +b +9，①f (3)=3a +b +3，②f (9)=9a +b +1．③由①，②得，2a −6=f (2)−f (1)；又由②，③得，6a −2=f (3)−f (2)．由上述两式消去a ，可知f (3)−4f (2)+3f (1)=(6a −2)−3·(2a −6)=16．但f (3)−4f (2)+3f (1)<2+4·2+3·2=16，矛盾!从而命题得证．二、如图所示，在等腰 ABC 中，AB =AC ，边AC 上一点D 及BC 延长线上一点E 满足AD DC =BC 2CE ，以AB 为直径的圆w 与线段DE 交于一点F ．证明：B,C,F,D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）解析如图，取BC 中点H ，则由AB =AC 知AH ⊥BC ，故H 在圆w 上．延长F D 至G ，使得AG BC ，结合已知条件得，AG CE =AD DC =BC 2CE ，故AG =12BC =BH =HC ，从而AGBH 为矩形，AGHC 为平行四边形．由AGBH 为矩形知，G 亦在圆w 上．故∠HGF =∠HBF ．又AGHC 为平行四边形，由AC GH ，得∠CDF =∠HGF ．所以∠CDF =∠HBF =∠CBF ，故B,C,F,D 四点共圆．三、设集合A ={1,2,···,n }，X,Y 均为A 的非空子集（允许X =Y ）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为max X,min Y ．求满足max X >min Y 的有序集合对(X,Y )的数目．解析先计算满足max X min Y 的有序集合对(X,Y )的数目．对给定的m =max X ，集合X 是集合{1,2,···,m −1}的任意一个子集与{m }的并，故并有2m −1种取法．又min Y M ，故Y 是{m,m +1,···,n }的任意一个非空子集，共有2n +1−m −1种取法．因此，满足max X min Y 的有序集合对(X,Y )的数目是n m =12m −1(2n +1−m −1)=n m =12n −n m =12m −1=n ·2n −2n +1．由于有序集合对(X,Y )有(2n−1)·(2n−1)=(2n−1)2个，于是满足max X>min Y的有序集合对(X,Y)的数目是(2n−1)2−n·2n+2n−1=22n−2n(n+1)．四、给定整数a 2．证明：对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数a k+1,a k+2,···,a k+n均是合数．解析设i1<i2<···<i r是1,2,···,n中与a互素的全体整数，则对1 i n,i∈{i1,i2,···,i r}，无论正整数k如何取值，a k+i均与a不互素且大于a，故a k+i为合数．对任意j=1,2,···,r，因a+i j>1，故a+i j有素因子p j．我们有(p j,a)=1（否则，因p j是素数，故p j|a，但p j|a+i j，从而p j|i j，故a,i j 不互素，与i j的取法矛盾）．因此，由费马小定理知，a p j−1≡1(mod p j)．现取k= (p1−1)(p2−1)···(p r−1)+1．对任意j=1,2,···,r，注意到k≡1(mod p j)−1，故有a k+i j≡a+i j≡0(mod p j)．又a k+i j>a+i j p j，故a k+i j为合数．综上所述，当k=(p1−1)(p2−1)···(p r−1)+1时，a k+1,a k+2,···,a k+n均是合数．。
2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案word版
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30） 题号 一 二总分9 10 11 12 得分 评卷人复核人注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____．2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____．3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____．4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____．5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=____．7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____．8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ．二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ．A BCD E FG H l10.设O是坐标原点，双曲线C：22221x ya b上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点：(1)求证：△AOB的面积S是定值.(2)求△AOB的外心P的轨迹方程。
2018年安徽省黄山市高三第一次联理科数学试题及答案
黄山市2018届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．3． m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四命题：① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ;③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α⊂n n m ,//，则α//m .其中真命题的序号是 （ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则 （ ）A.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数5．如右图,若程序框图输出的S 是126,则判断框①中应为 （ ） A ．?5≤n B ．?6≤n C ．?7≤n D ．?8≤n6．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，(),f x x =则方程3()log ||f x x =的解个数是（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．若{}n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且201320122013()0a a a +>,则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4027 B ．4026 C ．4025 D ．40248．已知00(,)M x y 为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是 （ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 9．已知n为正偶数，用数学归纳法证明11111111...2(...)2341242n n n n -+-++=++++++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =（ ）时等式成立 （ ）A ．1n k =+B ．2n k =+C ．22n k =+D ．2(2)n k =+ 10. 已知向量α、β、γ满足||1α=，||||αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=．若对每一确定的β,||γ的最大值和最小值分别为m 、n ，则对任意β，m n -的最小值是 （ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．2第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射3主视图 俯视图侧视图疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只．12.二项式1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的第________项是常数项．13．一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形,左视图是一个边长为2cm 的等边三角形,则这个几何体的体积为________．14.已知z=2x +y ，x ，y 满足,2,,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 ． 15．给出如下四个结论：① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ② 命题“若a b >，则221ab >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；③ 若随机变量~(3,4)N ζ，且(23)(2)P a P a ζζ<-=>+，则3a =； ④ 过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条． 其中正确结论的序号是______________________________．[来源:状.元.源Z.y.y.100]三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. （本小题满分12分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．17．（本小题满分12分） 已知函数()exf x tx =+（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当e t =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小．19.（本小题满分12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。
2018年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。
【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
1【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2018年6月30日上午9:00)一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=2、设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上，则|PQ|的最小值=5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=7、设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ∠AHB=8、把1，2，…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)9、如图所示，设ABCD 是矩形，点E, F 分别是线段AD, BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB.10、设O 是坐标原点，双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。
（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB 的面积S 是定值。
（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222x23y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？()222x23y z k xy yz zx++≥++，试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.232018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷考试时间:2019年6月30日上午9:001.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i -+.2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =213.3.函数()sin2sin3sin4f x x x x =++的最小正周期=2π.4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A BC D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cosAHB ∠=6-. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB ∠=∠.。
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛答案的分析与反思
阳友雄（519055）
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛中有这样一道题：
11. (1) 求证：对于任意实数 x, y, z ，都有 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
(2) 是否存在实数 k > 3 ，使得对于任意实数 x, y, z 下式恒成立？
2
2
一个小小的正负号导致了错误，真是一子不慎满盘皆输！既然知道了原因，就容易修正
三.对官方答案的修正
解： f =x2 + 2 y2 + 3z2 − k(xy + yz + zx) =x2 − k( y + z)x + 2 y2 + 3z2 − kyz
=[x − k ( y + z)]2 − k 2 ( y2 + z2 + 2 yz)+2 y2 + 3z2 − kyz
3z2 拆成 nz2 + (3 − n)z2 ，然后用基本不等式试试
x2 + 2 y2 + 3z2 = kx2 + my2 + (1− k)x2 + nz2 + (2 − m) y2 + (3 − n)z2
≥ 2 kmxy + 2 (1− k)nxz + 2 (2 − m)(3 − n) yz
注意到待求证的式子为 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
不妨取=x 3= , y 2= , z 1，此时左边 = 20 ，右边 =22 ，左边 < 右边，上式不成立
2018年全国高中数学联赛一试试卷
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2|}B x x A =∈，{|2}C x x A =∈，则B C 的元素个数为．2.设点P 到平面α，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30︒且不大于60︒，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为．4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ．已知线段PU 、PS 、PV 、PT 的长分别为1,2,3,6，则△12PF F 的面积为．5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足(π)1f =，(2π)2f =，则不等式组121()2x f x ⎧⎨⎩≤≤≤≤的解集为．6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为．7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+ ，则sin BAC ∠的值为．8.设整数数列1210,,,a a a 满足1013a a =，2852a a a +=，且1{1,2}i i i a a a +∈++，1,2,,9i = ，则这样的数列的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在+R 上的函数()f x为3|log 1|,09()49x x f x x -<⎧⎪=⎨>⎪⎩≤设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1)对任意正整数n，有n a <(2)对任意正整数n ，有11n n a a +<．11.（本题满分20分）．在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x =的过点(1,0)F 的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值．。
2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)
则(������ + ������������)������2 + 2(������ − ������������)������ + 2 = 0，
整理得：(������������2 + 2������������ + 2) + (������������2 − 2������������)������ = 0
由图结合对称性得：
������1 = ������ − 2, ������2 = 2������ − [4 + 2(2������ − 6)] = 8 − 2������ 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ������(������) ≤ 2在[1，2]内
分析：������������������ + ������������������为偶数，则������������������与������������������奇偶性相同，
故当������ ≥ 2 时，
������������ = √������ ± √������ − 1 ≤ √������ + √������ − 1 < 2√������ (2) ������������与������������+1异号时结论显然成立，
当������������与������������+1同号时： 由(1)得������������ = ±√������， 不妨得：������������ = √������ − √������ − 1
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ