2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——8.立体几何

8．立体几何（含解析）一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为A ．23 B ．22 C ．33 D ．31 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（ ） A ．π17 B ．π18 C ．π20 D ．π28【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示． 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2015年，11题】 【2014年，12题】 【2013年，6题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．500π3cm 3 B ．866π3cm 3 C ．1372π3cm 3 D ．2048π3cm 3【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【2013年，8】 【2012年，7】 【2011年，6】【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【2012，11】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A ．26B ．36C ．23D ．22【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）二、填空题【2011，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 ．三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠=,求二面角A -PB -C 的余弦值．【2016，18】 如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，︒=∠=90,2AFD FD AF ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60．（Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．【2015，18】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【2014，19】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． (Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值．ABCDE F【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．【2012，19】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ． （1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：P A ⊥BD ；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．A 17．立体几何（解析版）一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16（7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，()24226S =+⨯÷=梯，6212S =⨯=全梯，故选B ；【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为A ．23 B ．22 C ．33 D ．31 【解析】如图所示：αAA 1B1DCC 1D 1∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即113sin CD B ∠=． 故选A ．【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是（ ）A ．π17B ．π18C ．π20D ．π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ．【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：284R π=，圆锥底面半径16R π=，米堆体积21320123V R h ππ==，堆放的米约有221.62V≈，选B ．.【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2222142225416202r r r r r r r r πππππ⨯+⨯++⨯=+=-，解得2r =，故选B ．.【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A .62B .42C .6D .4【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -， 其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，()24246DA =+=，故最长的棱的长度为6DA =，选C【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．500π3cm 3 B ．866π3cm 3 C ．1372π3cm 3 D ．2048π3cm 3解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，AO ⊥底面BCD ，因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B ．【2012，11】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A ．26B ．36C ．23D ．22【解析】如图所示，根据球的性质，知⊥1OO 平面ABC ，则C O OO 11⊥．在直角C OO ∆中，1=OC ，3=C O ， OD A所以36)33(122121=-=-=C O OC OO ． 因此三棱锥S －ABC 的体积6236433122=⨯⨯⨯==-ABC O V V ，故选择A ．【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的．故选D 二、填空题【2011，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 ．解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则AM=221(23)6232+=,OM=224(23)2-=，16232833O ABCD V -=⨯⨯⨯=.三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠=,求二面角A -PB -C 的余弦值．【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=︒，∴PA AB ⊥，PD CD ⊥， 又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥，又∵PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ． （2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ，∵AB CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OEAB ，由（1）知，AB ⊥平面PAD ，∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ，∴OE PO ⊥，OE AD ⊥， 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥，∴PO 、OE 、AD 两两垂直， ∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2PA =，∴()002D -，、)220B ，、(002P ，，、()202C -，， ∴(022PD =-，、(222PB =，，、()2200BC =-，，设()n x y z =,,为平面PBC 的法向量，由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2220220x y z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量(012n =,,， ∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴PD AB ⊥，又PA AB A =，∴PD ⊥平面PAB ，即PD 是平面PAB 的一个法向量，(022PD =-,,，∴3cos 23PD n PD n PD n⋅===⋅,， 由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为3． 【2016，18】 如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，︒=∠=90,2AFD FD AF ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60． （Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．【解析】：⑴ ∵ABEF 为正方形，∴AF EF ⊥，∵90AFD ∠=︒，∴AF DF ⊥，∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDC ，AF ⊂面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒，∵AB EF ∥，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥，∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =，()()000020E B a ，，，，()302202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ()020EB a =，，，322a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()200AB a =-，，，设面BEC 法向量为()m x y z =，，，00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111203202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-⋅=⎪⎩，111301x y z ===-，，()301m =-，，ABCDE设面ABC 法向量为()222n x y z =，，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即2222320220a x ay az ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 222034x y z ===，，，()034n =，，，设二面角E BC A --的大小为θ. 219cos 31316m n m n⋅===-+⋅+⋅θ，∴二面角E BC A --的余弦值为219-【2015，18】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥.（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解：（Ⅰ）证明：连接BD ，设BDAC G =，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=，可得3AG GC ==，由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =.又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥.在Rt EBG ∆中，可得2BE =,故22DF =.在Rt FDG ∆中，可得6FG =. 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =，2DF =，可得32EF =.因为222EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC FG G =，则EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AFC ⊥平面AEC . ……6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0,3,0)A -，(1,0,2)E ，2(1,0,)2F -，(0,3,0)E ，(1,3,2)AE =，2(1,3,)2CF =--.故3cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-. 所以直线AE 与直线CF 所成的角的余弦值为33. ……12分 【2014，19】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=BC求二面角111A A B C --的余弦值.【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB =（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ∆≅∆ 故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB=BC ，则30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,,A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭1131,,0B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ 设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100nAB nA B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即33030y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =设m 是平面的法向量，则11110m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取(1,m =则1cos ,7n m n m n m==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 【2013，18】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 证明：(1)取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0)，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，)． 设n＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C . 【2012，19】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =，得：45ADC ︒∠=，A 1同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=，得：1DC DC ⊥．又DC 1⊥BD ，DCBD D =，所以1DC ⊥平面BCD ．而BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（2）解法一：（几何法）由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC ABC AC ⇒⊥．取11A B 的中点O ，连接1C O ，OD ． 因为1111AC B C =，所以111C O A B ⊥，因为面111A B C ⊥面1A BD ，所以1C O ⊥面1A BD ，从而1C O BD ⊥，又DC 1⊥BD ，所以BD ⊥面1DC O ，因为OD ⊂平面1DC O ，所以BD OD ⊥． 由BD OD ⊥，BD ⊥DC 1，所以1C DO ∠为二面角A 1－BD －C 1的平面角． 设12AA a =，AC BC a ==，则12aC O =，12CD a =，在直角△1C OD ，1C O OD ⊥，1112C O CD =， 所以130C DO ︒∠=． 因此二面角11C BD A --的大小为30︒．解法二：（向量法）由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC ABC AC ⇒⊥．又1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥，以C 点为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．不妨设AA 1=2，则AC=BC=21AA 1=1，从而A 1（1，0，2），D （1，0，1）， B （0，1，0），C 1（0，0，2）， 所以1(0,0,1)DA =，(1,1,1)DB =--，1(1,0,1)DC =-．设平面1A BD 的法向量为1111(,,)n x y z =， 则11n DA ⊥，1n DB ⊥， 所以111100z x y z =⎧⎨-+-=⎩，即111z x y =⎧⎨=⎩，令11y =，则1(1,1,0)n =．设平面1C BD 的法向量为2222(,,)n x y z =≤，则21n DC ⊥，2n DB ⊥， 所以2222200x z x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，即22222x z y z =⎧⎨=⎩，令21z =，则2(1,2,1)n =．所以121212cos ,2||||2n n n n n n ⋅<>===⋅12,30n n <>=︒．因为二面角11C BD A --为锐角，因此二面角11C BD A --的大小为30︒．【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ；(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．解：（I ）因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD =.从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥. 所以BD ⊥平面PAD . 故PA BD ⊥.（II ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P ，()AB =-，()1PB =-，()1,0,0BC =-设平面PAB 的法向量为(),,xy z =n ，则00AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即x z ⎧-⎪-=因此可取=n .设平面PBC 的法向量为m ，则00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，可取(0,1,m =-. cos ,〈〉==m n 故二面角A PB C --的余弦值为.。